数列知识点与常用解题方法归纳总结

数列知识点及常用解题方法归纳总结一、等差数列的定义与性质

定义： a n 1 a n d ( d为常数 ) ， a

n a1n 1 d

等差中项： x，A ， y成等差数

列2A x y

a1a n n n n1前 n项和 S n na1

2d

2

性质：a n是等差数列

（1）若 m n p q，则 a m a n a p a q；

（ 2）数列a2 n 1， a2 n， ka n b 仍为等差数列；

S n，S2 n S n，S3n S2n??仍为等差数列；

（ 3）若三个数成等差数列，可设为 a d，a，a d；

（ 4）若 a n， b n是等差数列 S n， T n为前 n项和，则a

m

S

2m1；

b m

T

2 m1

（ 5） a n为等差数列S n an2bn（ a， b为常数，是关于n的常数项为

0的二次函数）

S n的最值可求二次函数S n an2bn的最值；或者求出 a n中的正、负分界项，即：

当a10， d

a n0

0，解不等式组可得 S n达到最大值时的 n值。

a n10

当a10， d0，由a n0

可得 S n达到最小值时的 n值。

a n10

如：等差数列 a n， S n18，a n a

n 1

a

n 23，S31，则 n

（由 a n a

n 1

a

n 2 3 3a n 13，∴ a n 11

又 S a1a

3 · 3 3a2，∴a21

31

3 2

1

1 n

a 1

a n n a 2

a

n 1

· n

3

18

n 27）

∴ S n

2

2

2

二、等比数列的定义与性质

定义： a

n

1

q （ q 为常数， q

0）， a n a 1 q n 1

a n

等比中项： x 、G 、 y 成等比数列

G 2 xy ，或 G

xy

na 1 (q 1)

前n 项和： S n

a 1 1

q n 1)

（要注意 ! ）

1

(q

q

性质： a n 是等比数列

（1）若 m n p q ，则 a m · a n

a p ·a q

（ 2）S n ，S 2n S n ， S 3 n S 2 n ??仍为等比数列

三、求数列通项公式的常用方法

1、公式法

2、 由S n 求a n ；

（n

1时， a 1 S 1 ，n

2时， a n

S n S n 1）

3、求差（商）法

如： a n 满足 1

a 1

12 a 2

??

1

n a n

2n 5

1

2 2

2

1

解： n

1时， 2

a

1

2 1 5，∴ a 1

14

n 2 时，

1

1 a 2

??

1

a

n 1

2n 1 5

2

2

a

1

22

2 n 1

1

2 得：

1

a n 2 ， ∴ a n

2

n 1

， ∴ a n

14 (n 1)

2n 1

(n

2)

2 n

［练习］

数列 a n 满足 S n

S n 1

5

a n 1 ， a 1

4，求 a n

3

（注意到 a n 1

S n 1 S n 代入得：

S n 1

4

S n

又 S 1 4，∴ S n 是等比数列， S n

4 n

2

4、叠乘法

例如：数列 a n 中， a 1

a

n 1

n

3，

a n

n ，求 a n

1

解： a 2 · a 3 ?? a n

1 ·

2 ?? n 1 ，∴ a n

1

a 1

a 2

a

n 1

2

3

n

a 1 n

又 a 1

3，∴ a n

3 n

5、等差型递推公式

由a n

a n 1 f (n) ，a 1 a 0 ，求 a n ，用迭加法

n 2时， a 2

a 1 f (2)

a 3 a 2

f (3) 两边相加，得：

??

??

a n

a n

1

f (n)

a n a 1 f (2) f ( 3) ?? f ( n)

∴a n

a 0

f (2) f (3) ??

f (n)

［练习］

数列 a n ， a 1 1， a n 3n 1

a n 1 n 2 ，求 a n

（ a n

1

3n

1 ）

2

6、等比型递推公式

a n ca n 1

d c 、 d 为常数， c

0， c 1， d 0

可转化为等比数列，设 a n x

c a n 1

x

a n ca n 1 c 1 x

令 (c 1)x

d ，∴ x

d

c 1

∴ a n

d

d

1

是首项为 a 1

， c 为公比的等比数列

c

c 1

∴ a n

d a 1

c d · c n 1

c 1

1

∴ a n

a 1

d c n 1

d

［练习］

数列 a n 满足 a 1

9， 3a n 1

a n 4，求 a n

4

n 1

（a n

8

1）

3

7、倒数法

例如： a 1

1， a n 1

2a n

，求 a n

1

a n 2 1 1 a n

， 由已知得：

2 a n

2

a n 12a n

1

1 1 ，

1

为等差数列，

1

，公差为

1

a n

2

a n

a 1

2

a

n 1

1 1 n 1 ·

1 1

n 1

， ∴ a n

2

n

1

a n

2 2 三、 求数列前 n 项和的常用方法

1、公式法：等差、等比前

n 项和公式

2、裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。

n

1 如： a n 是公差为 d 的等差数列，求

k 1 a k a k

1

1

1

1 1

1 d

解： 由

a k a k

d

d a k a k 1

a k ·a k 1

n

1

n

1 1

1

∴

k 1

d a k

a

k 1

k 1

a k a k 1

1 1

1

1

1 ??

