波动和声习题复习过程

第十章 波动和声 习题

10.2.1 频率在20至20000Hz 的弹性波能使人耳产生听到声音的感觉.0C o

时，空气中的声速为331.5m/s ，求这两种频率声波的波长.

[解 答]

∵12,20Hz,20000Hz νγλγγ===

331.5(m /s)ν=

∴11331.516.58(m)20

νλγ=

== -322331.516.5810(m)20000

νλγ=

==? 10.2.2 一平面简谐声波的振幅为0.001m ，频率为1483Hz ，在20C o

的水中传播，写出其波方程.

[解 答]

已知A .001m.1483Hz,γ==表P309知波速1483m/s 。

设O-x 轴沿波传播方向，x 表示质元平衡位置坐标，y 表示质心相对平衡位置的位移，选坐标原点处位相为零的时刻为计时起点。即原点处初相为零0φ=。则位于处的体元相位落后

2x

πλ

。即：

2x

2x x

y A cos(t )A cos (t )A cos (t )2ππωωωλ

πγλν

=-

=-

=- x

y=Acos 2(t )0.001cos(2996t 2x)πγππν

-=-

10.2.3 已知平面简谐波的振幅A 0.1cm =，波长1m ，周期为2

10s -，写出波方程（最简形式）.又距波源9m 和10m 两波面上的相位差是多少？

[解 答]

选坐标原点处位相为零刻为计时起点。O-x 轴沿波传播方向，则可得波的最简形式：

t x

y A cos 2()T πλ

=-

代入已知数据得

332t x

y 10cos 2()10cos 2(100t x)101

ππ---=-=-

设波源处为0x ，则1020x x 9,x x 10=+=+

因此位相差是：002[100t (x 9)]2[100t (x 10)]2πππ-+--+=

10.2.4 写出振幅为A ，f ν=，波速为c ?=，沿Ox 轴正方向传播的平面简谐波方程.波源在原点O ，且当t=0时，波源的振动状态被称为零，速度沿Ox 轴正方向.

[解 答]

波源振动方程：

00y A cos(t )

t 0y A cos 0,,A sin 0,sin 02

2

ωφπ

φφνωφφπ

φ=+====±=-><∴=-

Q 时，

因此波源振动方程为：

y Acos(t )2

π

ω=-

任一x 处的位相比波源的相位落后

2x

πλ

，得波方程为

x

2x

y A cos(t )

2

2A cos(2t )2x A cos[2(t )]

2

π

πωλπνππγνπ

πγν=-

-

=--=--

将已知量代入得：

x y Acos[2f (t )]c 2

π

π=--

10.2.5 已知波源在原点（x 0=）的平面简谐波方程为

y Acos(bt cx)=-，

A,b,c 均为常量。试求：（1）振幅，频率，波速和波长；（2）写出在传播方向上距波源处一点的振动方程式，此质点振动的初位相如何？

[解 答]

cos()y A bt cx =-与平面简谐波方程的标准形式cos(-)y A t kx ω=比较可得：

（1） 振幅为A ，频率：b

22ωγππ

=

=

； 波速b

k

c

ω

ν=

=

，波长b /c 2b /2c νπλγπ===

（2）x =l 时，该点的振动方程式为：

cos()y A bt c =-l

此质点振动的初位相为 0c φ=-l 。

10.2.6 一平面简谐波逆轴传播，波方程为

x

y Acos 2(t 3)πγν

=+

+，

试利用改变计时起点的方法将波方程化成最简形式。

[解 答] x

y Acos 2(t 3)πγν

=+

+，最简形式应为x

y Acos 2(t )πγν

'=+

如改变计时起点后的新计时系统以t '应满足

x

x

t t 3ν

ν

'+

=+

+，因此t t 3'=+

即将计时起点提前3秒，就可将波方程化成最简形式

x

y Acos 2(t )πγν

'=+

10.2.7 平面简谐波方程x y 5cos 2(t )4π=+

，试用两种方法画出3

t s 5

=时的波形图。

（SI ） [解 答]

