小学数学专题研究

小学数学专题研究 The pony was revised in January 2021

江苏自考《小学数学专题研究》复习资料

第一章小学数学课程目标及内容

对象：数学是一种研究客观世界中数量关系和空间形式的一门科学。本质：数学是一种研究思想事物的抽象的科学——恩格斯。

作用：一种科学只有在成功运用数学时，才算达到了真正完美的地步。各门学科的数学化，数学作为一种文化，已成为共识。

我国数学课程及演变过程：

1、萌芽时期（公元前600年前）

2、初等数学时期（公元前600年——17世纪中叶）

3、变量数学时期（17世纪中叶——19世纪20年代）

4、近代数学时期（19世纪20年代——第二次世界大战）

5、现代数学时期（第二次世界大战以来）

作为一门学科，在我国却迟到隋唐时期，才在国子监设算学。

算学作为小学课程则从近代光绪二十八年（1902年）才正式开始。

1892年编《笔算数学》，则是我国学校里的第一部算学教科书。

1903年春编《最新教科书》我国自己编写的第一本正式的小学算学课本问世。

1978年2月《全日制十年制小学数学教学大纲（试行草案）》明确将小学算术改为统一的数学。

1992年三个面向“面向现代化、面向世界、面向未来”。

国外数学课程变革的简况及趋势。

20世纪初，德国数学家克莱因发起并领导了数学教育近代化运动。

现代数学运动发展是不平衡的，分三种类型：1、革新型如英美；2、进化型如苏联；

3、中间型如日本。

相似之处：1、精简传统的算术内容；

2、增加或渗透集合、函数、统计等现代数学内容；

3、用结构思想处理传统内容。

“回归基础”改为“走向基础”。

大众数学：目标让全体学生学好数学、学习更多的数学而且是需要的数学。

小学数学课程目标是小学教育方向和性质的表征，也是小学数学教育活动，包括组织教学内容、确定教学要求、选择教学方法、进行质量评估、决定考试命题等进行的依据，小学数学课程目标与分析：

1、理解和掌握最基础的数学知识。

2、培养初步的数学能力（是核心）解决实际问题的能力是最终目的。

3、培养良好的思想品德。

学科数学与科学数学

课程内容的载体是教材——教科书。

学科数学的内容是依赖于科学数学而建立和发展的。

1、作为科学的数学，它不考虑人们是否能够理解和接受，只要能完备而又精确地阐明某种数学理论，更深刻地反应世界的空间形式和数量关系就行。而作为学科的数学必须遵循学生的认知规律和心理特点，往往从日常生活、生产中的具体事例出发，对现象进行描述，然而转向定义、定律、性质等的揭露。

2、作为科学数学，对所有的定理、法则等都必须进行严格的论证和推导，而作为学科的数学限于学生的接收水平，往往通过列举一些事例用不完全归纳法得出结论。

3、作为科学数学，完全按照数学理论的逻辑系统进行安排，可以难易起伏不均；作为学科数学在不影响科学性的前提下，兼顾小学生的认知规律，对某些内容可以适当调整。

由此可见，科学数学是作为人类认识的结果而呈现的，以完全揭示数量关系和空间形式为目的；而学科数学可看作为认识对象而存在。对作为小学学科的数学而言，除了正确反映科学数学的知识外，还必须充分遵循小学生的认知规律，有利于使他们学懂、学好、学活，有利于发展他们的智能，有利于进行思想品德教育。

小学数学课程内容编排原则：

1、以数与计算为主线，以数与形为重点，把各部分内容按其彼此的内在联系结合起来。

2、由浅入深，由易到难，循序渐进，螺旋上升。

3、突出重点，分散难点。

4、把数学知识和数学应用结合起来。

5、注重趣味性。

数学学科的特点：1、高度的抽象性；2、严密的逻辑性；3、应用的广泛性。

悖论：英国数学家罗素提出一个悖论，指出作为数学基础的集合论本身就存在着矛盾。“理发师”悖论。

第二章小学数学解题的理论依据

数学问题虽然名称不同，叙述内容不同，但它们却有一个共同的特点，即是在一定的知识背景中提出的。知识背景主要包括已有的概念、理论和方法。因此，我们认为依照数学问题的解答与知识背景的关系，可以把数学问题大致分为两类：常规问题和非常规问题。

