《常微分方程》题库及答案

一．求解下列方程

1．求方程0sin cos =+x y dx

之通解; 2．求方程

x y ax dy cos 1

tan =

+之通解； 3．解初值问题2

(1)20(0)1dy x xy dx y ?-+=???=?

； 4．求方程()ln

dy x y

y x y dx x

+-=+ 之通解； 5．求方程 y

x xy y dx dy 32

1++= 的通解； 6. 求方程 0)3()3(2

=-+-dy y x y dx xy x 的通解； 7．求由以

x x cos ,

sin 为基本解组的线性齐次方程； 8．求方程 2

)(2

2x dx dy x

dx dy y +-=的通解及奇解； 9．求方程

+=+x

x y x dt dt

t dy 0

)(2))((

1 的通解； 10. 求方程 0)sin ()2sin (2

2=-++dy y x

y dx x y x 的通解； 11．求由以 x x x ln , 为基本解组的线性齐次方程； 12．求方程 2

22)(12dx

dy y y dx y d += 的通解. 13.求方程

y y dx

ln =之通解。 14.求方程xy dx

y x 2)

(22=+之通解。 15.求方程0)(22

=-+dy y x xydx 之通解。 16. 求方程

y x e dx

-=之通解。 17. 求方程0)2(=+---dy xe y dx e y

y 之通解。

18. 求方程x x y y sec tan '

=+之通解。

二．

1．解初值问题??

???-==y x e ax

y 20

)1(

2.求如下微分方程组之通解：

?????????-=++-=--=z x dt

dz z y x dt

z y x dt dx

2. 3.求出初值问题的逐次近似解2

1,0y y y ：2(0)0dy

x y dx

y =+=?????

. 4. 求出微分方程0).().(=+dy y x N dx y x M 有形如)(2

y x +=?υ的积分因子的充要条件。

5.用李雅普诺夫函数法讨论方程平衡点（0．0）之稳定性：

???+-=---=xy x y dt dx

y x y x dt dy 32. 6.用一次近似法讨论方程平衡点（0．0）的稳定性：?????+--=+-+=y x y x dt

dx y x y y x dt

dy cos 32)(22

7.求方程的通解：2252310cos 2x dy dy

y x x x e dx dx

--=+（特解不必求出，仅给出特解形式，要说明理由）。

8.求方程组之通解：?????????-=-+=+-=y x 2dt

dz z y x dt

z y x dt dx

9.求充分值问题的逐次近似解?????=-=0

)0(:)(),(2

21y y x dx dy

x y x y .

10.求列如下方程组的奇点类型：?????-=-=y x dt

dy x

y dt dx

432 .

11.分别用一次近似法和李雅普诺夫函数法讨论如下方程组平衡点（0.0）的稳定性:

?????+++-=+-+--=))(())((222

2y x y x y x dt

y x y x y x dt

dx 12.已知初值问题 ?????=+=,

0)0(22y y

x dx dy 其中.2,1:≤≤y x D

1)．求近似解21,y y ； 2)．给出真解与第二次近似解的误差估计.

13.求如下方程组的通解：???

??????+=-+=+=.z y dt

dz z y x dt dy

z y dt dx

14.设)(x f 在[)+∞,0上连续且有界，求证：方程

)(x f y dx

=+的所有解均在[)+∞,0上有界. 15.已知方程 0)1(22=+--y dx dy x

dx y d x 有特解x

e y =. 求方程 x e x y dx

dy x dx y d x 222)1()1(-=+-- 之通解.

16．已知方程 02)1(22=+--y dx

dx y d x x α 有一线性函数的特解，试确定α的值，并求出通解.

17.求方程

x xy dx

42=+之通解。 18.求二阶微分方程的通解：已知方程0)1('

'=+--y xy y x 的一个解x y =1,试求其通解. 19.求微分方程组的近似解:利用逐次逼近法求方程22x y dx

-=适合初值条件1)0(=y 的近似解。 20. 求方程

5xy y dx

=-之通解。 21. 已知方程01

1)ln 1(2'''=-+

-y x

y x y x 的一个解x y ln 1=,试求其通解. 22.求下列微分方程组的通解:?????+=+=4y 3x t

2x t x

d d d d

《常微分方程》作业参考答案

一．求解下列方程 1．x c y cos =

2．通解为：x x c y sin cos +=

3．dx x x

dy 1

22-= ??--=1

22)1(x x d dy 2ln 1y x c =-+ 1)0(==c y 2

ln |1|1y x ∴=-+

4．'(1)ln(1)y y y y x x x -=++ 令 xu y x

u =?= (1)ln(1)dy du u x u u u dx dx

∴

=+=+++ 故 (1)ln(1)du

u u dx

=++ (1)ln(1)du dx u u x =++ ln(1)ln(1)d u dx

u x

+=+

ln ln(1)ln ln u x c ∴+=+ ln(1)u cx += cx e u =+1

cx e x

∴1 )1(-=cx e x y 5. 可分离变量方程，通解为.)1)(1(2

cx y x =++ 6．齐次方程，通解为 c x x

y x y =++ln 422sin

. 7．全微分方程，通解为 .64

c y y x x =+-

8．.0222=++

y dx

x dx y d 9. 解为 .)3(3x x y -=

10. 通解为 .2

sin 2

22c y x y x =++ 11．方程为 .01

1222=+-

y x

dx dy x dx y d 12．通解为 ).tan(21c x c y +=

13. 通解为x

Ce y =ln 14. 通解为 2

x y Cy -= 15. 方程的通积分为

C dy y xydx y

=-+??

)(20

,即C y y x =-323

16 . 通解为C e e x y += 17 . 方程的通积分为

C ydy dx e y

=-??

-0

2,即C y xe y =--2.

18 . 方程通解为x C x y cos sin += 二．

1．通解为：c e e x

y +=22

2. 通解为： t

t e c c e c z y x 2321123101210????

