2019-2020学年河南省平顶山市高一上学期期末数学试题(解析版)

河南省平顶山市高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合{0,1,2,3,4,5,6}A =，{|4B x x =>或0}x <，则()

R A B =I e（ ） A ．{1,2,3,4} B ．{0,1,2,3,4}

C ．{1,2,3}

D ．{|04}x x ≤≤

【答案】B

【解析】先求得R B e，再求得()

R A B I e 【详解】

{|4B x x =>Q 或0}x <，R {|04}B x x ∴=剟e，

()R {0,1,2,3,4,5,6}{|04}{0,1,2,3,4}A B x x ∴?=?=剟e.

故选：B 【点睛】

本小题主要考查集合交集、补集的概念和运算，属于基础题.

2．已知直线1l ⊥平面α，直线2l ?平面α，则下列结论一定不正确的是（ ） A ．12,l l 相交 B ．12,l l 异面

C ．12l l //

D ．12l l ⊥

【答案】C

【解析】根据线面垂直的概念，判断1l 与2l 不平行. 【详解】

由平面的垂线的定义可知，在平面α内肯定不存在与直线1l 平行的直线. 故选：C 【点睛】

本小题主要考查线面垂直的知识，属于基础题.

3．已知函数3

3(0)()log (0)x x f x x x -?=?>?，，?则

13f f ?

?

??= ? ?????

（ ） A ．3 B ．

13 C ．13

-

D ．3-

【答案】A

【解析】根据分段函数解析式，先求得13f ?? ???

的值，再求得13f f ???? ? ?????

的值.

【详解】

由题可知(1)

311log (1)3333f f f f --??????==-== ? ? ????

?

??

.

故选：A 【点睛】

本小题主要考查分段函数求函数值，属于基础题.

4．已知(1,2)P -，(2,4)Q ，直线:3l y kx =+.若P 点到直线l 的距离等于Q 点到直线l 的距离，则k =（ ） A ．

2

3

或6 B ．

23

C ．0

D ．0或

23

【答案】D

【解析】利用点到直线的距离公式列方程，解方程求得k 的值. 【详解】

=

，解得0k =或

23

. 故选：D 【点睛】

本小题主要考查点到直线的距离公式，属于基础题.

5．函数y = ）

A ．1,3??+∞????

B ．2,3

??-∞ ??

?

C ．12,33

??????

D ．12,

33??

????

【答案】D

【解析】根据偶次方根的被开方数为非负数、对数真数大于零列不等式，解不等式求得函数的定义域. 【详解】

要使函数有意义，需使

12

log (23)0x -…，即

0231x <-≤，解得12

33

x

的定义域为12,33??

????

.

故选：D 【点睛】

本小题主要考查对数型复合函数定义域的求法，属于基础题.

6．已知3log 2a =，2

12b -??= ???

，()33log log 2c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．b a c >>

C ．c a b >>

D ．b c a >>

【答案】B

【解析】利用“0,1分段法”结合对数函数的单调性、指数运算，比较出三者的大小关系. 【详解】

由题意，根据对数函数的单调性可得3330log 1log 2log 31=<<=，即3log 2(0,1)∈，

故()33log log 20c =<，又2

212412b -??===> ???

，所以b a c >>.

故选：B 【点睛】

本小题主要考查指数式、对数式比较大小，属于基础题. 7．已知0a b >>且1a b

=

，则函数x

y a =-与log ()b y x =-的大致图象是（ ） A ． B ．

C ．

D ．

【答案】C

【解析】首先判断出10>>>a b ，根据指数型函数的单调性、对数型函数的单调性，由此判断出正确选项.

【详解】

由于0a b >>且1a b

=

，所以10>>>a b .当1a >时，函数x

y a =单调递增，函数x y a =-与函数x y a =的图象关于x 轴对称，当01b <<时，函数log b y x =调递减，

函数log ()b y x =-与函数log b y x =的图象关于y 轴对称，结合选项可知选C. 故选：C 【点睛】

本小题主要考查函数图象的识别，考查指数型、对数型函数的单调性，属于基础题.