依照数学问题提法的意义是否明确，数学问题的条件是否充分，我们还可以把数学问题划分为：可能问题和不可能问题。

数学问题的组成成分是条件、目标和运算。（三大组成部分也叫构成要素）

智力两个方面：一是天赋的潜力、特性和发展的容量；即健全的神经代谢的总和。二是发展得以进行下去的大脑的功能，即能够决定操作和理解的功能。

皮亚杰关于智力阶段的划分：

1、感知运动阶段（0——2岁）

2、前运算阶段(2——7岁)

3、具体运算阶段（7——11岁）

4、形式运算阶段（11岁以上）

同化和顺应是相对立的两种力量。同化是一个人按照过去的经验、图式来活动；顺应则是根据面临的新信息所作的改变和思考。

智力活动方式：

1、根据基本的心理过程，分为知觉方式、记忆方式和思维方式。

2、根据所完成的主要功能，分为定向方式、执行和控制方式。

3、根据标准和规范化程度，分为计算性方式、算法指令性方式、启发性方式。

4、根据动作的共同性，分为一般方式和具体方式。

5、另外，根据智力活动在人类不同认知领域里的运用程度，又可以分为一般方式（如分析、综合、抽象、概括、比较等）和限于某一认识领域的特殊方式。

思维：人脑对客观事物的本质特征、相互关系及其内在规律性的概括的、间接的反映，是人们对外界输入的信息的感知的基础上经过分析、综合、比较、抽象、概括等智力活动方式，对其加工、推理和获得理性认识的心理过程。

思维的本质：思维是间接认识事物，是通过感知与被直接认识的事物有着合乎规律的联系的另一个对象而实现的。

思维的类型：1、逻辑性思维；2、非逻辑性思维。

形式逻辑思维：是以概念、判断、推理等思维方式，同一律、矛盾律、排中律等思维规律，归纳、演绎、类比、科学假设等思维方法为其研究对象。

辩证逻辑思维：研究的是思维形式如何正确反映客观事物的运动变化、事物的内部矛盾、事物的有机联系和转化等问题，其主要特点是用有限量来描述和刻画。

数学思维又叫数学型思维，就是以数和形为思维的对象。以数学的语言和符号为思维的载体，以认识和发现数学规律为目的的一种思维。

数学思维品质：灵活性、积极性、目的性、记忆性、广阔性、深刻性、批判性、准确性、简捷性、独创性和证明性。

数学思维水平的评定：第一级水平——第五级水平

前两级水平是小学年级的学生所特有的，第三级水平是初中年级学生所特有的；第四级水平是高中年级学生所特有的，至于第五级水平无论是几何方面的还是代数方面的，均属于数学思维的现代水平。一般的中学阶段的学生是难以达到的。

影响小学数学解题的心理因素：（两大）

一、问题解决的特征：1、问题情境因素2、解题者的个体特征(解题者知识经验基础和个性品质)3、解题中的认知策略（解题者用来调节注意、回忆和思维的技能）

二、迁移与思维定势：迁移是指一种知识、技能的学习和应用对另一种知识、技能的学习和应用所施加的影响。

思维定势指的是一种思维的定向预备状态，在思维不受到新干扰的情况下，人们按照既定的方向或者方法去思考。

第三章小学数学解题的认知过程

学习从广义上理解，学习是有机体凭借经验的获得而产生的比较持久的行为（思维、想象、记忆、感知等内部心理活动和言语、表情、动作等外部活动）变化。

从狭义上理解，学习是指学生在老师指导下，有目的、有计划、有组织、有步骤地进行的获得知识、形成技能、培养能力、发展个性的过程。

桑代克——刺激反应理论，学习是刺激和反应的联结。

苛勒——完形理论，学习是零碎和知觉信息的再组织过程。

托尔曼——认知理论，学习是对环境中的刺激，依其关系形成一种新的认知结构的过程，是意义的获得和实现期望的过程等等。

小学数学学习是在人为指导下获得数学知识、数学技能和数学能力，发展个性数学品质的过程。由于数学自身具有逻辑的严谨性、高度的抽象性及应用的广泛性，所以，小学数学学习的核心内容和最终目的是解决小学数学问题。

小学数学解题作为小学生的一种特殊心理活动，综合起来说，它属于一种认知学习。小学数学解题是一种逐渐深入的，具有某种程度创新性和思维对策的心理活动（认知）过程。不求甚解、生搬硬套、机械呆板等等，都不是小学数学解题的真实含义。