1 1

d a 1 a 2

a 2

a 3

a n

a

n 1

1 1 1

d a 1 a n 1

［练习］

求和： 1

1

1

??

1

1 2 1 2 3

1 2 3

?? n

（ a n

??

??， S n

2

1

）

n

1

3、错位相减法：

若 a n

为等差数列， b n 为等比数列，求数列

a n

b n （差比数列）前 n 项

和，可由 S qS 求 S ，其中 q 为 b 的公比。

如： S n12x3x 24x3??nx n 11

x· S n x 2x 23x 34x 4??n 1 x n 1nx n2 12： 1 x S n1x x 2?? x n 1nx n

x1时， S n 1x n

2

nx n 1x1x

x1时， S n123??n n n1

2

4、倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。

S n a1a2??

a

n 1

a

n 相加

S n a n a n 1??a2a1

2S n a1a n a2a n 1??a1a n??［练习］

已知 f (x)

x 2

，则 f (1) f (2)

1

f ( 3)

1

f (4) f

1 x 2

f f

4 123

2

x 2

1

x 2

（由 f ( x) f 1

x11

x 1 x 2

1

12 1 x2 1 x 2

x

∴原式 f (1) f (2)f 1

f (3)f

1

f (4)

1 23

f

4

1

1 1 1 31）

22

例 1设 { a n} 是等差数列，若 a2=3 ， a 7 =13 ，则数列 { a n} 前 8 项的和为（）A．128B． 80C．64 D ． 56 （福建卷第 3 题）

略解：∵ a2 +a 7= a 1 +a 8 = 16，∴ { a n} 前 8 项的和为64，故应选 C．

例 2已知等比数列{ a n } 满足 a1a2 3， a2 a3 6 ，则 a7（）

A． 64B． 81C． 128D． 243（全国Ⅰ卷第7 题）答案： A．

例 3已知等差数列a n中， a2 6 ， a515 ，若 b n a2n，则数列 b n的前 5 项和等于（）

A ．30

B ．45

C ． 90

D ．186 （北京卷第 7 题）

略解：∵ a

5 -a 2 =3d=9，∴ d=3 ，b 1= a

2 6 ， b 5 =a

10 =30 ， b 的前 5 项和等于

90，

n

故答案是 C ．

例 4 记等差数列的前 n 项和为 S n ，若 S 2

4,S 4 20 ，则该数列的公差 d （

）

A ． 2

B ． 3

C ． 6

D ． 7 （错误！未找到引用源。

第4题）

略解：∵ S 4 S 2 S 2 4d 12,d

3 ,故选 B.

例 5 在数列 { a n } 中， a n

4n

5 ， a 1 a 2 a n an 2 bn ， n

N * ,其中 a, b 为

常数，则 ab

2

．（安徽卷第 15 题）

答案：－ 1．

例 6 在数列 { a n } 中， a 1

2 ， a n 1

a n ln(1

1

) ，则 a n

（

）

n

A ． 2 ln n

B ． 2 ( n 1)ln n

C ． 2 nln n

D

． 1

n ln n （江西卷第 5 题）

答案： A ．

例 7 设数列 a n 中， a 1 2,a n 1 a n n 1 ，则通项 a n

___________．（四川卷第

16 题）

此题重点考查由数列的递推公式求数列的通项公式，抓住

a n

1

a

n

n 1中 a n 1 , a n 系

数相同是找到方法的突破口．

略解：∵

a 1 2, a n 1 a n n 1 ∴ a n a n 1 n 1 1 ， a n 1

a

n 2

n 2 1 ，

a n 2a

n

3

n 3 1，

， a 3 a 2 2 1， a 2 a 1

1 1 ， a 1

2 1

1．将以上各式相

加，得 a n

n 1 n 2

n 3 2 1

n 1 n 1 n

1 n n

1

n

2

1，故

2

应填 n(n

1) +1．

2

1

例 8 若 ( x + ) n 的展开式中前三项的系数成等差数列，则展开式中

x 4 项的系数为

2 x

( )

