2017海淀高三期末数学理

海淀区高三年级第一学期期末练习

数学（理科） 2017.1

本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一

项．

1．抛物线22y x =的焦点到准线的距离为

A ．1

2

B ．1

C ．2

D ．3

2．在极坐标系中，点π(1,)4与点3π

(1,)4

的距离为

A ．1 B

C

D

3．右侧程序框图所示的算法来自于《九章算术》.若输入a 的值为16，b 的值为24，则执行该程序框图输出的结果为

A ．6

B ．7

C ．8

D ．9

4．已知向量,a b 满足2+=0a b ，()2+?=a b a ，则?=a b

A ．1

2

-

B ．

12

C ．2-

D ．2

5．已知直线l 经过双曲线2

214

x y -=的一个焦点且与其一条渐近线平行，则直线l 的方程可能是

A

．12y x =- B

．1

2

y x =

C

．2y x =- D

．2y x =-6．设,x y 满足0,20,2,x y x y x -≤??

+-≥??≤?

则22(1)x y ++的最小值为

A ．1

B ．9

2

C ．5

D ．9

7．在手绘涂色本的某页上画有排成一列的6条未涂色的鱼，小明用红、蓝两种颜色给这些鱼涂色，

每条鱼只能涂一种颜色，两条相邻的鱼不．都．涂成红色．．．．，涂色后，既有红色鱼又有蓝色鱼的涂色方法种数为 A ．14

B ．16

C ．18

D ．20

8．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,E F 分别是棱AD ，B 1C 1上的动点，设1,AE x B F y ==．若棱．1DD 与平面BEF 有公共点，则x y +的取值范围是 A ．[0,1] B ．13

[,]

22 C ．[1,2]

D ．3[,2]2

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．已知复数z 满足(1i)2z +=，则z =________．

10．在261

()x x

+的展开式中，常数项为________．（用数字作答）

11．若一个几何体由正方体挖去一部分得到，其三视图如图所示，

则该几何体的体积为________．

12．已知圆C :2220x x y -+=，则圆心坐标为_____；

若直线l 过点(1,0)-且与圆C 相切，则直线l 的方程为____________．

13．已知函数2sin()y x ω?=+π

(0,||)2

ω?><.

① 若(0)1f =，则?=________；

② 若x ?∈R ，使(2)()4f x f x +-=成立，则ω的最小值是________．

14．已知函数||()e cos πx f x x -=+，给出下列命题：

①()f x 的最大值为2；

②()f x 在(10,10)-内的零点之和为0； ③()f x 的任何一个极大值都大于1. 其中所有正确命题的序号是________．

俯视图

主视图A

B

C

D

1

D 1

A 1

B 1

C E F

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）

在?ABC 中，2c a =，120B = ，且?ABC ． （Ⅰ）求b 的值； （Ⅱ）求tan A 的值．

16．（本小题满分13分）

诚信是立身之本，道德之基.某校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教

育，并用“周实际回收水费

周投入成本”表示每周“水站诚信度”．为了便于数据分析，以四周为一周期．．．．．．，下表为该水站连续十二周（共三个周期）的诚信度数据统计：

第一周 第二周 第三周 第四周 第一个周期

95% 98% 92% 88% 第二个周期

94% 94% 83% 80% 第三个周期 85% 92% 95%

96%

（Ⅰ）计算表中十二周“水站诚信度”的平均数x ；

（Ⅱ）分别从上表每个周期的4个数据中随机抽取1个数据，设随机变量X 表示取出的3个数据中

“水站诚信度”超过91%的数据的个数，求随机变量X 的分布列和期望；

（Ⅲ）已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行了一次“以诚信为

本”的主题教育活动．根据已有数据，说明两次主题教育活动的宣传效果，并根据已有数据陈述理由．

如图1，在梯形ABCD 中，//AB CD ，90ABC ∠= ，224AB CD BC ===，O 是边AB 的中点．将三角形AOD 绕边OD 所在直线旋转到1A OD 位置，使得1120AOB ∠= ，如图2．设m 为平面1A DC 与平面1A OB 的交线．