认知结构：是指个体在感知及理解客观现实的基础上，在头脑里形成的一种心理结构。简单点说认知结构就是在个体头脑里的知识结构。

小学数学解题作为小学数学学习的主要内容和方式，其意义也就在于不断积极主动地建立、扩大和重新组织数学认知结构，并伴随着同化和顺应等特征。

小学数学解题并不是数学知识的简单应用，而是以原有数学认知结构为依据，对新知识进行加工。

技能是顺利完成某种任务的一种心智或动作的活动方式，它需要通过练习才能形成。

动作泛指在完成一项具体任务中所涉及的一系列操作，以完善、合理方式组织起来并顺利进行时，就成为动作技能。

心智系指借助于内部语言在头脑中进行的认识活动。它包括感知、记忆、想象和思维，但以抽象思维为它的主要成分。

技能和能力是不同的概念，二者既有联系，又有区别。技能是指完成一定任务的活动方式，能力则是顺利完成任务的个性心理特征。技能的形成以一定的能力为前提，反过来又对能力的发展起重要的促进作用。

数学动作技能指运用工具绘图的技能，测量技能、使用计算工具的技能等。

数学心智技能指数的计算技能、式的恒等变形技能、解方程、解不等式的技能，推理论证技能、运用数学方法的技能等。

这两种数学技能既有联系又有区别。一方面数学心智技能的形成，与数学动作技能有关；另一方面，数学动作技能又受数学心智技能控制。

数学认知技能的形成，也有一个阶段过程，就小学数学解题而言，可以概括成认知阶段、联结形成阶段和自动化阶段。

小学数学解题中的数学认知技能尽管有上述的几个阶段，但最终得以形成，都要经历一个从“会”到“熟”的过程，其间必须不断通过有计划、有目的的练习，才能完成这一转变。

发展：作为一般意义上的理解是指人的各种特性在结构上和机能上的变化。发展有生理发展和心理发展之分。

认知发展是指与大脑生长和知识技能有关的发展方面。涉及人在知觉、记忆、思维、语言、智力等方面种种功能的发展变化。

小学数学认知发展可以理解为小学数学认知结构和数学认知技能的发展，是通过小学数学活动过程来体现的。认知发展一般包含这样几个阶段：1、输入阶段；2、同化和顺应阶段；3、应用阶段。以上三个阶段是密切联系的。

第四章小学数学解题的实质和结构

小学数学即小学数学领域中的问题解决，不但要关心问题的结果，而且要关心求得结果的过程，也就是问题解决的整个思考活动。所以小学数学解题指的是按照一定的思维对策进行的一个思维过程，一步一步地靠近目标，最终达到目标。其含义就是思考的活动及探索的过程。

19世纪中叶，德国数学家格拉斯曼才成功地建立了一个算术基本公理体系，解决和统一礼物在此之前人们一直混淆的上述问题。

小学数学解题也就意味着找出这样一个数学的一般原理（定义、公理、法则、定律、公式）的序列，当应用他们到问题的条件或者条件的推论（解法的中间结果）时，就能得到问题所要求的答案。

