东南大学概率论期末考试概率统计11-12-3A解答

东南大学考试卷（答案）（A 卷）

课程名称概率论与数理统计考试学期11-12-3得分

适用专业全校考试形式闭卷考试时间长度120分钟

2/2

()x t

x dt

Φ=?表示标准正态分布的分布函数，

( 1.645)0.05(0)0.5(1)

0.8413

(1.3)0.9032(1.96)0.975(2)0.9772

Φ-=Φ=Φ=

Φ=Φ=Φ=

；；

一、填充题（每空格2’

，共38’；过程班共34’）

1)已知P(B)=P(A)=0.2，A和B相互独立,则P(A-B)= 0.16 ;P(AUB)= 0.36 。

一盒中有2个白球，3个黑球，每次抽取一球，从中不放回地抽取两次，则第二

次取到黑球的概率为0.6 ，取到两个球颜色相同的概率为2/5 。

3)设随机变量X服从正态分布(1,4),(1)_0.5___

N P X<=。（过程班不做）

4)设()

W t是参数为2

σ的Wiener过程，则随机过程()(),0

X t t t

=>的一维概率密度函数()

f x t=

；2/2}

-________。（过程班做）

5)随机变量X，Y独立同分布，都服从正态分布N(1，4)，则P(X-Y>)=0.1587__。

6)随机变量X，Y的联合分布律为：P(X=0,Y=0)=0.2; P(X=0,Y=1)=0.3;

P(X=1,Y=0)=0.3; P(X=1,Y=1)=0.2. 则X+Y分布律为

p(X+Y=0)=0.2;P(X+Y=1)=0.6;P(X+Y=2)=0.2。E[XY]= 0.2 。（过程班不做）

7)随机变量X，Y的相关系数为0.5，则5-2X，和Y-1的相关系数为

-0.5 。

8)设随机变量序列{Xn,n=1,2,…}独立同分布，EX1=2, DX1=2,则

?→

)

...

(

6 。

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9) 设总体X 服从正态分布(1,2)N ,1210,,...,X X X 是来此该总体的样本，2

,X S 分别

表示样本均值和样本方差，则EX = 1 ，2

()E XS = 2 。 10) 随机变量X 的分布律为P(X= -1)=P(X=1)=1/2,则其分布函数为

F(x)=0,x<-1;F(x)=0.5,-1<=x<1;F(x)=1,x>=1; 。

11) 随机变量X 服从[0,1]上的均匀分布,则Y= -2X+1的密度函数为

U[-1,1],f(y)=0.5;-1

2221241

()4X X X ++服从2(3)χ

分布，若~(2)t ，则常数c =1 。

13) 设某假设检验问题的水平α=0.1,根据样本得到的结论是拒绝原假设，则可能犯哪

一类错误 I (填I ，II)，犯错误的概率为 0.1 (填数值或不能确定)。 14) 设总体~(,)X f x a ，a 为未知参数，若12,,...,n X X X 是来自某总体的简单随

机样本，2

,X S 分别表示表示样本均值和样本方差。设

~[2,2]X a

U S

--(均匀分布)，则a 的置信度为80%的置信区间为 1.6X S ±。

二、(10’) 设有一个箱子中有红球4只，白球6只.从该箱中任取一球涂上红色后放回去,然后再从该箱中任取一球.（1）求第二次取出的球为红球的概率；（2）如果第二次取出的球为红球，则第一次取出的球是红球的概率是多少？解：

A -第一次取得红球；

B 第二次取出红球；()2/5;()3/5;(|)2/5;(|)1/2;P A P A P B A P B A ====

(1)()()(|)()(|)2231230.46555250

()(|)4/258

(2)(|)()23/5023

P B P A P B A P A P B A P A P B A P A B P B =+=?+?=====

’ 三、(15’) 设随机变量（X ，Y ）的联合密度为

(2)

0,0(,)0

x y ae x y f x y -+?>>=?