? ??-+????? ??+????? ??-=????? ??-

3.0)0(0==y y 2121x y = 5

2220

121x x y += 4. x uN y uM ??=??Θ

N x N u y u M y M u ??+??=??+??Θ 令 u y x =+2

y u d u d y u 2?=??∴

x u

d u

d x u 2?=?? u d u

d x x N u u d u d y y M u 22+??=+?? ???

? ?

???-??=-∴y M x N u u d u d x y )(2故满定充要条件的表达式为：)(22y x x

y y

M x

+=--?????

5.)(2

122

y x v +=

)

(*dt

dv )(2

2s x +-≤∠0 022≠+s x ∴（0.0）渐近稳定

6.一次近似方程为：??

???+=--=y x dt dy y

x dt dx

32 特征方程为：012=++λλ

3-=∴?＜0 P ＝1＞0 ∴0

)Re(0)Re(21

<<λλ, 则（0.0）局部渐过稳定.

01032=--λλ 5,221=-=λλ

x B x B x A x A y o 2sin )(2cos )(101*

1+++=

为x x y y y 2cos 10'3"=-- 之特解,±2λ不是特征根

5=a Θ 是特征方程的单根 x o e c x c x c x y 52122

)(++=∴*

故其通解为： 215221y y e c e

c y x x

+++=-

特征根为：2.1.1321==-=λλλ

11-=λ所属的特征向量为：???

?? ??-=532α

12=λ所属的特征向量为：???

?? ??=111β

13=λ所属的特征向量为：γ???

? ??=101

通解为：t

t t e c e c e c z y x 2321101111531????

? ??+????? ??+????? ??-=????? ??-

9.0:)0(=o y y 2121x y =

2220

121x x y -= 10.特征方程为：01072=++λλ 07>=p 010>=g 0>?

故 (0.0)为稳定结点 11.

1.一次近似方程为：?????-=--=y

x y

x t d y d dt x d

0222=++∴λλ

0)Re(1<λ 0)Re(2<λ ∴（0.0）为局部渐近稳定

2.)(2122y x v +=

. )1)((2222)(-++=*y x y x l dt

故12

<+y x 0<∴dt

故（0.0）局部渐近稳定. 12.

1.,00=y ,31

),(30

001x dx x dx y x f y y x

==+

=??

.631

31)91(),(730

620

102x x dx x x dx y x f y y x

+=+=+

=??

2. Θ ,),(2

y x y x f += ∴ ,5),(max ),(==∈y x f M D

y x

,42max max

),(),(L y y f D y x D y x ===??∈∈ .5

52,1min ,min =??????=??????=m b a h

则 .75

)52(32145)()(322=???≤

-x y x y 13. 系数阵为 ,110111110????

??????- 特征方程为 .0)1()det(2

=--=-λλλE A

E A λ-的初等因子为 2)1(,-λλ，通解为

.101010101112321t

t e t c e c c z y x ????

??????????? ??+????? ??+?????

??+????? ??-=????? ??

14.证：设 [).),0()(..,0+∞∈?≤>?x M x f t s M .则[)+∞∈?,0x ，有

.)1()(0)(0

000

M y e M y

ds e Me

y x y x x x

x s

+≤-+=+≤--?

Θ []),,0()(0x C x y ∈ ∴ [].,0,)(..,00x x M x y t s M ∈≤>?

令 {}

,,max 0M y M K += ∴ [).,0,)(+∞∈?≤x K x y

15.通解为 .)2

1(221x x e x x x c e c y -++=

16．,2=α 特解为 ,1x y = 通解为 ).ln 21(2

21x x x c x c y +-+=

17. 解:先解齐次方程

.2xy dx

-=,通解为2x Ce y -=. 用常数变易法,令非齐次方程通解为

2)(x e x C y -=.代入原方程,化简后可得2

4)('x xe x C =,积分得到

C e

x C x +=2

2)(.代回后即得原方程通解为2

2x Ce y +=.

注:在求解线性方程时,即可以直接套用公式求解,也可以用常数变异法推出,但我们鼓励使用常数变异法.

18..解:由通解公式dx e y Cy y C y dx x p )(2

1*1-?

+=,此处1

)(,1--==x x

x p x y . 所以 x x x dx x x

e C x C Ce x C x e C C x dx e y Cy y C y 21**

11*)(1-=-=-=+=--?

19. 解 30

103

11)1(1))((1)(,1)(x x d d x x x

??-+=-+=-+

==ξξξξξ???, 5分 7

5426430

21263

1152611)91323221())((1)(x x x x x d d x x x

-++=+--+=-+=??ξξξξξξξξ??

20.解:显然0=y 是方程的解.当0≠y 时,两端同除以5

y ,得

x y dx dy y +=4511.令z y =4

1,代入有

x z dx

+=-

4, 它的解为x Ce x z 44

-++

-=.于是原方程的解为 x

Ce x y

411-++-=及0=y .

21.解:由通解公式dx e y Cy y C y dx

x p ?+=-?

)(2

1*1,)ln 1(1)(,ln 1

x x x p x y -==, x C x C x C C y dx x x C C y dx e x C C y dx e y Cy y C y dx x x dx x p 212112

*1)

ln 1(1

*1)(2111*

ln )ln 1()(ln 1ln )(ln 11+=+=??

????-+=?????????+=?+=???---

22. 解:方程组的系数阵为??

??=4312A .特征方程为 0)5)(1(43

12)det(=--=--=

-λλλ

λλE A ,特征根为5,121==λλ. 当11=λ

时,??????=??????b a e y x t 11,其中b a ,满足03311)(=????????????=??????-b a b a E A λ,则有0=+b a ,取1,1-==b a ,则的一特解 ??????-=??????1111t e y x . 同理,当52=λ时,???

???=??

????31522t e y x ,所以方程组的解为

????+??????-=???

