解析几何教案

第一章 矢量与坐标

教学目的：

1、理解矢量的有关概念，掌握矢量线性运算的法则及其运算性质;

2、理解矢量的乘法运算的意义，熟悉它们的几何性质，并掌握它们的运算规律;

3、利用矢量建立坐标系概念，并给出矢量线性运算和乘法运算的坐标表示;

4、能熟练地进行矢量的各种运算，并能利用矢量来解决一些几何问题。 教学重点：矢量的概念和矢量的数性积，矢性积，混合积。 教学难点：矢量数性积，矢性积与混合积的几何意义。 教学时数：18学时

§1.1~§1.3 矢量的概念,矢量的加法,数量乘矢量

由于这部分内容已下放到高中教材中,学生基本上已掌握,因此我们这里就不作重点讲解,只对某些基本知识作简单复习.

§1.4 矢量的线性关系与矢量的分解

教学要求:掌握矢量线性组合的定义,共线矢量,平面矢量,空间矢量用其基底表示的方法,线性相关,

线性无关的概念以及相关的重要定理.

前面已学过矢量的加法和数与矢量的乘法,它们称为矢量的线性运算,且我们知道有限个

矢量通过线性计算,它的结果仍然是一个矢量,下面首先给出 1线性组合

定义1.4.1 由矢量n a a a ,...,,21与数n λλλ,...,,21所组成的矢量n n a a a a λλλ+++= (2211)

称为矢量n a a a ,...,,21的线性组合.

注:线性组合也可说成线性表示,线性分解,a λ也称为a 的线性组合.

2 线性关系

(1)线性相关和无关性：(定义1.4.2) 对于)1(≥n n 个矢量n a a a ,...,,21,如果存在不全为零的n 个

数n λλλ,...,,21,使得： 0...2211=+

++n n a a a λλλ (1.4.1) 那么n 个矢量n a a a ,...,,21叫做线性相关。n a a a ,...,,21 推论:一个矢量a 线性相关的充要条件为0=a

n a a a ,...,,21线性无关, 当且仅当：

0...2211=+++n n a a a λλλ时0...21====n λλλ

例：判断下列向量组是相关还是无关？

(2)一些基本性质:

定理1.4.1 在2≥n 时,矢量n a a a ,...,,21线性相关的充要条件是其中有一个矢量是其余矢

量的线性组合.

证明：

定理1.4.2 如果一组矢量中的一部分矢量线性相关,那么这一组矢量就线性相关.

推论:一组矢量如果含有零矢量,那么这组矢量必线性相关.

定理1.4.3 矢量n a a a ,...,,21线性相关, 121,...,,-n a a a 线性无关，则n a 可写成

121,...,,-n a a a 的线性组合。 即1111--++=n n n a a a λλ ，且系数由n

a a a ,...,,21唯一确定。

3线性组合及关系的几何意义：

定理1.4.4 矢量r 与矢量e 共线的充要条件r 和e 线性相关。

推论：如果矢量0≠e ,那么r 可写成e 的线性组合,即

xe r = (1.4-2)

并且系数x 被e r ,唯一确定

定理1.4.5 三矢量共面的充要条件是它们线性相关 证明：

若r 与21,e e 共面

若21//e e 由定理1.4.4以及定理1.4.2结论显然。 若21,e e 不平行如图。

反过来若r 与21,e e 线性相关

推论：如果矢量21,e e 不共线,那么矢量r 与21,e e 共面的充要条件是r 可分解成2

1,e e 的线性组合,即 21ye xe r += (1.4-3) 并且系数y x ,被21,,e e r 唯一确定 这里21,e e 称为共面(平面)矢量的基底.

定理1.4.6 空间任何四个或以上矢量总是线性相关

推论：如果矢量321,,e e e 不共面,那么空间任意矢量r 可由321,,e e e 线性表示或r 可分解成

321,,e e e 的线性组合,即

322ze ye xe r ++= (1.4-3)

并且系数z y x ,,被r e e e ,,,321唯一确定 这里321,,e e e 称为空间矢量的基底.

