高中数学人教版必修空间直角坐标系教案(系列一)
4.3.1 空间直角坐标系
一、教材分析
学生已经对立体几何以及平面直角坐标系的相关知识有了较为全面的认识,学习《空间直角坐标系》有了一定的基础.这对于本节内容的学习是很有帮助的.但部分同学仍然会在空间思维与数形结合方面存在困惑.
本节课的内容是非常抽象的,试图通过教师的讲解而让学生听懂、记住、会用是徒劳的,必须突出学生的主体地位,通过学生的自主学习与和同学的合作探究,让学生亲手实践,这样学生才能获得感性认识,从而为后续的学习并上升到理性认识奠定基础.通过激发学生学习的求知欲望,使学生主动参与教学实践活动.创设学习情境,营造氛围,精心设计问题,让学生在整个学习过程中经常有自我展示的机会,并有经常性的成功体验,增强学生的学习信心,从学生已有的知识和生活经验出发,让学生经历知识的形成过程.通过阅读教材,并结合空间坐标系模型,模仿例题,解决实际问题.
二、教学目标
1．知识与技能
（1）使学生深刻感受到空间直角坐标系的建立的背景
（2）使学生理解掌握空间中点的坐标表示
2．过程与方法
建立空间直角坐标系的方法与空间点的坐标表示
3．情态与价值观
通过数轴与数、平面直角坐标系与一对有序实数，引申出建立空间直角坐标系的必要性，培养学生类比和数列结合的思想.
三、教学重点与难点
教学重点：在空间直角坐标系中确定点的坐标.
教学难点：通过建立适当的直角坐标系确定空间点的坐标,以及相关应用.
四、安排
1
五、教学设计
（一）导入新课
思路1.大家先来思考这样一个问题,天上的飞机的速度非常的快,即使民航飞机速度也非
常快,有很多飞机时速都在1 000 km以上,而全世界又这么多,这些飞机在空中风驰电掣,速度是如此的快,岂不是很容易撞机吗？但事实上,飞机的失事率是极低的,比火车,汽车要低得多,原因是,飞机都是沿着国际统一划定的航线飞行,而在划定某条航线时,不仅要指出航线在地面上的经度和纬度,还要指出航线距离地面的高度.为此我们学习空间直角坐标系,教师板书课题:空间直角坐标系.
思路2.我们知道数轴上的任意一点M都可用对应一个实数x表示,建立了平面直角坐标系后,平面上任意一点M都可用对应一对有序实数(x,y)表示.那么假设我们建立一个空间直角坐标系时,空间中的任意一点是否可用对应的有序实数组(x,y,z)表示出来呢？为此我们学习空间直角坐标系,教师板书课题:空间直角坐标系.
（二）推进新课、新知探究、提出问题
①在初中,我们学过数轴,那么什么是数轴?决定数轴的因素有哪些?数轴上的点怎样表示?
②在初中,我们学过平面直角坐标系,那么如何建立平面直角坐标系?决定平面直角坐标系的因素有哪些?平面直角坐标系上的点怎样表示?
③在空间,我们是否可以建立一个坐标系,使空间中的任意一点都可用对应的有序实数组表示出来呢？
④观察图1,体会空间直角坐标系该如何建立.
⑤观察图2,建立了空间直角坐标系以后,空间中任意一点M如何用坐标表示呢？
讨论结果：①在初中,我们学过数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线.决定数轴的因素有原点、正方向和单位长度.这是数轴的三要素.数轴上的点可用与这个点对应的实数x来表示.
②在初中,我们学过平面直角坐标系,平面直角坐标系是以一点为原点O,过原点O分别作两条互相垂直的数轴Ox和Oy,xOy称平面直角坐标系,平面直角坐标系具有以下特征：两条数轴：①互相垂直②原点重合③通常取向右、向上为正方向④单位长度一般取相同的.平面直角坐标系上的点用它对应的横、纵坐标表示,括号里横坐标写在纵坐标的前面,它们是一对有序实数(x,y).
③在空间,我们也可以类比平面直角坐标系建立一个坐标系,即空间直角坐标系,空间中的任意一点也可用对应的有序实数组表示出来.
④观察图2,OABC—D′A′B′C′是单位正方体,我们类比平面直角坐标系的建立来建立一
个坐标系即空间直角坐标系,以O为原点,分别以射线OA,OC,OD′的方向为正方向,以线段OA,OC,OD′的长为单位长度,建立三条数轴Ox,Oy,Oz称为x轴、y轴和z轴,这时我们说建立了一个空间直角坐标系O—xyz,其中O叫坐标原点,x轴、y轴和z轴叫坐标轴.如果我们把通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,我们又得到三个坐标平面xOy平面,yOz平面,zOx平面.
由此我们知道,确定空间直角坐标系必须有三个要素,即原点、坐标轴方向、单位长.
图1
图1表示的空间直角坐标系也可以用右手来确定.用右手握住z轴,当右手的四个手指从x轴正向以90°的角度转向y轴的正向时,大拇指的指向就是z轴的正向.我们称这种坐标系为右手直角坐标系.如无特别说明,我们课本上建立的坐标系都是右手直角坐标系.
注意:在平面上画空间直角坐标系O—xyz时,一般使∠xOy=135°,∠xOy=90°.即用斜二测画法画立体图,这里显然要注意在y轴和z轴上的都取原来的长度,而在x轴上的长度取原来长度的一半.同学们往往把在x轴上的长度取原来的长度,这就不符和斜二测画法的约定,直观性差.
⑤观察图2,建立了空间直角坐标系以后,空间中任意一点M就可以用坐标来表示了.
已知M为空间一点.过点M作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴,它们与x轴、y轴和z轴的交点分别为P、Q、R,这三点在x轴、y轴和z轴上的坐标分别为x,y,z.于是空间的一点M就唯一确定了一个有序数组x,y,z.这组数x,y,z就叫做点M的坐标,并依次称x,y,z为点M的横坐标.纵坐标和竖坐标.坐标为x,y,z的点M通常记为M(x,y,z).
图2
反过来,一个有序数组x,y,z,我们在x轴上取坐标为x的点P,在y轴上取坐标为y的点Q,在z轴上取坐标为z的点R,然后通过P、Q与R分别作x轴、y轴和z轴的垂直平面.这三个
垂直平面的交点M即为以有序数组x,y,z为坐标的点.数x,y,z就叫做点M的坐标,并依次称x,y和z为点M的横坐标、纵坐标和竖坐标.(如图2所示)
坐标为x,y,z的点M通常记为M(x,y,z).我们通过这样的方法在空间直角坐标系内建立了空间的点M和有序数组x,y,z之间的一一对应关系.