???t t t t e e C e e C t y t x 55213)()(

《金匮要略》试题(C卷)

《金匮要略》试题（C卷）一、单项选择题（1分*20=20分） 1、“病人脉浮在前，其病在表；脉浮在后，其病在里”，是用脉象来（） A、指导辨证 B、指出某一病证主脉 C、言病因病机 D、言病位 2、表里同治适用于（） A、表邪易内陷入里 B、但解表则里证不去，但治里则外邪不解 C、正气虚弱，元阳颓败 D、以上都不是 3、麻黄加术汤中，麻黄配伍白术目的在于（） A、加强发汗作用 B、变辛温发散为辛凉清宣 C、虽发汗而不致过汗 D、以上都不是 4、李某，男，因汗出风吹，致风湿内侵，郁而化热，每日下午热势增重，全身疼痛，伴咽部红肿，无汗，舌苔白腻，脉濡缓略浮，治疗宜选用（） A、麻黄加术汤 B、麻杏苡甘汤 C、麻杏石甘汤 D、防己黄芪汤 5、百合病的病机是（） A、心脾两虚 B、心肾不交 C、肝肾亏虚 D、心肺阴虚内热 6、周某，女，32岁。劳动汗出后即在树荫下乘凉，晚即觉左肩臂麻木不适，余正常，舌淡苔白，脉浮略紧。治宜选用（） A、乌头汤 B、桂枝芍药知母汤 C、黄芪桂枝五物汤 D、厚朴七物汤 7、陈某某，女性，42岁。患腹痛已年余，经常脐周隐痛，用热水袋温按可止，四肢酸痛，饮食无味，月经延期，色淡量少，舌苔薄白，脉象沉弦。方选（） A、温经汤 B、大建中汤 C、小建中汤 D、附子理中丸 8、虚劳脉结悸，治以（） A、炙甘草汤 B、麦门冬汤 C、酸枣仁汤 D、甘麦大枣汤 9、射干麻黄汤的治法是（） A、宣壅导滞，利窍涤痰 B、解表化饮，清热除烦 C、宣肺泻热，降逆平喘 D、散寒宣肺，降逆化痰 10、小青龙加石膏汤的功效是（） A、解表化饮，清热除烦 B、宣肺泻热，降逆平喘 C、散寒宣肺，降逆化痰 D、清养肺胃，止逆下气 11、患者腹满，喜温喜按，辩证当属（） A、实热 B、寒实 C、虚寒 D、以上都不是 12、车某某，男，25岁。胃脘剧痛，腹胀便秘，拒按，口苦口渴，舌红苔黄厚，脉沉数，治宜（） A、厚朴七物汤 B、大柴胡汤 C、厚朴三物汤 D、大建中汤 13、患者腹痛剧烈，甚则呕吐不止，辗转不宁，四肢不温，神倦少力，舌淡胖，苔白滑，脉沉紧，治宜（） A、附子理中汤 B、附子粳米汤 C、小建中汤 D、大建中汤 14、患者于某某，女，28岁。胁腹疼痛，大便不通，畏寒肢冷，舌苔粘腻，脉紧弦。治宜（） A、大建中汤 B、小建中汤 C、大黄附子汤 D、麻黄附子汤 15、陈某某，男，井下作业后，当晚即感腰部牵引疼痛，腰以下冷而沉重，大便稍干，小便混黄，口不渴，舌苔白腻，脉沉细而涩。方选（） B、八味肾气丸B、苓桂术甘汤 C、甘姜苓术汤 D、真武汤 16、饮停胁下，谓之（） A、悬饮 B、溢饮 C、支饮 D、痰饮 17、痰饮饮停心下，可选方（） A、肾气丸 B、苓桂术甘汤 C、五苓散 D、甘遂半夏汤 18、甘遂半夏汤中包含有十八反的药物是（） A、半夏、乌头 B、甘遂、甘草 C、半夏、甘草 D、甘遂、芍药 19、石水与下列何脏的关系最为密切（） A、心肾 B、肝肾 C、肺肾 D、脾肾 20、黄汗若久治不愈可转为（） A、痂癞 B、历节 C、脓肿 D、周痹

常微分方程知识点总结

常微分方程知识点总结常微分方程知识点你学得怎么样呢？下面是的常微分方程知识点总结，欢迎大家阅读！微分方程的概念方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的；在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和数之间的关系找出来，列出包含一个数或几个数的一个或者多个方程式，然后取求方程的解。但是在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题。比如：物质在一定条件下的运动变化，要寻求它的运动、变化的规律；某个物体在重力作用下自由下落，要寻求下落距离随时间变化的规律；火箭在发动机推动下在空间飞行，要寻求它飞行的轨道，等等。物质运动和它的变化规律在数学上是用函数关系来描述的，因此，这类问题就是要去寻求满足某些条件的一个或者几个函数。也就是说，凡是这类问题都不是简单地去求一个或者几个固定不变的数值，而是要求一个或者几个的函数。解这类问题的基本思想和初等数学解方程的基本思想很相似，也是要把研究的问题中已知函数和函数之间的关系找出来，从列出的包含函数的一个或几个方程中去求得函数的表达式。但是无论在方程

的形式、求解的具体方法、求出解的性质等方面，都和初等数学中的解方程有许多不同的地方。在数学上，解这类方程，要用到微分和导数的知识。因此，凡是表示函数的导数以及自变量之间的关系的方程，就叫做微分方程。微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解。牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。后来瑞士数学家雅各布?贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。牛顿研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律。后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置。这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量。微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法。微分方程也就成了最有生命力的数学分支。