3

5cos 2(),45

x y t t π=+=的波形图。

方法一：有方程求得。5,4A m m λ==

032625cos(2)5cos(),54545

x x y ππππ

?=+=+=找出对应于方程的各（x,y ）点,例如：

0 4.045;0, 1.45, 2.4x y y x y x ==-==-==-M

， ；

通过各点描绘出所求波形图（右图）。 方法二：由方程求得，065,4,5

A m m πλ?===

先画出0,5cos

2

y x π

?'==的图形，在将纵坐标轴向右移动0x ：

06/53

25

x x πλλπ=

?=

即向右移动3

5

λ，就可以得到所求的波形图。

10.2.8 对于平面简谐波t x

S cos 2()001m T 12s 030m T r r πλλ

=-中=.

,=,=.,画出x 0.20m =处体元的位移-时间曲线。画出t 3s,6s =时的波形图。

[解 答] （1）cos 2(

),0.01,12,0.30t x

y r r m T s m T πλλ

=-=== x

y

O

y '

5

5

-

0.01cos 2()120.3

t x

y π=-得

00.200.2040.01cos 2(

)0.01cos )120.33

x x m t y t ππ

π===-=-又 （6

可求得T=12s,t=0时；

40.01cos )0.053

y π

=-

=-（

（2）t=3s 、6s 时波形图

3.0.01cos 2()

120.30

20.01cos()

20.30

x

a y x

πππ=-=-

20,0;0,0.075,0.0120.30

x x y x y π

π==-===

6.0.01cos 2()

120.30

20.01cos()

0.30

x

b y x

πππ=-=-

其相位与t=3s 时相差

2π，所以将t=3s 的波形图向右移4

λ

，即得t=6s 时的波形图。 10.2.9 二图分别表示向右和向左传的两列平面简谐波在某瞬时的波形图，说明此时

123x ,x ,x 以及123,,ξξξ各质元的位移和速度为正还是为负？它们的相位如何？（对于2x 和

2ξ只要求说明其相位在第几象限）

[解 答]

若波用余弦函数表示,则所求结果如下表. 横坐标

位移 速度 相位

1x

正最大

2π

()

y m ()

t s 0.010.01

-0.05-0.28

x

O ()

y m 0.01

0.0750.15

0.3

4

λx

y

1

x 2

x 3

x x

y

1

ξ2

ξ3

ξ

2x 负 负 Ⅱ象限

3x

0 负最大 2π 1ξ

正最大 0 2π

2ξ 负 正 Ⅲ象限

3ξ

正最大

32

π 10.2.10 图（a ）、（b ）分别表示t 0=和t 2s =时的某一平面简谐波的波形图。试写出此平面简谐波波方程。

(a)

(b)

[解 答]

由图知2,2A m m λ==

由图(a)知,原点处质元t=0时,位移最大,速度为零,因此原点处质元初相0?=. 比较t=0和t=2s 的(a)(b)图知1()24

n T S +=, 因此8

,(0,1,2,)41

T s n n =

=+L 取0,8n T s ==,

将,,,A T λ?之值代入波方程的一般表示式就可以得到所求波方程的一个表达式:

cos[2()2cos[2()0822cos()

4

t x

y A T t x

t x π?

λππ

π=-+=-+=-

10.3.1 有一圆形横截面的铜丝，手张力1.0N ，横截面积为1.02

mm .求其中传播横波和纵波

时的波速各多少？铜的密度为3

3

8.910/kg m ?，铜的杨氏模量为93

1210/N m ?.

O /x m

y/m

22

-1

2

O /x m

y/m

2

2

-12

[解答

]

3392

3

8.910/,1210/

1.1610(/)

kg m r N m

m s

ρ

ν

=?=?

∴===?

P

Q

可把很细的铜丝看作柔软的弦线(设弦线的密度为ρ'),计算在其中传播的横波的波速

.

633

1.0

1 1.0108.9108.910

10.6(/)

T N

m s

ρ

ν

--

⊥

=

'=????=?

∴===

Q

10.3.2 已知某种温度下水中声速为3

1.4510/

m s

?，求水的体变模量.