A ． 6

B ． 7

C ． 8

D ．9 ( 重庆卷第 10 题)

答案： B ．

使用选择题、 填空题形式考查的文科数列试题，

充分考虑到文、 理科考生在能力上的差

异，侧重于基础知识和基本方法的考查，

命题设计时以教材中学习的等差数列、 等比数列的

公式应用为主， 如，例 4 以前的例题． 例 5 考查考生对于等差数列作为自变量离散变化的一

种特殊函数的理解；例

6、例 7 考查由给出的一般数列的递推公式求出数列的通项公式的能

力；例 8 则考查二项展开式系数、等差数列等概念的综合运用．重庆卷第 1 题，浙江卷第 4

题，陕西卷第 4 题，天津卷第 4 题，上海卷第 14 题，全国Ⅱ卷第 19 题等，都是关于数列的

客观题，可供大家作为练习．

例 9 已知｛ a n ｝是正数组成的数列，

a 1=1，且点（

a n , a n 1 ）（ n N* ）在函数 y=x 2+1

的图象上 . (Ⅰ )求数列｛ a n ｝的通项公式； (Ⅱ )若数列｛ b n ｝满足 b 1=1 ， b n+1=b n + 2a n ，求证：

b n · b n+2＜ b 2n+1. （福建卷第

20 题）

略解：（Ⅰ）由已知，得

a n+1-a n =1，又 a 1 =1,所以数列｛ a n ｝是以 1 为首项，公差为

1 的

等差数列．故 a n =1+( n-1) × 1=n.

n

，b n 1）+b 1 n-1 n-2

n ，

n+1 n

n n-1 n-1 n-2 )+

2 =2 +2 +?

(Ⅱ )由（Ⅰ）知，a =n 从而 b

-b =2

=( b -b )+( b -b ? +（b -b

2

2

+2+1=2 n -1．∵ . b n ?b n+2-b n 1 =(2 n -1)(2n+2 -1)-(2n+ 1-1) 2= -2

n

＜ 0, ∴ b n · b n+2＜ b n 1 ．

对于第（Ⅱ）小题，我们也可以作如下的证明：

2

n

n+1 2

n+1 n

n

n+1

n

n+1

）

∵ b 2=1,b n ·b n +2- b n 1 =( b n+1-2 )(b n+1+2 )- b n 1 =2

·b n+1-2

·b n +1-2 ·2 ＝ 2（ b n+1-2

=2n （ b n +2n -2n+1） =2n （ b n -2n ） =?=2n （ b 1-2） =-2 n <0，∴ b n -b n+2

n+1.

例 10

在数列 a n 中， a 1

1， a n 1

2a n 2

n

．（Ⅰ）设

b n

a n

．证明：数列

b n

n 1

2

是等差数列；（Ⅱ）求数列

a n 的前 n 项和 S n ．（全国Ⅰ卷第

19 题）

略解：（Ⅰ） b n

b n =

a

n 1 a n a

n 1

2a n

= 2n

=1，则 b n

为等差数列， b 1

1，

1

n

n 1 =

n

2 n

2 2

2

b n n ， a n n2n 1 ．

（ Ⅱ

）

S n 1 20 2 21

(n 1) 2n 2 n 2n 1

，

2S n 1 21 2 22

(n 1) 2n 1

n 2n

．两

式

相 减

，

得

S n n 2n

1 20 21

2n 1

n 2n

2n 1 = (n 1)2n 1 ．

对于例 10 第（Ⅰ）小题，基本的思路不外乎推出后项减前项差相等， 即差是一个常数． 可

以用迭代法， 但不可由 b 2-b 1=1，b 3 -b 2 =1 等有限个的验证归纳得到

b n 为等差数列的结论，

犯“以偏盖全”的错误．第（Ⅱ）小题的“等比差数列” ，在高考数列考题中出现的频率很

高，求和中运用的“错项相减”的方法，在教材中求等比数列前 n 项和时给出，是“等比差数列” 求和时最重要的方法．一般地，数学学习中最为重要的内容常常并不在结论本身，而在于获得这一结论

的路径给予人们的有益启示．

例 9、例 10 是高考数学试卷中数列试题的一种常见的重要题型，类似的题目还有浙江卷第 18 题，江苏卷第 19 题，辽宁卷第 20 题等，其共同特征就是以等差数列或等比数列为 依托构造新的数列． 主要考查等差数列、 等比数列等基本知识，考查转化与化归思想， 考查 推理与运算能力．考虑到文、理科考生在能力上的差异，

与理科试卷侧重于理性思维，

命题

设计时以一般数列为主， 以抽象思维和逻辑思维为主的特点不同； 文科试卷则侧重于基础知识和基本方法的考查，以考查具体思维、演绎思维为主．

例 11 等差数列

{a n } 的各项均为正数， a 1 3 n 项和为 S n { b n } 为等比数列 , b 1 1 ，

，前 ， 且 b 2 S 2 64, b 3S 3

1 1

1

19

960 ． (Ⅰ )求 a n 与 b n ； (Ⅱ ) 求和：

S 2

．（江西卷第

S 1

S n

题）

略解： (Ⅰ )设 { a n } 的公差为 d ， {b n } 的公比为 q ，依题意有

S 2b 2

(6 d) q 64,

S 3b 3

(9

2

960.