奥苏伯尔解题结构模式：1、呈现问题的情境2、明确问题的目标与已知条件3、填补空隙的过程4、解答后的检验。

小学数学解题的几个阶段：1、分析题意2、寻找解法3、实行解法4、回顾解法

教育心理学认为根据解题者寻求解答的趋向可以把解题分为两种主要方式，一种是尝试错误式，另一种是顿悟式。

尝试错误式是由进行无定向的尝试，重复无效动作，纠正暂时性尝试错误。直至出现解决问题得以成功的一系列反应所组成的行动。

顿悟式解决问题尝试错误式不同，它具有一定的“心向”，努力发现手段与目标之间的有意义的联系，而这种联系正是问题赖以解决的基础。

在小学数学解题中，尝试错误式和顿悟式实际上司不能绝对化的，尝试错误式解题可能是隐含在内而不表露于外的。所以看不出是尝试错误式，未必就是顿悟式。顿悟式解题

也不一定是彻底的、完善的和即时的，尽管看上去解答是突然出现的，事实上却往往经历着一定的甚至是相当曲折的过程。

常规问题解题规则：1、公式规则2、恒等式规则3、定理规则4、定义规则

非常规问题就是没有一般解题规则的数学问题，它的解题步骤序列，可以利用技巧将其转化为等价的常规问题，或分解为若干个小常规问题，或通过分析、综合等方法来寻求。

算术基本公式体系是小学数学中的定义、公理、定理、法则等之间的逻辑关系。

小学数学解题是以思考为内涵，以问题目标为定向的心理活动过程。

第五章小学数学解题的思想方法

化归类比归纳

美籍匈牙利数学家波利亚在《怎样解题》《数学与合情推理》——关于数学解题的核心观点就是发现与再创造。

苏联娅诺夫斯卡娅《解题意味着什么》——解题也就意味着把所要解的问题转化到已经解过的问题。

法国笛卡尔我所解决的每一个问题都将成为范例，以用于解决其他问题。

化归法的一般模式为：

化归法的特点：在于它具有较强的目的性、方向性和概括性。

基本原则：是由未知到已知，由难到易、由繁到简；

它的方向就是如何实现由所要解决的问题向已经解决的或较容易解决的问题的转化，这里蕴含着发现、发明及创造性的活动。

从广义上的理解化归是一种思想，如果从狭义上来看，化归乃是重要的常用的和具体的解题方法之一，而且又有分割组合、映射反演等分别。

分割组合的一般模式：

分割组合就是把所要求的问题，按照可能和需要，分割成若干部分，使他们更易于求解，再将这些解答有机地组合起来，过渡到问题的最终结论。

映射反演就是映射和反演两种方法并用。

映射就是在两类数学对象或两个数学集合的元素之间建立的某种对应关系。

反演就是从已知运算往回推（每一步运算都以其逆运算来代替，相对映射而言，反演就是逆映射。）

在数学解题中，这种映射反演具体表现为坐标法、复数定向法、换元法等。

万能发现法（笛卡尔）：

这种模式在某些情况下是不适用的。这种方法包含了“数学化”、“代数化”、“计算化”等合理的化归思想方法。

类比法是根据两个或两类不同的对象在某些方面（如特征、属性、关系等）的类同之处，猜测这两个对象在其它方面也可能有类同之处，并作出某种判断的推理方法。

基本模式：

类比的结论属于或然性推论，因为从前提到结论并不具备逻辑必然性。也就是说，类比也有一定的局限性，其结论常常是不可靠的，甚至是完全错误的。

归纳法是指通过对特殊情形的分析引出普遍的结论的推理方法。德国大数学家高斯就曾经说过，他的许多定理靠的是归纳法发明的，证明只是一个补行的手续。归纳常常是建立在有目的、有计划的观察和实验基础上的。

根据对象是否完备，归纳法又分为完全归纳法和不完全归纳法两种。

完全归纳法是根据某类事物中每一个对象的情况或每一个子类的情况，而作出该类事物的一般性结论的推理。

上面两种安全归纳推理，前者根据每一个情况而得出一般性结论，后者根据每一类特殊（子类）情况而得出一般性结论。它们在本质上师相互联系的，前者是后者的特例，后者是前者的推广。所以，通常也可以把后者作为完全归纳推理的一般形式。

完全归纳法实质上也是一种演绎推理。

不完全归纳法是根据对某类事物中的一部分对象的情况，而作出关于该事物的一般性结论的推理。

不完全归纳法是根据对某类事物中的一部分对象的情况，而作出关于该事物的一般性结论的推理。不完全归纳的推理形式：

和归纳法不同，数学归纳法属于论证的范畴，而不是猜测的方法。但是，在归纳法与数学归纳法之间也存在着相互依赖、相互渗透的辩证关系。换言之，数学归纳法所证明的往往是由归纳法所得出的猜测，而归纳法所得出的猜测有些可用数学归纳法来证明。而且，更为重要的是，归纳的过程往往为应用数学归纳法去证明相应的结论打下了基础；反之证明的过程则加深了对原来猜测的理解。

创造，一般是指创造者的主管意识活动，通过科学实践而对自然界的某一方面或某些方面的合乎规律的反映，它是一种现象。

创造的三大基本特征：1、实践性2、创造者的创造力充分发挥3、创新性即开创性和新颖性。

创造性作为一个认知范畴的概念，系指一种能力或特性，按教育心理学的观点，它和人的智力、智慧品质以及人格等有着密切的关系。

创造和创造性不能等同，不可相互替代，但两者共处一体。因为如果强调过程，着眼于心理机制的话，那么创造即是一种特殊的解决问题的活动，是解决问题的最高表现。而任何问题的解决都需要一定的创造性作为基础。