注意：坐标面上和坐标轴上的点,其坐标各有一定的特征.
如果点M在yOz平面上,则x=0；同样,zOx面上的点,y=0；xOy面上的点,z=0；如果点M在x轴上,则y=z=0；如果点M在y轴上,则x=z=0；如果点M在z轴上,则x=y=0；如果M是原点,则x=y=z=0.
空间点的位置可以由空间直角坐标系中的三个坐标唯一确定,因此,常称我们生活的空间为“三度空间或三维空间”.事实上,我们的生活空间应该是四度空间,应加上时间变量t.即(x,y,z,t),它表示在时刻t所处的空间位置是(x,y,z).
（三）应用示例
思路1
例1 如图3,长方体OABC—D′A′B′C′中,|OA|=3,|OC|=4,|OD′|=2,写出D′,C,A′,B′四点的坐标.
图3
活动：学生阅读题目,对照刚学的知识,先思考,再讨论交流,教师适时指导,要写出点的坐标,首先要确定点的位置,再根据各自坐标的含义和特点写出.D′在z轴上,因此它的横纵坐标都为0,C在y轴上,因此它的横竖坐标都为0,A′为在zOx面上的点,y=0；B′不在坐标面上,三个坐标都要求.
解:D′在z轴上,而|OD′|=2,因此它的竖坐标为2,横纵坐标都为0,因此D′的坐标是(0,0,2).同理C的坐标为(0,4,0).A′在xOz平面上,纵坐标为0,A′的横坐标就是|OA|=3,A′的竖坐标就是|OD′|=2,所以A′的坐标就是(3,0,2).点B′在xOy平面上的射影是点B,因此它的横坐标x与纵坐标y同点B的横坐标x与纵坐标y相同,在xOy平面上,点B的横坐标x=3,纵坐标y=4点B′在z轴上的射影是点D′,它的竖坐标与D′的竖坐标相同,点D′的竖坐标z=2,所以点B′的坐标是(3,4,2).
点评:能准确地确定空间任意一点的直角坐标是利用空间直角坐标系的基础,一定掌握
如下方法,过点M 作三个平面分别垂直于x 轴、y 轴和z 轴,确定x,y 和z,同时掌握一些特殊
点的坐标的表示特征.
例2 讲解课本例2.
活动：学生阅读,思考与例1的不同,教师引导学生考虑解题的方法,图中没有坐标系,这就
给我们解题带来了难度,同时也给我们的思维提供了空间,如何建立空间直角坐标系才能使问
题变得更简单?一般来说,以特殊点为原点,我们所求的点在坐标轴上或在坐标平面上的多为
基本原则建立空间直角坐标系,这里我们以上底面为xOy 平面,其他不变,来看这15个点的坐
标.
解:把图中的钠原子分成上、中、下三层,下层的钠原子全部在xOy 平面上,因此其竖坐
标全部是0,所以这五个钠原子所在位置的坐标分别为(0,0,0)、(1,0,0)、(1,1,0)、(0,1,0)、(21,
21,0)中层的钠原子全部在与xOy 平行的平面上,与z 轴交点的竖坐标是
21,所以这四个钠原子所在位置的坐标分别为(21,0,21)、(1,21,21)、(21,1,21)、(0,21,2
1)上层的钠原子全部在与xOy 平行的平面上,与z 轴交点的竖坐标是1,所以这五个钠原子所在位置的坐标分别为(0,0,1)、(1,0,1)、(1,1,1)、(0,1,1)、(
21,21,1). 思考：如果把原点取在中间的点(上述两点的中点氯原子)上,以中层面作为xOy 平面,结
果会怎样呢？
解:把图中的钠原子分成上、中、下三层,中层的钠原子全部在xOy 平面上,因此其竖坐
标全部是0,所以这四个钠原子所在位置的坐标分别为(
21,0,0)、(1,21,0)、(21,1,0)、(0,2
1,0)上层的钠原子全部在与xOy 平行的平面上,与轴交点的竖坐标是2
1,所以这五个钠原子所在位置的坐标分别为(0,0, 21)、(0,1, 21)、(1,0, 21)、(1,1, 21)、(21,21,2
1)下层的钠原子全部在与xOy 平行的平面上,与轴交点的竖坐标是2
1,所以这五个钠原子所在位置的坐标分别为(0,0,21)、(1,0,21)、(1,1,21)、(0,1,21)、(21,21,21). 点评:建立坐标系是解题的关键,坐标系建立的不同,点的坐标也不同,但点的相对位置是
不变的,坐标系的不同也会引起解题过程的难易程度不同.因此解题时要慎重建立空间直角坐
标系.
思路2
例1 如图4,已知点P′在x 轴正半轴上,|OP′|=2,PP′在xOz 平面上,且垂直于x 轴,|PP′|=1,求点P′
和P 的坐标.
图4
解:显然,P′在x 轴上,它的坐标为(2,0,0).
若点P 在xOy 平面上方,则点P 的坐标为(2,0,1).
若点P 在xOy 平面下方,则点P 的坐标为(2,0,1).
点评:注意点P 有两种可能的位置情况,不要漏解.
例2 如图5,在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,E,F 分别是BB 1和D 1B 1的中点,棱长为1,求E,F
点的坐标.
图5
解:方法一:从图中可以看出E 点在xOy 平面上的射影为B,而B 点的坐标为(1,1,0),E 点
的竖坐标为
21,所以E 点的坐标为(1,1,2
1)F 点在xOy 平面上的射影为G,而G 点的坐标为(21,21,0),F 点的竖坐标为1,所以F 点的坐标为(21,21,1). 方法二:从图中条件可以得到B 1(1,1,1),D 1(0,0,1),B(1,1,0).E 为BB 1的中点,F 为D 1B 1的中
点,由中点坐标公式得E 点的坐标为(
201,211,211+++)=(1,1,21),F 点的坐标为(211,201,201+++)=(21,2
1,1). 点评:(1)平面上的中点坐标公式可以推广到空间,即设A(x 1,y 1,z 1),B(x 2,y 2,z 2),则AB 的中
点P(
221x x +,221y y +,2
21z z +)
(2)熟记坐标轴上的点的坐标和坐标平面上的点的坐标表示的特征.
变式训练
1.在上题中求B 1(1,1,1)点关于平面xoy 对称的点的坐标.
解:设所求的点为B 0(x 0,y 0,z 0),由于B 为B 0B 1的中点,所以????
?????+=+=+=210,211,211000z y x 解之,得?????-===1,1,1000z y x .所以B 0(1,1,1).
2.在上题中求B 1(1,1,1)点关于z 轴对称的点的坐标.
