上册认识直棱柱;直棱柱的表面展开图;视图;由视图描述几何体[]

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

3.1 认识直棱柱

3.2 直棱柱的表面展开图

3.3 三视图

3.4 由三视图描述几何体

二. 重点、难点：

重点：

1. 直棱柱的表面展开图画法

2. 三视图的画法

3. 根据三视图描述基本几何体

难点：

1. 通过空间想象把一个物体的形状看成两个（或多个）几何体的组合

2. 画直棱柱的多种表面展开图以及画组合体的三视图有一定的难度

3. 根据三视图描述实物原形

三. 知识要点及学习目标

1. 了解多面体、直棱柱的侧棱、侧面、底面等有关概念，会认直棱柱的侧棱、侧面、底面。

由若干个平面围成的几何体，叫做多面体。多面体上相邻两个面之间的交线叫做多面体的棱，几个面的公共顶点叫做多面体的顶点。

棱柱是多面体的一种，棱柱分为直棱柱和斜棱柱。（根据其侧棱与底面是否垂直）根据底面多边形的边数而分为直三棱柱、直四棱柱……长方体和立（正）方体都是直四棱柱。2. 了解直棱柱以下特征，能根据特征准确说出直棱柱的面、棱的关系。

（1）面的特征：

有上、下两个底面，底面是平面图形中彼此全等的多边形；侧面都是长方形（含正方形）。

（2）棱的特征：

直棱柱的侧棱互相平行且相等。

3. 了解直棱柱的表面展开图的概念。会画简单的直棱柱的表面展开图。

如下图，当我们沿着某些棱把一个立方体的盒子剪开，且使其六个面还连在一起，然后铺平，就得到这个立方体的表面展开图。由于可以从不同的棱剪开，所以一个立方体可以有不同的表面展开图。

反过来，如果我们有了一个几何体的表面展开图，我们也可以把它折叠成原来的几何体。

4. 能根据表面展开图判断出原直棱柱形状。

5. 了解主视图、俯视图、左视图和三视图的概念，能识别简单物体的三视图。

通过从不同方向观察同一物体可以看到不一样的结果得出关于三视图的概念。

主视图是从正面看到的图形，左视图是从左面看到的图形，俯视图是从上面向下看时看

到的图形。

一般来说，首先要指定正面。如下图，左右两图指定了不同的方向作为正面。

6. 了解各个视图之间的尺寸关系；掌握画三视图时“长对正、高平齐、宽相等”的要领，并会画直棱柱等简单几何体的三视图。

如下图，主视图中反映：长和高；左视图中反映：高和宽；俯视图中反映：长和宽。

7. 会根据三视图描述几何体。

如上图中的三视图反映的是一个什么几何体？从主视图和左视图中可以判断几何体为直棱柱，再从俯视图中，可以判定此直棱柱为四棱柱，所以这个三视图反映的几何体是直四棱柱。

8. 初步体验三视图在求直棱柱的表面积中的应用。

在三视图中，每个视图中多边形的边长数据能反映出几何体各个面的特征，所以我们可以借助三视图中的数据来计算几何体的侧面积、表（全）面积。

【典型例题】

例1. 观察下图中的几何体，哪些是直棱柱？如果是直棱柱，请指出是几棱柱？并说出其面、棱、顶点数是多少？

分析：根据直棱柱的特征“上、下两个底面是全等的多边形”；“侧面都是长方形”（侧棱与底面垂直）来判断上面几何体是否属于直棱柱。

解：在上面的几何体中，（2）、（3）、（4）、（5）是直棱柱。根据其底面边（棱）数，它们分别是四、五、四、六棱柱。其面、棱、顶点数列表如下：

（通过以上表中数据，可以得到一个关于多面体的顶点、棱、面数的等量关系，这就是著名的欧拉公式：顶点数＋面数－棱数＝2

例2. 观察下图所示的盒子（下左），它是一个怎样的多面体？这个多面体与直四棱柱有什么关系？

解：如图，这个盒子是直五棱柱，它可以看作从一个直四棱柱中截去一个直三棱柱得到的（如右上图），其中直四棱柱的底面是边长为6cm的正方形，直三棱柱的底面是腰长为3cm 的等腰直角三角形，它们的侧棱长都是2.6cm。

也可以把它看作为由两个直四棱柱组成的。如下图。

例3. 有一个立方体纸盒，立方体的边长为8cm，A处有一只蚂蚁，在C处有一粒糖，蚂蚁想吃到糖，所走的最短路程是多少cm?

