2008考研网校线代强化讲义3-6章
第三章向量
第四章我们研究一个事物，总要研究其最基本的构成。在线性代数中所研究对象的基本构成是什么呢？就是向量。本章是考研复习的重点，也是难点。一定要吃透线性相关、线性无关的概念、性质和判别法，并能灵活运用。熟记一些常见结论，并能将线性相关、线性无关的概念与矩阵的秩、线性方程组的解
的结构定理进行转换、连接，开阔思路，提高综合能力。
【大纲内容】向量的概念；向量的线性组合和线性表示；向量组的线性相关与线性无关；向量组的最大线性无关组；等价向量组；向量组的秩；向量组的秩与矩阵的秩之间的关系。
【大纲要求】理解n维向量的概念、向量的线性组合与线性表示；理解向量组线性相关与线性无关的概念；了解并会用向量组线性相关与线性无关的有关性质及判别法，会求向量组的最大线性无关组和向量组的秩；了解向量组的秩与矩阵的秩之间的关系，会用矩阵的秩解决有关问题。
■ 相应知识点精讲
一、向量的定义及其运算
1.向量的定义：所谓向量，就是排好序的n个数，其中每个数称为向量的分量，一个向量中分量
的个数称为向量的维数，有n个分量的向量叫做n维向量.竖着写的向量叫做列向量，即记n维列向量
为
有时为了省地方也可把n维列向量写为.
因此，也可把向量看作一个列矩阵（即只有一列的矩阵）.
横着写的向量叫做行向量，即记n维行向量为.可把n维行向量看作一个行矩阵（即只有一行的矩阵）. 在不混淆的情况下，我们不再区分一个向量是行向量还是列向
量，均简称向量.
2.向量的运算：由于向量之间的运算与行矩阵或列矩阵之间的运算完全相同，所以不再提及.
3.特殊的向量的及其运算：
（1）零向量：元素全为零的向量称为零向量，记做0.
（2）如果且，则.另外，
（3）设，，则
.
【例1】设，其中，
，求向量.
[答疑编号：21203101针对该题提问]
【解】由已知，，所以
二、向量的线性相关性
1.线性组合的概念：我们把关系式称为向量的线性组合.
零向量是任何一组与其同型的向量的线性组合.
【例2】设，，，求它们的线性组合
.
[答疑编号：21203102针对该题提问]
【解】
.
2.线性表示的概念：若，则称可用线性表示.
【评注】
（1）零向量（即元素全为0的向量）是任何一组向量的线性组合，可用一组向量
的线性表示，即.
（2）我们很关心是否可用线性表示这种关系，或者说是否是的线性组合.因为在讨论向量的线性问题时，若可用线性表示或是的线性组合，那么我
们掌握了，也就掌握了.或者通俗地说，即使一时把丢了，也可通过把它找回来. 因此我们在研究一组向量时，很关心这组向量间是否存在这种关系.于是我们把一组向量间存在这种关系的，就称这组向量是线性相关的，否则就是线性无关的.这种定义线性相关和线性无关的方法是把一组向量放在不同的地位来叙述.若我们把一组向量中所有向量都放在同样的地位来刻画这种关系，就可以得到通常标准的线性相关和线性无关的定义.
3.判别向量是否可以由向量组线性表示的程序：
（1）设，为一组列向量，将它们组装成矩阵，对该矩阵进行初等行变换，可以将矩阵和矩阵()同时化成阶梯形矩阵，如果这两个阶梯形矩阵的非零行的行数相等，则向量可以由向量组线性表示，并且是
的线性组合.如果这两个阶梯形矩阵的非零行的行数不相等，则向量不可由向量组
线性表示，并且不是的线性组合.
（2）如果，为一组行向量，将它们组装成矩阵，对该矩阵进行初等行变
换，可以将矩阵和矩阵同时化成阶梯形矩阵，如果这两个阶梯形矩阵的非零行的行数相等，则向量可以由向量组线性表示，并且是的线性组合.如果这两个阶梯形矩阵的非零行的行数不相等，则向量不可由向量组线性表示，并且不是
的线性组合.
（3）设，为一组行向量，也可以将它们组装成矩阵，对该矩阵进行初等行变换，可以将矩阵和矩阵同时化成阶梯形矩阵，如果这两个阶梯形矩阵的非零行的行数相等，则向量可以由向量组线性表示，并且是的线性组合.如果这两个阶梯形矩阵的非零行的行数不相等，则向量不可由向量组线性表示，并且不是的线性组合.