解:设所求的点为P(x 0,y 0,z 0),由于D 1为PB 1的中点,因为D 1(0,0,1),所以????
?????+=+=+=.211,210,210000z y x 解之,得?????=-=-=.
1,1,1000z y x 所以P(1,1,1).
3.在上题中求B 1(1,1,1)点关于原点D 对称的点的坐标.
解:设所求的点为M(x 0,y 0,z 0),由于D 为MB 1的中点,因为D(0,0,0),所以????
?????+=+=+=210,210,210000z y x .解之,得?????-=-=-=.
1,1,1000z y x 所以M(1,1,1).
（四）知能训练
课本本节练习1、2、3.
（五）拓展提升
1.在空间直角坐标系中的点P(x,y,z)关于①坐标原点②横轴(x轴)③纵轴(y轴)④竖轴(z轴)⑤xOy坐标平面⑥yOz坐标平面⑦zOx坐标平面的对称点的坐标是什么?
解:根据平面直角坐标系的点的对称方法结合中点坐标公式可知:
点P(x,y,z)关于坐标原点的对称点为P1(x,y,z)
点P(x,y,z)关于横轴(x轴)的对称点为P2(x,y,z)
点P(x,y,z)关于纵轴(y轴)的对称点为P3(x,y,z)
点P(x,y,z)关于竖轴(z轴)的对称点为P4(x,y,z)
点P(x,y,z)关于xOy坐标平面的对称点为P5(x,y,z)
点P(x,y,z)关于yOz坐标平面的对称点为P6(x,y,z)
点P(x,y,z)关于zOx坐标平面的对称点为P7(x,y,z).
点评:其中记忆的方法为:关于谁谁不变,其余的相反.如关于横轴(x轴)的对称点,横坐标不变,纵坐标、竖坐标变为原来的相反数关于xOy坐标平面的对称点,横坐标、纵坐标不变,竖坐标相反.
变式训练
在空间直角坐标系中的点P(a,b,c),有下列叙述:
①点P(a,b,c)关于横轴(x轴)的对称点是P1(a,b,c)②点P(a,b,c)关于yOz坐标平面的对称点为P2(a,b,c)③点P(a,b,c)关于纵轴(y轴)的对称点是P3(a,b,c)④点P(a,b,c)关于坐标原点的对称点为P4(a,b,c).
其中正确叙述的个数为( )
A.3
B.2
C.1
D.0
分析：①②③错,④对.
答案：C
（六）课堂小结
1.空间直角坐标系的建立.
2.空间直角坐标系中点的坐标的确定.
3.空间直角坐标系中点的位置的确定.
4.中点公式：
P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),则P1P2中点M的坐标为(
22
1x
x+
,
22
1y
y+
,
22
1z
z+
).
5.空间直角坐标系中点的对称点的坐标.
（七）作业
习题4.3 A组1、2.
空间中点线面的位置关系练习题
1、下列有关平面的说法正确的是（ ） A 一个平面长是10cm ，宽是5cm B 一个平面厚为1厘米 C 平面是无限延展的 D 一个平面一定是平行四边形 2、已知点A 和直线a 及平面α，则： ①αα???∈A a a A , ② αα∈??∈A a a A , ③αα????A a a A , ④αα???∈A a a A , 其中说法正确的个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 3、下列图形不一定是平面图形的是（ ） A 三角形 B 四边形 C 圆 D 梯形 4、三个平面将空间可分为互不相通的几部分（ ） A.4、6、7 B.3、4、6、7 C.4、6、7、8 D.4、6、8 5、共点的三条直线可确定几个平面 （ ） A.1 B.2 C.3 D.1或3 6、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 、Q 、R 分别是AB 、AD 、1B 1C 1的中点， 则，正方体的过P 、Q 、R 的截面图形是（ ） A 三角形 B 四边形 C 五边形 D 六边形 7、三个平面两两相交，交线的条数可能有———————————————— 8、不共线的四点可以确定——————————————————个平面。 9、下列说法①若一条直线和一个平面有公共点，则这条直线在这个平面内②过两条相交直线的平面有且只有一个③若两个平面有三个公共点，则两个平面重合④两个平面相交有且只有一条交线⑤过不共线三点有且只有一个平面，其中正确的有——————————— 10、空间两条互相平行的直线指的是（ ） A.在空间没有公共点的两条直线 B.分别在两个平面内的两条直线 C.分别在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线 D.在同一平面内且没有公共点的两条直线 11、分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是（ ） A 异面直线 B 相交直线 C 不平行直线 D 不相交直线 12、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，与直线BD 异面且成600角的面对角线有（ ）条。 A 4 B 3 C 2 D 1 13、设A 、B 、C 、D 是空间四个不同的点，下列说法中不正确的是（ ） A.若AC 和BD 共面，则AD 与BC 共面 B.若AC 和BD 是异面直线，则AD 与BC 是异面直线 C.若AB ＝AC ，DB ＝DC ，则AD ＝BC D.若AB ＝BC ＝CD ＝DA ，则四边形ABCD 不一定是菱形 14、空间四边形SABC 中，各边及对角线长都相等，若E 、F 分别为SC 、AB 的中点， 那么异面直线EF 与SA 所成的角为（ ） A 300 B 450 C 600 D 900 15、和两条平行直线中的一条是异面直线的直线,与另一条直线的位置关系是———————————————————— 16、设c b a 、、表示直线，给出四个论断：①b a ⊥②c c ⊥③c a ⊥④c a //，以其中任意两个为条件，另外的某一个为结论，写出你认为正确的一个命题—————————————————— 17、ABCDEF 是正六边形，P 是它所在平面外一点，连接PA 、PB 、PC 、PD 、PE 、PF 后与正六边形的六条边所在直线共十二条直线中，异面直线共有——————————对。 18、点E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，且BD ＝AC ，则四边形EFGH 是————————————。 A Q B 1 R C B D P A 1 C 1 D 1 ? ? ? S C A B E F
空间直角坐标系》教学设计
《空间直角坐标系》教学设计 （一）教学目标1．知识与技能 （1）使学生深刻感受到空间直角坐标系的建立的背景（2）使学生理解掌握空间中点的坐标表示 2．过程与方法建立空间直角坐标系的方法与空间点的坐标表示 3．情态与价值观通过数轴与数、平面直角坐标系与一对有序实数，引申出建立空间直角坐标系的必要性，培养学生类比和数形结合的思想. （二）教学重点和难点空间直角坐标系中点的坐标表示. （三）教学手段多媒体 （四）教学设计 教学 环节 教学内容师生互动设计意图 复习引入问题情景1 对于直线上的点，我们可以通过数 轴来确定点的位置，数轴上的任意一 点M都可用对应一个实数x表示；对 于平面上的点，我们可以通过平面直 角坐标系来确定点的位置，平面上任 意一点M都可用对应一对有序实数 (x，y)表示；对于空间中的点，我们也 希望建立适当的坐标系来确定点的位 置. 因此，如何在空间中建立坐标系， 就成为我们需要研究的课题. 师：启发学生联想思 考，生：感觉可以 师：我们不能仅凭感 觉，我们要对它的认 识从感性化提升到理 性化. 让学生体 会到点与 数（有序数 组）的对应 关系.培养 学生类比 的思想.
