圆锥曲线知识点梳理(文科)
高考数学圆锥曲线部分知识点梳理
一、圆：
1、定义：点集｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径.
2、方程：(1)标准方程：圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r 2 圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是x 2+y 2=r 2
(2)一般方程：①当D 2+E 2-4F ＞0时，一元二次方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为)2
,2(E
D --
半径是2
422F E D -+。配方，将方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0化为(x+
2D )2+(y+2
E )2=4
4F -E D 2
2+
②当D 2+E 2-4F=0时，方程表示一个点(-
2D ,-2
E );
③当D 2+E 2-4F ＜0时，方程不表示任何图形.
（3）点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0)，则｜MC ｜＜r ?点M 在圆C 内，｜MC ｜=r ?点M 在圆C 上，｜MC ｜＞r ?点M 在圆C 内，其中｜MC ｜=2
020b)-(y a)-(x +。
（4）直线和圆的位置关系：①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线与圆相交?有两个公共点；直线与圆相切?有
一个公共点；直线与圆相离?没有公共点。
②直线和圆的位置关系的判定：(i)判别式法；(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离2
2
B
A C Bb Aa d +++=
与半径r 的大小
关系来判定。
二、圆锥曲线的统一定义：
平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l 的距离之 比是一个常数e(e ＞0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l 称为准线，正常数e 称为离心率。当0＜e ＜1时，轨迹为椭圆；当e=1时，轨迹为抛物线；当e ＞1时，轨迹为双曲线。
三、椭圆、双曲线、抛物线：
椭圆双曲线抛物线
定义1．到两定点F1,F2的距离之和为
定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹
2．与定点和直线的距离之比为
定值e的点的轨迹.（0 1．到两定点F1,F2的距离之差的绝 对值为定值2a(0<2a<|F1F2|)的点 的轨迹 2．与定点和直线的距离之比为定值 e的点的轨迹.（e>1） 与定点和直线的距离相等的点的 轨迹. 轨迹条件点集：({M｜｜MF1+｜MF2｜ =2a,｜F 1F2｜＜2a＝ 点集：{M｜｜MF1｜-｜MF2｜. =±2a,｜F2F2｜＞2a}. 点集{M｜｜MF｜=点M到直线 l的距离}. 图形 方程 标准 方程 1 2 2 2 2 = + b y a x (b a>>0)1 2 2 2 2 = - b y a x (a>0,b>0)px y2 2= 范围─a x a，─b y b|x| a，y R x0 中心原点O（0，0）原点O（0，0） 顶点 (a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─ b) (a,0), (─a,0)(0,0) 对称轴 x轴，y轴； 长轴长2a,短轴长2b x轴，y轴; 实轴长2a, 虚轴长2b. x轴 焦点F1(c,0), F2(─c,0)F1(c,0), F2(─c,0))0, 2 ( p F 准线 x=± c a2 准线垂直于长轴，且在椭圆外. x=± c a2 准线垂直于实轴，且在两顶点的内 侧. x=- 2 p 准线与焦点位于顶点两侧，且到 顶点的距离相等. 焦距2c （c=2 2b a-）2c （c=2 2b a+） ⑶等轴双曲线：双曲线2 22a y x ±=-称为等轴双曲线，其渐近线方程为x y ±=，离心率2= e . ⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.λ=-2222b y a x 与λ -=-22 22b y a x 互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线： 02 22 2=- b y a x . ⑸共渐近线的双曲线系方程： )0(2 22 2≠=- λλb y a x 的渐近线方程为 02 22 2=- b y a x 如果双曲线的渐近线为 0=±b y a x 时，它的双曲线方程可设为 )0(2 22 2≠=- λλb y a x . 【备注2】抛物线： （1）抛物线 2y =2px(p>0)的焦点坐标是( 2 p ,0)，准线方程x=- 2 p ，开口向右；抛物线 2y =-2px(p>0)的焦点坐标是(- 2 p ,0)， 准线方程x= 2 p ，开口向左；抛物线2 x =2py(p>0)的焦点坐标是(0, 2 p )，准线方程y=- 2 p ，开口向上； 抛物线2 x =-2py （p>0）的焦点坐标是（0,- 2 p ），准线方程y= 2 p ，开口向下. （2）抛物线 2y =2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F 的距离2 0p x MF + =；抛物线2 y =-2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F 的距离 02 x p MF -= （3）设抛物线的标准方程为2y =2px(p>0)，则抛物线的焦点到其顶点的距离为 2 p ，顶点到准线的距离 2 p ，焦点到准线的距离 为p. （4）已知过抛物线 2y =2px(p>0)焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，则线段AB 称为焦点弦，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则弦长 AB =21x x ++p 或 α 2sin 2p AB = (α为直线AB 的倾斜角)，2 21p y y -=，2 ,41221p x AF p x x +==(AF 叫做焦半径). 四、常用结论： 1. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ ∠=，则椭圆的焦点三角形的面 积为1 2 2 tan 2 F PF S b γ ?=. 且 γ cos 122 21+= b PF PF 2.设P 点是双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上异于实轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点,记12F PF θ ∠=，则 (1)2 122||||1cos b PF PF θ = -.(2).2 cot 22 1θ b S F PF =? 3.)0(22≠=p px y 则焦点半径2P x PF +=;)0(22 ≠=p py x 则焦点半径为2 P y PF +=. 4. 通径为2p ，这是过焦点的所有弦中最短的.