【例3】已知不能由，
，线性表示，求t的值.
[答疑编号：21203103针对该题提问]
【解】∵不能由，
，线性表示，
即。
4.线性相关的概念：对于一组向量，存在一组不全为0的数，使线性
组合，则这一组向量
线性相关；否则，称这组向量线性无关. 线性无关也可以这样定义：令
而，则线性无关。
（1）单独一个零向量是线性相关的。（例如：1×0=0）
（2）包含零向量的任何一个向量组都是线性相关的。
（例如：）
（3）如果两个同型向量对应元素成比例，则它们线性相关.反之也成立.
（例如：，则）
（4）单独一个非零向量是线性无关的。（例如：令，则）
（5）如果两个同型向量对应元素不成比例，则它们线性无关.反之也成立.
【例4】设向量组线性无关，则在下列向量组中，线性无关的向量组是（）。
（A），，，
（B），，
（C），，，
（D），，
[答疑编号：21203104针对该题提问]
解：设线性无关
（A）（）-（）+（）-（）=0
（C）（）+（）+（）+（）=0
（D）（）+（）+（）=0
答案：B
5.判断一个具体的向量组线性相关和线性无关的程序：
（1）设为一组列向量，将它们组装成矩阵（），对该矩阵进行初等行变换，可以将矩阵（）化成阶梯形矩阵，如果这个阶梯形矩阵的非零行的行数小于向量组中向量的个数m，则向量组线性相关。如果这个阶梯形矩阵的非零行的行数等于向量组中向量的个数m，则向量组线性无关。
（2）如果为一组行向量，将它们组装成矩阵，对该矩阵进行初等行变换，可
以将矩阵化成阶梯形矩阵，如果这个阶梯形矩阵的非零行的行数小于向量组中向量的个数m，则向量组线性相关。如果这个阶梯形矩阵的非零行的行数等于向量组
中向量的个数m，则向量组线性无关。
（3）若列向量的维数m= 列向量的个数m，则
行列式向量组一定线性相关
行列式向量组一定线性无关
【评注】如果用下面向量组的秩来叙述上述判别方法，则
（1）当秩（）＜m时，向量组线性相关；
（2）当秩（）＝m时，向量组线性无关。
【例5】已知向量组，，，
线性相关，则=_______。
[答疑编号：21203201针对该题提问]
【例6】已知向量组，，
线性无关，则必有（）。
A.t=2
B.t=1
C.t=-2
D.t为任何实数
[答疑编号：21203202针对该题提问]
答案：D
所以选D。
5.线性表示和线性相关的等价性：
向量组线性相关至少存在一个向量可以用其余向量线性表示。
6.最大线性无关组：
（1）向量组的最大线性无关组的意义：在生活中我们常采用通过最少的部分去掌握全体的办法（最大可能丢掉多余的）。例如，要掌握全班同学的意见，总是通过对几个有代表性同学的谈话来掌握；要
构成15种颜色，总是只需购买能调出这15中颜色的少数基本色即可。因此，在讨论向量组
线性问题时，我们也希望通过掌握中的最少的部分去掌握全体.显然，一组向量中最少的
最有代表性的部分向量应满足两条：（1）这个部分应是线性无关的（否则还可以减少）。（2）其余的向量都能用这部分向量线性表示。这也等价于：向量组中每一个向量都能用这部分向量线性表示。线性代数中把满足上述两个条件的部分称为原向量组中的最大线性无关组。其意义就是只要掌握了最大线
性无关组就相当于掌握了向量组的全体。
（2）最大线性无关组与向量组的秩：如果向量组A的部分向量组满足：
（ⅰ）向量组线性无关
（ⅱ）向量组A中任意r+1个向量（如果A中有r+1个向量）都线性相关其余的向量都能用这部分向量组线性表出向量组中的每一个向量都能用这部分向量组线性表出，那么称部分向量组
为向量组A的极大线性无关组。
显然，向量组A的的极大线性无关组不惟一，但所含向量的个数r惟一，我们称r为向量组A的
秩。记为。
【评注】1.只含零向量的向量组没有最大线性无关组，规定它的秩为0。