（Ⅰ）判断直线DC 与直线m 的位置关系并证明； （Ⅱ）若直线m 上的点G 满足1OG A D ⊥，求出1A G 的长； （Ⅲ）求直线1A O 与平面1A BD 所成角的正弦值．

18．（本小题满分13分）

已知(0,2),(3,1)A B 是椭圆G ：22

221(0)x y a b a b

+=>>上的两点．

（Ⅰ）求椭圆G 的离心率；

（Ⅱ）已知直线l 过点B ，且与椭圆G 交于另一点C （不同于点A ），若以BC 为直径的圆经过点A ，

求直线l 的方程．

A

O

B

C

D

1

图O

D

C

B

2

图1

A

已知函数()ln 1a

f x x x

=-

-． （Ⅰ）若曲线()y f x =存在斜率为1-的切线，求实数a 的取值范围；

（Ⅱ）求()f x 的单调区间；

（Ⅲ）设函数()ln x a

g x x

+=，求证：当10a -<<时，()g x 在(1,)+∞上存在极小值．

20．（本小题满分13分）

对于无穷数列{}n a ,{}n b ，若1212max{,,,}min{,,,}(1,2,3,)k k k b a a a a a a k =-= ，则称{}n b 是

{}n a 的“收缩数列”．其中，12max{,,,}k a a a ,12min{,,,}k a a a 分别表示12,,,k a a a 中的最大数和最小数．

已知{}n a 为无穷数列，其前n 项和为n S ，数列{}n b 是{}n a 的“收缩数列”． (Ⅰ)若21n a n =+，求{}n b 的前n 项和； (Ⅱ)证明：{}n b 的“收缩数列”仍是{}n b ； (Ⅲ)若121(1)(1)

22

n n n n n n S S S a b +-+++=

+ (1,2,3,)n = ，求所有满足该条件的{}n a ．海淀区

高三年级第一学期期末练习

数学（理科）答案及评分标准2017.1

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）

1.B

2.B

3. C

4.C

5.A

6. B

7.D

8.C 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分，

9. 1i -

10.15 11.

16

3

12.（1,0）；1)y x =+和1)y x =+

13.π6，π2

14.①②③

三、解答题（共6小题，共80分） 15.（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）由?ABC 面积公式及题设得1

sin 2

S ac B ==122a a ?=

解得1,2,a c ==

由余弦定理及题设可得2222cos b a c ac B =+-1

14212()72

=+-???-=，

又0,b b >∴=. (不写b>0不扣分)

（Ⅱ）在?ABC 中，由正弦定理

sin sin a b

A B =

得：sin sin a A B b == 又120B = ，所以A 是锐角（或：因为12,a c =<=）

所以cos A ==

所以sin tan cos A A A =

= 16. （本小题满分13分）

解：（Ⅰ）十二周“水站诚信度”的平均数为x =

95+98+92+88+94+94+83+80+85+92+95+96

=91%12100

?

（Ⅱ）随机变量X 的可能取值为0，1，2，3

三个周期“水站诚信度”超过91%分别有3次，2次，3次

1212

(0)44464

P X ==??=

32112112314

(1)

44444444464

P X==??+??+??=

32132132330

(2)

44444444464

P X==??+??+??=

32318

(3)

44464

P X==??=

随机变量X的分布列为

X0 1 2 3

P 1

32

7

32

15

32

9

32

17159

01232

32323232

EX=?+?+?+?=.

（Ⅲ）本题为开放问题，答案不唯一，在此给出评价标准，并给出可能出现的答案情况，阅卷时按照标准酌情给分.

给出明确结论，1分，结合已有数据，能够运用以下三个标准中的任何一个陈述得出该结论的理由，2分.

