电动力学《电磁现象的普遍规律》习题附答案

1. 半径为a的球形区域充满分布不均匀的体密度电荷，设其体密度为ρ（r）。若已知电场分布为

(r3+Ar2) r≤a

(a5+Aa4)r-2 r>a

式中的A为常数，试求电荷体密度ρ（r）。

解 0

[]Ar

r>a ()()

[]0

?-r

是一个电荷球体，球电荷密度()Ar

=ε

总的电荷量()

[]()4

4Aa

Q a+

=?πε

因此球外电场为

E r

πε

2. 海水的电导率σ=4 S/m,相对介电常数εr=81。求频率f=1MH z时，海水中的位移电流与传导电流的振幅之比。

解设传导电流密度cos

J E J t

σω

位移电流2

00sin

r r

D m

D J

J J t A m

t t

εεωεε

σσ

===-

612

2108.85104

ωεεπ

????

3. 自由空间的磁场强度为H=e x H m cos(ωt-kz)A/m,式中的k为常数。试求位移电流密度和电场强度。

()sin x x D y z m y H H D

J H e e

kH t kz e t z y

ω???=

=??=-=-??? ()00

sin m y E H kH t kz e t ωεε?=??=-? 对t 积分得()01

cos m y E kH t kz e ωεω

4. 铜的电导率σ=

5.8×107

S/m ，相对介电常数εr =1。设铜中的传导电流密度为J =e x J m cosωt A/m 2

。试证明在无线电频率围铜中的位移电流与传导电流相比是可以忽略的。由J E σ=得J

E σ

位移电流200sin D m D J

J J t A m t t εωεωσσ

??=

==-??

1207

8.85101

5.810r D J J ωεεωσ-???==?

5. 正弦交流电压源u=U m sinωt 连接到平行板电容器的两个极板上，如图所示。（1）证明电容器两极板间的位移电流与连接导线中的传导电流相等；（2）求导线附近距离连接导线为r 处的磁场强度。

1）t u d t E J D ??=??=00

εε t

d S t E S SJ I D D ??=

??==00εε

c=S ε0/d

电容极板上的电荷为uc Q =

导线中的电流等于极板上电荷的减少dt

I = 2）

6.在无源（J =0、ρ=0）的电介质中（σ=0）中，若已知矢量

E =e x E m cos(ωt -kz)V/m ,式中的E m 为振幅、ω为角频率、k 为相位常数。在

什么条件下，E 才可能是电磁场的电场强度矢量？求出与E 相应的其它矢量。

E B B E t

B E ??=??=??=????-=??εμ

由B E t ???=-

?求出()sin x y m y E B

E e kE t kz e t z ω??=-??=-=--?? 积分得()cos m y k

B E t kz e ωω

()2

11sin y x m x B E k B e E t kz e t z ωεμεμω

??=??==-?? 积分得()2

1cos m x k E E t kz e ωεμω

比较题中()cos m x E E t kz e ω=-

得

11k εμω

7. z<0的区域的媒质参数为ε1=ε0、μ1=μ0，σ1=0；z>0的区域的媒质参数为ε2=5ε0、μ2=20μ0、σ2=0。若媒介1中的电场强度为

E 1(z,t)=e x [60cos(15×108t-5z)+20cos(15×108t+5z)] V/m

媒介2中的电场强度为

E 2(z,t)=e x Acos(15×108

t-50z) V/m (1)试确定常数A 的值

(2)求磁场强度H 1(z,t)和H 2(z,t) (3)验证H 1(z,t)和H 2(z,t)满足边界条件

解 1)这是两种电介质(σ=0)的分界面，在分界面z=0处，有

()()()()88

810,60cos 151020cos 151080cos 1510x x E t e t t e t V m ??=?+?=???

()()

820,cos 1510x E t e A t V m =?

两种电介质分界面上E 的切向分量连续，得A=80V/m 2)应用B

E t

???=-

?得 ()()11111118801110

300sin 15105100sin 15105x

y z

y x y

e e e E H E e t x

y z z E e t z t z μμμμ???

??=-??=-=-???????

=-?--?+?

积分得

()()7878

1012210cos 1510510cos 151053y

H e t z t z A m μ--??=??--??+????

同理由

2221

H E t μ

?=-???得 ()

7820

410cos 151053y

H e t z A m μ-=??-

3)在z=0处

()()()()

787810780

120,210cos 151010cos 15103410cos 15103y y

H t e t t e t A m

μμ---??=??-??????

=??

()()

7820

40,10cos 15103y

H t e t A m μ-=??

分界面上H 的切向分量连续，因为分界面上不存在面电流。

8. 如图所示，1区的媒质参数为ε1=5ε0、μ1=μ0、σ1=0;2区(自由空间)的媒质参数为ε2=ε0、μ2=μ0、σ2=0。若已知自由空间的电场强度为

E 2=[e x 2y+e y 5x+e z (3+z)] V/m

请求解1区E 1和D 1在边界面(z=0)上的值？

解根据边界条件，可以求得E 1(z=0)和D 1(z=0)。根据()120n e E E ?-=得

(){}

()()11111253250z x x y y z z x y z y x x y e e E e E e E e y e x e z e E y e E x ???++-+++=---=??

