(完整word版)八年级全等三角形证明经典50题(含答案).doc
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1.已知： AB=4 ，AC=2 ， D 是 BC 中点， AD 是整数，求 AD A
B C
D
解：延长AD 到 E,使 AD=DE
∵D 是 BC 中点
∴BD=DC
在△ ACD 和△ BDE 中
AD=DE
∠B DE= ∠
ADC BD=DC
∴△ ACD ≌△ BDE
∴A C=BE=2
∵在△ ABE 中
AB-BE ＜ AE＜AB+BE
∵A B=4
即4-2 ＜2AD ＜ 4+2
1＜ AD ＜ 3
∴A D=2
2. 已知： D 是 AB 中点，∠ ACB=90 °，求证：CD 1 AB
2
A
D
C B
延长 CD 与 P，使 D 为 CP 中点。连接AP,BP
∵D P=DC,DA=DB
∴ACBP 为平行四边形
又∠ ACB=90
∴平行四边形ACBP 为矩形
∴A B=CP=1/2AB
3. 已知： BC=DE ，∠ B= ∠E，∠ C= ∠D ， F 是 CD 中点，求证：∠1= ∠ 2
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A
2
1
B E
C F D
证明：连接BF 和 EF
∵BC=ED,CF=DF, ∠ BCF= ∠ EDF
∴三角形 BCF 全等于三角形EDF(边角边 )
∴BF=EF, ∠CBF=∠ DEF
连接 BE
在三角形BEF 中 ,BF=EF
∴ ∠ EBF=∠ BEF。
∵ ∠ ABC= ∠ AED 。
∴ ∠ ABE= ∠ AEB。
∴AB=AE 。
在三角形ABF 和三角形 AEF 中
AB=AE,BF=EF,
∠A BF= ∠ ABE+ ∠ EBF= ∠AEB+ ∠ BEF= ∠ AEF
∴三角形 ABF 和三角形AEF 全等。
∴ ∠ BAF= ∠ EAF (∠ 1= ∠ 2) 。
4.已知：∠ 1= ∠ 2 ， CD=DE ， EF//AB ，求证： EF=AC
A
12
F
C
D
E
B
过C 作 CG∥ EF 交 AD 的延长线于点 G
CG∥ EF，可得，∠ EFD＝ CGD
DE＝ DC
∠FDE＝∠ GDC（对顶
角）∴△ EFD≌△ CGD
EF＝ CG
.
∠CGD ＝∠ EFD
又， EF∥ AB
∴，∠ EFD＝∠ 1
∠1= ∠ 2
∴∠ CGD＝∠ 2
∴△ AGC 为等腰三角形，
AC＝ CG
又EF＝ CG
∴E F＝ AC
5.已知： AD 平分∠ BAC， AC=AB+BD ，求证：∠ B=2 ∠ C
A
证明：延长AB 取点 E，使 AE＝ AC，连接 DE
∵AD 平分∠ BAC
∴∠ EAD＝∠ CAD
∵AE＝ AC， AD ＝ AD
∴△ AED≌△ ACD（SAS）
∴∠ E＝∠ C
∵AC ＝ AB+BD
∴AE＝ AB+BD
∵AE＝ AB+BE
∴BD ＝ BE
∴∠ BDE＝∠ E
∵∠ ABC＝∠ E+ ∠ BDE
∴∠ ABC＝ 2 ∠E
∴∠ ABC＝ 2 ∠C
6. 已知： AC 平分∠ BAD ， CE⊥AB ，∠ B+ ∠ D=180 °，求证：AE=AD+BE
.
证明：
在AE 上取 F，使 EF＝ EB，连接 CF
∵CE⊥ AB
∴∠ CEB＝∠ CEF＝ 90°
∵EB＝ EF， CE＝CE，
∴△ CEB≌△ CEF
∴∠ B＝∠ CFE
∵∠ B＋∠ D＝ 180 °，∠CFE＋∠ CFA＝ 180 °
∴∠ D＝∠ CFA
∵AC 平分∠ BAD
∴∠ DAC ＝∠ FAC
∵AC ＝ AC
∴△ ADC ≌△ AFC（ SAS）
∴AD ＝ AF
∴AE＝ AF＋ FE＝ AD ＋ BE
7.已知： AB=4 ，AC=2 ， D 是 BC 中点， AD 是整数，求 AD A
B C
D
解：延长AD 到 E,使 AD=DE
∵D 是 BC 中点
∴BD=DC
在△ ACD 和△ BDE 中
AD=DE
∠B DE= ∠ ADC
.
