【华南师范大学】复变函数期中试卷含答案

南海校区计算机工程系2009/2010学年（一）学期期中考试试卷

《复变函数》试卷

专业电子信息工程年级2008班级姓名学号

一、填空题（每小题3分，共15分）： 1、20002000)1()1(i i -++＝10012

2、)1(Ln i +＝12224

ln ()i k π

π++。

3、?=-+1||)2)(12(d z z z z

z ＝5

i π。 4、dz z tgz i

?+12cos 1（沿1到i 的直线段）＝

111122

tgi tg i tg tg +--。 5、

dz z z

z ?=2

＝0。二、选择题（每小题3分，共15分）：

1、设y x ,为实数,yi x z yi x z +-=++=11,1121且有,12||||21=+z z 则动点

),(y x 的轨迹是 (B ).

(A) 圆 (B) 椭圆 (C) 双曲线 (D) 抛物线 2、下列函数中为解析函数的是( C )

(A) xyi y x 222-- (B) xyi x +2 (C) )2()1(222x x y i y x +-+- (D) 33iy x +

3、设函数iv u z f +=)(在区域D 内解析, 下列等式中错误的是(B ). (A) x v i x u z f ??+??=

)(' (B) x

v i y v z f ??+??=)(' (C) y

v i y u z f ??+??=

)(' (D) y u i x u z f ??-??=)('

4、设),(y x v 在区域D 内为),(y x u 的共轭调和函数,则下列函数中为D 内解析函

数的是( C ).

(A) ),(),(y x iu y x v + (B) ),(),(y x iu y x v -

v i x u ??-?? 5、设函数)(z f 在区域D 内有定义，则下命题中，正确的是（C ）（A ）若|)(|z f 在区域D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数. （B ）若))(Re(z f 在区域D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数. （C ）若)(z f 与)(z f 在区域D 内是解析，则)(z f 在D 内是一常数. (D ）若)(arg z f 在区域D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数. 三、计算题（15分）

（1）?=+-+12d 12102sin e z z z z z z ．（2）?--c z z z d )1)(1(1

32，41:=z c ．解：原式=

23e sin d ()()z z z z z z =+--? 解：23

110()()z z --=的根都在圆周因为23,z z ==都不在圆1||z =的内部， 1||z =上，因此

11()()

z z --在圆 23e sin ()()

z z

z z +--在圆1||z =的内部解析， 14z =的内部解析，由柯西—古

由柯西—古萨基本定理，原式=0 萨基本定理，原式=0

（3）I=

z z

z dz C

的值，其中C 为正向圆周|z|=2.

解：

222222222||C C C C C C C C z z z z z z z z I dz dz dz dz dz dz dz dz z z z ?=+=+=+=+????????

因为2z 在圆|z|=2的内部解析，由柯西—古萨基本定理，02

C z

dz =? 因为0z =在圆|z|=2的内部，由柯西积分公式2

224C dz i i z

ππ=?=? 所以4I i π=

四、（9分）计算积分 ?

-+=C z z z dz

I )

2)(1(3 的值, 其中.2,1,|:|≠=r r z C

解：当1||z r =<，3

1212()()

()()C

z z I dz z z z z

+-==+-?

? 1

12()()

z z +-在圆1||z r =<内部解析，且0z =在圆1||z r =<内部，由高阶导数公

式，0003321111211

212321321[]''|()''|[]|()()()()z z z i i I i z z z z z z πππ====

=?-=-+--+-+ 2131384

[]i i

ππ=

--=-。当12r <<，1

2333

11212121-+-==+-+?

??()()()

+()()

C C dz

z z z z I dz dz z z z z z ，其中12

,C C 分别为以0,1z z ==-为圆心，互不相交的圆周，由柯西积分公式和以上所述，

3214

π-+=-?

()() C z z dz i z 2

3131

11222212133

πππ=--=?=?=+---?

()

|()()() z C z z dz i i i z z z 321

4312

πππ=-+=-I i i i 。

当2>r ，1

23333

311121211212

-+-+==++-+-?