[解答

]

ν=

Q已知333

1.4510/,10/

m s kg m

νρ

=?=

23292

(1.4510) 2.1010(/)

k N m

νρ

∴==?=?

10.4.1 在直径为14cm管中传播的平面简谐声波.平均能流密度2

9/

erg s cm

?，300Hz

ν=，300/

v m s

=.（1）求最大能量密度和平均能量密度，（2）求相邻同相位波面间的总能量.

[解答]

(1) 能量密度222

sin()

x

A t

ερωω

ν

=-

最大能量密度22

max

A

ερω

=

能流密度2222

max

12

,

2

I

I A A

ρωνρωε

ν

==

已知

2742

9/91010/

300/

I erg s cm J s m

m s

ν

-

=?=???

=

53

max

2

610(/)

I

J m

ε

ν

-

∴==?

平均能流密度2253

1

310(/)

2

I

A J m

ερω

ν

-

===?

(2)

2

,

4

d

s

νλγπ

==

2

4

d

V s

ν

λπ

γ

∴==

由于相邻同位相波面间的距离为λ.一周期内单位体积媒质具有的平均能量为ε,因此相邻同位相波面间的总能量为

2

7

4.6210()

4

d

E V J

ν

εεπ

γ

-

===?

10.4.3 面向街道的窗口面积约2

40m ，街道上的噪声在窗口的声强级为60dB ，问有多少声功率传入室内（即单位时间内进入多少声能）？

[解 答]

010

010log 10

L I L I I I =∴=Q

声功率60

1012

510

0101010

40410()L W IS I S w --===??=?

10.4.4 距一点声源10m 的地方，声音的声强级为20dB.求（1）距声源5m 处的声强级；（2）距声源多远，就听不到1000Hz 的声音了？

[解 答]

(1) 22

1222122211

I r r I I I r r =∴=Q

2

212

2

211222

00012

120

2

2210lg 10lg 10lg 10lg 10lg

20,10,5102010lg 26.02()

5

r I I r I r L I I I r I dB r m r m I L dB ===+====+=已知 因此

(2) 设距声源0r 时,刚好听不到声音

10

221/2

21/20110112100

()(10)100L I r I r r r cm I r I =∴===Q 10.5.1 声音干涉仪用于显示声波的干涉,见图.薄膜S 在电磁铁的作用下振动.D 为声音检测器,SBD 长度可变,SAD 长度固定.声音干涉仪内充满空气.当B 处于某一位置时,在D 处听到强度为100单位的最小声音,将B 移动则声音加大,当B 移动1.65cm 时听到强度为900单位的最强音.

(1)求声波的频率,(2)求到达D 处二声波振幅之比.已知声速为342.4/m s . [解 答] (1)由最小声音到相邻的最强音,经SAD,SBD 管内穿到D 处的二相干波,传播距离差应改变2

λ,此改变量是由B 管的移动引起的,因此

2

2 1.652

4 1.6

5 6.6105188cm cm Hz λ

λνλγν

γλ

-=?∴=?=?=∴=

=Q

(2)2111

2222

13

I A A I A A =∴=

=Q 10.5.2 两个声源发出横波,振动方向与纸面垂直,二波源具有相同的位相,波长0.34m .

(1)至少求出三个x 数值使得在P 点合振动最强,(2) 求出三个x 数值使得在P 点合振动最弱.

[解 答]

此二横波振动方向相同,波长相同,在同一种媒质中传播,波速相同,因此其周期相同,圆频率也相同,传到P 点的此二横波的方程可写成:

1122cos 2()

cos 2()

t L

y A T t L x

y A T πλπλ

=--=- (1)在P 点合振动最强时,二横波在该点引起的多振动位相相同,即

2()2()2t L x t L

n T T πππλλ

----=±

由此得, x n λ=±. 已知 0.34m λ=

取 0,1,2n = 时得

0.17,0.51,0.85x m m m =

10.5.3 试证明两列频率相同,振动方向相同,传播方向相反而振幅大小不同的平面简谐波相叠加可形成一驻波与一行波的叠加.