?其它

求（1）常数a; (2)Y 的边缘密度函数；（3）求条件概率P(Y<1|X=1)。(过程班不做该题)。

自觉遵守考场纪律如考试作弊此答卷无效

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(2)0

0(1)(,)1;.

1;.2;

(2)()(,).2(1');0;

()0;0.

x y x y y Y Y f x y dxdy ae dxdy a f y f x y dx e dx e y f y y ∞∞

-+∞∞

-+--∞

======>=≤????

?（

(3)易见X 和Y 相互独立，所以

(1|1)(1)()(1')1y Y P Y X P Y f y dy e dy e ---∞

<==<===-?

四、(10’)设随机变量X~U[1,2],Y~U[0,2],X 和Y 相互独立，令Z=Y+2X ，求随机变量Z 的概率密度函数()Z f z 。（过程班9’）.

解：因为X 和Y 相互独立，故1/212,02

(,)~(,)()()0

X Y x y X Y f x y f x f y <<<

?其他

22/21

()()(2)(,)(,)()(,2),

12;022,(,2)0.5;

2,()0;24;()(,2)0.5/41/2;

46;()(,2)Z z x

y x z

Z Z Z z Z F z P Z z P Y X z f x y dxdy f x y dydx

f z f x z x dx x z x f x z x z f z z f z f x z x dx

dx z z f z f x z x dx

∞

--∞-∞

+≤∞-∞

∞-∞

=≤=+≤=

==-<<<-<-=<=<<=-==-<<=-???

?2(2)/2

0.53/2/4;

6,()0;

z z dx z z f z -==->=?

/41/224()3/2/4460z z z f z z z -<

=-<

其他

或

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1/212,02

(,)~(,)()()0

X Y x y X Y f x y f x f y <<<

?其他 22/2

/221

(2)/222(2)/2

()()(2)(,)(,)2,()0;24;()0.50.5(2)/8/21/2;

46;()10.510.5(22)Z z x

y x z

Z z z x

Z z Z z z x

z F z P Z z P Y X z f x y dxdy f x y dydx

z F z z F z dydx z x dx z z z F z dydx z x dx ∞

--∞-∞

+≤----=≤=+≤=

=<=<<==

=-=-+<<=-=

=--+=

???

2Z 11(/439)/83/27/2;

()1(3/2)(6).

6,()1;

z z z z z or F z z z z F z =--+=-+-=-?-->=

求导得到密度函数

/41/224()3/2/4460z z z f z z z -<

=-<

其他

五、(10’)利用中心极限定理求大约至少需要重复投掷一枚硬币多少次才能使得正面出现的

频率和真实的概率之差的绝对值小于0.05的概率大于0.95?

解：设需投n 次，正面出现的概率为p;正面出现的次数为k,则

~(,),;(1)k b n p Ek np Dk np p ==-

|0.05)0.95.k

P p n

-><

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2(|

|0.05)(0,1)210.95.

1.96

39.2/219.619.6384.16,.k P p P N n n -<=<≈≈Φ->Φ>>>>=>=:

取n=385

六、(10’)设总体X 服从参数为 λ的泊松分布,其分布率为

(),0,1, 0

P X k e k k λλλ-==

X 1,…X n 为来自该总体的样本, (1)求参数λ的最大似然估计量?λ, (2) 证明?λ为λ

的无偏估计量.

解：

1111

11(),(!

ln ()ln()ln !

ln ()?0;.;?i

nX n i

i i i i i

i i l e

e X X X X n l nX n X d l nX n X d E EX EX λ

λλλλλλλλλλλ

λ--========+-=-=====∑∏

∏∏

）

所以，?

λ是λ的无偏估计量.

七、 (7’)设总体X 服从正态分布N ( u, 1), 现有来自该总体样本容量为25的样本, 其样本均值为2.4, 试检验H 0: u=2.0 v.s. H 1: u ≠2.0.(检验水平)05.0=α

解：检验统计量

0.0252

~(0,1); 1.96

1/5

X U N u -=

= 拒绝域：125{(,...,)||| 1.96}D X X U =>

U的观测值，U=5（2.4-2）=2>1.96;

拒绝原假设。

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