广东省2021年普通高中数学学业水平考试模拟测试卷七含解析
2021年广东省普通高中学业水平考试数学模拟
测试卷(七)
(时间:90分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共15小题.每小题6分,满分90分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合M={-1,0,1,2},N={x|-1≤x<2},则M ∩N= ( )
A.{0,1,2}
B.{-1,0,1}
C.M
D.N
2.对任意的正实数x ,y ,下列等式不成立的是
( )
A.lg y-lg x=lg y
x B.lg (x+y )=lg x+lg y
C.lg x 3=3lg x
D.lg x=lnx
ln10
3.已知函数f (x )={x 3-1,x ≥0
2x ,x <0
,设f (0)=a ,则f (a )=
( ) A.-2 B.-1 C.1
2
D.0
4.定义在R 上的函数f (x )的图象关于直线x=2对称,且f (x )在(-∞,2)上是增函数,则 ( )
A .f (-1) B .f (0)>f (3) C .f (-1)=f (3) D .f (0)=f (3) 5.圆E 经过三点A (0,1),B (2,0),C (0,-1),且圆心在x 轴的正半轴上,则 圆E 的标准方程为 ( ) A .(x -32) 2 +y 2=25 4 B .(x +34)2 +y 2=25 16 C .(x -34) 2 +y 2=2516 D .(x -34)2 +y 2=25 4 6.已知向量a =(1,1),b =(0,2),则下列结论正确的是 ( ) A.a ∥b B.(2a -b )⊥b C.|a |=|b | D.a ·b =3 7.某校高一(1)班有男、女学生共50人,其中男生20人,用分层抽样的方法,从该班学生中随机选取15人参加某项活动,则应选取的男、女生人数分别是 ( ) A.6和9 B.9和6 C.7和8 D.8和7 8.如图所示,一个空间几何体的正视图和侧视图都是矩形,俯视图是正方形,则该几何体的体积为 ( ) A.1 B.2 C.4 D.8 9.若实数x ,y 满足{x -y +1≥0, x +y ≥0,x ≤0, 则z=x-2y 的最小值为 ( ) A.0 B.-1 C.-3 2 D.-2 10.如图,O 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点,则下列等式正确的是 ( ) A.DA ????? ?DC ????? =AC ????? B.DA ????? +DC ????? =DO ?????? C.OA ????? ?OB ????? +AD ????? =DB ?????? D.AO ????? +OB ????? +BC ????? =AC ????? 11.设△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若a=√3,b=2,c=√13, 则C= ( ) A.5π 6 B.π 6 C.2π3 D.π3 12.函数f (x )=4sin x cos x ,则f (x )的最大值和最小正周期分别为 ( ) A.2和π B.4和π C.2和2π D.4和2π 13.如图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E ,F ,G ,H 分别为棱 AA 1,B 1C 1,C 1D 1,DD 1的中点,则下列直线中与直线EF 相交的是 ( ) A .直线CC 1 B .直线 C 1 D 1 C .直线HC 1 D .直线GH 14.设函数f (x )是定义在R 上的减函数,且f (x )为奇函数,若 x 1<0,x 2>0,则下列结论不正确的是 ( ) A.f (0)=0 B.f (x 1)>0 C.f (x 2+1x 2 )≤f (2) D.f (x 1+1 x 1 )≤f (2) 15.已知数列{a n }的前n 项和S n =2n+1-2,则a 1+a 2+…+a n = ( ) A.4(2n -1)2 B.4(2n -1+1)2 C. 4(4n -1)3 D. 4(4n -1+2) 3 二、填空题(本大题共4小题,每小题6分,满分24分) 16.