3d )q

d

2,

d

6 ,

5

( 舍去，为什么？ ) 故 a n

3 2(n

1) 2n 1, b

n 8

n

1 ．

解之，得

q 或

8;

40

q.

3

（

Ⅱ

）

S n

3

5

n (

，

∴

n

n

1 1 1 1 1 1

1 1

(1 1 1 1 1 1

S 1 S 2

S n

132435

n(n 2)

2

32435

1 1 )

1

(1 1 1 1 ) 3

2n 3 2)

．

n

n 2

2 2

n 1

n 2

4 2(n 1)(n “裂项相消”是一些特殊数列求和时常用的方法．

使用解答题形式考查数列的试题，

其内容还往往是一般数列的内容， 其方法是研究数列

通项及前 n 项和的一般方法， 并且往往不单一考查数列， 而是与其他内容相综合，

以体现出

对解决综合问题的考查力度． 数列综合题对能力有较高的要求，

有一定的难度， 对合理区分

较高能力的考生起到重要的作用．

例 12 设数列

a n 的前 n 项和为 S n

2a n

2n

（， Ⅰ）求 a 1, a 4 ；（Ⅱ）证明：

a

n 1

2a n

是等比数列；（Ⅲ）求

a n 的通项公式．（四川卷第

21 题）

略 解 ：（ Ⅰ ） ∵ a 1

S 1,2 a 1 S 1 2 ， 所 以 a 1 2, S 1

2 ． 由 2a S

2n

知 ，

n n 2a n 1 S n 1

2n 1

a n 1 S n

2n 1

得

，a n 1 S n

2n 1

① ∴

a 2 S 1 22 2 22

6, S 2 8

，

a 3

S 2 23

8 23 16, S 3 24

，

a 4

S 3 24

40 ．

（Ⅱ）由题设和①式知，

a n

1

2a n S n

2n 1

S n

2n

2n 1

2n

2n ， ∴

a n 1

2a

n

是首项为 2，公比为 2 的等比数列．

（Ⅲ）

a n a n 2a n 1 2 a n 1 2a n 2

2n 2 a 2 2a 1

2n 1 a 1 n 1 2n 1

此题重点考查数列的递推公式， 利用递推公式求数列的特定项，

通项公式等． 推移脚标，

两式相减是解决含有 S n 的递推公式的重要手段，使其转化为不含

S n 的递推公式，从而有针

对性地解决问题．在由递推公式求通项公式时，首项是否可以被吸收是易错点．同时， 还应

注意到题目设问的层层深入，前一问常为解决后一问的关键环节，为求解下一问指明方向．

例 13 数列 a n 满足 a 1

0, a 2

2, a n 2 (1 cos 2

n

)a n 4sin

2

n

, n

1,2,3, ,

2

2

（I ）求

a 3 ,a 4 ，并求数列

a n

的通项公式；（II ）设

S k a 1 a 3

a k2

，

1

T k a 2 a 4

a 2k ， W k

2S k (k N ) ，求使 W k 1的所有 k 的值，并说明理由．（湖

2 T k

南卷第 20 题）

略解：（ I ）

a 3 (1 cos 2

)a 1 4sin 2 a 1 4 4, a 4 (1 cos 2 ) a 2 4sin 2

2a 2 4,

2

2

一般地 , 当 n = 2k 1(k N ) 时，

a

2k

1

[1 cos 2 (2 k 1) ] a 2k 1

4sin 2 (2 k

1) a

2 k 1

4, 即 a 2 k 1

a

2k 1

4.

2

2

所 以 数 列 a 2 k 1 是首项为 0、公差为 4

的 等 差 数 列 ， 因 此 a 2k 1 4(k 1). 当

n = 2k (k N ) 时， a 2k

2 (1 cos 2

2k

)a 2k 4sin 2 2k

2a 2k , 所以数列

a

是首项

2 2

2k

为 2、公比为 2

的 等 比 数 列 ， 因 此 a 2k

2k . 故 数 列 a n

的通项公式为

a n

2 (n

1 )n,

k2

k1 ( N

) ,

n

22 ,n

2k (k N ) .