8．如果圆22

()()1(0)x a y a a -+-=>上所有点到原点O 的距离都不小于3，则实数a

的取值范围为（ ）

A ．2]

B ．)+∞

C ．

D ．[1,

【答案】B

【解析】设P 是圆上任意一点，利用P 到原点O 的距离不小于3列不等式，解不等式求得a 的取值范围. 【详解】

圆2

2

()()1(0)x a y a a -+-=>的圆心为(,)a a ，半径1r =.设圆心到原点的距离为d ，

则|d a =

==.设圆上任一点为P ，可知

1|||

1OP -+剟，由题意可知|31-…，解得a …a -?

去），故实数a 的取值范围是)+∞. 故选：B 【点睛】

本小题主要考查点和圆的位置关系，属于基础题.

9．若函数2(2)(3),()(21)(3)

x k x x f x k x k x ?-++≤=?-+>?在R 上为增函数，则实数k 的取值范围为

（ ） A ．1,2??+∞

???

B ．[0,4]

C ．[4,)+∞

D ．[1,8]

【答案】C

【解析】根据分段函数在R 上递增，结合二次函数、一次函数的单调性列不等式组，解

不等式组求得k 的取值范围. 【详解】

()f x Q 在R 上为增函数，210,23,23(21)93(2)k k k k k ->??+?

∴??-+-++??

……1,24,0,k k k ?

>???????

……，解得4k ….∴

实数k 的取值范围是[4,)+∞. 故选：C 【点睛】

本小题主要考查根据分段函数的单调性求参数的取值范围，属于基础题.

10．有一个棱长为10cm ，悬空放置的正方体框架，将一个圆气球放在框架内，再向气球内充气，当圆气球恰好与框架12条棱均相切时，如果不计气球的厚度，则气球内气体的体积为（ ） A ．

31000cm 3

π

B

．

3cm 3

C ．

3500cm 3

π

D

．

3cm 3

【答案】A

【解析】根据球恰好与正方体框架12条棱均相切，计算出球的半径，进而计算出求得体积. 【详解】

设球心为O ，正方体上底面中心为A ，上底面一边的中点为B ，在Rt OAB ?中，

5cm OA =，5cm AB =

，则OB =

，即气球的半径

R

=33

34433V R ππ∴==?=

气. 故选：A 【点睛】

本小题主要考查几何体与球体的位置关系，考查球的体积计算，属于基础题.

11．知函数1(0),()0(0),1(0),x w x x x -

==??>?

()f x 是R 上的减函数，()()()(1)g x f x f ax a =->，则

（ ）

A ．2(())()w g x w x =-

B ．(())()

w g x w x =-

C ．2(())()w g x w x =

D ．(())()w g x w x =

【答案】D

【解析】将x 分成0,0,0x x x >=<三种情况，结合分段函数()w x 的解析式，求得

(())w g x 的解析式，由此确定正确选项.

【详解】

①当0x >时，x ax <，由单调性可知()0>g x ，此时(())1()w g x w x ==； ②当0x =时，()0g x =，此时(())(0)0()w g x w w x ===；

③当0x <时，x ax >，由单调性可知()0

本小题主要考查复合函数解析式的求法，考查分段函数的性质，属于基础题. 12．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意的x ∈R 都有

5122f x f x ???

?+=- ? ?????，当3,02x ??∈- ???时，2()log (1)f x x =--，则

(2020)(2019)f f -=（ ）

A ．1

B ．2

C ．1-

D ．2-

【答案】A

【解析】首先根据5122f x f x ?

???+

=- ? ??

??

?求得()f x 的周期，由此化简()()(2020)(2019)10f f f f -=-，利用()f x 为奇函数，以及3

,02

x ??∈- ??

?

时()

f x 的解析式，求得()()1,0f f 的值，由此求得(2020)(2019)f f -的值. 【详解】

函数()f x 满足对任意的x ∈R 都有5122f x f x ????+

=- ? ??

??

?，则(3)()f x f x +=，所以(2020)(36731)(1)f f f =?+=，(2019)(3673)(0)f f f =?=.由函数()f x 是定义

在R 上的奇函数，知(0)0f =.当3,02x ??

∈-

???