常微分方程的思想与方法

第四讲常微分方程的思想方法三、常微分方程的思想方法数学思想是对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点, 它在认识活动中被反复运用, 带有普遍的指导意义, 是建立数学以及应用数学解决问题的指导思想。数学方法是指提出问题、解决问题过程中所采用的各种方式、手段、途径等, 二者的紧密联系即数学思想方法。由此可见, 数学思想方法是以具体的教学内容为载体, 又高于具体数学内容的一种指导思想和大范围普遍适用的方法, 是数学的灵魂. （1）挖掘、提炼和概括教材知识中的数学思想，实现由隐到显，体现规律性一般来说, 由于教材的编排必须考虑学科内容的内在联系及逻辑系统性，故数学思想只能从相关内容中去体现，具有隐形态。知识教学虽然蕴含了思想方法，但是如果没有有意识地被数学思想方法作为教学对象，学生学习数学知识时并不一定注意到数学思想方法。因此教师应当以数学知识为载体，有意识地引导学生将隐藏在知识背后的数学思想挖掘、提炼、概括出来，使之由隐形态变为显形态，使学生对由对数学知识、数学方法的朦胧感受、死记硬背转化为明晰的理解、掌握和灵活运用，最终完成对数学知识、数学方法的本质认识。（2）抓住课程中知识发生的过程，及时强化数学思想数学知识的发现过程，实际上也是数学思想方法的发生过程，但对于学生来说，这种发现或发生过程，往往被教材浓缩，甚至隐去。数学知识的教学是数学认识活动结果的教学，具有静态点型，重在记忆理解；数学思想方法的教学是数学活动过程的教学，呈动态线型，重在思辨操作。所谓数学活动过程是指：数学概念的形成过程，数学结论的推导过程，数学方法的思考过程，数学规律的被揭示过程，这些过程是数学思想的体现并受某种数学思想的指导，离开数学活动过程，思想方法也就无从谈起。（3）把握知识的内在联系，注意数学思想方法的内在结构，使之系统化数学思想方法的教学与具体的数学知识的教学一样，只有成为系统，建立自己的结构，才能发挥它的整体效益。同时，系统的数学思想体系是良好的数学观念形成的物质基础。教材中的许多知识，从思想方法角度去分析，更容易把握其本质联系，是原来看似孤立和静止的知识点成为有机联系的动态的知识发展过程。因此在教学过程中，应突出数学思想，把对方法的认识提升到数学思想运用的高度，这有利于沟通知识联系，把握方法本质，是学生从整体结构上，从更深层次上，从事物内在的本质联系上，去把握知识，形成系统、完成的知识结构。（4）加强应用，内化数学思想应用数学知识解决问题的过程是诸多数学思想方法中和运用的过程。一方面应把重点放作应用数学思想方法解决数学本身的问题；另一方面应该注意它的实际背景和应用，应用数学思想方法解决实际问题，逐渐将从数学知识挖掘出来的数学思想加以内化。方程的思想方程，尤其是目的在于求出解的方程，最初是作为解决实际问题的数学模型出现的，即用来表达“数量关系”，这时方程思想的基本点。常微分方程的思想方法是代数方程思想方法的发展，但其基本点是一致的，即把问题归结为求未知量。用含未知量的式子建立等量关系，由此求得未知量。方程的基础是平衡原理。

金匮要略试题

金匮要略试题（81） 1.论治原则：表里同病、当分缓急；痼疾卒病、治有先后；诸病在脏、审因论治；饮食调护、各有所忌。 2. 张仲景病因三条与陈无择的"三因学说"有何异同张仲景三条:"一者,经络受邪入脏腑,为内所因;二者,四肢九窍,血脉相传,壅塞不通,为外皮肤所中;三者,房室,金刃,虫兽所伤." 陈无择三因：人之七情动之则先自脏腑郁发，为内因；天之六淫冒之则先自经络流入，为外因；饮食饥饱，叫呼伤气，金创踒折，疰忤附着，畏压溺等为不内外因。 3. 具有桂枝、茯苓的方剂有哪些？各主治何病证？茯苓、桂枝是仲景常用对药，二者配伍具有通阳利水作用。《金匮》一书中具有茯苓、桂枝的方剂：候氏黑散、苓桂草枣汤、苓桂术甘汤、木防己加茯苓芒硝汤、五苓散、桂苓五味甘草汤、防己茯苓汤、茵陈五苓散、茯苓泽泻汤、桂枝茯苓丸、肾气丸。（1）候氏黑散。其功效为清肝化痰，养血祛风，主治中风夹寒之证。（2）苓桂草枣汤。其功效为培土制水，通阳降逆，主治误汗后阳虚饮动，欲作奔豚之证。（3）苓桂术甘汤。其功效为温阳化饮，健脾利水，主治狭义痰饮之饮停心下证。（4）木防己加茯苓芒硝汤。其功效为补虚除饮，散结消坚，主

治膈间支饮服木防己汤后仍有痞坚者。（5）五苓散。其功效为化气利水，主治饮停下焦，气化不利，水饮逆动证。（6）桂苓五味甘草汤。其功效为敛气平冲，兼以化饮，主治服小青龙汤后发生冲气上逆之证。（7）防己茯苓汤。其功效为通阳化气，表里分清，主治皮水阳郁证。（8）茵陈五苓散。其功效为利湿清热退黄，主治黄疸湿重于热证。（9）茯苓泽泻汤。其功效为健脾利水，化气散饮，主治呕吐饮阻气逆证。（10）桂枝茯苓丸。其功效为化瘀消癥，主治宿有癥积，血瘀气滞，血不归经，下血不止证。（11）肾气丸。其功效为补肾益阴温阳，主治肾虚而致虚劳腰痛、消渴、转胞、痰饮、脚气。 4. 谈谈张仲景对疾病的预防有哪些主要观点张仲景对疾病预防方面的观点,归纳起来主要有几个方面:重视人体正气,未病先防和已病防变. 一,未病先防:《金匮》认为疾病的发生与否,关键在于人体内的正气,外因"客气邪风",虽是人体发病的重要因素,但正气却是决定人体发病的根本因素.所以《金匮》强调"若五脏元真通畅,人即安和".如果人体正气不虚,"不遗形体有衰",纵有"客气邪风"侵袭,"