则得 112,5x y E y E x ==

1110111010,25x x y y D E y D E x εεεε====

再根据()120n e D D ?-=得

{}

1112220z x x y y z z x x y y z z e e D e D e D e D e D e D ???++-++=??

得()1200

033z

z z z D D z εε=====+=

0111

033

z D E εεε=

= 最后得

()()1100030255010253x y z

x y z E z e y e x e D z e y e x e εεε==++==++

9. 两块无限大的理想导体平板分别置于z=0和z=d 处，如图所示。若平板之

间的电场强度为

E (x,z,t)=e y E 0sin

πcos(ωt-k x x)V/m

式中的E 0、k x 皆为常数。试求：（1）与E 相伴的磁场强度H (x,z,t);（2）两导体表面上的面电流密度J s 和面电荷密度ρs 。

两导体平板截面图

解 1）0μB

H = ()()00000111??cos cos sin sin y

y x z x x z x x E E H B E e

e t t z x E z z e t k x e k t k x d d d μμμπππωωμ??????==-??=--+ ?????????????

=---+- ? ???

??????

积分()()()()()000000,,cos sin sin cos cos sin sin cos x x x z x x x x z x E k z z H x z t e t k x e t k x d d d E k E z z e t k x e t k x A m d d d πππωωμωωπππωωωμωμ??????

---- ? ?????????

????=-+- ? ?????

2）面电流和面电荷出现在导体表面，在z=0表面

()0

0sin S n z y

x z z E J e H

e H

e t k x A m d

πωωμ===?=?=-

00S z z e D ρ==?=

在z=d 表面

()0

0sin S n z y

x z d

z d

E J e H

e H

e t k x A m d

πωωμ===?=-?=-

0S z z d e D ρ==-?=

10. 半径为a 的球形体积充满密度为ρ（r ）的体电荷。若已知球形体积外的电位移分布为

e r (r 3+Ar 2

) ， 0

e r 2

5a r

Aa + , r≥a 式中A 为常数，试求电荷密度ρ（r ）。解 ()()2

1r d r D r D r dr

ρ=??=

在0

2154d r r r Ar r Ar r dr

ρ??=

+=+?? 在r>a ，()()54

10a Aa d r r r dr r ρ??

+??==????

11. 下面的矢量函数中哪些可能是磁场？如果是，求出其对应的电流密度J 。（1）H =aρe ρ,B =μ0H (圆柱坐标系)

（2）H =(-ay)e x +ax e y , B =μ0H （3）H =ax e x -ay e y , B =μ0H （4）H =ar e φ,B =μ0H (球坐标系)

解：上述场为静态场，因此只有满足0B ??=的矢量函数才可能是磁场的场矢量，并由J H =??求出源分布 1）柱坐标中()()00120B B a a ρμρρρμρρ

ρρ?

???=

==≠?? 2）()()0B ay ax x y

??=

-+=??是磁场，源分布20x

y z

z e e e J H ae x y z ay

ax ???

=??=

=???- 3）()()0B ax ay x y

??=

+-=??是磁场，源分布00

y z

e e e J H x y z ax

???

=??=

=???- 4）在球坐标中()110sin sin B B ar r r φθφθφ

??=

==??是磁场，源分布

22sin 1cot 2sin 0

2sin r

r e re r e J H a e ae r r

r θφ

θθθθθφθ

???

=??=

=-???

12. 求下列情况下的位移电流密度的大小：（1）某移动天线发射的电磁波的磁场强度

H =0.15cos(9.36×108t-3.12y)e x A/m;

(2)一大功率变压器在空气中产生的磁感应强度

B =0.8cos(3.77×102t-1.26×10-6x)e y T;

(3)一大功率电容器在填充的油中产生的电场强度

E =0.9cos(3.77×102t-2.81×10-6z)e x M V/m

设油的相对介电常数εr =5;

(4)频率f=60Hz 时的金属导体中，J = sin(377×t -117.1z)e x MA/m 2,

设金属导体的ε=ε0、μ=μ0、σ=5.8×107

S/m 。解 1）由D

H t

???=

?，得 ()82

0.468sin 9.3610 3.120

y z

x D z z x

e e e H D J H e t y e A m t x

y z y H ???

=??==-=-?-?????20.468D J A m =

2）()()()

000260262

1110

10.8cos 3.7710 1.26100.802sin 3.7710 1.2610x

y z

D z y

y z

e e e B D J B e t x

y z x B B t x e x t x A m μμμμ--???

??=

=??==????????=?-??

??=?-?

3）

()()626

0012

50.910cos 3.7710 2.811058.8510

0.910cos 3.7710 2.8110r x

D E t z e t z e εεε---??==??-???=?????-?