时，2()log (1)f x x =--，则

22(1)log [1(1)]log 21f -=---=-=-，则(1)(1)1f f =--=，故(2020)(2019)(1)(0)101f f f f -=-=-=.

故选：A 【点睛】

本小题主要考查函数的周期性、奇偶性，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.

二、填空题

13．函数()log (4)a f x x =-（0a >且1a ≠）的图象恒过定点的坐标为______. 【答案】（5,0）

【解析】根据log 10a =，求得()f x 图象所过定点. 【详解】

令41x -=，解得5x =，所以函数()log (4)a f x x =-（0a >且1a ≠）的图象恒过定点的坐标为（5,0） 故答案为：()5,0 【点睛】

本小题主要考查对数型函数过定点问题，属于基础题.

14．扇形OAB 的圆心角为90°，半径1OA OB ==，则该扇形绕OA 所在直线旋转一周得到的几何体的表面积为___________. 【答案】3π

【解析】根据旋转体的概念判断出旋转所得几何体为半球，由此求得半球的表面积. 【详解】

由已知可得，以OA 所在直线为旋转轴将整个图形旋转一周所得几何体是一个半球，半球的半径为故半球的表面积为22223r r πππππ+=+=.

?

故答案为：3π 【点睛】

本小题主要考查旋转体的结构判断，考查半球表面积有关计算，属于基础题.

15．《九章算术》卷第五——商功中记载有几何体“方亭”，一“方亭”的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是全等的等腰梯形.则其侧棱与底面所成的角为_______.

【答案】60°

【解析】画出“方亭”的对角面，根据线面角的定义，判断出侧棱与底面所成的角，解三角形求出这个角. 【详解】

由三视图可知“方亭”实质为上下底面均为正方形的棱台，上底面边长为1，下底面边长为3，高为6.画出“方亭”的对角面，如图所示，为上底为2，下底为32的等腰梯形ABCD ，过点,B C 分别作BE AD ⊥，CF AD ⊥，易知BE ⊥底面，所以BAE ∠是侧棱与底面所成的角.2AE DF ==

，又6BE =

，所以tan 3BE

BAE AE

∠=

=，所以60BAE ?∠=，所以侧棱与底AF 面所成的角为60°

.

故答案为：60o 【点睛】

本小题主要考查棱台侧棱与底面所成角的计算，考查中国古代数学文化，属于基础题. 16．已知圆C 的圆心在y 轴上，若直线30kx y -+=与圆C 相切于点(2,1)A --，则圆C 的标准方程为___. 【答案】2

2

(2)5x y ++=

【解析】设出圆心的坐标()0,m ，判断出A 在直线30kx y -+=上，将A 的坐标代入直线方程，求得k 的值为3.根据圆心和切点的连线与直线230x y -+=垂直列方程，由此求得m 的值，利用两点间的距离公式求得圆的半径，进而求得圆的标准方程. 【详解】

设圆C 的圆心坐标为(0,)m .直线30kx y -+=与圆C 相切于点(2,1)A --，显然A 点在该直线上，即2(1)30k ---+=，解得2k =.又圆心和切点的连线与直线

230x y -+=垂直，所以

(1)1

0(2)2

m --=---，解得2m =-.根据两点间的距离公式，可得

圆C

的半径r =

=.故圆C 的标准方程为22

(2)5x y ++=.

故答案为：2

2

(2)5x y ++= 【点睛】

本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查圆的标准方程的求法，考查圆的几何性质，属于基础题.

三、解答题

17．计算：（Ⅰ）1

42

2

1812224--

-??

??-?-+ ? ???

??； （Ⅱ）()2

212413331

ln lg log 8log 27log 3log 3log 2log 2100e -???+?++- ???

. 【答案】（Ⅰ）-2（Ⅱ）-8

【解析】（I ）利用指数运算，化简求得表达式的值. （II ）利用对数运算，化简求得表达式的值. 【详解】

（Ⅰ）142

2

1812224--

-??

??-?-+ ? ????? 1

16824

=?-+

482=-+

2=-.

（Ⅱ）()2

212413331

lne lg

log 8log 27log 3log 3log 2log 2100-???+?++- ???