(整理)常微分方程总结

（1）概念微分方程：一般，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量的之间关系的方程。微分方程的阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数。如：一阶： 2dy x dx = 二阶：220.4d s dt =- 三阶：3 2 2 43x y x y xy x ''''''+-= 四阶：() 4410125sin 2y y y y y x ''''''-+-+= 一般n 阶微分方程的形式：() ( ),,,,0n F x y y y '=L 。这里的()n y 是必须出现。（2）微分方程的解设函数()y x ?=在区间I 上有n 阶连续导数，如果在区间I 上， ()()()(),,0n F x x x x ?????'≡???? L 则()y x ?=称为微分方程()() ,,,,0n F x y y y '=L 的解。注：一个函数有n 阶连续导数→该函数的n 阶导函数也是连续的。函数连续→函数的图像时连在一起的，中间没有断开（即没有间断点）。导数→导函数简称导数，导数表示原函数在该点的斜率大小。导函数连续→原函数的斜率时连续变化的，而并没有在某点发生突变。函数连续定义：设函数()y f x =在点0x 的某一邻域内有定义，如果()()0 0lim x x f x f x →=则称函数()f x 在点0x 连续。左连续：()() ()0 00lim x x f x f x f x - - →== 左极限存在且等于该点的函数值。右连续：()() ()0 00lim x x f x f x f x + + →== 右极限存在且等于该点的函数值。在区间上每一个点都连续的函数，叫做函数在该区间上连续。如果是闭区间，包括端点，是指函数在右端点左连续，在左端点右连续。函数在0x 点连续?()()()()0 0lim lim lim x x x x x x f x f x f x f x -+ →→→=== 1、()f x 在点0x 有定义 2、()0 lim x x f x →极限存在

土力学题库及答案讲解

习题第一章土的物理性质及工程分类选择题 1.土颗粒的大小及其级配，通常是用颗粒级配曲线来表示的。级配曲线越平缓表示： A ．土颗粒大小较均匀，级配良好 B.土颗粒大小不均匀，级配不良 C. 土颗粒大小不均匀，级配良好 2.作为填土工程的土料，压实效果与不均匀系数u C 的关系： A ． u C 大比 u C 小好 B. u C 小比 u C 大好 C. u C 与压实效果无关 3.有三个同一种类土样，它们的含水率w 都相同，但是饱和度r S 不同，饱和度r S 越大的土，其压缩性有何变化？ A.压缩性越大 B. 压缩性越小 C. 压缩性不变 4.有一非饱和土样，在荷载作用下，饱和度由80%增加至95%。试问土样的重度γ和含水率w 怎样改变？ A ．γ增加，w 减小 B. γ不变，w 不变 C. γ增加，w 增加 5.土的液限是指土进入流动状态时的含水率，下述说法哪种是对的？ A ．天然土的含水率最大不超过液限 B. 液限一定是天然土的饱和含水率 C. 天然土的含水率可以超过液限，所以液限不一定是天然土的饱和含水率判断题 6.甲土的饱和度大与乙土的饱和度，则甲土的含水率一定高于乙土的含水率 7.粘性土的物理状态是用含水率表示的，现有甲、乙两种土，测得它们的含水率乙甲w w ，则可以断定甲土比乙土软 8.土的液性指数L I 会出现L I >0或L I <0的情况 9.土的相对密实度r D 会出现r D >1或r D <1的情况 10.土的天然重度越大，则土的密实性越好计算题 11.击实试验，击实筒体积1000cm 2 ，测得湿土的质量为1.95kg ，取一质量为17.48kg 的湿土，烘干后质量为15.03kg ，计算含水率w 和干重度 d r 。 12.已知某地基土试样有关数据如下：①天然重度r =18.4 kN/m 3 ，干密度 d r =13.2 kN/m 3 ；②液限试验，取湿土14.5kg ，烘干后质量为10.3kg ；③搓条试验，取湿土条5.2kg ，烘干后质量为4.1kg ，求（1）土的天然含水率，塑性指数和液性指数；（2）土的名称和状态。 13.从A ，B 两地土层中个取粘性土进行试验，恰好其液塑限相同，液限 l w =45%，塑限 p w =30%，但A 地的天然含水率为45%，而B 地的天然含水率为25%。试求A ，B 两地的地基土的液性指数，并通过判断土的状态，确定哪个地基土比较好。 14.已知土的试验指标为r =17 kN/m 3 ， s G =2.72，和w =10%，求 е和r S 。

常微分方程基本知识点

常微分方程基本知识点第一章绪论 1. 微分方程的概念（常微分与偏微），什么是方程的阶数，线性与非线性，齐次与非齐次，解、特解、部分解和通解的概念及判断！（重要）例：03)(22=-+y dx dy x dx dy （1阶非线性）； x e dx y d y =+22sin 。 2.运用导数的几何意义建立简单的微分方程。（以书后练习题为主）（习题1，2，9题）例：曲线簇cx x y -=3满足的微分方程是：__________. 第二章一阶方程的初等解法 1.变量分离方程的解法（要能通过适当的变化化成变量分离方程）；（重要） 2.齐次方程的解法（变量代换）；（重要） 3.线性非齐次方程的常数变易法； 4.分式线性方程、贝努利方程、恰当方程的概念及判断（要能熟练的判断各种类型的一阶方程）（重要）；例题：(1).经变换_____y c u os =___________后，方程1cos sin '+=+x y y y 可化为___线性_____方程； (2).经变换_____y x u 32-=____________后，方程1 )32(1 '2+-=y x y 可化为____变量分离__方程； (3).方程0)1(222=+-dy e dx ye x x x 为：线性方程。