2.向量组的极大线性无关组的意义：通过掌握向量组A的最少部分去掌握全体（最大可能丢掉多余的），其实向量组的极大线性无关组与向量组本身是等价的，因此，由等价的传递性可知向量组A
的的任何两个极大线性无关组都是等价的。
7.求具体的向量组的最大线性无关组和向量组的秩的程序：
（1）原理：将矩阵进行初等行变换得到矩阵，则（a）向量组的最大线性无关组与向量组的最大线性无关组是一一对应的关系。即：如果是的最大线性无关组，则就是的
最大线性无关组。
（b）如果，则。即：向量组
的最大线性无关组与向量组的最大线性无关组有相同的内在线性表示关系。
（2）设为一组列向量，将它们组装成矩阵（），对该矩阵进行初等行变换，可以将矩阵（）化成阶梯形矩阵，则这个阶梯形矩阵的非零行的个数r即等于向量组的秩。再从每一个不同的阶梯中取一个列向量，则所在的列对应的原向量就是原向
量组的一个最大线性无关组。注意，在一个阶梯形矩阵中，两个列向量属于同一阶梯是指不等于零的最后一个分量在同一行的两个列向量。一般我们选阶梯形矩阵中各非零行的第一个非零元素所在的列
号对应的中的那些向量作为的一个最大线性无关组。
（3）如果为一组行向量，则将它们组装成矩阵，对该矩阵进行初等行变换，可以将矩阵化成阶梯形矩阵，则这个阶梯形矩阵的非零行的行数r即等于向量组的秩。再从每一个不同的阶梯中取一列向量，则所在的列对应的原行向量就
是原向量组的一个最大线性无关组。
典型例题剖析
【例7】向量组，，，
，的最大线性无关组不能是（）。
A. B.
C. D.
[答疑编号：21203203针对该题提问]
答案：D
先组成矩阵
秩＝3
所以、、都可以是极大无关组。
故选D。
【例8】已知向量组，，，
。问为何值时，向量组线性相关，并求它的一个最大线性无关
组，
[答疑编号：21203204针对该题提问]
当a=5时，线性相关，其中为最大无关组。
相应知识点精讲
三、抽象向量组线性关系的判定定理，向量间线性关系的性质定理
关于抽象向量组线性相关和线性无关的判别主要是利用定义和关系，相应的关系掌握得越多，应
用起来就越方便.
关系1：向量组的扩大与缩小
线性无关的向量组缩小后仍无关；线性相关的向量组扩大后仍相关。
【评注】1.这种关系不妨用生活中的比喻来理解记忆。例如，我们把一群人中，若其中有的之间具有亲戚关系，则称这群人是亲戚相关的，否则就称为亲戚无关的。于是当这群人再加进人或减少人
以后对亲戚相关的影响与关系1相同。
2.定理原文：若向量组的一个部分组线性相关，则向量组亦线性相关；
反之，若线性无关，则它的任一部分组都线性无关。
3.此定理也可简记为：部分组线性相关，则整体组线性相关；整体组线性无关，则其任一部分组
也线性无关。因此，关系1也可看作是整体和部分的关系。
关系2：若可由线性表示且t＞s，则线性相关。
简记为：多数向量能用少数向量表示，则线性相关。
【评注】例如，我们把一群人中，若其中有的之间具有亲戚关系，则称这群人是亲戚相关的，否则就称为亲戚无关的.如果多数人都与少数人有亲戚，则多数人之间也是亲戚相关的。
关系3：若向量组由向量组线性表示，且向量组线性无关，
则一定有s≤t。
【例9】设向量组I：可由向量组Ⅱ：线性表示，则（）。
A.当r＜s时，向量组Ⅱ必线性相关
B.当r＞s时，向量组Ⅱ必线性相关
C.当r＜s时，向量组I必线性相关
D.当r＞s时，向量组I必线性相关
[答疑编号：21203301针对该题提问]
答案：D
关系4：若向量组线性无关，但是向量组，线性相关，则向量可由向量组线性表出，且表出方法唯一。
【例10】证明：当线性相关，且与的分量不成比例时，向量可以由线
性表示。
[答疑编号：21203302针对该题提问]
证：∵与分量不成比例
∴，线性无关
又∵，，线性无关
∴由关系4知，可由，线性表示
关系5：任意n+1个n维向量必线性相关。
例如，四个三维向量一定线性相关.