那么假设我们建立一个空间直角坐标系后，空间中的任意一点是否可用对应的有序实数组(x，y，z)表示出来呢 概念形成问题情景2 空间直角坐标系该如何建立呢 O x X 一维坐标 二维坐标 三维坐标（图） 师：引导学生看 图，单位正方体OABC –D′A′B′C′，让学生认 识该空间直角系O –xyz中，什么是坐标 原点，坐标轴以及坐标 平面. 师：该空间直角坐 标系我们称为右手直 角坐标系. 让学生通过 对一维坐 标、二维坐 标的认识， 体会空间直 角坐标系的 建立过程. 问题情景3 建立了空间直角坐标系以后，空间中 任意一点M如何用坐标表示呢 师：引导学生观察 图， 生：点M对应着 唯一确定的有序实数 组(x，y，z)，x、y、z 分别是P、Q、R在x、 通过幻灯片 展示横坐 标、纵坐标、 竖坐标产生 过程，让 学生从图中
空间直角坐标系整理
2．3．1 空间直角坐标系 一、教材知识解析 1、空间直角坐标系的定义：从空间某一个定点O 引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系O-xyz ，点O 叫做坐标原点，x 轴、y 轴和z 轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xOy 平面、yOz 平面和xOz 平面。 2、右手直角坐标系及其画法： （1）定义：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方 向，若中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。教材上所指的都是右手直角坐标系。 （2）画法： 将空间直角坐标系画在纸上时，x 轴与y 轴、x 轴与z 轴均成135°，而z 轴垂直于y 轴，y 轴和z 轴的长度单位相同，x 轴上的单位长度为y 轴（或z 轴）的长度的一半，这样，三条轴上的单位长度在直观上大体相等。 3、空间中点的坐标表示：点在对应数轴上的坐标依次为x 、y 、z ，我们把有序实数组（x ， y ，z ）叫做点A 的坐标，记为A （x ，y ，z ）。 二、题型解析： 题型1、在空间直角坐标系下作点。 例1、在空间直角坐标系中，作出M(4,2,5). 解：法一：依据平移的方法，为了作出M(4,2,5)， 可以按如下步骤进行：（1）在x 轴上取横坐 标为4的点1M ；（2）将1M 在xoy 平面内沿与y 轴平行的方向向右移动2个单位，得到 点2M ；（3）将2M 沿与z 轴平行的方向向上 移动5个单位，就可以得到点M （如图）。 法二：以O 为一个顶点，构造三条棱长分别为4，2，5的长方体，使此长方体在点O 处的三 条棱分别在x 轴的正半轴、y 轴的正半轴、z 轴的正半轴上，则长方体与顶点O 相对的顶点即为所求的点M 。 法三：在x 轴上找到横坐标为4的点，过此点作与x 垂直的平面α；在y 轴上找到纵坐标为2 的点，过此点作与y 垂直的平面β；在z 轴上找到竖坐标为5的点，过此点作与z 垂直的平面γ；则平面αβγ,,交于一点，此交点即为所求的点M 的位置。 【技巧总结】：（1）若要作出点M 000(,,)x y z 的坐标有两个为0，则此点是坐标轴上的点，可 直接在坐标轴上作出此点； （2）若要作出点M 000(,,)x y z 的坐标有且只有一个为0，则此点不在坐标轴上，但在某一坐 标平面内，可以按照类似于平面直角坐标系中作点的方法作出此点。 （3）若要作出点M 000(,,)x y z 的坐标都不为0，则需要按照一定的步骤作出该点，一般有三 种方法：①在x 轴上取横坐标为0x 的点1M ；再将1M 在xoy 平面内沿与y 轴平行的方向向左（00y <）或向右（00y >）平移0||y 个单位，得到点2M ；再将2M 沿与z 轴平
高中数学空间点线面之间的位置关系的知识点总结(1)
高中空间点线面之间位置关系知识点总结 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 1 平面含义：平面是无限延展的 2 平面的画法及表示 （1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图） （2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 3 三个公理： （1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为 A ∈L B ∈L => L α A ∈α B ∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内 （2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。 公理2作用：确定一个平面的依据。 D C B A α L A · α C · B · A · α
（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 a ∥ b c ∥b 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 注意点： ① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为 简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )； ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； P · α L β 共面直线 =>a ∥c 2
知识讲解空间直角坐标系基础
空间直角坐标系 【学习目标】 通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置.通过表示特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式. 【要点梳理】 要点一、空间直角坐标系 1.空间直角坐标系 从空间某一定点O 引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系Oxyz ，点O 叫做坐标原点，x 轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面. 2.右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系. 3.空间点的坐标 空间一点A 的坐标可以用有序数组(x ，y ，z)来表示，有序数组(x ，y ，z)叫做点A 的坐标，记作A(x ，y ，z)，其中x 叫做点A 的横坐标，y 叫做点A 的纵坐标，z 叫做点A 的竖坐标. 要点二、空间直角坐标系中点的坐标 1.空间直角坐标系中点的坐标的求法 通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标. 特殊点的坐标：原点()0,0,0；,,x y z 轴上的点的坐标分别为()()(),0,0,0,,0,0,0,x y z ；坐标平面,,xOy yOz xOz 上的点的坐标分别为()()(),,0,0,,,,0,x y y z x z .
