高中数学必修5第二章等差数列的前n项和

2．2 等差数列的前n 项和

（一）教学目标

1．知识与技能:通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；体会等差数列与一次函数的关系。

2. 过程与方法:通过对历史有名的高斯求和的介绍，引导学生发现等差数列的第k 项与倒数第k 项的和等于首项与末项的和这个规律；由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究。

3．情态与价值：培养学生利用学过的知识解决与现实有关的问题的能力。 （二）教学重、难点

重点：探索并掌握等差数列的前n 项和公式；学会用公式解决一些实际问题，体会等差数列的前n 项和与二次函数之间的联系。

难点：等差数列前n 项和公式推导思路的获得，灵活应用等差数列前n 项公式解决一些简单的有关问题

（三）学法与教学用具 学法：讲练结合 教学用具：投影仪

（四）教学设想 [创设情景]

等差数列在现实生活中比较常见，因此等差数列求和就成为我们在实际生活中经常遇到的问题。在200多年前，历史上最伟大的数学家之一，被誉为“数学王子”的高斯就曾经上演了迅速求出等差数列这么一出好戏。那时，高斯的数学老师提出了下面的问题：1+2+3+……+100=？当时，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：（1+100）+（2+99）+……+（50+51）=101×50=5050

高斯的算法实际上解决了求等差数列1，2，3，…，n ，…前100项的和的问题。 今天我们就来学习如何去求等差数列的前n 项的和。 [探索研究]

我们先来看看人们由高斯求前100个正整数的方法得到了哪些启发。人们从高斯那里受到启发，于是用下面的这个方法计算1，2，3，…，n ，…的前n 项的和：

由 1 + 2 + … + n-1 + n n + n-1 + … + 2 + 1 （n+1）+（n+1）+ … +（n+1）+（n+1）

可知2

)1(...321n

n n ?+=

++++ 上面这种加法叫“倒序相加法”

请同学们观察思考一下：高斯的算法妙在哪里？ 高斯的算法很巧妙，他发现了整个数列的第k 项与倒数第k 项的和与首项与尾项的和是相等的这个规律并且把这个规律用于求和中。这种方法是可以推广到求一般等差数列的前n 项和的。

[等差数列求和公式的教学]

一般地，称n a a a a ++++...321为数列}{n a 的前n 项的和，用n S 表示，即

n n a a a a S ++++= (321)

1、 思考：受高斯的启示，我们这里可以用什么方法去求和呢？

思考后知道，也可以用“倒序相加法”进行求和。

我们用两种方法表示n S ：

],)1([...)2()(1111d n a d a d a a S n -+++++++=①

],)1([...)2()(d n a d a d a a S n n n n n --++-+-+=②

由①+②，得 2n S =1111n n n n a a a a a a a a ++++

n 个

（）+（）+（）+...+（）

)(1n a a n +=

由此得到等差数列}{n a 的前n 项和的公式2

)

(1n n a a n S +=

对于这个公式，我们知道：只要知道等差数列首项、尾项和项数就可以求等差数列前n 项和了。

2、 除此之外，等差数列还有其他方法（读基础教好学生要介绍）

当然，对于等差数列求和公式的推导，也可以有其他的推导途径。例如：

123...n n S a a a a =+++

=1111()(2)...[(1)]a a d a d a n d +++++++-

=1[2...(1)]na d d n d ++++- =1[12...(1)]na n d ++++- =1(1)

2

n n na d -+

这两个公式是可以相互转化的。把1(1)n a a n d =+-代入1()

2

n n n a a S +=中，就可以得到1(1)

2

n n n S na d -=+

引导学生思考这两个公式的结构特征得到：第一个公式反映了等差数列的任意的第k 项与倒数第k 项的和等于首项与末项的和这个内在性质。第二个公式反映了等差数列的前n 项和与它的首项、公差之间的关系，而且是关于n 的“二次函数”，可以与二次函数进行比较。这两个公式的共同点都是知道1a 和n ，不同点是第一个公式还需知道n a ，而第二个公式是要知道d ，解题时还需要根据已知条件决定选用哪个公式。

[公式运用]

（课本52页练习1、2）

1、 根据下列各题中的条件，求相应的等差数列{}n a 的前n 项和S.

⑴184188a a n =-=-=，，； ⑵114.50.732a ===n ，d ，a ；

[例题分析]

例1、2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的统治》.某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元.那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？ ⑴、先阅读题目；

⑵、引导学生提取有用的信息，构件等差数列模型；

⑶、写这个等差数列的首项和公差，并根据首项和公差选择前n 项和公式进行求解。 解：根据题意，从2001-2010年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元.所以，可以建立一个等差数列{}n a ，表示从2001年起各年投入的资金，其中 1500a =， d=50. 那么，到2010年（n=10），投入的资金总额为 10101105005072502

n S ?-=?+?=（）

（万元）

答：从2001~2010年，该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元.

