高中数学常用公式及知识点总结(基础填空帮助记忆)

高中数学常用公式及知识点总结

一、集合

1、N 表示 N+(或N*)表示 Z 表示 R 表示 Q 表示 C 表示

2、含有n 个元素的集合，其子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个。

二、基本初等函数 1、指数幂的运算法则

m n a a = m n a a ÷= ()m n a = ()m a

n m a

= m a -= ()m ab =

2、对数运算法则及换底公式（01

a a >≠且，M>0,N>0） log log a a M N += log log a a M N -= log n a M = log a N a = log a

b = log a a = log log a a a b = 1log a =

3、对数与指数互化：log a M N =?

4、基本初等函数图像

（1）指数函数(0,1)x a a y a >≠=

（2）对数函数(0,1)log a a a x y >≠= （当a e =时，y= ；当10a =时，

y= ）

a>1时的图像

图像恒过点，且不与轴相交。图像恒过点，且不与轴相交。

（3）幂函数的图像和性质

解析式

y x = 2y x =

3y x =

1y x -=

2y x -=

y x =

图像

定义域值域奇偶性单调性

三、函数的性质 1、奇偶性

（1）对于定义域内任意的x ，都有()()f x f x -=，则()f x 为函数，图像关于对

称；

（2）对于定义域内任意的x ，都有()()f x f x -=-，则()f x 为函数，图像关于对

称； 2、单调性

设1122,[,],x a b x x x <∈，那么

12()()0()[,]f f f x x a b x -

0f x f x x x ->-）

12()()0()[,]f f f x x a b x ->?在上是函数。（即

1212

()()

0f x f x x x -<-）

3、周期性

对于定义域内任意的x ，都有()()f x T f x +=，则()f x 的周期为；

对于定义域内任意的x ，都有1

()

()()()f x f x T f x +=-或

，则()f x 的周期为；

四、函数的导数及其应用 1、函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义

函数

()y f x =在点0x 处的导数是曲线()y f x =在点p （0x ，0()f x ）处的切线的斜率

0'()f x ，相应的切线方程式是；

2、用导数判别单调性、单调区间、极值和最值；（1）设函数()y f x =

在某个区间内可导，若'()f x >0，则()f x 为函数，若'()f x <0,则

()f x 为函数;

（2）求函数的极值的方法：解方程'()0f x =,当0'()0f x =时，

①如果在0x 附近的左侧'()f x >0，右侧'()f x <0，那么是极值； ②如果在0x 附近的左侧'()f x <0，右侧'()f x >0，那么是极值；

3、集中常见函数的导数

'C = (C 位常数) ()'a x = (sin )'x = (cos )'x = ()'x a = ()'x e = (log )'a x = (ln )'x =

4、导数的运算法则

()'u v ± = ()'uv = ()'u v

五、三角函数、三角恒等变换和解三角形 1、三角函数

（1）、三角函数值在各象限的符号

sin a cos a tan a

（记忆口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦）

（2）、同三角函数的基本关系

平方关系： 22sin cos a a += 商数关系：tan a = （3）、特殊角的三角函数值表 a 的角度 0

120 135 150 180

270 360

a 的弧度

sina cosa tana

(4)、三角函数的诱导公式（k z ∈）公式一：sin(2)a k π+= cos(2)a k π+= tan(2)a k π+=

公式二：sin()a π

+= cos()a π+= tan()a π+=

公式三：sin()a -= cos()a -= tan()a -= 公式四：sin()a π-= cos()a π-= tan()a π-=

公式五：2

sin(

)a π

-= 2

cos()a π

公式六：2sin()a π+= 2

cos()a π

（记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限。奇偶指2π

的奇偶数倍，变与不变指三角函数名称的变

化，若变则是正弦变余弦，正切变余切；符号是根据角的范围以及三角函数在四个象限的正负来判断新三角函数的符号（无论a 是多大的角，都将a 看成锐角））（5）、三角函数的图像与性质