总结:这一节我们应重点把握好矢量的几个线性分解式和线性相关,线性无关的应用定理 例题见书上

课堂练习：P24 7，8，9 作业:P24,10题

1.5 标架与坐标

教学要求:了解各种标架的定义,掌握坐标的定义,掌握坐标在标架中各个卦线的符号,掌握矢量的坐标运算. 引言

前面我们已知道空间中任何矢量可由三个不共面的矢量来线性表示,于是在空间中任取一点O,再引出三个不共面的矢量321,,e e e ,那么空间中任何矢量r 可由321,,e e e 线性表示,即

321ze ye xe r ++= （1）

并且这里的z y x ,,是唯一的一组有序实数.

我们把321,,,0e e e 的集合称为仿射标架,记作{}321,,;0e e e , ()z y x ,,称为向量r 在该标架下

的坐标。标架分为右手系和左手系标架.

如果1e ,i =⊥且j i e e i ，j=1…3 称{}3

21,,;0e e e 为直角标架，常用}{k

j i ,,

;0表示空间

右手直角坐标系.

例： 点关于坐标面、坐标轴、原点的对称点，

设),,(z y x P 关于0点的对称点为)(z

y x ---,,

关于xoy 面的对称点为)(z y x -,, 关于x 轴的对称点为)(z y x --,,

1矢量的基本坐标运算

(1) 矢量的坐标分量等于其终点的坐标减去其始点的坐标。.

特别→

OP 称为点P 的径矢 ()()22221

111,,,,,z y x P z y x P ，则{}1

212122

1,,z z y y x x P P ---=→

(2) {}{}222111,,,,,Z Y X b Z Y X a ==，则{}2

12121,,Z Z Y Y X X b a +++=+

(3)设{}Z

Y X a ,,=，则{}Z Y X a λλλλ,,=

例：用坐标方法证明：四面体对边中点连线交于一点且互相平分 2共线和共面向量的坐标性质

(1) {}{}2221

11,,,,,Z Y X b Z Y X a ==共线2

12

12

1Z Z Y Y X X =

=

?

当分母为0时，约定分子也为0

推论： 三个点A （111,,z y x ），B （222,,z y x ）和C （333,,z y x ）共线的充要条件是

1

3121

3121

312//z z z z y y y y x x x x AC AB --=

--=

--?

→

→

(2) 三个非零矢量{}{}222111,,,,,Z Y X b Z Y X a 和{}333,,Z Y X c 共面的充要条件是

03

3

3

2221

11=Z Y X

Z Y X Z Y X 证明：

复习：平面向量{}{}2211,,,Y X b Y X a 共线 02

2

11=?

Y X Y X

四维向量共空间是否可以类似讨论？ 事实上3

3

3

222

1

11

Z Y X

Z Y X Z Y X 称为三向量张成的有向体积 推论：四个点()()4,3,2,1,,=i z y x A i i i i 共面的充要条件是

01

41

41

41313131

21212=---------z z y y x x z z y y x x z z y y x x 00

0011

41

41

4131313121212111=---------?z z y y x x z z y y x x z z y y x x z y x

或

01

1114

4

4

333222111=z y x z y x z y x z y x (1.5-7’)

3定比分点

对于有向)(2121P P P P ≠→

线段，如果点P 满足→→=21PP P P λ，则称点P 为→

21P P 的λ分点（定比分点）

定理 1.5.6 设有向线段→21P P 的始点()1111,,z y x P ，终点为(),,,2222z y x P 则分→

21P P 成定比

()1-≠λλ的分点P 的坐标是

λ

λλ

λλ

λ++=++=++=1,1,1212121z z z y y y x x x (1.5-8)

推论：设()()2,1,,=i z y x P i i i i ，那么线段→

21P P 的中点坐标是 2

,2

,2

2

12

12

1z z z y y y x x x +=

+=

+=

(1.5-9)

总结：本节重点掌握用坐标进行矢量的运算，三矢量共面，两矢量共线的条件，有向线段的分点的坐标公式，应注意点和矢量坐标的区别和联系。 课堂练习：P33，4，10题 作业：P34，7(2),8(2)题 例题见书上

1.6 矢量在轴上的射影

教学要求：了解射影的定义，掌握射影的公式。 1 基本概念

① 点在有向直线l 上的射影定义：设有空间中的一点和轴l ，过A 作垂直轴l 的平面交l 与A '