[解 答]

设满足题目要求的二平面简谐波为:

112212

cos()

cos()y A t kx y A t kx A A ωω=-=+>且

则:

1212122cos()cos()()cos()2cos cos y y A t kx A t kx A A t kx A kx t

ωωωω+=-++=--+

此结果的前一项表示一行波,后一项表示一驻波,可见满足题目要求的二平面简谐波叠加后形

成了一驻波与一行波的叠加.

10.5.4 入射波4

1010cos[2000()]34

x

y t π-=?-

在固定端反射,坐标原点与固定端相距0.51m ,写出反射波方程.无振幅损失.(SI)

[解 答]

反射波的振幅,频率,波速均与入射波相同,传播方向与入射波传播方向相反,初位相也不同,因入射波在坐标原点的初位相为零.故反射波在原点的初位相为:

240(

2)(

1)(0.51)m ?πππλ

λ

=-+=-+=V

V

V

其中?为落后位相,π为半波损失.

入射波4

41010cos[2000()]1010cos[2()]341/100034/1000x t x y t ππ--=?-

=?- 可见 40.51100

34/1000,(1)6134

λ?ππ??==-+=-

由以上各条件可写出所求反射波在原点的振动方程:

440

61

1010cos(61)1010cos 2000()2000

y t t ωππ--'=?-=?- 反射波的振动方程为:

44611010cos 2000()1010cos[2000()]34200034x x y t t πππ--'=?+

-=?+- 10.5.5 入射波方程为cos 2()t x

y A T πλ

=+,在X=0处的自由端反射,求反射波的波方程.无

振幅损失.

[解 答]

由入射波方程 cos 2(

)t x

y A T πλ

=+ 知 反射波振幅为A,周期为T,波长为λ,传播方向沿坐标轴O-X 正方向.因在X=0处自由端反射,故反射波与入射波在原点处位相相同.

因此反射波方程为:

cos 2()t x

y A T πλ

'=-

10.5.6 图示某一瞬时入射波的波形图, 在固定端反射.试画出此瞬时反射波的波形图.无振幅损失.

[解 答]

因为反射波与入射波传播方向相反,在固定端反射时,二者位相差为π,所以可以按以下方法作出反射波波形图:

以界面处质元平衡位置为原点如图建立坐标系.

设入射波波方程为

cos()y A t kx ωφ=-+

先作出入射波波形图,以y 轴为对称轴的对称波形图,并画出该波形图在固定端左侧的部分.设此波是逆X 轴正方向传播的,则其方程可写为

cos()y A t kx ωφ'=+-

因为固定端反射波在界面处有半波损失,所以反射波方程应为:

cos()y A t kx ωφπ''=++-

其波形应比前述的入射波对称波形图向右移动半个波长.可见这两个波形图是以X 轴为对称轴的对称图形.因此,再作出以X 轴为对称轴的前述波形图的对称图形.即得所求反射波的波形图.

10.5.7 若10.5.6题图中为自由端反射,画出反射波波形图.

[解 答]

因为入射波在自由端反射时,没有半波损失,即反射波和入射波在界面处位相相同,而传播方向相反,所以反射波波形图是入射波波形图以界面为对称的对称图形,其图形如图所示 10.5.8 一平面简谐波自左向右传播,在波射线上某质元A 的振动曲线如图示.后来此波在前进方向上遇仪障碍物而反射,并与该入射平面简谐波叠加形成驻波,相邻波节波腹距离为3m ,以质元A 的平衡位置为Oy 轴原点,写出该入射波波方程.

[解 答]

振动的一般方程可写为 2cos()x A t T

π

φ=+ 由题意知0.2,2,2

A m T s π

φ===

因此,质元A 的振动方程为: 20.2cos(

)22

x t ππ=+ 这就是所求波方程中原点0y =处质心的振动方程. 已知相邻波节,波腹间距离为3124

m m λ

λ?=

=?=

由以上诸条件可写出以质元A 的平衡位置为OY 轴原点的入射波方程为:

cos[2()]0.2cos()62

t y x A t y T ππ

πφπλ=-+=-+

10.5.9 同一媒质中有两个平面简谐波波源作同频率,同方向,同振幅的振动.二波相对传播,波长8m .波射线上A,B 两点相距20m .一波在A 处为波峰时,另一波在B 处位相为2

π

-.求AB 连线上因干涉而静止的各点的位置.