关系6：向量的分量增、减对线性相关性的影响
线性无关的向量组，若把向量的分量再增加，则仍无关；
线性相关的向量组，若把每个向量的分量减少，则仍相关。
【评注】1.此定理也可简记为：若缩短组线性无关，则延伸组也线性无关；若延伸组相关，则缩
短组也线性相关。
2.设是m维向量，是n维向量，令，其中是m+n维向量。通常称是向量组的延伸组；称为的缩短组。因此说，若缩短组线性无关，则延伸组也线性无关；若延伸组相关，则缩短
组也线性相关。
关系7：由关系6推广知，对线性无关向量组中每个向量在相同位置上任意添加分量，所得向量组仍线性无关；对线性相关向量组中每个向量去掉相同位置上的分量，则所得向量组仍线性相关。
例如，两个向量线性相关，则把每个向量的分量减少得到两个新的
向量仍然线性相关；
两个向量线性无关，则把每个向量的分量增加得到两个新的向量
仍然线性无关。
关系8：若向量组A由向量组B线性表示，则≤；
【评注】这种关系也可作一个生活的比喻.若一组颜色（Ⅰ）中的每一种颜色都能用（Ⅱ）组中的颜色调配出来，而要得出（Ⅱ）组中的所有颜色只需买4种基本色即可.那么为得到（Ⅰ）组中的各种
颜色充其量也只需买4种就够了。
关系9：若向量组A是向量组B的部分向量构成的向量组，则≤；
关系10：若向量组A与向量组B等价，则＝。
关系11：（三秩定理）矩阵的秩＝矩阵的行向量组的秩＝矩阵的列向量组的秩。
关系12：
设向量组线性无关，向量组可用线性表示。
且有矩阵A，使得（）＝（）A。
则（1）秩＝秩A。（2）向量组线性无关秩A＝t。
典型例题剖析
【例11】向量（s≥2）线性相关的充分必要条件是（）
A.中至少有一个是零向量
B.中至少有两个向量成比例
C.中至少有一个向量可由其余s-1个向量线性表示
D.中任一部分组线性相关
[答疑编号：21203303针对该题提问]
答案：C
【例12】已知n维向量组（m＞2）线性无关，则（）
A.对任意一组数，都有
B.m＜n
C.中少于m个向量构成的向量组均线性相关
D.中任意两个向量均线性无关
[答疑编号：21203304针对该题提问]
答案：D
【例13】设向量组（Ⅰ）：，，；向
量组（Ⅱ）：，，，则必有（）。
A.组（Ⅰ）相关组（Ⅱ）相关
B.组（Ⅱ）相关组（Ⅰ）无关
C.组（Ⅰ）相关组（Ⅱ）无关
D.组（Ⅰ）无关组（Ⅱ）无关
[答疑编号：21203305针对该题提问]
答案：D
【例14】设A是n阶矩阵，是n维列向量，且，
。证明：线性无关。
[答疑编号：21203306针对该题提问]
证明：
【例15】设向量可由向量组线性表示，但不能由线性表示。
证明：（1）不能由线性表示。
[答疑编号：21203307针对该题提问]
（2）能由，线性表示。
[答疑编号：21203308针对该题提问]
（1）∵
反证之，假设
代入
即可由，
与已知矛盾，∴不能由表示。
（2）要证能由，线性表示。
∵
只要证，反证之，假设
∴
与已知矛盾
∴
【例16】设向量可由向量组线性表示，但不能由向量组（I）：线性表示，记向量组（Ⅱ）：，，则（）
A.不能由（I）线性表示，也不能由（Ⅱ）线性表示
B.不能由（I）线性表示，但可由（Ⅱ）线性表示
C.可由（I）线性表示，也可由（Ⅱ）线性表示
D.可由（I）线性表示，但不可由（Ⅱ）线性表示
[答疑编号：21203309针对该题提问]
答案：B
【例17】设向量组线性无关，已知，，
。
（1）试求秩（）
[答疑编号：21203310针对该题提问]
（2）试求向量组的一个最大线性无关组。
[答疑编号：21203311针对该题提问]
解：
（1）由关系12知
（2）最大线性无关组
相应知识点精讲
四、具体的向量和向量组之间线性表示的判别程序：