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为“有一个人走378里路,第一 天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地……”,则该人最后一天走的路程为。 17.若sin(π 2-θ)=2 3 ,且0<θ<π,则tan θ=. 18.笔筒中放有2支黑色和1支红色共3支签字笔,先从笔筒中随机取出一支笔,使用后放回笔筒,第二次再从笔筒中随机取出一支笔使用,则两次使用的都是黑色笔的概率为. 19.圆心为两直线x+y-2=0和-x+3y+10=0的交点,且与直线 x+y-4=0相切的圆的标准方程是. 三、解答题(本大题共3小题.每小题12分,满分36分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤) 20.若等差数列{a n}满足a1+a3=8,且a6+a12=36. (1)求{a n}的通项公式; (2)设数列{b n}满足b1=2,b n+1=a n+1-2a n,求数列{b n}的前n项和S n. 21.如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PB=BC,F为BC 的中点,DE垂直平分PC,且DE分别交AC,PC于点D,E. (1)证明:EF∥平面ABP; (2)证明:BD⊥AC. 22.某学校用简单随机抽样方法抽取了30名同学,对其每月平均课外阅读时间(单位:小时)进行调查,茎叶图如图: 若将月均课外阅读时间不低于30小时的学生称为“读书迷”. (1)将频率视为概率,估计该校900名学生中“读书迷”有多少人? (2)从已抽取的7名“读书迷”中随机抽取男、女“读书迷”各1人,参加读书日宣传活动. ①共有多少种不同的抽取方法? ②求抽取的男、女两位“读书迷”月均读书时间相差不超过2小时 的概率. 答案: 1.B 【解析】M ∩N={-1,0,1},故选B. 2.B 【解析】对于B 项,令x=y=1,则lg (x+y )=lg 2>lg 1=0,而lg x+lg y=0,显然不成立,故选B. 3.C 【解析】∵a=f (0)=03-1=-1, ∴f (a )=f (-1)=2-1=1 2,故选C. 4.A 【解析】依题意得f (3)=f (1),由-1<1<2,及函数f (x )在(-∞,2)上是增函数得f (-1) 5.C 【解析】根据题意,设圆E 的圆心坐标为(a ,0)(a>0),半径为r , 则{a 2+(0-1)2=r 2,(a -2)2=r 2,a 2+(0+1)2=r 2, 解得a=34,r 2=25 16, ∴圆E 的标准方程为(x -34)2 +y 2=25 16. 6.B 【解析】对于A 项,1×2-0×1≠0,错误; 对于B 项,2a -b =(2,0),b =(0,2),则2×0+0×2=0?(2a -b )⊥b ,正确; 对于C 项,|a |=√2,|b |=2,错误; 对于D 项,a ·b =1×0+1×2=2,错误.故选B. 7.A 【解析】抽样比为k= 1550 = 310 ,则应抽取的男生人数为20× 3 10 =6(人),应抽取的女生人数为(50-20)×3 10=9(人),故选A. 8.C 【解析】由三视图可知,该几何体为长方体,长为2,宽为2,高为1,则体积为V=2×2×1=4,故选C. 9.D 【解析】(快速验证法)交点为(0,1),(0,0),(-12,1 2),则z=x-2y 分 别为-2,0,-3 2,所以z 的最小值为-2,故选D. 10.D 【解析】对于A 项,DA ????? ?DC ????? =CA ????? ,错误; 对于B 项,DA ????? +DC ????? =2DO ?????? ,错误; 对于C 项,OA ????? ?OB ????? +AD ????? =BA ????? +AD ????? =BD ?????? ,错误; 对于D 项,AO ????? +OB ????? +BC ????? =AB ????? +BC ????? =AC ????? ,正确.