[解 答]

由已知条件可知,此二平面简谐波为相干波,在二波源间的连线上形成驻波. 以A 为原点建立OX 坐标轴,以甲波在点位相为零时刻为计时起点.在A,B 间, 甲波方程为:

12cos()y A t x π

ωλ=-

乙波方程为: 22cos()y A t x π

ωφλ

=++ 由题知,甲波在A 处质点位移为正最大时,在20x m =处的B 点位相为2

π

-,因此当0t =时,在20x m =处

221120,22

t x g π

πππωφφφλ

+

+=

?+=-=- 2211cos()2

y A t x π

π

ωλ

∴=+

-

当AB 间的点因干涉而静止时,甲乙二波在该点的位相差应满足:

2112()()(21)22112(21)828

2(21)11413t x t x n x x n x n n π

ππ

ωωπ

λλπππ

π

+

-

--=+-+=+=++=+ 即 因此， 当 3,2,1,0,1n =--- 时,

1,5,9,13,17x =,这就是AB 间静止各点的位置坐标.

10.5.10 一提琴弦长50cm ,两端固定.不用手指按时,发出的声音是A 调:440Hz .若欲发出C 调:528Hz ,手指应按在何处?

[解 答] 音调决定了基频,

弦的基频为11(2)νγνλλ=

==

=l

,T ρQ 一定, 11/21/2γγ∴

='

l

l 已知 440,528,50Hz Hz cm γγ'===l 因此 4405041.67()528

cm γγ'=

=?='l l 10.5.11 张紧的提琴弦能发出某一种音调,若欲使它发生的频率比原来提高一倍,问弦内张力

应增加多少倍?

[解 答

]

22

2

24T T T T T

γγγγ

γγ

'=

=

'∴='''==Q

因此,弦内张力应增加3倍.

10.7.1 火车以速率ν驶过一个在车站上的观察者,火车发出的汽笛声频率为f .求观察者听到的声音的变化.设声速是0ν

[解 答]

近似认为静止的观察者和火车轨道在同一直线上,则当火车驶向观察者时,观察者听到的声音的频率为

00f f ννν'=

-

当火车驶离观察者时,观察者听到的声音的频率为:

0f f ννν

''=

+

因此,火车驶过观察者时, 观察者听到的声音频率的变化为:

022

0002f f f f νννν

νννν

νν

'''=-=

-

=

-+-V 10.7.2 两个观察者A 和B 携带频率均为1000Hz 的声源.如果A 静止,而B 以10/m s 的速度向A 运动,那么A 和B 听到的拍是多少?设声速是340/m s .

[解 答]

对A 来说,系观察者静止,声源运动,因此A 听到的频率为:

340

10001030()34010

B Hz νγγνν'=

=?=--

A 听到的拍频为

30()Hz γγ'-=

对B 来说,系观察者运动,声源静止,因此B 听到的频率为:

10

(1)(1)10001029()340

B Hz νγγν''=+

=+?= B 听到的拍频为

29()Hz γγ''-=

10.7.3 一音叉以 2.5/s m s ν=速率接近墙壁,观察者在音叉后面听到拍音频率3Hz γ=,求音叉振动频率. 设声速是340/m s . [解 答]

若音叉后的观察者直接听到音叉的频率为1γ,听到经玻璃反射的频率为2γ,因波源(音叉)在运动,所以:

1020,s

s

ννγγγγνννν=

=

+-

拍频 12022

2(

)s

s s

s

νννν

γγγγνννννν=-=-

=

-+- 因此 22

0204()2s s

Hz ννγγνν-==

10.7.4在医学诊断上用多普勒效应测内脏器壁或血球的运动速度.设将频率为γ的超声脉冲垂直射向蠕动的胆囊壁,得到回声频率γγ'>,求胆囊壁的运动速率.设胆内声速为ν.

[解 答]

设胆囊内声速为ν,胆运动速度为1ν

11(1)()1

νγγγνννγ''=+

?=-