(完整版)解直角三角形总结
解直角三角形总结
解直角三角形与直角三角形的概念、性质、判定和作图有着密切的联系，是在深 入研究几何图形性质的基础上，根据已知条件，计算直角三角形未知的边长、角度和 面积，以及与之相关的几何图形的数量。 1明确解直角三角形的依据和思路
在直角三角形中，我们是用三条边的比来表述锐角三角函数定义的。因此，锐角 三角函数的定义本质揭示了直角三角形中边角之间的关系，是解直角三角形的基础。
如图1,在Rt △ ABC 中，/ C = 90°，设三个内角 A 、B C 所对的边分别为 a 、b 、 c (以下字母同)，则解直角三角形的主要依据是
(1) 边角之间的关系:
(2) 两锐角之间的关系:
A +
B = 90°。
(3) 三条边之间的关系:
以上每个边角关系式都可看作方程，解直角三角形的思路，就是根据已知条件, 正确地选择直角三角形中边角间的关系式，通过解一元方程来求解。
sinA = cosB =
cosA =sinB = b , tanA = cotB = a , c b cotA = tanB =
2、解直角三角形的基本类型和方法
我们知道，由直角三角形中已知的元素求出未知元素的过程叫作解直角三角形，而在直角三角形中，除直角以外还有三条边及两个锐角共五个元素，那么什么样的直角三角形才可解呢？如果已知两个锐角能否解直角三角形呢？
事实上，解直角三角形跟直角三角形的判定与作图有着本质的联系，因为已知两个元素（至少有一个是边）可以判定直角三角形全等，也可以作出直角三角形，即此时直角三角形是确定的，所以这样的直角三角形是可解的。由于已知两个锐角的直角三角形是不确定的，它们是无数多个相似的直角三角形，因此求不出各边的长。所以, 要解直角三角形，给出的除直角外的两个元素中，必须至少有一个是边。这样，解直角三角形就分为两大类，即已知一条边及一个锐角或已知两条边解直角三角形。四种基本类型和解法列表如下：
例1、如图2，若图中所有的三角形都是直角三角形，且/
分析一：所求AB 是Rt △ ABC 的斜边，但在Rt △ ABC 中只知一个锐角 A = a ，暂不可解。
而在Rt △ ADE 中，已知一直角边及一锐角是可解的，所以就从解 Rt △ ADE 入手。
AE
AE 1 解法一：在 Rt △ ADE 中，T COSA=——，且/ A = a, AE = 1 ,二 AD= ------------------ = --------- AD
cos A cos
AD
在 Rt △ ADC 中，T cosA= ,
AC AC 在 Rt △ ABC 中，T cosA= , AB “ AD
-cos =1
AC= =
cos A cos 2 ，
cos 1
s AC
AC= = 2
.cos =1 cos 3 cos
分析二；观察图形可知，
CD CE 分别是Rt △ ABC 和Rt △ ACD 斜边上的高，具备应用射
解法二：冋解法一得，??? AD=——, cos 影定理的条件，可以利用射影定理求解。
在 Rt △ ACD 中，T AD=AE.AC 「. AC=^D- AE 1 2 cos AC 在 Rt △ ABC 中，T AC=AD.AB 「. AB=—— AD =1 3~
cos A = a, AE = 1，求 AB 的长。
说明：本题是由几个直角三角形组合而成的图形。这样的问题，总是先解出已经具备 条件的直角三角形，从而逐步创造条件，使得要求解的直角三角形最终可解。值得注 意的是，由于射影定理揭示了直角三角形中有关线段的数量关系，因而在解直角三角 形时经常要用到。
在解直角三角形的问题中，经常会遇到这样的图形(图 3)，它是含有两个直角
三角形的图形。 随着D 点在BC 边上位置的变化， 会引起直角三角形中有关图形数量相 应的变化，从而呈现许多不同的解直角三角形的问题，下面举例加以说明。
例2、如图3，在Rt △ ABC 中，/ C = 90°, AD 是BC 边上的中线。
(1) 若 BD= 2，/ B = 30。，求 AD 的长；
(2) 若/ ABC= a, / ADC=卩，求证：tan 卩=2tan a 。
(1)分析：由AD 是BC 边的中线，只知 DC —条边长，仅此无法直接在 Rt △ ADC 中求 解AC 。而在 Rt △ ABC 中，由已知 BC 边和/ B 可以先求出 AC,从而使 Rt △ ADC 可解。
解：在 Rt △ ABC 中，T BC = 2BD= 2 ,2，/ B = 30°,
在 Rt △ ADC 中，T DC = BD= .2， 二 AD 「AC 2
