江苏省盐城市2015届高三三模_数学试卷

市2015届高三数学三模试卷

试题Ⅰ

注 意 事 项

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定

位置上. 1.已知集合{

}

2

10A x x =-=，集合[0,2]B =，则A

B = ▲ .

2.若复数()(1)z x i i =++是纯虚数，其中x 为实数，i 为虚数单位，则z 的共轭复数z = ▲ .

3.根据如图所示的伪代码，则输出的S 的值为 ▲ .

4.若抛物线2

8y x =的焦点F 与双曲线

22

13x y n

-=的一个焦点重合， 则n 的值为 ▲ .

5.某单位有840名职工, 现采用系统抽样抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号,

则抽取的42人中, 编号落入区间[61, 120]的人数为 ▲ ．

6.某公司从四名大学毕业生甲、乙、丙、丁中录用两人，若这四人被录用的机会均等，则甲与乙中至少有一人被录用的概率为 ▲ ．

7.若,x y 满足约束条件+20020x y x y x y -≤??

-≥??+≥?

, 则目标函数z 2x y =+的最大值为 ▲ ．

8.已知正四棱锥P ABCD -的体积为4

3

，底面边长为2，则侧棱PA 的长为 ▲ .

S 0 I 041Pr int While I I I S S I End While S

←←≤←+←+第3题

9.若角+4

πα的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线1

2

y x =

上，则tan α的值为 ▲ .

10.

动直线(y k x =-

与曲线y =A ，B 两点，O 为坐标原点，当AOB ?的面积取得最大值时，k 的值为 ▲ .

11.若函数()

2()232x x f x k -=--?，则2k =是函数()f x 为奇函数的 ▲ 条件. (选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”) 12.在边长为1的菱形ABCD 中，23

A π

∠=，若点P 为对角线AC 上一点，则PB PD ?的最大值为 ▲ .

13.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若数列{}n a 满足2

n n a S An Bn C +=++且0A >，则

1

B C A

+-的最小值为 ▲ ．

14.若函数2

()ln 2f x x ax bx a b =-++--有两个极值点12,x x ，其中1

0,02

a b -

<<>，且221()f x x x =>，则方程22[()]()10a f x bf x +-=的实根个数为 ▲ .

二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案

写在答题纸的指定区域. 15. (本小题满分14分)

已知(2sin ,sin cos )m x x x =-，(3cos ,sin cos )n x x x =+，记函数()f x m n =?. （1）求函数()f x 取最大值时x 的取值集合；

（2）设ABC ?的角,,A B C 所对的边分别为,,a b

c ，若()2f C =，c =ABC ?面积的最大

值.

16．(本小题满分14分)

在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC =，1BB BC =，点,,P Q R 分别是棱111,,BC CC B C 的中点. （1）求证:1A R //平面APQ ； （2）求证:平面APQ ⊥平面1AB C .

17．(本小题满分14分)

A 1

某地拟建一座长为640米的大桥AB，假设桥墩等距离分布，经设计部门测算，两端桥墩A、B造价总共为100万元，当相邻两个桥墩的距离为x米时（其中64100

x

<<），中间每个桥墩的平均造价为

80

3

x万元，桥面每1米长的平均造价为(2)

640

x x

+万元.

（1）试将桥的总造价表示为x的函数()

f x；

（2）为使桥的总造价最低，试问这座大桥中间(两端桥墩A、B除外)应建多少个桥墩？

18. (本小题满分16分)

如图,在平面直角坐标系xoy中，椭圆

22

22

:1(0)

x y

C a b

a b

+=>>的离心率为

6

，直线l与x轴交于点E，与椭圆C交于A、B两点. 当直线l垂直于x轴且点E为椭圆C的右焦点时，弦AB的长为

26

3

.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若点E的坐标为

3

(,0)，点A在第一象限且横坐标为3，连结点A与原点O的直线交椭圆C于另一点P，求PAB

?的面积；

（3）是否存在点E，使得

22

11

EA EB

+为定值？若存在，请指出点E的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由. y

x

B

P

A

O E

F1F2

第18题

第17题

19．(本小题满分16分)

设函数()ln f x x =，()

()(0)1

m x n g x m x +=

>+.

（1）当1m =时，函数()y f x =与()y g x =在1x =处的切线互相垂直，求n 的值； （2）若函数()()y f x g x =-在定义域不单调，求m n -的取值围； （3）是否存在实数a ,使得2(

)()()02ax a x

f f e f x a

?+≤对任意正实数x 恒成立？若存在，求出满足条件的实数a ；若不存在，请说明理由.