（II ）由（ I ）知，

S k a 1 a 3 a 2k 1

=

0 4 4( k 1) 2k (k 1), T k

a 2 a 4

a

2k

2 22

2k

2k 1

2, W k

2S k k( k 1) .

2 T k

2k

1

于是， W 1

0, W 2 1, W 3

3

, W 4

3

, W 5

5

, W 6 15 .

2

2

4 16

下面证明: 当

k 6

时 ，

W k 1.事实上,

当 k 6

时 ，

W

k 1

W k (k 1)k

k(k 1)

k(3 k ) 0, 即 W k

W k . 又 W 6 1, 所以当 k

6 时，

2k

2k 1

2k

1

W k 1. 故满足 W k1的所有k的值为3,4,5.

数列知识点回顾

第一部分：数列的基本概念

1．理解数列定义的四个要点

⑴数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序” ，而不强调有“规律”．因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列．

⑵在数列中同一个数可以重复出现．

⑶项 a n与项数 n 是两个根本不同的概念．

⑷数列可以看作一个定义域为正整数集 (或它的有限子集 )的函数当自变量从

小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列．

2．数列的通项公式

一个数列 { a n } 的第 n 项 a n与项数 n 之间的函数关系，如果用一个公式

a n = f (n)来表示，就把这个公式叫做数列{ a n } 的通项公式。若给出数列 { a n } 的通项公式，则这个数列是已知的。若数列{ a n } 的前 n 项和记为 S n，则 S n与 a n

S1 ,n1的关系是： a n =

S n 1 . n 。

S n2

第二部分：等差数列

1．等差数列定义的几个特点：

⑴公差是从第一项起，每一项减去它前一项的差(同一常数 )，即 d = a n－

a n 1 (n≥2)或 d = a n 1－a n (n N )．

⑵要证明一个数列是等差数列，必须对任意 n N ，a n－ a n 1 = d (n≥2)或

d = a n 1－ a n都成立．一般采用的形式为：

①当 n≥2时，有 a n－a n 1 = d (d 为常数 )．

②当 n N时，有 a n 1－a n = d (d 为常数 )．

③当 n≥2 时，有 a n 1－a n = a n－ a n 1成立．

若判断数列 { a n } 不是等差数列，只需有a3－a 2≠ a 2－a 1即可．

2．等差中项

若 a、A 、b 成等差数列，即 A= a b

，则 A 是 a 与 b 的等差中项；若 A=

a

b ，

22

则 a、A 、b 成等差数列，故A= a b

是a、A、b成等差数列，的充要条件。由2

于 a n = a

n 1

a

n 1，所以，等差数列的每一项都是它前一项与后一项的等差中项。

2

3．等差数列的基本性质

⑴公差为 d 的等差数列，各项同加一数所得数列仍是等差数列，其公差仍为d．

⑵公差为 d 的等差数列，各项同乘以常数k 所得数列仍是等差数列，其公差为kd．

⑶若 { a n } 、{ b n } 为等差数列，则 { a n±b n } 与{ka n＋b}(k 、b 为非零常数 )也是等差数列．

⑷对任何 m、n N ，在等差数列 { a n } 中有： a n = a m + (n－ m)d，特别地，

当 m = 1 时，便得等差数列的通项公式，此式较等差数列的通项公式更具有一般性．

⑸、一般地，如果 l，k，p，?， m，n，r，?皆为自然数，且l + k + p + ?=m + n + r + ?（两边的自然数个数相等），那么当 {a n } 为等差数列时，有：a l +

a k + a p + ? = a m + a n + a p + ?．

⑹公差为 d 的等差数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等差数列，其公差为 kd( k 为取出项数之差 )．

⑺如果 { a n } 是等差数列，公差为d，那么， a n， a n 1，?， a 2、a 1也是等差数列，其公差为－ d；在等差数列 { a n } 中，a m l－a l = a m k－ a k = md ．(其中m、 k、l N )

⑻在等差数列中，从第一项起，每一项 (有穷数列末项除外 )都是它前后两项的等差中项．

⑼当公差 d＞0 时，等差数列中的数随项数的增大而增大；当 d＜ 0 时，等差数列中的数随项数的减少而减小； d＝0 时，等差数列中的数等于一个常数．

⑽设 a l，a m，a n为等差数列中的三项，且a l与 a m，a m与 a n的项距差之比

l m

=（≠－ 1），则 a m =a l a n

．

m n1

4．等差数列前 n 项和公式 S n = n(a

1

a

n

)