函数 sin y x =

cos y x =

tan y x =

图像

定义域值域递增区间递减区间奇偶性最小正周期对称性

最值

（6）、函数sin()y A x ω?=+

①五点作图法

x x ω?=+

0 2π π

π 2π

sin()y A x ω?=+

②sin()(0,0)y A x A ω?ω=

+>≠的性质

定义域

值域周期性奇偶性

单调性对称性

③由sin y x =的图像得到sin()y A x ω?=+的图像的过程

方法途径一：

sin y x = 图像上各点向左或向右平移?个单位，得到，图像各点横坐标伸长

或缩短到原来的

，纵坐标不变，得到，图像各点纵坐标伸长或缩短到原来的A 倍，横坐标不变，得到；方法途径二：

sin y x = 图像各点横坐标伸长或缩短到原来的1ω

，纵坐标不变，得到，图

像上各点向左或向右平移

个单位，得到，图像各点纵坐标伸长或缩短到原来的A 倍，横坐标不变，得到； 2、三角恒等变换

（7）、两角和与差的正弦、余弦和正切

（异名同号）():sin()S αβαβ++= ():sin()S αβαβ--= （同名异号）():cos()C αβαβ++= ():cos()C αβαβ--=

():tan()T αβαβ++= ():tan()T αβαβ--=

（8）、二倍角公式

2:sin 2S αα= 2:cos2C αα= = =

2:tan 2T αα=

（9）、辅助角公式

222222(

sin cos )sin cos a b

a b x x a b a b

a x

b x +++++=

2222(sin cos cos sin )

sin()(tan )

a b x x b

a b x a

????=++=++=

3、解三角形

（10）、正弦定理： = = =2R (R 为三角形的外接圆半径)

用角表示边：a= ，b= ，c= 。

（11）、余弦定理：2a = ，2b = ，2c = 求角：cos A = ,cos B = ,cos C = (12)、三角形面积公式：S = = = 六、平面向量

1、平面向量的坐标运算

（1）、设1122(,),(,)A x y B x y ,则AB = ；（2）、设

1122,,(),()a x y b x y ==，则a

= ，b = ，

a λ= ；

b a += ，b a -= ， b a = ；

2、两向量的夹角公式

设1122,,(),()a x y b

x y ==，则cos θ= = ；

3、向量的平行于垂直

（1）、若b a 与平行?=b a λ?

（2）、若b a 与垂直?0b a =?

七、数列

1、数列的通项n a 与前n 项和n S 的关系：

11(1)

(2)n n

n S n a S S n -=?=?

-≥? ；（数列{n a }的前n 项和为n 12n S a a a =++???+） 2、等差数列

（1）、定义：若数列}{),(}{1n n n n a d a a a 则常数满足=-+称等差数列；

（2）、等差数列通项公式：n a = ，其中首项是，公差是；（

）

、

等

差

数

列

前

项

和

公

式

：

n 12n

S a a a =++???+=

= ；

（4）、等差中项： A 是a 、b 的等差中项，则有等式；

（5）、首尾项性质：若}{n a 是等差数列，则；

（6）、若}{n a 是等差数列，p 、q 、r 、s 为正整数，且,s r q p +=+，则； 3、等比数列

（1）、定义若数列q a a a n

n n =+1

}{满足

（常数），则}{n a 称等比数列；（2）、等比数列通项公式：n a = (n ∈N+)，其中首项是，公比是；

（3）、等比数列前n 项和公式：n 12=n S a a a ?

=++???+?? ；

（4）、等比中项： G 称a 、b 的等比中项，则有等式；（5）、首尾项性质：若}{n a 是等比数列，则；

（6）、若}{n a 是等比数列，p 、q 、r 、s 为正整数，且,s r q p +=+，则；八、不等式

1、已知a ，b 都是正数，则有

a b

ab +≥，当a=b 时，等号成立；（1）、若积ab 是定值m ，则当a=b 时，和a+b 有最小值；（2）、若和a+b 是定值n ，则当a=b 时，积ab 有最大值；九、复数

1、2i = 4k i = 41k i += （k z ∈）

2、复数(,)z a bi a b R =+∈，a 为，b 为；（1）、当时，z 是实数；（2）、当时，z 是虚数；（3）、当时，z 是纯虚数；（4）、当时，z 是非纯虚数；