点，则称A '为A 在轴l 上的射影。 ② 矢量在有向直线上的射影矢量及射影：设B A ,两点在轴l 上的射影分别为B A '',，则矢量

→

''B A 称为→

AB 在l 上的射影矢量，记为射影矢量l →

AB 。

规定l 方向为正向，称线段B A ''的有向长度为→

''B A 在l 上的射影，记为射影l →

AB 。 或e

射影

→AB

，

显然上述射影满足：e x B A =''→

e

为l 方向的单位矢量

③ 矢量在矢量上的射影：设e 是向量a 方向的单位矢量，向量xe b =，称x 为b 在a 上的射

影记为b a 射影 2 两向量的角

规定两矢量夹角在0到π之间，即π≤∠≤),(0b a ，若b a ,同向()0,=∠b a ，b a ,反向，则()π=∠b a ,，在平面上，还可以定义方向角 下面给出射影公式。

定理1.6.1 矢量→

AB 在轴l 上的射影等于矢量的模乘以轴与该矢量的夹角的余弦：

射影l →→=AB AB cos θ, θ=),(→

∠AB l . (1.6-2)

注：定理1.6.2和1.6.3表明矢量的射影满足加法和数乘两种运算。 总结：本节内容相对简单，重点掌握矢量在轴l 上的射影的计算公式。 作业：P38，1题

1.7 两矢量的数性积

教学要求：掌握两矢量数性积的定义，两矢量垂直的充要条件，数性积的运算律，利用矢量的坐标（分量）表示数性积，两点距离公式，方向余弦，两矢量的夹角余弦。 0引言

前面我们已学过矢量的加法和数乘运算，这两种运算的结果仍然是矢量，这一节我们将进行两矢量的一种乘积运算，这种运算的结果是一个数，一个非常典型的例子是物理学上一个外力，经过一定的位移所作的功θcos s f W =

1 定义：两个矢量a 和b 的模和它们夹角的余弦的乘积叫做矢量a 和b 的数性积（也称内积），记或，即b a ?或ab

()b a b a b a ,cos ∠=?

注：数性积是一个数，零矢量与任何矢量的数性积为0。 由上一节射影公式，

b a ?=a 射影a b =b 射影b a

若e b =，则，=?e a 射影e a

若b a =，则2

a a a =?，记作2

a ，为a 的数量平方。

下面给出

定理1.7.1 两矢量a 与b 互相垂直的充要条件是0=?b a 该定理有许多应用，值得重视。

定理1.7.2 矢量的数性积满足下面的运算规律 1） 交换律 a b b a ?=?

2） 关于数因子的结合律 )()()(b a b a b a λλλ=?=? 3） 分配律 c b c a c b a ?+?=?+)( 推论：)()()(c b c a c b a ?+?=?+μλμλ

我们在这里指出，矢量的数性积运算可以像数的乘法那样进行。 现在给出数性积的坐标表示。

定理1.7.3 设k Z j Y i X b k Z j Y i X a 222111,++=++=

那么212121Z Z Y Y X X b a ++=? (1.7-6) 推论：设Zk Yj Xi a ++=，那么 下面给出几个重要的公式 1） 两点距离公式

定理1.7.4 设Zk Yj Xi a ++=，那么 2

2

2

2

Z

Y

X

a

a ++==

(1.7-8)

定理1.7.5 空间两点()()22221111,,,,,Z Y X P Z Y X P 间的距离是 2

122

122

12)()()(z z y y x x d -+-+-=

(1.7-9)

2） 矢量的方向余弦：矢量与坐标轴所成的角叫方向角，而方向角的余弦叫矢量的方向余弦，我

们有 定理1.7.6 非零矢量Zk Yj Xi a ++=的方向余弦是

cos α=2

2

2

Z

Y X X a X ++=

cos β=

2

2

2

Z

Y X Y

a Y ++=

(1.7-10)

cos γ=

2

2

2

Z

Y

X

Z

a

Z ++=

且cos 2α+cos 2β+cos 2γ=1 (1.7-11) 这里α,β,γ分别为矢量a 与x 轴，y 轴，z 轴的交角，即矢量的三个方向角。 特别地，a 0={cos α,cos β,cos γ} (1.7-12) 3） 两矢量的交角