与 S n = na1＋

n(n1)

d 的比较

22

前 n 项和公式公式适用范围相同点

n( a 1 a n )

用于已知等差数列的首项和末项

都是等差数

列的前 n 项 S n =

2

和公式

S n = na 1

＋ n(n 1) d

用于已知等差数列的首项和公差

2

5．等差数列前 n 项和公式 S n 的基本性质

⑴数列 { a n } 为等差数列的充要条件是：数列 { a n } 的前 n 项和 S n 可以写成

S n = an 2 + bn 的形式 (其中 a 、b 为常数 )．

⑵在等差数列 { a

n }

中，当项数为 2n (n N * ) 时，

－S

，

S

奇

a n ；

S 偶

奇

= nd

=

S 偶

a n

1

当项数为 (2n － 1) (n N )时， S 偶 － S 奇 = a n

，

S

奇

=

n ．

S 偶

n 1

⑶若数列 { a n } 为等差数列，则 S n ， S 2n －S n ，S 3n －S 2 n ，?仍然成等差数列，公差为 n 2d ．

⑷若两个等差数列 { a n } 、 { b n } 的前 n 项和分别是 S n 、 T n (n 为奇数 )，则

S

n

=

a n

1

2

．

T n b n 1

2

⑸在等差数列 { a n } 中， S n = a ，S m = b (n ＞m)，则 S m n =

n

m

(a －b)．

n m

S n 是 n 的一次函数，且点（ n ，

S n ）均在直线 y =

d ⑹等差数列 {a n } 中， n

x

n

2

+ (a 1 － d

)上．

2

⑺记等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ．①若 a 1 ＞0，公差 d ＜ 0，则当 a n ≥ 0 且 a n 1 ≤0 时， S n 最大；②若 a 1 ＜0 ，公差 d ＞ 0，则当 a n ≤0 且 a n 1 ≥0 时，

S n 最小．

第三部分：等比数列

1．正确理解等比数列的含义

12

⑴q 是指从第 2 项起每一项与前一项的比， 顺序不要错，即 q =

a n

1

(n N )

a n

或 q =

a n

≥ ．

a n

(n 2)

1

⑵由定义可知，等比数列的任意一项都不为 0，因而公比 q 也不为 0．

⑶要证明一个数列是等比数列， 必须对任意 n

N

，

a

n 1

；或 a n

= q (n a n

= q

a n 1

≥ 2)都成立．

2．等比中项与等差中项的主要区别

如果 G 是 a 与 b 的等比中项，那么

G

b ，即 G

2

， G = ±

ab ．所以，

a =

= ab

G

只要两个同号 的数才有等比中项， 而且等比中项有两个， 它们互为相反数； 如果

．．

A 是 a 与 b 的等差中项，那么等差中项 A 唯一地表示为 A=

a

b

，其中， a 与

b

2

没有同号 的限制．在这里，等差中项与等比中项既有数量上的差异，

又有限制条

．．

件的不同．

3．等比数列的基本性质

⑴公比为 q 的等比数列，从中取出等距离的项， 构成一个新数列， 此数列仍

是等比数列，其公比为 q m ( m 为等距离的项数之差 )．

⑵对任何 m 、n

N ，在等比数列 { a n } 中有：

· n m

，特别地，当

a n = a m q m = 1 时，便得等比数列的通项公式， 此式较等比数列的通项公式更具有普遍性．⑶一

般地，如果 t ， k ， p ，?， m ， n ， r ，?皆为自然数，且 t + k ， p ，?，

m + ? = m + n + r + ? (两边的自然数个数相等 )，那么当 {a n } 为等比数列时，有： a t ．a k ．a p ．? = a m ．a n ． a p ．? ．．

⑷若 { a n } 是公比为 q 的等比数列，则 {| a n |} 、{a 2n } 、{ka n } 、{

1

} 也是等

a n

比数列，其公比分别为 | q |}、{q 2

} 、{q} 、{ 1

} ．

q

⑸如果 { a n } 是等比数列，公比为 q ，那么， a 1 ， a 3 ，a 5 ，?， a 2 n 1 ，?是

以 q 2 为公比的等比数列．

⑹如果 { a n } 是等比数列，那么对任意在 n N ，都有 ·

2

·2 ＞0．

a n a n 2 = a n q

数列的公比的积．

⑻当 q ＞1 且 a 1 ＞0 或 0＜q ＜1 且 a 1 ＜0 时，等比数列为递增数列； 当 a 1 ＞ 0 且 0＜q ＜1 或 a 1 ＜0 且 q ＞1 时，等比数列为递减数列； 当 q = 1 时，等比数列

为常数列；当 q ＜0 时，等比数列为摆动数列．

4．等比数列前 n 项和公式 S n 的基本性质

⑴如果数列 {a n } 是公比为 q 的等比数列，那么，它的前 n 项和公式是

na 1 , 当 q 1时 ,

S n

=

a 1 (1 q n )

, 当 q 1 时 .