(4).方程221 'y x y -=为：线性方程。 5.积分因子的概念，会判断某个函数是不是方程的积分因子； 6.恰当方程的解法（分项组合方法）。（重要）第三章一阶方程的存在唯一性定理 1.存在唯一性定理的内容要熟记，并能准确确定其中的h ； 2.会构造皮卡逐步逼近函数序列来求第k 次近似解！（参见书上例题和习题 3.1的1，2，3题）第四章高阶微分方程 1.n 阶线性齐次（非齐次）微分方程的概念，解的概念，基本解组，解的线性相关与线性无关，齐次与非齐次方程解的性质； 2.n 阶线性方程解的Wronskey 行列式与解的线性相关与线性无关的关系； 3.n 阶线性齐次（非齐次）微分方程的通解结构定理！！（重要） 4.n 阶线性非齐次微分方程的常数变易法（了解）； 5.n 阶常系数线性齐次与非齐次微分方程的解法（Eurler 待定指数函数法确定基本解组），特解的确定（比较系数法、复数法）；（重要）例题：t te x x 24=-''，确定特解类型？（习题4.2相关题目） 6.2阶线性方程已知一个特解的解法（作线性齐次变换）。（重要） 7.其他如Euler 方程、高阶方程降阶、拉普拉斯变换法等了解。

土力学试题含答案

试卷1 一、解释或说明（每题2分，共10分） 1. 孔隙比 2. 相对密实度 3. 附加应力 4. 主动土压力 5. 前期固结压力二、判断题（正确者在题后的括号中打“√”，错误者打“×”且不需改正。每题1分，共计8分） 1．粘土矿物是化学风化的产物。（） 2．粉土通常是单粒结构形式。（） 3．土的压缩通常是土中孔隙减小及土颗粒压缩的结果。（） 4．压缩模量是土在无侧限压缩时的竖向应力与应变之比。（） 5．按太沙基一维固结理论，固结度与地表荷载大小无关。（） 6．在直剪试验时，剪切破坏面上的剪应力并不是土样所受的最大剪应力。（） 7．地基的局部剪切破坏通常会形成延伸到地表的滑动面。（） 8．墙背光滑是朗肯土压力理论的基本假设。（）三、单项选择题（每题2分，共30分） 1．当时，粗粒土具有良好的级配。 A. 5u C ≥且13c C ≤≤ B. 5u C ≤且13c C ≤≤ C. 5c C ≥且13u C ≤≤ D. 5u C ≤或13c C ≤≤ 2．下列矿物质中，亲水性最强的是。 A. 伊利石 B. 蒙脱石 C. 高岭石 D. 石英 3．对填土，我们可通过控制来保证其具有足够的密实度。 A. s γ B. γ C. d γ D. sat γ 4．一块1kg 的土样，置放一段时间后，含水量由25%下降到20％，则土中的水减少了 kg 。 A. 0.06 B. 0.05 C. 0.04 D. 0.03 5. 在下列指标中，不可能大于1的指标是。 A. 含水量 B. 孔隙比 C. 液性指数 D. 饱和度 6. 测得某粘性土的液限为40％，塑性指数为17，含水量为30%，则其相应的液性指数为。 A. 0.59 B. 0.50 C. 0.41 D. 0.35 7. 地基表面作用着均布的矩形荷载，由此可知，在矩形的中心点以下，随着深度的增加，地基中的。 A. 附加应力线性减小，自重应力增大 B. 附加应力非线性减小，自重应力增大 C. 附加应力不变，自重应力增大 D. 附加应力线性增大，自重应力减小 8. 饱和粘土层上为粗砂层，下为不透水的基岩，则在固结过程中，有效应力最小的位置在粘土层的。 A. 底部 B. 顶部 C. 正中间 D. 各处（沿高度均匀分布）

金匮要略试卷及答案

金匮要略试卷及答案一、? 选择题（共60分） (一)????? 单项选择题（1-40题，每小题1分，共40分） 1、在《金匮要略》的作者是： A.林亿 B.王叔和 C.张仲景 D.华佗 2、在《金匮要略》中附子配干姜的作用是： A.温散寒邪 B.回阳救逆 C.峻逐阴邪 D.温中止痛 3、《《金匮要略》认为杂病发生的主要原因是： A.五脏元真不足 B.客气邪风侵袭 C. 七情房劳 D.虫兽灾害 4、《金匮》首篇第一条的“脾能伤肾……则心火气盛，则伤肺；肺被伤，则金气不行”中的“伤”字如何理解 A.制约 B.伤害 C.相侮 D.相乘 5、下列哪一组药物体现了《金匮》肝阴血虚的治疗原则： A.白芍、焦山栀、炙甘草、乌梅 B.焦山栀、黄连、黄芩、黄柏 C.炙甘草、淮小麦、大枣 D.白芍、五味子、酸枣仁、乌梅 6、血痹的典型症状是： A.肌肤麻痹 B.身体沉重 C. 关节疼痛 D.肢体不遂 7、大承气汤主治哪种腹满： A.胀重于积 B.积重于胀 C.胀积并重 D.胀满并见 8、风湿在表，治当发汗，但大汗之后，病仍不愈的原因是： A.汗之不彻 B.汗多伤阴 C.汗后受寒 D.风去湿存 9、甘草泻心汤的药物组成，除了甘草外，还有： A.半夏、生姜、黄芩、人参、大枣 B.半夏、干姜、黄芩、黄连、人参、大枣 C.半夏、生姜、黄芩、大枣 D.半夏、干姜、黄芩、黄连、柴胡、人参、大枣 10、依据《金匮》原文，“中风，邪入于经”： A.肌肤不仁 B.肢体重滞 C.角弓反张 D.舌即难言，口吐涎