()233

(2)(2)3(3)log 32log 22

=-?-+?-+?-

493=-- 8=-.

【点睛】

本小题主要考查指数运算和对数运算，属于基础题. 18．已知三点(5,0)A ，(3,2)B --，(0,2)C . （Ⅰ）求线段AB 的中垂线方程；

（Ⅱ）求线段BC 的中点到直线AB 的距离. 【答案】（Ⅰ）430x y +-=（Ⅱ

【解析】（I ）首先求得线段AB 的斜率，由此求得中垂线的斜率，然后求得线段AB 中点的坐标，由此求得中垂线的方程.

（II ）求得直线AB 的方程，求得线段BC 中点的坐标，根据点到直线的距离公式，求得线段BC 的中点到直线AB 的距离. 【详解】

（Ⅰ）由题得201

354

AB k --=

=--，

所以线段AB 的中垂线斜率4k =-. 又线段AB 的中点坐标为(1,1)-，

所以线段AB 的中垂线方程为()141y x +=--，即430x y +-=. （Ⅱ）由（Ⅰ）可得直线AB 的方程为1

0(5)4

y x -=

-，即450x y --=. 线段BC 的中点为3,02

??- ???

，

所以线段BC 的中点到直线AB

=

【点睛】

本小题主要考查直线方程的求法，考查点到直线的距离公式，考查中点坐标公式，属于基础题.

19．已知幂函数35()()m f x x m N -+=∈为偶函数，且在区间(0,)+∞上单调递增. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；

（Ⅱ）设函数()()21g x f x x λ=+-，若()0

【答案】（Ⅰ）2

()f x x =（Ⅱ）3,4?

?-∞-

???

【解析】（I ）根据幂函数的奇偶性和在区间(0,)+∞上的单调性，求得m 的值，进而求得()f x 的解析式.

（II ）先求得()g x 的解析式，由不等式()0

x

x λ<-，结合函数122

x

y x =

-在区间[]1,2上的单调性，求得λ的取值范围. 【详解】

（Ⅰ）∵幂函数35

()()m f x x

m -+=∈N 为偶函数，且在区间(0,)+∞上单调递增， 350m ∴-+>，且35m -+为偶数.

又N m ∈，解得1m =，

2()f x x ∴=.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知2

()()2121g x f x x x x λλ=+-=+-.

当[1,2]x ∈时，由()0

x

x λ<-. 易知函数122

x

y x =

-在[1,2]上单调递减， min 112322222

4x x λ??

∴<-=-=- ????.

∴实数λ的取值范围是3,4?

?-∞- ???

. 【点睛】

本小题主要考查幂函数的单调性和奇偶性，考查不等式在给定区间上恒成立问题的求解策略，属于中档题.

20．为保障城市蔬菜供应，某蔬菜种植基地每年投入20万元搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入2万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜.根据以往的经验，发现种西红柿的年收入()f x 、种黄瓜的年收入()g x 与大棚投入x

分别满足

()8f x =+1

()124

g x x =

+.设甲大棚的投入为a ，每年两个大棚的总收入为()F a .（投入与收入的单位均为万元）

（Ⅰ）求(8)F 的值.

（Ⅱ）试问：如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使年总收人()F a 最大？并求最大年总收入.

【答案】（Ⅰ）39万元（Ⅱ）甲大棚投入18万元，乙大棚投入2万元时，最大年总收入为44.5万元.

【解析】（I ）根据题意求得()F a 的表达式，由此求得()8F 的值.

（II ）求得()F a 的定义域，利用换元法，结合二次函数的性质，求得()F a 的最大值，以及甲、乙两个大棚的投入. 【详解】

（Ⅰ

）由题意知11

()8(20)122544

F a a a =++-+=-++，

所以1

(8)825394

F =-

?+=（万元）. （Ⅱ）依题意得2,218202a a a ???

-?

…

剟….

故1

()25(218)4

F a a a =-

+剟.