标准1:会用主题活动前后的百分比变化进行阐述

标准2：会用三个周期的诚信度平均数变化进行阐述

标准3：会用主题活动前后诚信度变化趋势进行阐述

可能出现的作答情况举例，及对应评分标准如下：

情况一：

结论：两次主题活动效果均好.（1分）

理由：活动举办后，“水站诚信度”由88%→94%和80%→85%看出，后继一周都有提升.（2分）

情况二：

结论：两次主题活动效果都不好.（1分）

理由：三个周期的“水站诚信度”平均数分别为93.25%，87.75%，92%(平均数的计算近似即可)，活动进行后，后继计算周期的“水站诚信度”平均数和第一周期比较均有下

降.（2分）

情况三：

结论：第一次主题活动效果好于第二次主题活动.（1分）

理由：第一次主题活动举办的后继一周“水站诚信度”提升百分点（94%-88%=6%）高于第二次主题活动举办的后继一周“水站诚信度”提升百分点（85%-80%=5%）.（2分）情况四：

结论：第二次主题活动效果好于第一次主题活动.（1分）

理由：第一次活动后“水站诚信度”虽有上升，但两周后又有下滑，第二次活动后，“水站诚信度”数据连续四周呈上升趋势. （2分）（答出变化）

情况五：

结论：两次主题活动累加效果好.（1分）

理由：两次主题活动“水站诚信度”均有提高，且第二次主题活动后数据提升状态持续周期好.（2分）

情况六：

以“‘两次主题活动无法比较’作答，只有给出如下理由才给3分：“12个数据的标准差较大，尽管平均数差别不大，但比较仍无意义”.

给出其他理由，则结论和理由均不得分（0分）.

说明：

①情况一和情况二用极差或者方差作为得出结论的理由，只给结论分1分，不给理由分2分.

②以下情况不得分. 情况七：

结论及理由“只涉及一次主题活动，理由中无法辩析是否为两次活动后数据比较之结果”的. 例：

结论：第二次主题活动效果好.

理由：第二次主题活动后诚信度有提高.

③其他答案情况，比照以上情况酌情给分，赋分原则是：遵循三个标准，能使用表中数据解释所得结论.

17. （本小题满分14分） 解：（Ⅰ）直线DC //m .

证明：由题设可得//,CD OB 1

CD AOB ?平面，1OB AOB ?平面， 所以//CD 平面1A OB .

又因为CD ?平面1A DC ，平面1A DC 平面1A OB m = 所以//CD m .

法1：

（Ⅱ）由已知224AB CD BC ===，O 是边AB 的中点，//AB CD ，

所以//CD OB ，

因为90ABC ∠= ，所以四边形CDOB 是正方形， 所以在图1中DO AB ⊥，

所以结合题设可得，在图2中有1DO OA ⊥，DO OB ⊥， 又因为1OA OB O = ， 所以1

DO AOB ⊥平面. 在平面AOB 内作OM 垂直OB 于M ，则DO OM ⊥. 如图，建立空间直角坐标系O xyz -

，则

11,0),(0,2,0),(0,0,2)A B D -

，

所以1(,2)A D =

.

设,0)G m ，则由1OG A D ⊥可得

10A D OG ?=

，即

(,2),0)30m m ?=-+=

解得3m =.

所以1

4AG =. （Ⅲ）设平面1A BD 的法向量(,,)x y z =n ，则

A

1

10,0,A D A B ??=???=??n n

即20,30,y z y ?++=??+=?

?令1y =

，则1x z =，

所以=n ，

设直线1A O 与平面1A BD 所成角为θ，则sin θ

=111cos ,A O n A O n A O n

?<>==

?

法2：

（Ⅱ）由已知224AB CD BC ===，O 是边AB 的中点，//AB CD ，

所以//CD OB ，

因为90ABC ∠= ，所以四边形CDOB 是正方形， 所以在图1中DO AB ⊥，

所以结合题设可得，在图2中有1DO OA ⊥，DO OB ⊥， 又因为1OA OB O = ， 所以1

DO AOB ⊥平面. 又因为1

OG AOB ?平面，所以DO OG ⊥. 若在直线m 上的点G 满足1OG A D ⊥，又1OD A D D = ， 所以1OG AOD ⊥平面， 所以1OG OA ⊥，

因为11120,//AOB OB AG ∠= ，所以160OAG ∠= ， 因为12OA =，所以14A G =.

（注：答案中标灰部分，实际上在前面表达的符号中已经显现出该条件，故没写不扣分） （Ⅲ）由（II ）可知1OD OA OG 、、两两垂直，

如图，建立空间直角坐标系O xyz -

，则10,0,0),(2,0,0),((0,0,2)O A B D -（，

所以11(2,0,2),(A D A B =-=-

设平面1A BD 的法向量(,,)n x y z =

，则

1

10,0,

n A D n A B ??=???=??