分析：立方体纸盒，沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平，得到立方体的表面展开图，选择不同的棱剪开可以得出以下各种情况。

把A、B、C三点在表面展开图中标出，根据两点之间线段最短，连结AC。再把表面展开图折起，还原成立方体盒子，就可以找到蚂蚁吃糖的最近路线。（取第一幅图为例给出解答）

解：如下图是立方体的表面展开图，连结AC，Rt△ADC中，AD=8cm，DC=16cm，根据勾股定理：

AC2=AD2+CD2=64+256=320，所以AC=85（cm）。

再把表面展开图还原为立方体。则图中的从A到C折线即蚂蚁吃糖的最近路线，长度

为85cm。

注意：因为一个立体图形有多种不同的表面展开图，特别是棱长不等时，不同的表面展开图计算出的结果不同，这时需要比较大小确定最小值。

归纳：在立体图形中确定表面两点之间的最短距离，通常要使立体图形的表面展开图转化成平面图形，根据平面图形中的“线段最短”“垂线段最短”来解决。

例4. 有一种包装盒如下图，为了生产这种包装盒，需要先画出展开图纸样。（1）下右图的三种纸样它们都正确吗？（2）从正确的纸样中选出一种，根据包装盒上的尺寸，标注出来计算包装盒的表面积。

解：（1）图甲表示两个底面的长方形在同一侧，不正确。乙、丙两图正确。

（2）选择乙图标注尺寸如下：

S表＝（2a+2b）h + 2ab =2ah +2bh + 2ab

例5. 一个长方体的立体图如图所示，请画出它的三视图。

解：长方体的三视图如下图。

注意：“长对正、宽相等、高平齐”指的是三视图中的边长与立体图中的棱长之间的对应关系，在画三视图时不必写出。上面解答中写出“长对正、宽相等、高平齐”是为了帮助大家掌握画图方法。

例6. 从下面所给的三视图中推断出它们分别表示什么几何体？

分析：根据主视图和左视图可以看出（1）（2）是单一的直棱柱，（3）是直棱柱与球的组合；再从俯视图中看出（1）（2）分别是四棱、五棱，（3）下部分是四棱、上部分是一个放置在四棱柱上底面正中的一个球。

解：（1）该立体图形是底面是菱形的直四棱柱

（2）是直五棱柱

（3）是长方体上面放有一个球体

例7. 已知一个几何体的三视图如图（左）所示，描述该几何体的形状，量出三视图的有关尺寸，并根据已知的比例求出它的侧面积（精确到0.1cm2）。

分析：由主视图和左视图知道，这个几何体是直棱柱，但不能确定棱的条数。再由俯视图可以确定它是直四棱柱，且底面是直角梯形如图（右）。它的四个侧面都是长方形，容易求出其侧面积。

解：这个几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，前后两个侧面的宽分别为3cm 、6cm ，左侧面的宽为4.5cm ；

由勾股定理可求得右侧面的宽为456322.()--（）cm

所以它的侧面积为：9×〔3+6+4.5＋456322.()--〕≈170.2（cm 2），即这个直四棱柱的侧面积约为170.2cm 2。

小结：本周内容主要培养空间能力，以识图、画图为主。计算不是本章重点，但难度较大。宜动手操作，在实践中学习。

【模拟试题】（答题时间：45分钟）

1. 下面的图形表示四棱柱的是 （ ）

2. 圆柱的正视图和侧视图都是长方形，它的俯视图是（ ）

3. 下面的图形哪个不是正方体的表面展开图 （ ）

4. 下面是正方体的表面展开图，如果a 在后面，d 在上面，c 在左面，其它各面的位置正确地叙述为（ ）

A. f 在下面 e 在前面 b 在右面

B. e 在下面 b 在前面 f 在右面

C. b 在下面 f 在前面 e 在右面

D. b 在下面 e 在前面 f 在右面

5. 指出左面三个平面图形是右面这个物体的三视图中的哪个视图。

6. 写出下列几何体的名称

7. 画出下面立体图形的三视图

8. 画出下面物体的三视图

9. 如下图是一个长方体，在A处有一只蚂蚁，B处有一粒糖，根据图中数据求蚂蚁沿长方体表面，从A到B最近的路线有多长？

10. 由五个同样大的正方体搭成的物体，从上面看的形状如图示，这个物体是什么形状?共有几种搭法?

【试题答案】

1. A

2. B

3. C

4. D

5. 主视图，俯视图，左视图

6. 直四棱柱，直五棱柱，圆柱

7. 三视图如下：

8. 三视图如下：

9. 解：把长方体的表面展开图画出来，在平面图形上求A、B两点之间的距离。有以下三种情况：

4

比较发现从A到B最近距离为2

10. 解：

图中已经看到四个正方体，因为原立体图形由五个正方体组成，所以，有二种可能。它的主视图和左视图如下：其中（1）是在A上叠加一个正方体，（2）是在B上叠加一个正方体。