定理1.7.7 设空间中两个非零矢量a{X 1,Y 1,Z 1}和b{X 2,Y 2,Z 2}，那么它们夹角的余弦是 22

22

22

21

2

121

2

12121),(cos Z

Y

X

Z

Y X

Z Z Y Y X X b

a b a b a ++++++=

?=

∠ (1.7-13)

推论：矢量a{X 1,Y 1,Z 1}和b{X 2,Y 2,Z 2}相垂直的充要条件是

0212121=++Z Z Y Y X X (1.7-14)

平面的两矢量有类似的结论。

总结：这一节重点掌握数性积的定义，利用分量表示数性积及其应用。 作业：P48，5题 例题见书上。

1.8 两矢量的矢性积

教学要求：掌握矢性积的定义，几何意义，运算律，坐标表示。

引言

前面已学过数性积，它表示一个数，这一节我们将引入两矢量的饿乘积运算的另一种形式，它的结果是一个新的矢量。首先看一下它的定义：

定义1.8.1 两矢量a 与b 的矢性积（也称外积）是一个矢量，记做b a ?，它的模是 ),(sin b a b a b a ∠=?, (1.8-1)

它的方向与a,b 都垂直，且按a,b, b a ?的顺序构成右手标架{O;a,b, b a ?} 由平行四边形面积公式，我们有

定理1.8.1 两不共线矢量a 与b 的矢性积的模等于以a 与b 为边所构成的平行四边形的面积。 这个定理刻画了矢性积的饿几何意义。 定理1.8.2 两矢量共线的充要条件是b a ?=0 该定理的应用也相当广泛，需重视。

定理1.8.3 矢性积是反交换的，即

b a ?=-(a b ?) (1.8-2) 定理1.8.4 矢性积满足关于数因子的结合律，即

)()()(b a b a b a λλλ?=?=? (1.8-3) 推论 设μλ,为任意实数，那么

))(()()(b a b a ?=?λμμλ (1.8-4)

定理1.8.5 矢性积满足分配律，即

c b c a c b a ?+?=?+)( (1.8-5)

推论 b c a c b a c ?+?=+?)( (1.8-6)

值得注意的是，矢性积在运算过程中，如果顺序发生改变，一定要变号 下面用分量来表示矢性积

定理1.8.6 如果k Z j Y i X b k Z j Y i X a 222111,++=++=，那么

k Y X Y X j X Z X Z i Z Y Z Y b a 2

2

112

2

112

2

11+

+=

? (1.8-7)

或2

2

2

111

Z Y X

Z Y X k

j i

b a =? (1.8-8) 总结：本节重点掌握矢性积的定义，几何意义和分量表示形式。 作业：P54，5题 例题见书上。

1.9 三矢量的混合积

教学要求：掌握混合积的定义，几何含义，三矢量共面的充要条件，分量表示。 引言

我们在前面两节学习的是两个矢量的乘积运算，但三个矢量的乘积运算还未涉及，总的来说有下

面几种情况，矢量a,b 作数性积再与c 作积，即(ab)c ，此时结论为与c 共线的矢量，没必要讨论，另外一种是，矢量a,b 作矢量积再与c 作数性积，即c b a ??)(，此时为一个数，还有一种是，a,b 作矢性积再与c 作矢性积，即c b a ??)(，我们在这一节只讨论第二种情况，首先给出

定义1.9.1 给定空间的三个矢量c b a ,,,如果先做前两个矢量a 与b 的矢性积，再做所得矢量与第三个矢量c 的数性积，最后所得的这个数叫三矢量c b a ,,的混合积，记做c b a ??)(，或(a,b,c)，或(abc)

定理1.9.1 三个不共面矢量c b a ,,的混合积的绝对值等于以c b a ,,为棱的平面六面体的体积V ，并且当c b a ,,构成右手系时混合积是正数；当c b a ,,构成左手系时，混合积是负数，也就是有 (abc )=εV (1.9-1) 当a,b,c 是右手系时ε=1，反之ε=-1