—BC 2=竺。
3 (2)分析：a 和卩分别为Rt △ ABC 和 Rt △ ADC 中的锐角，且都以直角边 AC 为对边，
抓住图形的这个特征，根据直角三角形中锐角三角比可以证明
tan 卩=2tan a
AC = BC ? tanB =
AC
证明：在Rt △ ABC中，T tan / ABC= , / ABC=% , A AC=BC.tan a ,
BC
AC
在Rt△ ADC中，I tan / ADC= , / ADC邛,A AC=DC.tan 3 ,又T BC= 2DC, A tan 3=
DC
2tan a。
例3、如图3，在Rt△ ABC中，/ C= 90°, AD是/ BAC的平分线。
(1)若AB： BD= 3，求/ B;
(2)又若BD= 4，求f。
分析：已知AD是/ BAC的平分线，又知两条线段的比AB： BD= . 3 ,应用三角形内角平
分线的性质定理，就能把已知条件集中转化到Rt△ ADC中，先求出/ DAC即可求得/ B。
AB BD AB AC —
解：(1 )??? AD是/ BAC的平分线，A ^AB= BD,即供=竺=?.3 ,即
AC CD BD CD
在Rt△ ADC中，T cot / DAC=AC 3 , A / DAC= 30° ,
CD
A/ BAC= 2 / DAC= 60° , A/ B= 90° - / BAC= 30° .
(2)T ^B= . 3 ,BD= 4,A AB= 3 BD= 4 乜,T/ B= 30°,A AC=丄AB= 2 3 ,
BD 2
又T BC= AB ? cosB = 6, A S ABC = 1 BC? AC= 1 X 6X 2 . 3 = 6*3。
2 2
说明：解直角三角形时，要注意三角形中主要线段的性质，利用平面几何的有关定理， 往往能够建立已知与未知的联系，找到解决问题的突破口。
例 4、如图 3，在 Rt △ ABC 中、/ C = 90°, D 为 BC 上一点，/ ABC = 45° , / ADC= 60 BD= 1,求 ABo
分析：已知的角度告诉我们， Rt △ ABC 和Rt △ ADC 都是特殊的直角三角形，抓往这个 特点设未知数，根据线段间的数量关系，可以列出一元一次方程求解。
解：在 Rt △ ADC 中，设 DC= x ,vZ ADC= 60°,二 AD= 2x , AC = . 3x ,
??? AB = 2AC =、6x =整 6 o
2
说明：解直角三角形时，要注意发掘图形的几何性质，利用线段和差的等量关系布列
方程。还要熟练地掌握特殊锐角的三角比值，以使解答过程的表述简洁。
例 5、如图 4，在△ ABC 中、D F 分别在 AC BC 上，且 AB 丄 AC, AF 丄 BC, BD= DC = FC =1,求 ACo
分析：由数形结合易知，△ ABC 是直角三角形，AF 为斜边上的高线， CF 是直角边AC 在斜边上的射影， AC 为所求，已知的另外两边都在厶 BDC 中,且BD= DC = 1，即△ BDC 是等腰三角形。因此，可以过 D 作DE 丄BC,拓开思路。由于 DE AF 同垂直于BC,又
可以利用比例线段的性质，逐步等价转化求得 AG
解：在△ ABC 中，设 AC 为x ，: AB 丄AC, AF 丄BC,又FC = 1，根据射影定理，得:
在 Rt △ ABC 中，???/ ABC= 45
BD = 1，二 1 + x = -j3 x , ??? x =亠
AC2，即BC=x*。
再由射影定理，得：
AF2= 、恥=(BC - FC) ■ FC
店=x3~l，\AF=^2-1
在厶BDC中，过D作DEI BC于E,v BD= DC= 1 , A BE= EC, 又v AF丄BC, /? DE// AF,
D2 DC十DC'AF JF-l =,..DE == AF AC AC J
在Rt△ DEC中，v DE+E6=DC，即
整理得x6=4, A x= 32 A AC=32。
说明：本题体现了基本图形基本性质的综合应用。还应该注意，作垂线构造直角三角
形是解直角三角形时常用的方法。
3、解直角三角形在实际问题中的应用
借助解直角三角形解决实际问题，包括度量工件、测量距离、工程技术等许多方面。解决问题的关键是要从实际问题中抽象出几何图形，把实际问题中的数量关系转化为直角三角形的边角之间的关系，从而通过解直角三角形使实际问题得到解决。
例6、某型号飞机的机翼形状如图5，根据图示尺寸计算AC BD和AB的长度（保留三
个有效数字）。