2.空间直角坐标系中对称点的坐标 在空间直角坐标系中，点(),,P x y z ，则有 点P 关于原点的对称点是()1,,P x y z ---； 点P 关于横轴(x 轴)的对称点是()2,,P x y z --； 点P 关于纵轴(y 轴)的对称点是()3,,P x y z --； 点P 关于竖轴(z 轴)的对称点是()4,,P x y z --； 点P 关于坐标平面xOy 的对称点是()5,,P x y z -； 点P 关于坐标平面yOz 的对称点是()6,,P x y z -； 点P 关于坐标平面xOz 的对称点是()7,,P x y z -. 要点三、空间两点间距离公式 1.空间两点间距离公式 空间中有两点()()111222,,,,,A x y z B x y z ，则此两点间的距离 ||d AB == 特别地，点(),,A x y z 与原点间的距离公式为OA = 2.空间线段中点坐标 空间中有两点()()111222,,,,,A x y z B x y z ，则线段AB 的中点C 的坐标为121212,,222x x y y z z +++?? ???. 【典型例题】 类型一：空间坐标系 例1．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、D 1B 1的中点，棱长为1，建立空间直角坐标系，求点E 、F 的坐标。 【答案】11,0,2E ? ? ???，11,,122F ?? ??? 【解析】 法一：如图，以A 为坐标原点，以AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空
高中数学必修二《空间直角坐标系》优秀教学设计
4.3空间直角坐标系 4.3.1空间直角坐标系 教材分析 本节课内容是数学必修2 第四章圆与方程的最后一节的第一小节。 课本之所以把“空间直角坐标系”的内容放在必修2的最后即第四章的最后，原因有三：一、“空间直角坐标系”的内容为以后选修中用空间向量解决空间中的平行、垂直以及空间中的夹角与距离问题打基础，做好准备；二、必修2第三、四章是平面解析几何的基础内容，本节“空间直角坐标系”的内容是空间解析几何的基础，与平面解析几何的内容共同体现了“用代数方法解决几何问题”的解析几何思想；三、本套教材从整体上体现了“螺旋式上升”的思想，本节内容安排“空间直角坐标系”，为以后的学习作铺垫，正是很好地体现了这一思想。 本小节内容主要包含空间直角坐标系的建立、空间中由点的位置确定点的坐标以及由点的坐标确定点的位置等问题。结合图形、联系长方体和正方体是学好本小节的关键。 课时分配 本小节内容用1课时的时间完成，主要讲解空间直角坐标系的建立以及空间中的点与坐标之间的联系。 教学目标 重点：空间直角坐标系，空间中点的坐标及空间坐标对应的点。 难点：右手直角坐标系的理解，空间中的点与坐标的一一对应。 知识点：空间直角坐标系的相关概念，空间中点的坐标以及空间坐标对应的点。 能力点：理解空间直角坐标系的建立过程，以及空间中的点与坐标的一一对应。 教育点：通过空间直角坐标系的建立，体会由二维空间到三维空间的拓展和推广，让学生建立发展的观点；通过空间点与坐标的对应关系，进一步加强学生对“数形结合”思想方法的认识。 自主探究点：如何由空间中点的坐标确定点的位置。 考试点：空间中点的确定及坐标表示。 易错易混点：空间中的点与平面内的点以及它们的坐标之间的联系与区别；空间直角坐标系中x轴上单位长度的选取。 拓展点：不同空间直角坐标系下点的坐标的不同；空间中线段的中点坐标公式。 教具准备多媒体课件和三角板 课堂模式师生互动、小组评分以及兵带兵的课堂模式。 一、引入新课 由数轴上的点和平面直角坐标系内的点的表示引入空间中点的表示。 ,x y 数轴Ox上的点M,可用与它对应的实数x表示；直角坐标平面内的点M可以用一对有序实数()表示。类似于数轴和平面直角坐标系（一维坐标系和二维坐标系），当我们建立空间直角坐标系（三维坐 x y z表示。 标系）后，空间中任意一点可用有序实数组(,,)
高中数学必修二点线面的位置关系与线面平行判定及其性质(精华试题版)
空间点线面的位置关系精编考题 1．平面的基本性质公理1 如果一条直线上的两个点都在一个平面，那么这条直线上的所有点都在这个平面 ,,A B l A B α∈??∈? l α?? 2．平面的基本性质公理2（确定平面的依据） 经过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 3．平面的基本性质公理2的推论 （1）经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面 （2）经过两条相交直线，有且只有一个平面 （3）经过两条平行直线，有且只有一个平面 4．平面的基本性质公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是一条 直线 A A αβ∈??∈??l A l αβ=∈ 5．异面直线的定义与判定 （1）定义：不同在任何一个平面的两条直线，既不相交也不平行 （2）判定：过平面外一点与平面一点的直线，与平面不经过该点的直线是异面直线 典例1如图长方体中，(1)说出以下各对线段的位置关系? ①EC 和BH 是 直线；②BD 和FH 是 直线； ③BH 和DC 是 直线 (2)与棱AB 所在直线异面的棱共有 条? （3）长方体的棱中共有多少对异面直线？ 例2：如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，已知E 、F 分别是AB 、BC 的中点． （1）求证：EF//A 1C 1． （2）求证：四边形EF A 1C 1是梯形． （3）若M 、N 分别是A 1B 1、B 1C 1的中点， 求证：∠MD 1N=∠EDF ． G F H E B C D A A 1
精选考题 1. 空间不共线的四点，可以确定平面的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．1或4 D ．无法确定 2. 直线与平面平行的条件是这条直线与平面的（ ） A ．一条直线不相交 B ．两条直线不相交 C ．任意一条直线不相交 D ．无数条直线不相交 3. 若b a //，且a 与平面α相交，那么直线b 与平面α的位置关系是（ ） A ．必相交 B ．有可能平行 C ．相交或平行 D ．相交或在平面 4. 正方体1111D C B A ABCD -中，P 、Q 分别为11,CC AA 的中点，则四边形PBQ D 1是（ ） A ．正方形 B ．菱形 C ．矩形 D ．空间四边形 5. 下列命题正确的是（ ） A ． 若βα??b a ,，则直线b a ,为异面直线 B ． 若βα??b a ,，则直线b a ,为异面直线 C ． 若?=?b a ，则直线b a ,为异面直线 D ． 不同在任何一个平面的两条直线叫异面直线 6. 已知直线a 与直线b 垂直，a 平行于平面α，则b 与平面α的位置关系是（ ） A ．α//b B ．α?b C ．b 与平面α相交 D ．以上都有可能 7. 若直线a 与直线b 是异面直线，且//a 平面α，则b 与平面α的位置关系是（ ） A ．α//b B ．b 与平面α相交 C ．α?b D ．不能确定 8 已知//a 平面α，直线α?b ，则直线a 与直线b 的关系是（ ） A ．相交 B ．平行 C ．异面 D ．平行或异面 9．已知异面直线a ，b 分别在平面α、β，且α∩β＝c,那么直线c 一定（ ） A ．与a 、b 都相交； B ．只能与a 、b 中的一条相交； C ．至少与a 、b 中的一条相交； D ．与a 、b 都平行． 10．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是（ ） A ．一定平行 B ．一定相交 C ．一定异面 D ．相交或异面 11．若空间两条直线a ，b 没有公共点，则其位置关系是____________． 12．若a 和b 是异面直线，b 和c 是异面直线，则a 和c 的位置关系是______________． 13．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，与对角线AC 1异面的棱共有________条． 14．给出下列四个命题： ①垂直于同一直线的两条直线互相平行； ②平行于同一直线的两直线平行； ③若直线a ，b ，c 满足a ∥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ；
重庆高中数学必修二 第四章《空间直角坐标系》全套教案
《空间直角坐标系》教案设计 （一）教学目标 1．知识与技能 （1）使学生深刻感受到空间直角坐标系的建立的背景 （2）使学生理解掌握空间中点的坐标表示 2．过程与方法 建立空间直角坐标系的方法与空间点的坐标表示 3．情态与价值观 通过数轴与数、平面直角坐标系与一对有序实数，引申出建立空间直角坐标系的必要性，培养学生类比和数形结合的思想. （二）教学重点和难点 空间直角坐标系中点的坐标表示. （三）教学手段多媒体 （四）教学设计 教学 环节 教学内容师生互动设计意图 复习引入问题情景1 对于直线上的点，我们可以通过数 轴来确定点的位置，数轴上的任意一 点M都可用对应一个实数x表示；对 于平面上的点，我们可以通过平面直 角坐标系来确定点的位置，平面上任 意一点M都可用对应一对有序实数 师：启发学生联想思 考， 生：感觉可以 师：我们不能仅凭感 觉，我们要对它的认 识从感性化提升到理 性化. 让学生体 会到点与 数（有序数 组）的对应 关系.培养 学生类比 的思想.