???()()()()

+()() C

C C C dz

z z z z z z I dz dz dz z z z z z z 其中123,,C C C 分别为以0,1,2z z z ==-=为圆心，互不相交的圆周，由柯西积分公式和以上所述

313214π-+=-?

()() C z z dz i z ，231

2213

π-=+?() C z z dz i z ， 3

231

111122218312

πππ=+=?=?=-+??

()

|() z C z z dz i i i z z z ，

321

04312

πππ=-++=I i i i 。

五、（9分）已知调和函数,)2(,)1(2i f y x u -=-=求解析函数iv u z f +=)(。解：由函数解析的充要条件，

'()22(1)2(1)2(1)u v u u

f z i i y i x i x iy i z x x x y

????=

+=-=-?-=-+-=--???? 所以2

2(1)()2(1)2

z f z i c i z c -=-?+=--+，又因为(2)f i =-，(2)f i c i =-+=-，0c = 2

2(1)()2(1)2

z f z i c i z -=-?+=--

另解：由函数解析的充要条件，,u v 满足C-R 方程，

222,(),'()2(1),()(1)v u v u y v y g x g x x g x x c y x x y

????===+==-=--=--+????，所以22(1)v y x c =--+，22()2(1)[(1)]f z u iv x y i y x c =+=-+--+

2(2)[(21)][1],0f i c i c i c =--+=-+=-=，22()2(1)[(1)]f z u iv x y i y x =+=-+--

六、（9分）求函数2()23

f z z z =--在点00z =处的泰勒展开式，并指出它的收

敛半径。

解：11111

()()[](3)(1)43141()313

z z z f z z

z z z z z ==-=-+-+-+---

231

1()1()n z z z z z =-+-++-+-- ||1z <

211()+()33313

n z z z z =++++- ||1,||33z

z << 所以2321(){1()[1()+()]}43333

n n z z z z

f z z z z z =--+-++-++++++

1000011{()()}[()()]43343

n n n n n n n n z z z z z ∞∞∞∞

++=====--+=--∑∑∑∑，||1z <

1001()[()()]43

n n n n z f z z ∞∞

++===--∑∑的收敛半径R=1。

七、（9分）已设?-++=C d z

z f λλλλ1

73)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f + 解：由柯西积分公式和柯西古萨基本定理，

当||3z <时，222371

()2(371)|2(371)z C

f z d i i z z z

λλλλπλλπλ=++==++=++-? 当||3z >时，2371

z λλλ++-在}3|:|{==z z C 的内部解析，()0f z =

所以，当||3z <时，'()2(67)f z i z π=+，当||3z >时，'()0f z =。

'(1)2(667)1226f i i i i πππ+=++=-+

八、（9分）证明：2

02202

00|1|)

||1)((||1(11z z z z z z z z ---=---。

解：2

22000000022

000|1|||1)(1)()()

11|1||1|

z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z ----------==---（ 00000000000022

001)(1)()()1()|1||1|z z z z z z z z z z z z z z zz zz z z zz z z z z z z -------+---+==--（

2222200022

001||||||(1||)(1||)

|1||1|zz z z z z z z z z +----==--

九、（10分）若函数)(z f 在上半平面内解析, 试证函数)(z f 在下半平面内解析. 解：函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在上半平面内解析，由函数解析的充要条件，

(,),(,)u x y v x y 在Im 0z y =>满足C-R 方程，且,u v 具有一阶连续偏导数，

(,)(,)(,)(,),u x y v x y v x y u x y x y x y

????==-????。 ()(,)(,),()(,)(,)f z u x y iv x y f z u x y iv x y =-+-=---

在下半平面Im 0,0z y y =<->，由条件(,)u x y -，(,)v x y --具有一阶连续偏导数，

(,)(,)[(,)](,)(,)(,)[(,)]

,()()u x y v x y v x y u x y u x y v x y v x y x y y y y x x

?-?-?--?-?-?-?--===-==-???-?-??? 所以(,)u x y -，(,)v x y --满足C-R 方程，()(,)(,)f z u x y iv x y =---在下半平面解析。