1.定义：若向量组A中的每个向量都能由向量组B线性表示，则称向量组A能由向量组B线性表
示；若向量组A和向量组B可以相互线性表示，则称向量组A和向量组B是等价的。
2.原理：判别“是否可以由线性表示？表示法是否唯一？”，这就是问：
向量方程，是否有解？解是否唯一这个向量方程用分量写出来就是以为增广矩阵的线性方程组。具体解法是：作初等变换，由计算系数矩阵（）的秩与增广矩阵的秩是否相等来判定。
当秩（）＝秩时，即秩相等时，可由线性表示。
3.设为m×n矩阵，则n元齐次线性方程组有
4.（1）n维向量可由线性表示秩（）＝秩（，）；（2）n维向量不可由线性表示秩（，）＞秩（）；
（3）n维向量可由线性表示，且表示法唯一
秩（）＝秩（，）＝s；
（4）n维向量可由线性表示，且表示法不唯一
秩（）＝秩（，）＜s；
5.令，则
（1）n维列向量组可由线性表示秩（）＝秩（，），即秩（A）＝秩（A，B）。
（2）n维列向量组不可由线性表示秩（）＜秩（，），即秩（A）＜秩（A，B）。
（3）n维列向量组可由线性表示，且表示法唯一秩（）＝秩（，）＝s，即秩（A）＝秩（A，B）＝s。
（4）n维列向量组可由线性表示，且表示法不唯一秩（）＝秩（，）＜s，即秩（A）＝秩（A，B）＜s。
6.n维列向量组与等价的充要条件为
秩（A）＝秩（B）＝秩（A，B），
其中
典型例题剖析
【例18】确定常数a，使向量组可由向量组
线性表示，向量组不能由向量组
线性表示。
[答疑编号：21203312针对该题提问]
∵可由线性表示
设，
∴
又不能由表示
∴
①a＋2=0
②a－1=0
③a－4=0
①当a＋2=0时，a=－2
②当a－4=0时
∴a≠－2且a≠4时
∴∴a≠－2且a≠4，或a=-2时，可由线性表示
a-1=0时
r（A）=1
a=1，向量组不能由向量组线性表示
所以a=1满足题意
【例19】已知两个向量组与，问t
取何值时，两个向量组等价？并写出等价时的线性表示式。
[答疑编号：21203313针对该题提问]
解：
第四章线性方程组
线性方程组的理论及其解法是线性代数课程中最重要的理论成果和内容之一。线性方程组有三种等价形式：线性
方程组形式，矩阵方程形式，向量的线性组合方程形式，在讨论相关问题时可以相互转换。本章的题型均围绕线性方程组解的结构和性质进行，历年的真题灵活多变，题目众多，是复习中最好的资料。
【大纲内容】线性方程组的克莱姆（Cramer）法则；齐次线性方程组有非零解的充分必要条件；非齐次线性方程组有解的充分必要条件；线性方程组解的性质和解的结构；齐次线性方程组的基础解系和通解；非齐次线性方程组的通解。
【大纲要求】理解齐次线性方程组有非零解和非齐次线性方程组有解的充分必要条件；理解齐次线性方程组的基础解系、通解和解空间的概念；掌握非齐次线性方程组的解集的结构；掌握用初等行变换求齐次和非齐次线性方程组的通解的方法。
相应知识点精讲
一、线性方程组的表达
我们可以从四种不同的角度去观察、研究线性方程组，因此线性方程组的表达方式有四种.
1.线性方程组的一般形式
例如：
2.线性方程组的增广矩阵的形式
为掌握、研究线性方程组，其实不必写出未知数的记号和连接符号，只需写出方程组的系数和右端常数即可.所以线性方程组可用一张表格来表示，称为该线性方程组的增广矩阵。
上述方程组可表示为
3.线性方程组的矩阵方程形式
用增广矩阵表示一个线性方程组当然最简单，但这时需要附加说明，只有说明这个矩阵表达的是一个线性方程组时才行，否则怎么知道它就是一个线性方程组呢？一种需要附加说明的表达总会有欠缺，因此不需附加说明
的精确而又简单的表达为：线性方程组的矩阵方程形式，即
我们记该线性方程组的系数矩阵为，未知向量为，常数向量为。则该线性方程组简化为：Ax=b.