1 q

也就是说，公比为数值，分段的界限是在弄清公比 q 是可能等于 ≠ 1 进行讨论．

q 的等比数列的前 n 项和公式是 q 的分段函数的一系列函

q = 1 处．因此，使用等比数列的前 n 项和公式，必须要 1 还是必不等于 1，如果 q 可能等于 1，则需分 q = 1 和 q

⑵当已知 a 1 ，q ，n 时，用公式 S n =

a 1

(1

q n )

；当已知 a 1 ，q ，a n 时，用

1 q

公式 S n =

a 1

a n q

．

1

q

⑶若 S n 是以 q 为公比的等比数列，则有 S n m = S m ＋qS n ．⑵

⑷若数列 { a n } 为等比数列，则 S n ， S 2n －S n ，S 3n －S 2 n ，?仍然成等比数

列．

⑸若项数为 3n 的等比数列 (q ≠－ 1)前 n 项和与前 n 项积分别为 S 1 与 T 1 ，次 n 项和与次 n 项积分别为 S 2 与 T 2 ，最后 n 项和与 n 项积分别为 S 3 与 T 3 ，则 S 1 ， S 2 ，S 3 成等比数列， T 1 ，T 2 ，T 3 亦成等比数列．

二、难点突破

1．并不是所有的数列都有通项公式，一个数列有通项公式在形式上也不一定唯一．已知一个数列的前几项，这个数列的通项公式更不是唯一的．

2．等差 (比)数列的定义中有两个要点：一是“从第 2 项起”，二是“每一项与它前一项的差 (比 )等于同一个常数” ．这里的“从第 2 项起”是为了使每一项 与它前面一项都确实存在，而“同一个常数”则是保证至少含有 3 项．所以，一 个数列是等差 (比)数列的必要非充分条件是这个数列至少含有 3 项．

3．数列的表示方法应注意的两个问题：⑴

{ a n } 与 a n 是不同的，前者表示

数列 a1，a 2，?，a n，?，而后者仅表示这个数列的第n 项；⑵数列 a1，a 2，?，

a n，?，与集合 { a 1，a 2，?， a n，?， } 不同，差别有两点：数列是一列有序

排布的数，而集合是一个有确定范围的整体；数列的项有明确的顺序性，而集合的

元素间没有顺序性．

4．注意设元的技巧时，等比数列的奇数个项与偶数个项有区别，即：

⑴对连续奇数个项的等比数列，若已知其积为 S，则通常设?， aq 2， aq 1，

a，aq， aq2，?；

⑵对连续偶数个项同号的等比数列，若已知其积为 S，则通常设?，aq 3， aq 1，

．．

aq， aq3，?．

5．一个数列为等比数列的必要条件是该数列各项均不为 0，因此，在研究等比

数列时，要注意 a n≠0，因为当 a n = 0 时，虽有 a2n = a n 1·a n 1成立，但{a n }

不是等比数列，即“ b 2 = a ·c”是 a、b、 c 成等比数列的必要非充分条件；对比等

差数列 {a n } ，“2b = a + c”是 a、b、 c 成等差数列的充要条件，这一点同学们

要分清．

6．由等比数列定义知，等比数列各项均不为 0，因此，判断一数列是否成等比数列，首先要注意特殊情况“0”．等比数列的前n 项和公式蕴含着分类讨论思想，需分分 q = 1 和 q≠1 进行分类讨论，在具体运用公式时，常常因考虑不周而出错．

数列基础知识定时练习题

（满分为100 分 +附加题 20 分，共 120 分；定时练习时间120 分钟）

一、选择题（本大题共 15 小题，每小题 3 分，共 45 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的）

1．下列四个数中，哪一个是数列{ n( n1) } 中的一项（）

（A ） 380（ B）39（C）35（D ）23 2．在等差数列{ a n}中，公差d 1 ，a4a17 8 ，则 a2a4 a6a20的值为（）（A）40（B）45（C）50（D）55 3．一套共 7 册的书计划每 2 年出一册，若各册书的出版年份数之和为13979，则出齐这套书的年份是（）

4．一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项和的 2 倍，又它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为（）