11、风湿历节的主方是： A.桂枝芍药知母汤 B.麻黄加术汤 C.乌头汤 D.侯氏黑散 12、“其人素盛今瘦，水走肠间，沥沥有声”是： A.痰饮 B.悬饮 C.溢饮 D.支饮 13、黄芪建中汤、小建中汤共同的病机是： A.气血亏虚 B.心脾两虚 C.气阴两虚 D.阴阳两虚 14、“缓中补虚”从方药功用看应是哪种含义： A.祛邪 B. 扶正为主，兼以祛邪 C.扶正祛邪并重 D.祛邪为主，兼以扶正 15、虚寒性肺痿没有以下那个症状： A.咳嗽 B.吐涎沫 C.头眩 D.不渴 16、咳逆上气，时时吐浊，但坐不得眠，用何方主之： A.射干麻黄汤 B.皂荚丸 C.越婢汤 D.厚朴麻黄汤 17、治疗肾着病可用： A、甘草干姜汤 B、苓桂术甘汤 C、甘姜苓术汤 D、肾气丸 18、治疗阴寒痼结的“心痛彻背，背痛彻心”，用： A.大乌头煎 B.大黄附子汤 C.麻黄附子汤 D.乌头赤石脂丸 19、下列方证中没有表证的是： A.附子粳米汤证 B.厚朴七物汤证 C.乌头桂枝汤证 D.麻黄附子汤证 20、寒疝属于血虚者，治用： A.大乌头煎 B.当归四逆汤 C.乌头桂枝汤 D.当归生姜羊肉汤 21、外寒内饮挟热的咳喘宜选用： A.小青龙汤 B.小青龙加石膏汤 C.大青龙汤 D. 葶苈大枣泻肺汤 22、风水，脉浮身重，汗出恶风者，治宜用： A、桂枝加黄芪汤 B、越婢汤 C、防己茯苓汤 D、防己黄芪汤 23、“膈间支饮，其人喘满，心下痞坚，面色黧黑，其脉沉紧，得之数十日，医吐下之不愈”以何方主之： A.木防己汤 B.小青龙汤 C.苓桂术甘汤 D.甘遂半夏汤

土力学题库与答案

土力学题库与答案（一）判断题 1．土是由岩石经风化、剥蚀、搬运、沉积，形成的一种松散堆积物。（√） 2．土的沉积年代不同，其工程性质有很大的变化。（√） 3．土是岩石风化的产物。（√） 4．不同的风化作用形成相同性质的土。（×） 5．由于沉积年代不同、地质作用不同以及岩石成分不同，使各种沉积土的工程性质差异较大。（√） 6．风化作用是最普遍的一种地质作用，在地球上随时都在发生。（√） 7．风化作用在地表最强烈，随着深度的增加，其影响逐渐减少甚至消失。（√）8．物理风化作用使岩石产生机械破碎，化学成分也发生变化。（×） 9．物理风化作用在昼夜温差大的地方较为强烈。（√） 10．化学风化作用没有改变岩石的化学成分。（×） 11. 氧化作用是地表的一种普遍的自然现象，是物理风化作用的主要方式之一。（×） 12. 溶解作用的结果，使岩石中的易溶物质被逐渐溶解而随水流失，难溶物质则残留于原地。（√） 13. 硬石膏变成石膏的过程是化学风化作用的结果。（√） 14. 正长石通过物理风化作用变成了高岭石。（×） 15. 水解作用是水中的H+、OH—离子与岩石中的矿物发生化学反应形成新的矿物的作用。（√） 16.土的三相比例指标可分为两种，一种是试验指标，一种是换算指标。（√） 17.土的固体颗粒构成土的骨架，骨架之间存在大量孔隙，孔隙中填充着液态水和气体。（√） 18.土中固体颗粒的大小、形状、矿物成分及粒径大小的搭配情况，是决定土的物理力学性质的主要因素。（√） 19.自然界中土颗粒都是由大小不同的土粒所组成，土的粒径发生变化，其主要性质也发生相应变化。（√） 20.良好的级配指粗颗粒的孔隙恰好由中颗粒填充，中颗粒的孔隙恰好由细颗粒填充，如此逐级填充使砂形成最松散的堆积状态。（×） 21.土中的自由水包括毛细水和结合水。（×） 22.砂土的不均匀系数C u的计算公式为d30/d60。（×） 23.砂土的曲率系数C C的计算公式为d602/（d10×d30）。（×） 24.土体都是由原生矿物组成的。（×） 25. 土体中常见的原生矿物石英、长石、云母、角闪石、辉石等。（√）

《金匮要略》试题及答案

山东中医药大学2014年《金匮要略》考试试卷姓名________________专业_________________年级__________________ 一、单项选择题（1分*20=20分） 1、我国现存最早的一部治疗杂病的专书是（） A、《伤寒论》 B、《金匮要略方论》 C、《诸病源候论》 D、《千金要方》 2、“脉得诸沉，当责有水”，是用脉象来（） A、指导辨证 B、指出某一病证主脉 C、言病因病机 D、言病位 3、摄精神饮食，注意身体锻炼，属于（） A、未病先防 B、既病防传 C、一般治疗 D、以上都不是 4、《金匮要略》中论述杂病总的病因病机是（） A、五脏元真通畅 B、厥阳独行 C、客气邪风 D、五邪 5、太阳病，关节疼痛而烦，脉沉而细，此为（） A、风痹 B、湿痹 C、血痹 D、历节 6、防己黄芪汤治疗湿病的证型是（） A、风湿在表 B、寒湿在表 C、风湿兼气虚 D、风湿兼阳虚 7、百合病的病机是（） A、心脾两虚 B、心肾不交 C、肝肾亏虚 D、心肺阴虚内热 8、狐惑病酿脓，可选何方治疗（） A、甘草泻心汤 B、赤小豆当归散 C、苦参汤 D、雄黄散 9、中风病的典型症状是（）