(x，y)表示；对于空间中的点，我们也希望建立适当的坐标系来确定点的位置. 因此，如何在空间中建立坐标系，就成为我们需要研究的课题. 那么假设我们建立一个空间直角坐标系后，空间中的任意一点是否可用对应的有序实数组(x，y，z)表示出来呢？ 概念形成问题情景2 空间直角坐标系该如何建立呢？ O x X 一维坐标 二维坐标 三维坐标（图4.3-1） 师：引导学生看图 4.3-1，单位正方体 OABC–D′A′B′C′，让学 生认识该空间直角系 O –xyz中，什么是坐标 原点，坐标轴以及坐标 平面. 师：该空间直角坐 标系我们称为右手直 角坐标系. 让学生通过 对一维坐 标、二维坐 标的认识， 体会空间直 角坐标系的 建立过程.
最新(高二数学空间直角坐标系word版本
宁师中学“自主参与学习法”数学学科导学稿（学生版）编号SXBx2-2-3 主编人:余奎审稿人：高二数学组定稿日： 协编人：高二数学备课组使用人： 课题：2.3.1 空间直角坐标系 学习内容学习目标高考考点考查题型 空间坐标系； 空间距离1.明确空间直角坐标系是如何建立；明确空间中的 任意一点如何表示； 2 能够在空间直角坐标系中求出点的坐标。 1.空间坐标系 2.空间距离 选择，填空题、 解答题中分支 问题 一、新课导学 问题1:空间直角坐标系 (1)定义:以空间中两两垂直且相交于一点O的三条直线分别为x轴、y轴、z轴.这时就说建立了空间直角坐标系Oxyz,其中点O叫作坐标原点,x轴、y轴、z轴叫作坐标轴.通过每两个坐标轴的平面叫作坐标平面,分别称为xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面. (2)画法:在平面上画空间直角坐标系Oxyz时,一般使∠xOy=45°或135°,∠yOz=90°. (3)坐标:设点M为空间的一个定点,过点M分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面,依次交x 轴、y轴和z轴于点P、Q和R.设点P、Q和R在x轴、y轴和z轴上的坐标分别为x、y和z,那么点M就和有序实数组(x,y,z)是一一对应的关系,有序实数组(x,y,z)叫作点M在此空间直角坐标系中的坐标,记作M(x,y,z) ,其中x叫作点M的横坐标,y叫作点M的纵坐标,z叫作点M的竖坐标. (4)说明:本书建立的坐标系都是右手直角坐标系,即在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x 轴的正方向,食指指向y 轴的正方向,如果中指指向z 轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系. 问题2：（1）平面直角坐标系的建立方法，点的坐标的确定过程、表示方法？ (2)．一个点在平面怎么表示？在空间呢？ 二、课内探究 探究一：确定空间内点的坐标 例1.如图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,AD=3,AB=5,AA1=4, 建立适当的直角坐标系,写出此长方体各顶点的坐标. 变式1.如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,E,F,G分别是BB',D'B',DB的中点,棱长为1,求E,F 点的坐标. 探究二：关于一些对称点的坐标求法 (,,) P x y z关于坐标平面xoy对称的点； (,,) P x y z关于坐标平面yoz对称的点； (,,) P x y z关于坐标平面xoz对称的点； (,,) P x y z关于x轴对称的点； (,,) P x y z关于y对轴称的点； (,,) P x y z关于z轴对称的点； 三、课后练习 1. 关于空间直角坐标系叙述正确的是（）. A．(,,) P x y z中,, x y z的位置是可以互换的 B．空间直角坐标系中的点与一个三元有序数组是一种一一对应的关系 C．空间直角坐标系中的三条坐标轴把空间分为八个部分 D．某点在不同的空间直角坐标系中的坐标位置可以相同 2. 已知点(3,1,4) A--，则点A关于原点的对称点的坐标为（）. A．(1,3,4) --B．(4,1,3) --C．(3,1,4) -D．(4,1,3) - 3.已知ABC ?的三个顶点坐标分别为(2,3,1),(4,1,2),(6,3,7) A B C -，则ABC ?的重心坐标为 . 4.在空间直角坐标系中，给定点(1,2,3) M-，求它分别关于坐标平面，坐标轴和原点的对称点的坐标. 四、课后反思 宁师中学“自主参与学习法”数学学科导学稿（学生版）
建立空间直角坐标系的几个常见思路
建立空间直角坐标系的几种常见思路 坐标法是利用空间向量的坐标运算解答立体几何问题的重要方法，运用坐标法解题往往需要建立空间直角坐标系．依据空间几何图形的结构特征，充分利用图形中的垂直关系或构造垂直关系来建立空间直角坐标系，是运用坐标法解题的关键．下面举例说明几种常见的空间直角坐标系的构建策略． 一、利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系 例1 已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，底面ABCD 是直角梯形，∠A 为直角，AB ∥CD ，AB ＝4，AD ＝2，DC ＝1，求异面直线BC 1与DC 所成角的余弦值． 解析：如图1，以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则C 1（０，1，2）、B （2，4，０）， ∴1(232)BC =--，，，(010)CD =-， ，． 设1BC 与CD 所成的角为θ， 则11317cos BC CD BC CD θ==． 二、利用线面垂直关系构建直角坐标系 例2 如图2，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥侧面BB 1C 1C ，E 为棱CC 1上异于C 、C 1的一点，EA ⊥EB 1．已知2AB =，BB 1＝2，BC ＝1，∠BCC 1＝3 π．求二面角A －EB 1－A 1的平面角的正切值． 解析：如图2，以B 为原点，分别以BB 1、BA 所在直线为y 轴、z 轴，过B 点垂直于平面AB 1的直线为x 轴建立空间直角坐标系． 由于BC ＝1，BB 1＝2，AB ＝2，∠BCC 1＝3 π， ∴在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，有B （０，０，０）、A （０，０，2）、B 1（０，2，０）、3102c ??- ? ??? ，，、133022C ?? ? ?? ?，，． 设302E a ?? ? ??? ，，且1322a -<<， 由EA ⊥EB 1，得10EA EB =， 即3322022a a ????---- ? ? ? ???? ，，，，
空间点线面位置关系例题训练
空间点、线、面的位置关系 【基础回顾】 1．平面的基本性质 公理1：如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内． 公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过____________的一条直线． 公理3：经过____________________的三点，有且只有一个平面． 推论1：经过____________________，有且只有一个平面． 推论2：经过________________，有且只有一个平面． 推论3：经过________________，有且只有一个平面． 2．直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类 (2)异面直线判定定理 过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内______________的直线是异面直线． (3)异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的____________叫做异面直线a，b所成的角． ②范围：____________. 3．公理4 平行于____________的两条直线互相平行． 4．定理 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角 ________．