（A）12（B）10（C）8（D）6

5．已知 1 是a2与b2的等比中项，又是1

与

1

的等差中项，则a b的值是（）a b a2 b 2

（A）1 或1

（B）1 或1（C）1 或

1

（D）1 或1 2233

6．首项为－ 24 的等差数列，从第 10 项开始为正，则公差d的取值范围是（）

（A ）d8（ B）d 3（ C）8

≤d 3（D）

8

d ≤3

333

7．如果 -1 ，a,b,c ,-9 成等比数列，那么（）

（ A）b=3, ac=9(B) b=-3,ac=9(C)b=3, ac=-9(D)b=-3, ac=-9

8．在等差数列｛ a n｝中，已知 a 1 =2,a 2 +a 3 =13 ，则 a 4 +a 5 +a 6等于（）

A.40

B.42

C.43

D.45

9．已知某等差数列共有10 项，其奇数项之和为 15，偶数项之和为30，则其公差为（）

A.5

B.4

C. 3

D. 2

10．若互不相等的实数a,b, c 成等差数列，c,a,b 成等比数列，且a3b c10 ，则a （）

A． 4B． 2C．－ 2D．－ 4

11．在等比数列｛a n｝中，a1＝ 1， a10＝ 3，则 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 =（）

A. 81

B.27 527

C.3

D. 243

12．在等比数列a n中 , a1 2 ,前 n 项和为 S n,若数列a n1 也是等比数列,则 S n等于（）

(A) 2n12(B)3n(C)2n(D)3n1

【点评】本题考查了等比数列的定义和求和公式，着重考查了运算能力。

13．设

a n是公差为正数的等差数列，若 a a a15 ，a a a80 ，则 a a a 123 1 2 312131

（）

A．120B． 105C． 90D． 75 14．设S n是等差数列a n的前 n 项和，若S7 35 ，则 a4（）A．8B． 7C． 6D． 5

15．设S n是等差数列｛a n｝的前n项和，若S31

，则

S6

）＝＝（

S63

S

12

（）3

（）

1

（）

1

（）

1

A

10B3C8D9二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共15 分 .把答案填在题中横线上）

1．在数列{ a n}中，a n1，且 S n 9

，则 n．

n n1

2．等比数列{ a n}的前三项为x，2x 2 ， 3x3，则a4

3．若数列a n满足：a11, a n 12a n .n1， 2， 3? . 则a1a2a n. 4．设S n为等差数列a n的前 n 项和，S＝ 14， S10－S＝ 30，则 S9＝.

47

5．在数列{ a n}中，若a11， a n 1a n2(n1) ，则该数列的通项a n。

三、解答题（本大题共 4 小题，每小题10 分，共40 分）

1．已知a n为等比数列，a32, a2a420

，求a n的通项式。3

2．设等比数列a n的前 n 项和为S n，S41, S817,求通项公式 a n?

3．已知正项数列{a n}，其前n项和S n满足

2

10S n=a n +5a n+6 且 a1,a3,a15成等比数列，求数列

{a n} 的通项 a n .

4．数列

a n的前 n 项和记为 S n , a11, a n 12S n 1 n1（Ⅰ）求a n的通项公式；

（Ⅱ）等差数列n 的各项为正，其前

n 项和为

T n

，且

T3 15

，又11 233

b

b a b , a2b ,a

成等比数列，求T n

本小题主要考察等差数列、等比数列的基础知识，以及推理能力与运算能力。满分12分。

1. A

2.B

3.D

4.C

5.D

6.D

7.B

解：由等比数列的性质可得

ac ＝（－ 1）×（－ 9）＝ 9，b × b ＝ 9 且 b 与奇数项的符号相同，

故 b ＝－ 3，选 B 8.B

解：在等差数列 a n 中，已知 a 1 2,a 2 a 3 13,∴ d=3，a 5=14 ， a 4 a 5 a 6 =3a 5=42，选 B.

9.C

5a 1 20d 15 10. D

解：

25d

d 3 ，故选 C.

5a 1 30

解：由互不相等的实数 a,b, c 成等差数列可设 a ＝ b －d ， c ＝ b ＋ d ，由 a 3b c 10 可得 b

＝2，所以 a ＝ 2－ d ，c ＝ 2＋ d ，又 c, a, b 成等比数列可得 d ＝ 6，所以 a ＝－ 4，选 D

11.A

解：因为数列｛ a n ｝是等比数列，且

a 1＝ 1， a 10＝ 3，所以 a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9 ＝

（a 2a 9）（a 3a 8）（ a 4a 7）（ a 5a 6）＝（ a 1a 10） 4＝ 34＝ 81，故选 A 12.C

【解析】因数列

a n 为等比，则 a n 2q n 1 ，因数列 a n 1 也是等比数列，