A、但臂不遂 B、肢体麻木 C、昏不识人 D、半身不遂 10、张某，风湿病四年。现患者身体消瘦，右膝、踝关节肿大明显，无明显疼痛，胃纳欠佳，口干欲饮，舌红少苔，脉细略数。治疗宜选用（） A、黄芪桂枝五物汤 B、桂枝附子汤 C、桂枝芍药知母汤 D、乌头汤 11、血痹的主要症状是（） A、肢体疼痛 B、肢体困重 C、肢体麻木 D、肢体萎软 12、虚劳病发展到一定阶段，往往以何脏证候表现较为明显（） A、心脾 B、肺脾 C、脾肾 D、心肾 13、虚劳腰痛，治宜（） A、麦味地黄丸 B、六味地黄丸 C、七味都气丸 D、八味肾气丸 14、虚寒肺痿治疗方选（） A、小半夏汤 B、麦门冬汤 C、甘草干姜汤 D、半夏泻心汤 15、下列哪项药物不属于越婢加半夏汤的组成（） A、麻黄、石膏 B、生姜、半夏 C、甘草、大枣 D、桂枝、甘草 16、胸痹心痛的病机是（） A、百脉一宗 B、胃强脾弱 C、阳微阴弦 D、正气引邪 17、患者腹满，喜温喜按，辨证当属（） A、实热 B、寒实 C、虚寒 D、虚热 18、患者阿某，腹满拒按，按之则痛，心烦口苦，寒热往来，大便干结，舌苔黄，脉弦有力。治宜（） A、大承气汤 B、小承气汤 C、厚朴三物汤 D、大柴胡汤 19、肝着的病机是（）

浅谈常微分方程的数值解法及其应用[文献综述]

毕业论文文献综述信息与计算科学浅谈常微分方程的数值解法及其应用一、前言部分微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解.牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解. 后来瑞士数学家雅各布?贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论. 微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法.微分方程也就成了最有生命力的数学分支.总之，力学、天文学、几何学等领域的许多问题都导致微分方程.在当代，甚至许多社会科学的问题亦导致微分方程，如人口发展模型、交通流模型等.因而微分方程的研究是与人类社会密切相关的. [1] “常微分方程”是理学院数学系所有专业学生的重要专业基础课之一，也是工科、经济等专业必学内容之一.其重要性在于它是各种精确自然科学、社会科学中表述基本定律和各种问题的根本工具之一，换句话说，只要根据实际背景，列出了相应的微分方程，并且能（数值地或定性地）求出这种方程的解，人们就可以预见到，在已知条件下这种或那种“运动”过程将怎样进行，或者为了实现人们所希望的某种“运动”应该怎样设计必要的装置和条件等等.例如，我们要设计人造卫星轨道，首先，根据力学原理，建立卫星运动的微分方程，列出初始条件，然后求出解，即卫星运行轨道.随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展，微分方程的应用范围更广泛. [2]从数学自身的角度看，微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展.从这个角度说，微分方程变成了数学的中心. [3]总之，微分方程从它诞生起即日益成为人类认识并进而改造自然、社会的有力工具，成为数学科学联系实际的主要途径之一.文章就常微分的数值解法以及应用展开简单的论述。二、主体部分 2.1微分方程概念介绍

土力学模拟试题与答案定稿版

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一．单项选择题(每题2分, 共50分) 1．下列哪一项不是土的三相指标（C ） A. 含水量 B. 孔隙比 C. 塑性指数 D. 孔隙率 2. 对无粘性土的工程性质影响最大的因素是（B ）。 A. 含水量 B. 密实度 C. 矿物成分 D. 颗粒的均匀程度 3.在工程上，岩石是按什么进行分类（D ）。 A. 成因和风化程度 B. 坚固性和成因 C. 成因 D. 坚固性和风化程度 4.土体压缩变形的实质是（ A ） A. 空隙体积的减小 B. 土粒体积的压缩 C. 土中水的压缩 D. 土中气的压缩 5. 通过土粒承受和传递的应力称为（A ）。 A. 有效应力 B. 总应力 C. 附加应力 D. 孔隙水压力 6.在均质土层中，土的竖向自重应力沿深度的分布规律是(D) A．均匀的 B．曲线的 C．折线的 D．直线的 7.原状土试样的无侧限抗压强度与重塑土样的无侧限抗压强度之比称为土的(A ) A．灵敏度 B．强度提高系数 C．固结系数 D．液化指标 8. 已知砂土的天然孔隙比为e＝0.303，最大孔隙比＝0.762，最小孔隙比＝ 0.114，则该砂土处于(D )状态。 A. 密实 B. 中密 C. 松散 D. 稍密 9. 评价粘性土软硬状态的物理指标是（C ） A．含水量 B．孔隙比 C．液性指数 D．内聚力 10 .对于（D ），较易发生冲切剪切破坏。

A. 低压缩性土 B. 中压缩性土 C. 密实砂土 D. 软土 11.工程上控制填土的施工质量和评价土的密实程度常用的指标是(A) A. 有效重度 B. 土粒相对密度 C. 饱和重度 D. 干重度 12.当挡土墙后填土中有地下水时，墙背所受的总压力将(B ) A. 增大 B. 减小 C. 不变 D. 无法确定 13. 太沙基的地基极限承载力理论假设基础底面是 (A ) A．粗糙的条形面积 B．光滑的条形面积C．粗糙的矩形面积 D．光滑的矩形面积 14. 以下哪个不是地基剪切破坏的形式（C ） A. 整体剪切破坏 B. 局部剪切破坏 C. 脆性破坏 D. 冲剪破坏 15. 下列基础中，不属于深基础的是（D ） A. 沉井基础 B. 地下连续墙 C. 桩基础 D. 扩展基础 16.地基发生整体滑动破坏时，作用在基底的压力一定大于（ C ） A. 临塑荷载 B. 临界荷载 C. 极限荷载 D. 地基承载力 17.计算桩基沉降时，荷载应采用：(C ) A. 基本组合； B. 基本组合和地震作用效应组合； C. 长期效应组合； D. 标准组合和地震作用效应组合。 18．浅埋基础设计时，属于正常使用极限状态验算的是（ B ） A. 持力层承载力 B. 地基变形 C. 软弱下卧层承载力 D. 地基稳定性 19.下列基础中，（A ）通过过梁将上部荷载传给基础。 A. 墙下独立基础 B. 柱下条形基础 C. 柱下独立基础 D. 墙下条形基础 20. 相同荷载作用下，下列哪种土形成的地基最终沉降量最大（B ） A. 超固结土 B. 欠固结土 C. 正常固结土 D. 老固结土