定理1.9.2 三矢量c b a ,,共面的充要条件是(a,b,c)=0

定理1.9.3 轮换混合积的三个因子，并不改变它的值，对调任何两个因子要改变符号，即 (abc)=(bca)=(cab)=-(bac)=-(cba)=-(acb) (1.9-2) 推论 )()(c b a c b a ??=?? (1.9-3) 下面用分量表示矢性积

定理1.9.4 如果k Z j Y i X c k Z j Y i X b k Z j Y i X a 333222111,,++=++=++=，则

3

3

3

222

1

11

)(Z Y X Z Y X Z Y X abc = (1.9-4) 三矢量c b a ,,共面的充要条件是 03

3

3

2221

11=Z Y X Z Y X Z Y X 总结：本节重点掌握混合积的定义，几何意义，三矢量共面的充要条件，混合积的特点，分量表示。

作业：P60，5题 例题参见书上。

第二章 轨迹与方程

教学目的：

1、理解曲面与空间曲线方程的意义；

2、掌握求轨迹方程（矢量式与坐标式参数方程及普通方程）的方法；

3、会判断已知方程所表示的轨迹名称。 教学重点：曲面和空间曲线的方程求法。

教学难点：判断已知的参数方程或普通方程所表示的图形。 教学时数：6学时

2.1 平面曲线的方程

这一节的内容不在课堂上讲，由学生在课后自学，因为后面要讲的空间曲线的方程包含了这一节内容。

2.2 曲面的方程

教学要求：掌握曲面方程的定义，求曲面方程的方法，曲面参数方程的定义、形式。 引言

曲面方程的意义与平面曲线一样，即点所满足的式子，曲面方程通常由下列形式来表示： F(x,y,z)=0或z=f(x,y)

求曲面方程的方法通常是：利用轨迹的性质，列出曲面上的点所满足的条件建立等式，再把坐标代入化简即可得曲面方程，举例如书上 曲面的矢量式参数方程为

321),(),(),().(e v u z e v u y e v u x v u r ++=

其中),(,d v c b u a v u ≤≤≤≤为参数，321,,e e e 为空间矢量的基底。 曲面的坐标式参数方程为 ??

?

??===),(),(),(v u z z v u y y v u x x 这里v u ,同上。

总结：这一节重点掌握曲面方程的形式，参数方程的形式。 作业：P88， 5题 例题见书上

2.3 母线平行于坐标轴的柱面方程

这类方程比较特殊，分别有下面三种形式 F(x,y)=0, 母线平行于z 轴 F(x,z)=0, 母线平行于y 轴 F(y,z)=0, 母线平行于x 轴 例如：2

2

2

a y x =+, 圆柱面（轴为z 轴） 2.4 空间曲线的方程

教学要求：掌握空间曲线方程的定义，了解它的求法，掌握曲线射影柱面的求法。 引言

空间曲线方程的意义与曲面一样，我们把空间曲线看作是两个曲面的交线，于是方程为

??

?==0),,(0

),,(:2

1z y x F z y x F L (2.4-1) 具体举例见书上。

对于空间曲线L(2.4-1)的射影柱面，就是以L 为准线，作母线分别平行于三坐标的柱面，在代数上就是在方程(2.4-1)中分别消去三个坐标x,y ,z ，

就可得L 对于yoz 面，xoz 面，xoy 面三坐标面的射影柱面 例子见书上

作业：P97，3题，8题

第三章 平面与空间直线 教学目的：

1、 深刻理解在空间直角坐标系下平面方程是一个关于x,y,z 的三元一次方程；反过来任何一个关于x,y,z 的三元一次方程都表示一个平面。直线可以看成两个平面的交线，它可以用两个相交平面的方程构成的方程组来表示；

2、 掌握平面与空间直线的各种形式的方程，明确方程中常数（参数）的几何意义，能根据决定平面或决定直线的各种导出它们的方程，并熟悉平面方程的各种形式的互化与直线各种方程形式的互化；

3、 能熟练地根据平面和直线的方程以及点的坐标判别有关点、平面、直线之间的位置关系与计算它们之间的距离和交角。

教学重点：平面与空间直线的方程求法及点、平面、直线之间的相关位置。 教学难点：平面与空间直线各种形式方程的互化。 教学时数：10学时 3.1平面的方程

教学要求：掌握平面方程的几种形式，包括参数方程，点位式方程，截距式方程，法式方程以及一般方程，平面的一般方程的法式化。

引言

我们知道，平面可以由一个点和不共线的两方向矢量决定，于是可得如下的矢量式参数方程。

a r r νμ++=0

其中νμ,为参数，b a ,为两不共线矢量，0r 为定值 (3.1-1) 变形又可得坐标式参数方程

??