3、复数相等的条件及应用

（1）、a bi c di +=+? ；（2）、0a bi +=? ；

4复数的模：(,)z a bi a b R =+∈，则z = ； 5、复数代数形式的四则运算（

）

、

复

数

的

加

法

：

（

a+bi

）

（

c+di

）

= ；（

）

、

复

数

的

减

法

：

（

a+bi

）

-（

c+di

）

= ；（

）

、

复

数

的

乘

法

：

（

a+bi

）

（c+di ）

= ；（

）

、

复

数

的

除

法

：

（

a+bi

）

（c+di ）

= ；

6、共轭复数：复数(,)z a bi a b R =+∈的共轭复数为z = ；十、统计概率

1、平均数：x = ；

2、样本方差：2S = ；

3、样本标准差：S = ；十一、解析几何 1、直线与方程

（1）、直线的斜率：21

tan y y x x k α-=-=

（α为直线的倾斜角）；（2）、直线的五种方程：

①斜截式：（b 为直线L 在y 轴上的截距）； ②点斜式：（直线L 过点00(x ,y )，且斜率为k ）；

③两点式：（1112221212p (x ,y ),p (,),x ,y x y x y ≠≠）；

④截距式：（a ，b 分别为直线L 的横、纵截距，,0a b ≠）； ⑤一般式：（其中A,B 不同时为0）。（3）、两条直线的平行与垂直直线111222,:x b l y x b l ++:y=k =k ； ①若12l l 与平行? ； ②若12l l 与垂直? 。（4）、距离计算

①点到点的距离公式：（两点为1122(,),(,)A x y B x y ） ②点到直线的距离公式：（点00(,)p x y ，直线:0l Ax By C ++=） ③平行直线间距离公式：（直线11:0l Ax By C ++=和直线

22:0l Ax By C ++=）

2、圆与方程

（1）、圆的一般方程：圆心为，半径为；

（2）、圆的标准方程：圆心为，半径为；3、直线与圆的位置关系

直线0Ax By C ++=与圆222()()y b r x a +-=-的位置关系有三种：（1）、d>0?相离

? 0 （2）、d=0?相切

? 0 （3）、d<0?相交

? 0

4、椭圆

定义

图形

标准方程

范围

对称性

顶点坐标

焦点坐标

半轴长

离心率a,b,c的关系

5、双曲线

定义

图形

方程

范围

对称性

顶点坐标

焦点坐标

实轴虚轴

离心率a,b,c的关系

渐近线6、抛物线

标准方程

图形

焦点

准线方程

顶点

对称轴

位置特征

离心率焦准距通经长焦参数

00(,)

M x y 的焦半径

十二、立体几何

1、常见几何体的三视图

几何体

直观图形

正视图

侧视图

俯视图

正方体

长方体

圆柱

圆锥

圆台球

2、空间几何体的表面积与体积

名称

图形

侧面积

表面积

体积

圆柱

圆锥

球

3、直线、平面位置关系（立体几何常用定理和方法）

一、直线与平面平行的判定定理：

文字语言：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与平面平行图形语言：

符号语言：

//a b a b αα??

????

?//a α 作用：线线平行?线面平行

二、直线与平面平行的性质定理：

文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线

就和交线平行。

图形语言：符号语言：//l l m α

βαβ?

????=?

?//l m

作用：线面平行?线线平行

三、平面与平面平行的判定定理

文字语言：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．图形语言：符号语言：

//a b a b A a b αααβββ

??????

=??????

∥∥ 作用：线线平行? 面面平行

四、平面与平面平行的性质定理:

文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么所得的两条交线平行图形语言:

符号语言:////a a b b αβαγβγ?

?=????=?

A l β

αa

α作用: 面面平行?线线平行

五、直线与平面垂直的判定定理：

文字语言：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面图形语言：符号语言：

,a m

a n a m n A m n ααα⊥??⊥?

?⊥??=?????

作用：线线垂直?线面垂直六、直线与平面垂直的性质定理：

文字语言：若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行图形语言：符号语言：

//a a b b αα⊥?

??⊥?

作用：线面垂直?线线平行

七、平面与平面垂直的判定定理：

文字语言：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。图形语言：

符号表示：a a ααββ⊥?

?⊥???

注：线面垂直?面面垂直

八、平面与平面垂直的性质定理：

文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直与它们的交线的直线垂直于另一个平

面

图形语言：

符号语言：l AB AB AB l

αβαββα⊥??=?

?⊥???

?⊥?

作用：面面垂直?线面垂直十三、极坐标与参数方程 1、极坐标

cos sin x y ρθρθ?????== 222

tan y y x x ρθ?+?

???==

2、参数方程

（1）、直线的参数方程：

=（00

(,)

x y为定点，θ为倾斜角）

（2）、圆的参数方程：

=（（a,b）为圆心，r为半径）

（3）、椭圆的参数方程：

=（a为长半轴，b为短半轴）