20．(本小题满分16分)

设函数2

1()1+f x px qx

=

+（其中22

0p q +≠），且存在无穷数列{}n a ，使得函数在其定义域还可以表示为2

12()1n n f x a x a x a x =+++

++

.

（1）求2a （用,p q 表示）； （2）当1,1p q =-=-时，令12n n n n a b a a ++=

，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：3

2

n S <；

（3）若数列{}n a 是公差不为零的等差数列，求{}n a 的通项公式.

市2015届高三年级第三次模拟考试

数学附加题部分

（本部分满分40分，考试时间30分钟）

21．[选做题] 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指

定区域.

A.（选修4—1：几何证明选讲）

在ABC ?中，已知CM 是ACB ∠的平分线，AMC ?的外接圆

交BC 于点N .若2AB AC =

，AM =BN 的长.

B.（选修4—2：矩阵与变换）

若矩阵21a

c ??=?

???M 属于特征值3的一个特征向量为11??=????

α，求矩阵M 的逆矩阵1

-M .

C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）

在极坐标系中，曲线C

的极坐标方程为)4

π

ρθ=-

，以极点O 为原点，极轴为x 轴的正

半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为1314x t y t =-+??=-+?

（t 为参数），试判断直线l 与曲线C 的

位置关系，并说明理由.

D ．(选修4-5：不等式选讲） 已知,,a b c 为正实数，求证：2

211

88ab a b

++≥，并求等号成立的条件.

[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域. 22．（本小题满分10分）

如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形，对角线,AC BD 交于点O ，4OA =，3OB =，

4OP =，OP ⊥底面ABCD ，设点M 满足(0)PM MC λλ=>.

（1）当1

2

λ=时，求直线PA 与平面BDM 所成角的正弦值； （2）若二面角M AB C --的大小为4

π

，求λ的值.

23．（本小题满分10分）

设123

*12341()(1)(2,)n n

n n n n n F n a a C a C a C a C n n N +=-+-+

+-≥∈.

（1）若数列{}n a 的各项均为1，求证：()0F n =；

（2）若对任意大于等于2的正整数n ，都有()0F n =恒成立，试证明数列{}n a 是等差数列.

市2015届高三年级第三次模拟考试

数学参考答案

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.

1. {}1

2. 2i -

3. 15

4. 1

5. 3

6. 5

6

7. 6

9. 13- 10. -

充分不必要 12. 1

2

- 13.

二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域.

15．解：（1）由题意，得()3sin 2cos 22sin(2)6

f x m n x x x π

=?=-=-，

当()f x 取最大值时，即sin(2)16x π

-=，此时22()62x k k Z π

π

π-

=+

∈，

所以x 的取值集合为,3x

x k k Z ππ?

?

=+∈???

?

.……………………………………7分

（2）因()2f C =，由（1）得sin(2)16

C π

-=，又0C π<<，即1126

6

6

C π

π

π

-

<-

<

， 所以26

2

C π

π

-

=

，解得3

C π

=

，在ABC ?中，由余弦定理2

2

2

2cos c a b ab C =+-，

得22

3a b ab ab =+-≥，所以1sin 2ABC S ab C ?=

≤，所以ABC ?面积的的最大值为.…14分

16. 证明：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，11//BC B C 且11BC B C =， 因点,P R 分别是棱11,BC B C 的中点，所以1//BP B R 且1BP B R =， 所以四边形1BPRB 是平行四边形，即1//PR BB 且1PR BB =，

又11//AA BB 且11AA BB =，所以1//PR AA 且1PR AA =，即四边形1APRA 是平行四边形， 所以1//AP A R ，又1A R ?平面APQ ，所以1//A R 平面APQ .………………7分 （2）因1BB BC =，所以四边形11BCC B 是菱形，

所以11B C BC ⊥，又点,P Q 分别是棱11,BC C C 的中点，即1//PQ BC ，所以1B C PQ ⊥. 因为AB AC =，点P 是棱BC 的中点，所以AP BC ⊥， 由直三棱柱111ABC A B C -，知1BB ⊥底面ABC ，即1BB AP ⊥，

所以AP ⊥平面11BCC B ，则1AP B C ⊥，所以1B C ⊥平面APQ ，又1B C ?平面1AB C ， 所以平面APQ ⊥平面1AB C …………………………………………14分