?

??++=++=++=ν

μνμνμ210210210z z z z y y y y x x x x (3.1-2) 消参可得点位式方程 02

2

2

111000=---Z Y X Z Y X z z y y x x (3.1-4)

或0),,(0=-b a r r ，共面三矢量的条件 (3.1-3)

平面也可由三点决定，于是有下面的三点式方程

)()(13121r r r r r r -+-+=νμ (3.1-5)

??

??-+-+=-+-+=-+-+=)

()()()()()(13121131211121z z v z z u z z y y v y y u y y x x x x x x νμ (3.1-6) 0),,(13121=---r r r r r r (3.1-7)

01

31313121221

11=---------z z y y x x z z y y x x z z y y x x (3.8-8) 01

1113

3

3

22111=z y x z y x z y x z y x (3.8-8')

特别地，我们还有截距式方程

1=+

+

c

z b

y a

x 0≠abc (3.1-9)

平面的一般方程是下面的三元一次方程

0=+++D Cz By Ax (3.1-10)

其中，A,B,C 不全为0

对于一些特殊情形，必须非常熟悉。

对于平面，还可由一点和垂直于已知非0矢量的矢量决定,平面的方程为下面的点法式方程

0)(0=-?r r n (3.1-11)

即

0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A (3.1-12)

如果取单位法矢量{}γ

βαcos ,cos ,cos 0=n ，则

00

=-?P r n (3.1-13)

即

cos cos cos =

-++P z y x γβα (3.1-14)

这里的P 表示原点到平面的距离0≥P 对于平面的一般方程(3.1-10)，用2

2

2

1C

B A ++±

=

λ

可以法式化，符号的造取须使0≤-P

具体的一些例子参见书上。

总结：本节重点掌握平面的几个方程形式和法式化。 作业：P109，5，6，7题 3.2 平面与点的相关位置 3.3两平面的相关位置

教学要求：掌握离差的定义，点与平面的距离公式，两平面位置关系的判定条件。 引言

点与平面只有两种位置关系，点在平面上即点满足平面方程，由前一节可得，于是我们只考虑点在平面外的情形，离差的定义为 δ=射影n 0→

QM

(3.2-1)

以及

P

z y x P

r n -++=-?=γβαδcos cos cos 00000

(3.2-2,3)

点),,(0000z y x M 与平面0=+++D Cz By Ax 间的距离为

2

2

2

000C

B A D

Cz By Ax d +++++= (3.2-4)

两平面的关系有相交，平行，重合，具体的条件决定于下述方程组 ??

?=+++=+++)2(,0)

1(,02222

1111D z C y B x A D z C y B x A 的解的情况。

平面(1)与(2)相交的充要条件是

222111::::C B A C B A ≠ (3.3-1)

平行的充要条件是 2

12

12

12

1D D C C B B A A ≠== (3.3-2)

重合的充要条件是 2

12

12

12

1D D C C B B A A === (3.3-3)

两平面夹角的余弦

22

222221

21

2

1

2

121212

12121cos ),(cos C

B A C

B A

C C B B A A n n n n ++++++±

=??±

=±=∠θππ (3.3-5)

由此可得，两平面垂直的充要条件是

0212121=++C C B B A A (3.3-6)

总结：这两节重点掌握点到平面的距离公式，两平面位置关系的判定条件。

作业：P113，10题，P115，6题

3.4 空间直线的方程

教学要求：掌握直线的几种方程形式，包括参数方程，标准方程，两点式方程，一般方程，射影方程。 引言

我们知道，直线可以由一个点和一个方向矢量决定，于是得到直线的参数方程。

νt r r +=0 (3.4-1)

或

??