自我检测 1．若直线a与b是异面直线，直线b与c是异面直线，则直线a与c的位置关系是____________． 2．如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线________对． 3．三个不重合的平面可以把空间分成n部分，则n的可能取值为________． 4．直三棱柱ABC—A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成角的大小为________． 5．下列命题： ①空间不同三点确定一个平面； ②有三个公共点的两个平面必重合； ③空间两两相交的三条直线确定一个平面； ④三角形是平面图形； ⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形； ⑥垂直于同一直线的两直线平行； ⑦一条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交； ⑧两组对边相等的四边形是平行四边形． 其中正确的命题是________(填序号). 【例题讲解】 1、平面的基本性质 例1如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G分别在AB、BC、CD上，且满足AE∶EB＝CF∶FB＝2∶1，CG∶GD＝3∶1，AH∶HD=3∶1，过E、F、G的平面交AD于H，连结EH. 求证：EH、FG、BD三线共点． 变式迁移1
(完整版)高中数学必修二空间直角坐标系
2.3空间直角坐标系 考纲要求：①了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系表示点的位置． ②会推导空间两点间的距离公式． 2.3.1-2空间直角坐标系、空间两点间的距离 重难点：了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置；会推导空间两点间的距离公式． 经典例题：在空间直角坐标系中，已知A（3，0，1）和B（1，0，－3），试问 （1）在y轴上是否存在点M，满足？ （2）在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，试求出点M坐标． 当堂练习： 1．在空间直角坐标系中, 点P(1,2,3)关于x轴对称的点的坐标为（） A．(-1,2,3) B．(1,-2,-3) C．(-1, -2, 3) D．(-1 ,2, -3) 2．在空间直角坐标系中, 点P(3,4,5)关于yOz平面对称的点的坐标为（） A．(-3,4,5) B．(-3,- 4,5) C．(3,-4,-5) D．(-3,4,-5) 3．在空间直角坐标系中, 点A(1, 0, 1)与点B(2, 1, -1)之间的距离为（） A．B．6 C．D．2 4．点P( 1,0, -2)关于原点的对称点P/的坐标为（） A．(-1, 0, 2) B．(-1,0, 2) C．(1 , 0 ,2) D．(-2,0,1) 5．点P( 1, 4, -3)与点Q(3 , -2 , 5)的中点坐标是（） A．( 4, 2, 2) B．(2, -1, 2) C．(2, 1 , 1) D．4, -1, 2) 6．若向量在y轴上的坐标为0, 其他坐标不为0, 那么与向量平行的坐标平面是（） A．xOy平面B．xOz平面C．yOz平面D．以上都有可能7．在空间直角坐标系中, 点P(2,3,4)与Q (2, 3,- 4)两点的位置关系是（） A．关于x轴对称B．关于xOy平面对称C．关于坐标原点对称D．以上都不对 8．已知点A的坐标是(1-t , 1-t , t), 点B的坐标是(2 , t, t), 则A与B两点间距离的最小值为（） A．B．C．D． 9．点B是点A（1，2，3）在坐标平面内的射影，则OB等于（）A．B．C．D．
空间向量之建立空间直角坐标系的方法及技巧
空间向量之 建立空间直角坐标系的方法及技巧 ． 一、利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系 例1 已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，底面ABCD 是直角梯形，∠A 为直角，AB ∥CD ，AB ＝4，AD ＝2，DC ＝1，求异面直线BC 1与DC 所成角的余弦值． 解析：如图1，以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则C 1（０，1，2）、B （2，4，０）， ∴1(232)BC =--，，，(010)CD =-， ，． 设1BC 与CD 所成的角为θ， 则11317cos 17 BC CD BC CD θ==． 二、利用线面垂直关系构建直角坐标系 例2 如图2，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥侧面BB 1C 1C ，E 为棱CC 1上异于C 、C 1的一点，EA ⊥EB 1．已知2AB = ，BB 1＝2，BC ＝1，∠BCC 1＝3π．求二面角A －EB 1－A 1的平面角的正切值． 解析：如图2，以B 为原点，分别以BB 1、BA 所在直线为y 轴、z 轴，过B 点垂直于平面AB 1的直线为x 轴建立空间直角坐标系． 由于BC ＝1，BB 1＝2，AB ＝2，∠BCC 1＝3 π， ∴在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，有B （０，０，０）、A （０，０，2）、B 1 （０，2，０）、3102c ??- ? ???，，、13302C ?? ? ??? ，，．
设302E a ?? ? ???，，且1322a -<<， 由EA ⊥EB 1，得10EA EB =， 即3322022a a ????---- ? ? ? ???? ，，，， 233(2)2044a a a a =+-=-+=，∴13022a a ????--= ? ???? ?， 即12a =或32a =（舍去）．故3102E ?? ? ??? ，，． 由已知有1EA EB ⊥，111B A EB ⊥，故二面角A －EB 1－A 1的平面角θ的大小为向量11B A 与EA 的夹角． 因11(002)B A BA ==，，，31222EA ? ?=-- ? ??，， 故11112cos 3 EA B A EA B A θ= =，即2tan 2θ= 三、利用面面垂直关系构建直角坐标系 例3 如图3，在四棱锥V －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD ． （1）证明AB ⊥平面VAD ； （2）求面VAD 与面VDB 所成的二面角的余弦值． 解析：（1）取AD 的中点O 为原点，建立如图3所示的空间直角坐标系． 设AD ＝2，则A （1，０，０）、D （－1，０，０）、B （1，2，０）、 V （０，０，3），∴AB ＝（０，2，０），VA ＝（1，０，－3）． 由(020)(103)0AB VA =-=， ，，，，得
高中数学必修点线面的位置关系知识点习题答案