()32621510sin 3.7710 2.8110D x D

J t z e A m t

--?=

=-??-??

4）J

E σ

()12257.5310cos 377117.1D D E J

J t

z A m t t t

εεσ-???=

===?-???

13. 同轴线的导体半径a=1mm ,外导体的半径b=4mm ，外导体间为空气，如图题所示。假设外导体间的电场强度为E =

100

cos(108t-kz)e ρV/m 。

（1）求与E 相伴的H ；（2）确定k 的值；（3）求导体表面的电流密度；（4）求沿轴线0≤z≤1m 区域的位移电流。

解 1）电场E 与磁场H 满足麦克斯韦方程。在圆柱坐标系中由0

E t

μ???=-?得 ()800011100sin 10E H k

E e t kz e t z ρφφμμμρ

??=-??=-=--?? 对t 积分得()88

0100cos 1010k

H t kz μρ

- 2)为确定k 值，将H 代入0

E H t

ε???=?得 ()2

88000011100sin 1010H E k H e t kz e t z φρρεεεμρ

??=??=-=--?? 对t 积分得

()2

81600100cos 1010k E t kz e ρεμρ

与题中给出的()8100

cos 10E t kz e ρρ

-比较得

2160010k εμ=

101

3103

k rad m ===? 电场和磁场分别为

88100

1cos 1031001cos 101203E t z e V m H t z e A m

ρφρπρ?

- ??

???=- ???

3）将导体视为理想导体，利用理想导体的边界条件即可求出导体表面的电流密度

88210011001cos 10cos 1012031203S n z a

J e H

e e t z e t z A m ρφ

ρπρπρ=???

?=?=?-=- ? ????

位移电流

2882

0010018.85101cos 10sin 1033D E J e t z e t z A m t t ρρεερρ-????????

?==-=-- ? ?

???????

???4）在0≤z≤1m 区域的位移电流则为

180120.55sin 106D D D S i J dS J e dz t A ρπρ?

?=?=?=- ?

???

14. 试将微分形式的麦克斯韦方程组写成8个标量方程：（1）在直角坐标系中；（2）在圆柱坐标系中；（3）在球坐标系中。

15. 由置于ρ=3mm 和ρ=10mm 的导体圆柱面和z=0、和z=20cm 的导体平面围成的圆柱形空间充满ε=4×10-11

F/m 、μ=2.5×10-6

H/m 、σ=0的媒质。

若设定媒质中的磁场强度为H = ρ

cos10πzcosωt e φ A/m ，利用麦克斯韦方程求：（1）ω；（2）E 。解 1）将H 代入E

H t

???=?，在圆柱坐标系中得 210?sin10cos H

E H e z te e z t φ

ρρρ

ρπ

πωερ???????=-== ?????

对t 积分得

20sin10sin E z t ρπ

πωεωρ

将E 代入H E t

???=-?得 2

200cos10sin E H E e z te e z

t ρφφφφππωμ

εωρ

????=

=??

对t 积分得2

200cos10cos H z t φππωεμωρ

与题设中的2

cos10cos H z t φπωρ

比较得

100πωεμ

10rad s ωπ=?

2）将ω代入20sin10sin E z t ρπ

πωεωρ

得

910sin10sin102E e z t

V m ρππρ

f P f P f P f P 16.0 0J J J J t t

ρρρρ

??+??=+??=??假如介质中同时存在自由电荷密度，极化电荷密度，自由电流密度，极化电流密度，请根据上述物理量的定义以及总电荷守恒定律证明自由电荷和极化电荷分别满足守恒律，即；

f f ()17.(1)(0,0)(2),,,()(1)(3)(2)0i k x t J E D B H e k D k D t k B k D B D B E ωρ?-==???=??

???=?=?=?=请写出自由空间中的麦克斯韦方程组；已知上方程组的解均按变化，请证明：

算符对各场的作用等效于对这些场相同形式的作用如，并利用此规律以及这些场

对时间的微分特性改写中的麦克斯韦方程组，使其不含和；

在的基础上证明：22211

[()][()]

D k

E k E k S E k k E E ωμμω

=-?=-?；；

18. 课后习题11 19. 课后习题12 20. 课后习题13 21. 课后习题14

22. 假设真空中电场强度为x y z E ye xe ze =-+，证明此电场是由电量均匀分布的静止电荷与随时间成正比关系的磁场共同产生，并分别求出相应的电荷密度和磁场的表达式。

解：由题意{,,}E y x z =-，对其分别求散度和旋度 001=1E ??=++ {}0,0,2E ??= 由麦克斯韦方程组可知 0=ρε

{}0,0,2B

?=-?

可知该电场由均匀分布的静止电荷与随时间成正比关系的磁场

共同产生，相应的电荷密度和磁场的表达式为：

0=ρε，{}a,b,2B t c =-+ 式中a, b, c 均为常数