??+=+=+=tZ

z z tY y y tX x x 000 (3.4-2) 再消去参数t ，即得直线的标准方程 Z

z z Y

y y X

x x 0

-=-=- (3.4-3)

直线的两点式方程为 1

211

211

21z z z z y y y y x x x x --=--=-- (3.4-6)

如果取}{γ

βαcos ,cos ,cos 0

=V

，则

→

=-=0

0MM

r r t

参数t 的绝对值是l 上两点0M 与M 间的距离 用Z Y X ::表示方向数

直线的一般方程是下面的三元一次方程组

??

?=+++=+++0

22221111D z C y B x A D z C y B x A (3.4-11) 其中222111::::C B A C B A ≠ 它的射影式方程为

?

?

?+=+=d bz y c

az x (3.3-12) 其中

0000,,,z Z Y y d z Z

X x c Z

Y b Z X a -

=-

==

=

由(3.4-11)可得直线的标准方程

2

2

1102

2

1102

2

110B A B A z z A C A C y y C B C B x x -=

-=

-

其中

0,,2

2

11221102

2

112211

0==

=

z B A B A A D A D y B A B A D B D B x 1

另外，直线的方向矢量v 可取21n n ?

具体的例题见书上

总结：本节重点掌握直线的方程形式及求解方法。 作业：P123，4题

3.5 直线与平面的相关位置 3.6空间两直线的相关位置 3.7 空间直线与点的相关位置 3.8平面束

教学要求：掌握直线与平面位置关系的判定，两直线相关位置的判定，两直线夹角的余弦，两异面直线间的距离，公垂线方程，点到直线的距离公式，有轴平面束，平行平面束的方程及其应用。 引言

直线与平面有相交，平行，直线在平面上三种关系。 判定要求是：

(1)相交0≠++CZ BY AX (2)平行0=++CZ BY AX

(3)直线在平面上0=++CZ BY AX ，0000=+++D Cz By Ax

其中l :,0

Z

z z Y

y y X

x x -=-=-平面0:=+++D Cz By Ax π

直线L 与平面π的交角为0到

2

π

之间，有

2

2

2

2

2

2

sin Z

Y

X

C B A Cz

By Ax v

n v n ++++++=

??=? (3.5-4)

直线1

111111:

Z z z Y y y X x x L -=

-=-

直线2

22

22

22:

Z z z Y y y X

x x L -=

-=-

相关位置的充要条件是

1 异面:

02

2

2

1111

21

21

2≠---=

?Z Y X Z Y X z z y y x x (3.6-1)

2 相交:

222111::::,0Z Y X Z Y X ≠=? (3.6-2)

3 平行:

)(:)(:)(::::,0121212222111z z y y x x Z Y X Z Y X ---≠≠=? (3.6-3)

4 重合:

)(:)(:)(::::121212222111z z y y x x Z Y X Z Y X ---== (3.6-4)

空间两直线的夹角余弦 22

22

22

21

2

121

2

1212121),(cos Z

Y

X

Z

Y X

Z Z Y Y X X ++++++±

=∠ (3.6-5)

垂直的充要条件:

212121=

++Z Z Y Y X X (3.6-6)

异面直线1 与2 间的距离为

2

2

2

112

2

2

112

2

2

112

2

2111

2

12

12

1Y X

Y X X

Z X Z Z Y Z Y Z Y X Z Y X z z y y x x d +

+

---=

(3.6-7)

公垂线0 的方程为

????

?????

?

?=---=---00

222222111111Z

Y

X

Z Y X z z y y x x Z Y X Z Y X z z y y x x (3.6-8)

其中2

2

112

2

112

2

11,,Y X Y X Z X Z X Z Y Z Y Z Y X =

=

=

点到直线的距离公式为

2

2

2

2

1

01

02

1

01

02

1

01

00

1Z

Y

X

Y

X

y y x x X

Z x x z z Z

Y

z z y y v

M M v d ++--+

--+

--=

?=

→

(3.7-1)

以直线L 为轴的有轴平面束的方程是

0)()(22221111=+++++++D z C y B x A m D z C y B x A , (3.8-1)

由平面0=+++D Cz By Ax 决定的平行平面束的方程是

λλ,0=+++Cz By Ax 为任意实数 (3.8-2)

相关例题参见教材

总结：重点掌握直线与平面，直线与直线的判定条件，点到直线的距离公式，平面束的方程以及应用。

作业：P127，6题，P133，8题，P134，2题，P139，4题