故选D. 11.A 【解析】由余弦定理,得cos C=a 2+b 2-c 2 2ab = √3)22√13)22×√3×2=-√3 2 , 又∵0 6,故选A. 12.A 【解析】∵f (x )=2sin 2x ,∴f (x )max =2,最小正周期为T=2π 2=π,故选A. 13.C 【解析】连接EH ,HC 1,可知EH ∥A 1D 1,又FC 1∥A 1D 1,∴EH ∥ FC 1.又EH ≠FC 1,∴直线EF 与HC 1相交.故选C . 14.D 【解析】对于A 项,∵f (x )为R 上的奇函数,∴f (0)=0,正确; 对于B 项,∵f (x )为R 上的减函数,∴x 1<0?f (x 1)>f (0)=0,正确; 对于C 项,∵x 2>0∴x 2+1 x 2 ≥2√x 2·1 x 2 =2(当且仅当x 2=1 x 2 ,即x 2=1时等 号成立) ∴f (x 2+1 x 2 )≤f (2),正确; 对于D 项,∵x 1<0,∴x 1+1x 1=-(-x 1+1-x 1)≤-2√-x 1·1 -x 1 =-2, ∴f (x 1+1 x 1 )≥f (-2)=-f (2),错误.故选D. 15.C 【解析】当n ≥2时,a n =S n -S n-1=2n+1-2-(2n -2)=2×2n -2n =2n ; 当n=1时,a 1=S 1=22-2=2适合上式. ∴a n =2n (n ∈N *)?a n 2=(2n )2=4n , ∴{a n 2}是首项为4,公比为4的等比数列, ∴a 12+a 22+…+a n 2= 4(1-4n )1-4 = 4(4n -1)3 ,故选C. 16.6里 【解析】由题意知,该人每天行走的里数构成一个等比数 列{a n }(n ∈N *),q=1 2 ,则 S 6= a 1(1-126) 1-12 =378,∴a 1=192,∴a 6=a 1q 5=192 ×1 25=6.故该人最后一天走的路程为6里. 17.√5 2 【解析】∵sin (π 2-θ)=cos θ=2 3,且0<θ<π,∴sin θ =√1-cos 2θ=√1-(23)2=√53, ∴tan θ=sinθ cosθ= √53 ×3 2= √52 . 18.49 【解析】P= 2×23×3 =4 9 . 19.(x-4)2+(y+2)2=2 【解析】联立{x +y -2=0,-x +3y +10=0, 得{x =4, y =-2,? 圆心为(4,-2),则圆心(4,-2)到直线x+y-4=0的距离为d=√12+1 2=√2,故圆的半径为√2,∴圆的标准方程为(x-4)2+(y+2)2=2. 20.【解】(1)设等差数列{a n }的公差为d. ∴{a 1+a 3=8,a 6+a 12=36?{a 1+a 1+2d =8,a 1+5d +a 1+11d =36?{a 1=2,d =2, ∴a n =2+(n-1)×2=2n , ∴数列{a n }的通项公式为a n =2n. (2)由(1)知,a n =2n , ∴b n+1=a n+1-2a n =2(n+1)-2×2n=-2n+2, ∴b n =-2(n-1)+2=-2n+4, 又∵b 1=2适合上式,∴b n =-2n+4(n ∈N *), ∴b n+1-b n =-2n+2-(-2n+4)=-2. ∴数列{b n }是首项为2,公差为-2的等差数列. ∴S n =2n+ n(n -1)2 ×(-2)=2n-n 2+n=-n 2+3n. 21.【解】(1)证明:∵DE 垂直平分PC ,∴E 为PC 的中点. 又∵F 为BC 的中点, ∴EF 为△BCP 的中位线, ∴EF ∥BP. 又∵EF ?平面ABP ,BP ?平面ABP ,∴EF ∥平面ABP. (2)证明:连接BE , ∵PB=BC ,E 为PC 的中点,∴PC ⊥BE. ∵DE 垂直平分PC ,∴PC ⊥DE. 又∵BE ∩DE=E ,BE ,DE ?平面BDE , ∴PC ⊥平面BDE. 又∵BD ?平面BDE ,∴PC ⊥BD. ∵PA ⊥平面ABC ,BD ?平面ABC ,∴PA ⊥BD. 又∵PC ∩PA=P ,PC ,PA ?平面PAC , ∴BD ⊥平面PAC. 又∵AC ?平面PAC ,∴BD ⊥AC. 22.【解】(1)设该校900名学生中“读书迷”有x 人, 则7 30=x 900,解得x=210.