4.线性方程组的向量形式
上述方程组可表示为因此，我们可以从向量的角度研究线性方程组.若问
上述方程组是否有解，即相当于问向量能否用线性表示。
【评注】线性方程组的理论实际就是对三个问题的回答。
研究一般的线性方程组Ax=b，其中A为m行n列的矩阵，则该方程组有m个方程、n个未知数。
问题1.方程组是否有解？
问题2.若方程组有解，则解是否唯一？
问题3.若方程组有解且不唯一，则如何掌握解的全体？
线性代数课程的线性方程组的理论，对上述三个问题作出了非常圆满和漂亮的回答。
二、齐次线性方程组
1.齐次线性方程组的表达形式：
（1）齐次线性方程组，也常记为Ax=0，其中A为m行n列的矩阵，
（2）一定是上述齐次线性方程组的解，因此，我们称齐次线性方程组必有零解，记作
。如果是Ax=0的一个解，则称它为Ax=0的一个非零解。
2.齐次线性方程组Ax=0（其中A是m×n矩阵）解的性质：
（1）若是齐次线性方程组Ax=0的解，则也是该齐次方程组的解；
（2）若ξ是齐次线性方程组Ax=0的解，k为任意实数，则kξ也是该齐次方程组的解。
（3）齐次线性方程组Ax=0必有解，至少x=0是它的解，称为零解。
（4）齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分必要条件是r（A）=n。
（5）齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是r（A） 3.齐次线性方程组Ax=0（其中A是n×n矩阵）的克拉默（Cramer）法则： （1）齐次线性方程组有唯一零解的充分必要条件是该齐次线性方程组的 系数行列式 （2）设A是n×n矩阵，则齐次线性方程组Ax=0有唯一零解的充分必要条件是|A|≠0。 （3）齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是该齐次线性方程组的系数行列式 （4）设A是n×n矩阵，则齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是|A|＝0。 4.齐次线性方程组Ax=0（其中A是m×n矩阵）的基础解系 （1）基础解系的定义：齐次线性方程组Ax=0（其中A是m×n矩阵）的全部解向量构成的向量组，叫做该 齐次线性方程组的解向量组.为了掌握所有的解，则只要掌握全部解中的最大线性无关组。如果是 Ax=0解向量组的一个最大线性无关组，则称是Ax=0的一个基础解系。 （2）如果齐次线性方程组Ax=0（其中A是m×n矩阵）仅有零解，则它没有基础解系。如果齐次线性方程组Ax=0有基础解系，则不同的基础解系必有无穷多种。基础解系中所含有的线性无关的解向量的个数均为n－ R（A）。如果是Ax=0（其中A是m×n矩阵）的一个基础解系，则s=n-R（A），其中n代表未知数的数目。 （3）齐次线性方程组的通解：设是Ax=0（其中A是m×n矩阵）的一个基础解系， 是任意常数，则齐次线性方程组Ax=0（其中A是m×n矩阵）的全部解向量可表示为，这就是Ax=0的通解。 （4）基础解系的求法：设齐次线性方程组Ax=0（其中A是m×n矩阵）。 （ⅰ）把A用初等行变换化为阶梯型矩阵； （ⅱ）确定n-R（A）个自由变量，譬如可把阶梯型矩阵中不在每行第一个非零元素位置上的变量改作为自 由变量.如阶梯型矩阵为 在上式中已把第一、二行第一个非零元素划掉，不在这个位置上的为，于是取为自由变量。 （ⅲ）令一个自由变量为1，其余自由变量为0的办法就可得到一组解.用遍这样的办法就可得到n-R（A） 个解，它们就构成基础解系. 如阶梯型矩阵对应的齐次线性方程组为 ，已取定为自由变量。 令，解得，即有一个解向量。 再改为令，解得，即有一个解向量。 于是，构成基础解系。基础解系的任意线性组合即为解的全体，所以该齐次线性方程组的通解为 ，其中是任意常数。 （5）基础解系的判定方法： （ⅰ）向量组称为Ax=0的基础解系，如果： （1）是Ax=0的解 （2）线性无关 （3）Ax=0的任一解都可由线性表出。 Ax=0的基础解系中向量个数为n-秩A。 （ⅱ）向量组称为Ax=0的基础解系，如果： （1）是Ax=0的解 （2）线性无关 （3）s=n-秩A 典型例题剖析 【例1】已知线性方程组 （1）a,b,c满足何种关系时，方程组仅有零解？ 【答疑编号：*** 针对该题提问】 （2）a,b,c满足何种关系时，方程组有无穷多组解，并用基础解系表示全部解。[答疑编号：21204101针对该题提问] 解： 由Gramer法则 （2）当|A|＝（b-a）（c-a）（c-b）=0时，Ax=0有非零解。 要讨论下面几种情况： ①当a=b≠c时； ②当a=c≠b时； ③当b =c≠a时； ④当a=b=c时。 ①当a=b≠c时； 当c=0时，