例2．已知一个等差数列{}n a 前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的前n 项和的公式吗？

引导学生分析得到：等差数列前n 项和公式就是一个关于1n a a n d 1、、n或者a 、、的方程。若要确定其前n 项求和公式，则要确定d 1a 和的关系式，从而求得。

分析：将已知条件代入等差数列前n 项和的公式后，可得到两个关于1a 与d 的二元一次方程，由此可以求得1a 与d ，从而得到所求前n 项和的公式. 解：由题意知 10310S =， 201220S =， 将它们代入公式 112

n n n S na d -=+

（）

，

得到

111045310201901220

a d a d +=+=，

解这个关于1a 与d 的方程组，得到1a =4，d=6，

所以214632

n n n S n n n -=+

?=+（）

另解： 1

10103102

n

a a S +=?= 得 11062a a +=； ① 120

202012202

a a S +=

?= 所以 120122a a +=； ②

②-①，得

1060d =， 所以 6d =

代入①得： 14a = 所以有 21132

n n n S a n d n n -=+

=+（）

例题评述：此例题目的是建立等差数列前n 项和与解方程之间的联系.已知几个量，通过解方程，得出其余的未知量.

例3 已知数列{}n a 的前n 项为2

1

2

n S n n =+

，求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？

解：根据 121...n n n S a a a a -=++++ 与 1121

...n n S a a a --=+++（n 1） 可知，当n ＞1时，2

2

1111[11]2222

n n n a S S n n n n n -=-=+--+-=-（）（） ① 当n=1时，2

1113

1122

a S ==+

?= 也满足①式. 所以数列{}n a 的通项公式为1

22n a n =-.

由此可知，数列{}n a 是一个首项为3

2

，公差为2的等差数列。

这个例题还给出了等差数列通项公式的一个求法.已知前n 项和n S ，可求出通项 111n a n S -=-n （）S

＞ n a =

（n ＞1）

用这种数列的n S 来确定n a 的方法对于任何数列都是可行的，而且还要注意1a 不一定满足由1n n n S S a --=求出的通项表达式，所以最后要验证首项1a 是否满足已求出的n a . 思考：结合例3，思考课本51页“探究”：一般地，如果一个数列{}n a 的前n 项和为

2.n S pn qn r =++其中p 、q 、r 为常数，且p ≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？如果

是，它的首项与公差分别是什么？

引导分析得出：观察等差数列两个前n 项和公式12

n

n a a S n +=

，和2111222

n n n d d

S a n d n a n -=+

=+-（）（），公式本身就不含常数项。 所以得到：如果一个数列前n 项和公式是常数项为0，且关于n 的二次型函数，则这个

数列一定是等差数列.

例4 已知等差数列2454377

，

，，....的前n 项和为n S ，求使得n S 最大的序号n 的值. 分析：等差数列的前n 项和公式可以写成2122

n d d S n a n =+-（），所以n S 可以看成函数2122

d d

y x a =

+-∈*（）x（x N ）当x=n 时的函数值.另一方面，容易知道n S 关于n 的图象是一条抛物线上的一些点.因此，我们可以利用二次函数来求n 的值.

解：由题意知，等差数列2

45437

7

，

，，....的公差为5

7

-，所以 5

[251]27

n n S n =?+

--（）（） =227555151125

1414256

n n n -=--+（）

于是，当n 取与

15

2

最接近的整数即7或8时，n S 取最大值. [随堂练习]课本52页“练习”第1、2、3、4题 [补充练习]

1、已知数列{},n a 是等差数列，S n 是其前n 项和，且S 6，S 12-S 6，S 18-S 12成等差数列，设

k k k k k S S S S S N k 232,,,--∈+成等差数列吗？

生：分析题意，解决问题. 解：设{},n a 首项是1a ，公差为d 则：6543216a a a a a a S +++++=

为等差数列

1218612661212111098712111098718

17161514131218665432165432112

1110987612,,3636)()6()6()6()6()6()6(3636)()6()6()6()6()6()6(S S S S S d

S S d a a a a a a d a d a d a d a d a d a a a a a a a S S d S d a a a a a a d a d a d a d a d a d a a a a a a a S S --∴+-=++++++=+++++++++++=+++++=-+=++++++=+++++++++++=+++++=-

同理可得k k k k k S S S S S 232,,--成等差数列.

2、求集合{}

100,,7*<∈=m N n n m m 且的元素个数，并求这些元素的和。 解由m=100，得7

2147100=

满足此不等式的正整数n 共有14个，所以集合m 中的元素共有14个，从小到大可列为：

7，7×2，7×3，7×4，...7×14 即：7，14，21，28， (98)

这个数列是等差数列，记为{},n a 其中7352

)

987(14 98,714141=+?=∴==S a a

解由m=100，得7

2147100=

满足此不等式的正整数n 共有14个，所以集合m 中的元素共有14个，从小到大可列为：

7，7×2，7×3，7×4，…7×14 即：7，14，21，28，…98 这个数列是等差数列，记为{},n a 其中7352

)

987(14 98,714141=+?=∴==S a a

答：集合m 中共有14个元素，它们和等于735

[课堂小结] 等差数列}{n a 的前n 项和的公式2

)(1n n a a n S +=

和1(1)

2n n n S na d -=+ k k k k k S S S S S 232,,--也成等差数列.

（五）评价设计

课本52页A 组第1、3、6 思考：课本53页B 组第4题