即220,30,x z x -+=???-=??令1x =，

则

1y z ==，

所以n =

，

设直线1A O 与平面1A BD 所成角为θ，则

sin θ

=11

1

cos ,AO n AO n AO n ?<>=?

18. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由已知2,b =

由点(3,1)B 在椭圆G 上可得

291

14

a +=，

解得212,a a ==.

所以2228,c a b c =-==， 所以椭圆G

的离心率是c e a =

= （Ⅱ）法1：

因为以BC 为直径的圆经过点A ，所以AB AC ⊥，

由斜率公式和(0,2),(3,1)A B 可得1

3

AB k =-，

所以3Ac k =，

设直线AC 的方程为32y x =+. 由2232,1124

y x x y =+??

?+

=??得2790x x +=，

由题设条件可得9

0,7A C x x ==-，

所以913

()77

C -,-，

所以直线BC 的方程为2

13

y x =

-. 法2：因为以BC 为直径的圆经过点A ，所以AB AC ⊥，

由斜率公式和(0,2),(3,1)A B 可得1

3

AB k =-，

所以3Ac k =，

设C C C x y （，） ,则2

3C Ac C

y k x -=

=，即32C C y x =+① 由点C 在椭圆上可得22

1124

C C x y +=②

将①代入②得2790C C x x +=，

因为点C 不同于点A ，所以9

7C x =-，

所以913

()77

C -,-，

所以直线BC 的方程为2

13

y x =

-. 法3：当直线l 过点B 且斜率不存在时，可得点(3,1)C -，不满足条件.

设直线BC 的方程为1(3)y k x -=-，点C C C x y （，）

由2213,

1124

y kx k x y =+-??

?+

=??可得222(31)6(13)3(13)120k x k k x k ++-+--=，

显然0?>，此方程两个根是点B C 和点的横坐标，

所以223(13)12331C k x k --=+，即22(13)4

,31

C k x k --=+

所以22361

,31

C k k y k --+=+

因为以BC 为直径的圆经过点A ，

所以AB AC ⊥，即0AB AC ?=

. （此处用1AB AC k k ?=-亦可）

2222963961(3,1)(,)3131k k k k AB AC k k -----?=-?=++ 2236128031k k k --=+，

即(32)(31)0k k -+=，

1221

,,33

k k ==-

当21

3

k =-时，即直线AB ,与已知点C 不同于点A 矛盾，

所以12

,3

BC k k ==

所以直线BC 的方程为2

13

y x =-.

19. （本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由()ln 1a

f x x x =-

-得

221'()(0)a x a

f x x x x x

+=+=>.

由已知曲线()y f x =存在斜率为1-的切线， 所以'()1f x =-存在大于零的实数根， 即20x x a ++=存在大于零的实数根， 因为2y x x a =++在0x >时单调递增， 所以实数a 的取值范围0∞（-，）.

（Ⅱ）由2'()x a

f x x

+=

，0x >，a ∈R 可得 当0a ≥时，'()0f x >，所以函数()f x 的增区间为(0,)+∞； 当0a <时，若(,)x a ∈-+∞，'()0f x >，若(0,)x a ∈-，'()0f x <， 所以此时函数()f x 的增区间为(,)a -+∞，减区间为(0,)a -.

（Ⅲ）由()ln x a g x x

+=及题设得22

ln 1

('()(ln )(ln )a x f x x g x x x -

-==）， 由10a -<<可得01a <-<，由(Ⅱ)可知函数()f x 在(,)a -+∞上递增， 所以(1)10f a =--<，

取e x =，显然e 1>，

(e)lne 10e a a

f e

=-

-=->， 所以存在0(1,e)x ∈满足0()0f x =，即 存在0(1,e)x ∈满足0'()0g x =，

所以(),'()g x g x 在区间(1,)+∞上的情况如下：

x

0(1,)x 0x 0(,)x +∞

'()

g x

-

0 +

()