D C B A α 第二章直线与平面的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 1平面含义：平面是无限延展的 2平面的画法及表示 （1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图） （2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面 的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 3三个公理： （1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 公理1作用：判断直线是否在平面内 （2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为：A 、B 、C 三点不共线=>有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。 公理2作用：确定一个平面的依据。 推论1：一条直线与它外一点确定一个平面。 推论2：两条平行直线确定一个平面。 推论3：两条相交直线确定一个平面。 （3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公 共直线。 符号表示为：P ∈α∩β=>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系 1空间的两条直线有如下三种关系： A · α C · B · A · α P · α L β
c a b c b a //////?? ??ααα////b b a b a ??? ? ????相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。 2公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 3等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4异面直线： ①a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为了简便， 点O 一般取在两直线中的一条上； ②两条异面直线所成的角θ∈(0，]； ③当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； ④两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； ⑤计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 2.1.3—2.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系： （1）直线在平面内——有无数个公共点 （2）直线与平面相交——有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行——没有公共点 指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表a αa ∩α=Aa ∥α】2.2.1直线与平面平行的判定 1、线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 简记为：线线平行，则线面平行。 符号表示： 线线平行 线面平行 共面直 2π
高中数学高考总复习立体几何空间向量空间直角坐标系习题及详解
高中数学高考总复习立体几何空间向量空间直角坐标系习题及详解 、选择题 1. 已知四边形 ABCD 满足：ABBC>0, BC CD>0, CDDA>0, DA AB>0,则该四边形 为（） A ?平行四边形 B .梯形 C .平面四边形 D .空间四边形 ［答案］D ——n n n n ［解析］?/ AB BC>0 ,AZ ABC>2，同理/ BCD>2，Z CDA>Q ,/ DAB >2，由内角和定 理知，四边形 ABCD 一定不是平面四边形，故选 D. C . 0 或 1 D ?任意实数 ［答案］C ［解析］AP 可为下列7个向量: AB , AC , AD , A A I , AB i , AC i , A —D i ,其中一个与 AB 重合，AP AB = |AB|2= 1 ; AD , A —D i , A —A i 与A B 垂直，这时 AP AB = 0; AC , A B I 与AB 的夹角为 45° 这时AP AB =>/2X i xcosn= i , 最后 AC 1 A B = ,3 x 1 x cos /BAC 1= 3X ； = 1，故选 C. 3. 如图，在平行六面体 ABCD — A i B i C i D i 中，M 为AC 与BD 的 交点，N 为BB 1的靠近B 的三等分点，若A 1B 1= a , A 1D 1= b , A 1A = c , 则MN 等于（ ） 111 A . — + ?b + 3c B?a + ；b —3c 111 C^a — — 3c 112 D . — ?a — ?b + 3 c ［答案］C 2. 如图，点P 是单位正方体 点，则AP AB 的值为 ABCD — A i B i C i D i 中异于 A 的一个顶 ( )
空间向量之建立空间直角坐标系的方法及技巧
空间向量之建立空间直角坐标系的方法及技巧 、禾U用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系 例1已知直四棱柱ABC D A i B i CD中，AA= 2,底面ABCD是直角梯形，/ A为直角，AB// CD AB= 4, AD= 2,DC= 1,求异面直线BC与DC所成角的余弦值. 解析：如图1, 以D为坐标原点，分别以DA DC DD所在直线为x、y、z轴建立空间直角 1 , 2)、B(2, 4, 0), ?- BC =(-2,3,2) , CD =(0, -1,0). 坐标系，则C （0, 设BC i与CD所成的角为v CD 3 '17 17 二、利用线面垂直关系构建直角坐标系 例2 如图2，在三棱柱ABC- ABC中，AB丄侧面BBCQ, E为棱CC上异于C C的一点, EAL EB.已知AB = J2 , BB = 2, BC= 1, / BCC=上.求二面角A- EB—A的平面角的正切值. 3 解析：如图2，以B为原点，分别以BB、BA所在直线为y轴、z轴，过B点垂直于平面AB 的直线为x轴建立空间直角坐标系. 由于BC= 1, BB= 2, AB= -/2，/ BCG=—, 3 ???在三棱柱ABC- ABC 中，有（0, 0, 0）、（0, 0, C 1 第3 / —,—,0 . I2 2丿輛〕〔3设E — , a, 0 且一丄 BA 丄EB ，故二面角 A- EB —A i 的平面角日的大小为向量 BA 与 EA 的夹角. 訳=BA = （0,0八 2） , EA 二 三、利用面面垂直关系构建直角坐标系 例3 如图3，在四棱锥 V — ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面 VAD 是正三角形，平面 VAD 丄底面ABCD AB 丄 VA 又ABL AD 从而AB 与平面VAD 内两条相交直线 VA AD 都垂直，二 (2)设E 为DV 的中点，则 J-1显1 I 2 2丿 即「2，一皿］ X ,2—aJ < 2 丿 +a （a —2）=a 2—2a+3=0,「. 'a —丄 | 4 I 2丿 3 4 即-2或a =| (舍去).故 E 佇，,0 . ■ 3i 3 去（3,0,_Q ,时,2, -纠 辽 2丿 I 2 2丿 ，DV =（1,0, 3）. 由已知有EA _ EB i , 故 COS V = 灵晁^，即ta —子 EA'B 1A 1 (1)证明 AE 丄平面VAD (2)求面 VAD 与面VDB^成的二面角的余弦值. 解析：(1) 取AD 的中点O 为原点，建立如图3所示的空间直角坐标系. 设 AD= 2，则 A （1，0，0）、D （— 1，0，0）、B （ 1，2，0）、 V （0，0，爲），二 AB =（0， 2， 0） ， VA =（ 1，0， — V 3 ）. 由 ABVA = （0,2,0壯1,0, - . 3） = 0，得 AB 丄平面VAD