创造性既然贯穿在始于问题提出，终于问题解决这一创造过程中，就其内涵来说，它也具有一定的阶段性。

想象、灵感和直觉，通常被人们称做创造性的精华。（核心）

想象是在头脑中改造记忆中的表象而创造新形象的过程。它既是一种具有极大的自由度的思维活动形式，同时又是可以自觉地引导进行的一种积极主动的心理现象。

灵感是指人们在创造过程中，由于某种诱因的作用而突发的一种非逻辑的思维活动。

灵感的特点：灵感引发的随机性、灵感显现的暂时性、灵感显现过程中的情感性。

灵感的产生不是凭空产生的，不是靠等待就能来临的。它的诱发有着漫长的有意识的活动，有着相当的辛勤努力和实践为基础。如爱迪生说：天才乃是99%的勤奋加上1%的灵感。

小学数学解题中，我们也应该通过有意识的思考，去诱发灵感。

直觉简单得说就是直接去觉察。

直觉的三个明显的特性：

1、它对问题的内在规律（即客观事物的本质联系）的深刻理解。

2、这种理解来自经验的积累。

3、经验积累到一定的程度突然理性与感性产生共鸣时，表现为豁然贯通的一种顿悟式的理解。

直觉是从感性经验达到理性飞跃的人的认识过程的一种特殊表现形式，是逻辑顺序的高度简缩。

总之想象、灵感、直觉的出现，不仅意味着常规思维中的“跳跃”，逻辑顺序的“中断”，及由此而得到的创造性。而且三者常常又是紧密联系和相互作用的，或是想象诱发了灵感和直觉，或是灵感和直觉唤起了活跃的想象。

第六章小学数学解题能力分析

从广义上讲，数学能力是顺利完成数学活动所必备的，且直接影响其活动效率的一种心理特征，它是在数学活动过程中形成和发展起来的，并在这类活动中主要表现出来的比较稳定的心理特征。从狭义上讲，数学能力即理解为解决数学问题的个性特征。

运算能力：这些运算能力最初表现为对其知识的理解和技能的形成上，进而体现在根据具体问题的特点，恰当地合理运用运算，与其他各种运算的灵活运用和巧妙的结合上。这也就表现出一种解题的能力，即运算能力。

空间想象能力：在空间形式的问题中，所要研究的是图形的形状，图形的大小，图形与图形的位置关系等。在研究过程中，除直接给出一些基本图形的性质外，总是要根据所给具体图形的特点和解决它的需要，把它分解和重新组合，即在头脑中进行感知和操

作，出现或构造出一些异于所给图形的新图形，并找到新的关系。这又表现出一种解题的能力即空间想象力。

逻辑思维能力：数学问题的解决时解题者从感知获得的感性材料出发，通过分析和综合、抽象和概括、判断和推理等逻辑思维方法，去粗取精、去伪存真，由此及彼、由表及里的改造，才上升到理性认识，从而领会和掌握数学的规律和本质。因此，这仍然表现出一种解题的能力，即逻辑思维能力。

运算能力、空间想象能力、逻辑思维能力这三者之间的关系既相互区别，又相互联系和制约的，所以习惯上把他们概括成数学解题能力的主要成分。

瑞典心理学家魏德林为代表的欧美心理学家认为组成数学解题能力的因素有：

1、一般因素G(主要指智力因素)

2、数因素N（对数概念的理解和应用）

3、空间因素S（对空间形式的理解、想象和抽象）

4、语言因素v(用语言表达数学关系)

5、推理因素R（运用逻辑思维、形象思维和直觉思维）

日本的大桥正夫等学者，认为数学解题能力包括以下三个方面：

A、数理性的领会能力：具体要求是使之抽象化，使之数量化和图形化，使之记号化或形式化；

B、概括能力：具体要求是使之扩展，集中归纳，改变观点和改变条件。

C、思维能力：具体要求是有计划按步骤地进行思考，进行类比或对比，有根据地进行证明。

苏联心理学家鲁捷茨基：1、使数学材料形式化能力；2、概括数学材料的能力；3、用数学和其他符号进行运算能力；4、连续而有节奏的逻辑推理能力；5、缩短推理过程的能力；6、逆转心理过程的能力；7、灵活的思维能力；8、数学记忆能力；9、形成空间概念的能力；10、借助形象化（直观）能力。

我们认为小学数学解题能力是取决于数学学科和数学活动的个人特性，是小学生顺利完成解题这种特殊的数学活动时所表现出来的心理品质的综合。概括数学材料、逆转心理过程、灵活性、借助形象化等即是这种心理品质综合体中的具体成分。

概括数学材料能力主要表现：1、在从所给数学材料的形成和结构中，能迅速抓住事物的“数”和“形”，找出或发现具有数学意义的关系与特征；2、正确辨认出或分离出某些对解决问题有效的成分与有数学意义的结构。

概括数学材料，还在于感知题目的形式结构。所谓题目的形式结构是指构成题目实质的相互关联的量的综合体。