令t =

，则t ∈

，22

11()25(5744

G t t t =-++=--+，

显然在上()G t 单调递增，

所以当t =18a =时，()F a 取得最大值，max ()44.5F a =. 所以当甲大棚投入18万元，乙大棚投入2万元时，年总收入最大，且最大年总收入为44.5万元. 【点睛】

本小题主要考查函数在实际生活中的应用，考查含有根式的函数的最值的求法，属于中

档题.

21．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，平面PAC ⊥平面PCD ，

PA CD ⊥，3CD DP ==，2PC =，4=AD .

（Ⅰ）设,G H 分别为,PB AC 的中点，求证：//GH 平面PAD ； （Ⅱ）求证：PA ⊥平面PCD ；

（Ⅲ）求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ2

【解析】（I ）连接BD ，利用平行四边形的性质，结合三角形的中位线，证得//GH PD ，由此证得//GH 平面PAD .

（II ）取棱PC 的中点N ，连接DN ，根据等腰三角形的性质证得DN PC ⊥，根据面面垂直的性质定理证得DN ⊥平面PAC ，由此证得DN PA ⊥，再由PA CD ⊥证得

PA ⊥平面PCD .

（III ）连接AN ，结合（II ）中证得的DN ⊥平面PAC ，判断出DAN ∠为直线AD 与平面PAC 所成的角，解三角形求得线面角的正弦值. 【详解】

（Ⅰ）如图，连接BD .

易知AC BD H =I ，BH DH =. 又由BG=PG ， 可知//GH PD .

因为GH ?/平面PAD ，PD ?平面PAD ， 所以//GH 平面PAD .

（Ⅱ）如图，取棱PC 的中点N ，连接DN . 依题意，得DN PC ⊥，

又因为平面PAC ⊥平面PCD ，平面PAC I 平面PCD PC =， 所以DN ⊥平面PAC ，又PA ?平面PAC ，

故DN PA ⊥. 又因为PA CD ⊥，CD DN D =I ， 所以PA ⊥平面PCD . （Ⅲ）如图，连接AN .

由（Ⅱ）中DN ⊥平面PAC ，可知DAN ∠为直线AD 与平面PAC 所成的角. 因为3CD DP ==，2PC =，且N 为PC 中点， 所以22DN =.

又DN AN ⊥，在Rt AND V 中，4=AD ， 所以222

sin DN DAN AD ∠=

==

. 所以直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值为

2

2

.

【点睛】

本小题主要考查线面平行的证明，考查线面垂直的证明，考查线面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.

22．已知函数2,,

()lg 1,,x x m f x x x m ??=?+>??

?其中01m

（Ⅰ）当0m =时，求函数()2y f x =-的零点个数；

（Ⅱ）当函数2

()3()y f x f x =-的零点恰有3个时，求实数m 的取值范围.

【答案】（Ⅰ）零点3个. （Ⅱ）10,

100??

????

【解析】（I ）当0m =时，由()20f x -=，结合分段函数解析式，求得函数的零点，由此判断出()2y f x =-的零点的个数.

（II ）令2

()3()0f x f x -=，解得()0f x =（根据分段函数解析式可知()0f x >，故

舍去.）或()3f x =.结合分段函数解析式，求得()3f x =的根，结合分段函数()f x 的

分段点，求得m 的取值范围. 【详解】

（Ⅰ）当0m =时，2,0,

()lg 1,0.x x f x x x ??=?

+>??

? 令()20y f x =-=，得()2f x =， 则|lg |12x +=或||22x =. 解|lg |12x +=，得10x =或

110

， 解||22x =，得1x =-或1x =（舍）.

所以当0m =时，函数()2y f x =-的零点为1-，

1

10

，10，共3个. （Ⅱ）令2

()3()0f x f x -=，得()0f x =或()3f x =.

由题易知()0f x >恒成立.

所以()3f x =必须有3个实根，即|lg |13x +=和||23x =共有3个根. ①解||23x =，得2log 3x =-或2log 31x =>（舍），故有1个根. ②解|lg |13x +=，得100x =或1

100

x =， 要使得两根都满足题意，则有1100

m <. 又01m

m <

?. 所以实数m 的取值范围为10,100??

????

. 【点睛】

本小题主要考查分段函数零点个数的判断，考查根据函数零点个数求参数的取值范围，属于中档题.