g x

极

小

所以当10a -<<时，()g x 在(1,)+∞上存在极小值. （本题所取的特殊值不唯一，注意到

0(1)a

x x

->>），因此只需要0ln 1x ≥即可）

20. （本小题满分13分）

解：（Ⅰ）由21n a n =+可得{}n a 为递增数列，

所以12121max{,,,}min{,,,}21322n n n n b a a a a a a a a n n =-=-=+-=- ，

故{}n b 的前n 项和为

22

(1)2

n n n n -?=-.- （Ⅱ）因为12121max{,,,}max{,,,}(1,2,3,)n n a a a a a a n +≤= ，

12121min{,,,}min{,,,}(1,2,3,)n n a a a a a a n +≥= ，

所以1211211212max{,,,}min{,,,}max{,,,}min{,,,}n n n n a a a a a a a a a a a a ++-≥-

所以1(1,2,3,)n n b b n +≥= . 又因为1110b a a =-=，

所以12121max{,,,}min{,,,}n n n n b b b b b b b b b -=-= ， 所以{}n b 的“收缩数列”仍是{}n b .

（Ⅲ）由121(1)(1)

22

n n n n n n S S S a b +-+++=

+ (1,2,3,)n = 可得 当1n =时，11a a =；

当2n =时，121223a a a b +=+，即221b a a =-，所以21a a ≥；

当3n =时，123133263a a a a b ++=+，即3213132()()b a a a a =-+-（*）， 若132a a a ≤<，则321b a a =-，所以由（*）可得32a a =，与32a a <矛盾；

若312a a a <≤，则323b a a =-，所以由（*）可得32133()a a a a -=-， 所以3213a a a a --与同号，这与312a a a <≤矛盾； 若32a a ≥，则331b a a =-，由（*）可得32a a =. 猜想：满足121(1)(1)

22

n n n n n n S S S a b +-+++=

+ (1,2,3,)n = 的数列{}n a 是： 1212

,1,

,1,n a n a a a a n =?=≥?>?.

经验证，左式=121212(1)

[12(1)]2

n n n S S S na n a na a -+++=++++-=+ ， 右式=112112(1)(1)(1)(1)(1)()22222

n n n n n n n n n n n a b a a a na a +-+--+=+-=+.

下面证明其它数列都不满足（Ⅲ）的题设条件.

法1：由上述3n ≤时的情况可知，3n ≤时，1212

,1,

,1,n a n a a a a n =?=≥?>?是成立的.

假设k a 是首次不符合1212,1,

,1,n a n a a a a n =?=≥?>?的项，则1231k k a a a a a -≤===≠ ，

由题设条件可得

2212(1)(1)222

k k k k k k k k a a a b ----+=+（*）， 若12k a a a ≤<，则由（*）式化简可得2k a a =与2k a a <矛盾； 若12k a a a <≤，则2k k b a a =-，所以由（*）可得21(1)

()2

k k k k a a a a --=- 所以21k k a a a a --与同号，这与12k a a a <≤矛盾； 所以2k a a ≥，则1k k b a a =-，所以由（*）化简可得2k a a =.

这与假设2k a a ≠矛盾.

所以不存在数列不满足1212

,1,

,1,n a n a a a a n =?=≥?>?的{}n a 符合题设条件.

法2：当i n ≤时，11212max{,,,}min{,,,}i i i i a a a a a a a a b -≤-= ，

所以1121()k

i k i a a b b b =-≤+++∑ ，(1,2,3,,)k n =

即112()k k S ka b b b ≤++++ ，(1,2,3,,)k n = 由1(1,2,3,)n n b b n +≥= 可得(1,2,3,,)k n b b k n ≤= 又10b =，所以可得1(1)k n S ka k b ≤+-(1,2,3,)k = ，

所以12111(2)[02(1)]n n n n n S S S a a na b b b n b +++≤++++?++++- ，

即121(1)(1)22n n n n n n

S S S a b +-+++≤

+ 所以121(1)(1)22

n n n n n n

S S S a b +-+++≤+ 等号成立的条件是

1(1,2,3,,)i i n a a b b i n -=== ，

所以，所有满足该条件的数列{}n a 为1212

,1,

,1,n a n a a a a n =?=≥?>?.

（说明：各题的其他做法，可对着参考答案的评分标准相应给分）