BD=DC
∴△ ACD ≌△ BDE
∴A C=BE=2
∵在△ ABE 中
AB-BE ＜ AE＜AB+BE
∵A B=4
即4-2 ＜ 2AD ＜ 4+2
1＜ AD ＜ 3
∴A D=2
1 8. 已知： D 是 AB 中点，∠ ACB=90 °，求证：CD AB
2 A
D
C B
解：延长AD 到 E,使 AD=DE
∵D 是 BC 中点
∴BD=DC
在△ ACD 和△ BDE 中
AD=DE
∠B DE= ∠ ADC
BD=DC
∴△ ACD ≌△ BDE
∴A C=BE=2
∵在△ ABE 中
AB-BE ＜ AE＜AB+BE
∵A B=4
即4-2 ＜ 2AD ＜ 4+2
1＜ AD ＜ 3
∴A D=2
.
A
2
1
B E
C F D
证明：连接BF 和 EF。
∵BC=ED,CF=DF, ∠ BCF= ∠ EDF。
∴三角形 BCF 全等于三角形EDF(边角边 )。
∴BF=EF, ∠CBF=∠ DEF。
连接 BE。
在三角形 BEF 中 ,BF=EF。
∴∠ EBF=∠ BEF。
又∵∠ ABC=∠ AED。
∴ ∠ ABE= ∠ AEB。
∴AB=AE 。
在三角形ABF 和三角形 AEF 中，
AB=AE,BF=EF,
∠A BF= ∠ ABE+ ∠ EBF= ∠AEB+ ∠ BEF= ∠ AEF。
∴三角形 ABF 和三角形 AEF 全等。∴
∠ BAF= ∠ EAF (∠ 1= ∠ 2) 。
10. 已知：∠ 1= ∠ 2 ， CD=DE ， EF//AB ，求证： EF=AC
A
12
F
C
D
E
B
过C 作 CG∥ EF 交 AD 的延长线于点 G
CG∥ EF，可得，∠ EFD＝ CGD
DE＝ DC
∠FDE＝∠ GDC（对顶
角）∴△ EFD≌△ CGD
EF＝ CG
∠CGD ＝∠ EFD
又EF∥ AB
∴∠ EFD＝∠ 1
∠1= ∠ 2
∴∠ CGD＝∠ 2
∴△ AGC 为等腰三角形，
AC＝ CG
又EF＝ CG
∴E F＝ AC
11.已知： AD 平分∠ BAC， AC=AB+BD ，求证：∠ B=2 ∠ C
A
C
B D
证明：延长AB 取点 E，使 AE＝ AC，连接 DE
∵AD 平分∠ BAC
∴∠ EAD＝∠ CAD
∵AE＝ AC， AD ＝ AD
∴△ AED≌△ ACD（SAS）
∴∠ E＝∠ C
∵AC ＝ AB+BD
∴AE＝ AB+BD
∵AE＝ AB+BE
∴BD ＝ BE
∴∠ BDE＝∠ E
∵∠ ABC＝∠ E+ ∠ BDE
∴∠ ABC＝ 2 ∠E
∴∠ ABC＝ 2 ∠C
12. 已知： AC 平分∠ BAD ， CE⊥AB ，∠ B+ ∠ D=180 °，求证：AE=AD+BE
在AE 上取 F，使 EF＝ EB，连接 CF
∵CE⊥ AB
∴∠ CEB＝∠ CEF＝ 90°
∵EB＝ EF， CE＝CE，
∴△ CEB≌△ CEF
∴∠ B＝∠ CFE
∵∠ B＋∠ D＝ 180 °，∠CFE＋∠ CFA＝ 180 °
∴∠ D＝∠ CFA
∵AC 平分∠ BAD
∴∠ DAC ＝∠ FAC
又∵ AC＝AC
∴△ ADC ≌△ AFC（ SAS）
∴AD ＝ AF
∴AE＝ AF＋ FE＝ AD ＋ BE
12.如图，四边形 ABCD 中， AB∥ DC，BE、CE 分别平分∠ ABC、∠ BCD，且点 E 在 AD 上。
求证： BC=AB+DC 。
在BC 上截取 BF=AB ，连接 EF
∵BE 平分∠ ABC
∴∠ ABE= ∠ FBE
又∵ BE=BE
∴⊿ ABE≌⊿ FBE（SAS）
∴∠ A= ∠BFE
∵A B//CD
∴∠ A+ ∠D=180 o
∵∠ BFE+∠CFE=180 o
∴∠ D= ∠ CFE
又∵∠ DCE= ∠ FCE
CE 平分∠ BCD
CE=CE
∴⊿ DCE≌⊿ FCE（AAS ）
∴CD=CF
∴B C=BF+CF=AB+CD
13. 已知： AB//ED ，∠ EAB= ∠ BDE， AF=CD ，EF=BC，求证：∠ F= ∠ C
E D
C
F
A B
AB ‖ED，得：∠ EAB+ ∠AED= ∠ BDE+ ∠ ABD=180度，
∵∠ EAB= ∠ BDE，
∴∠ AED= ∠ ABD ，
∴四边形ABDE 是平行四边形。
∴得： AE=BD ，
∵A F=CD,EF=BC ，
∴三角形AEF 全等于三角形DBC，
∴∠ F= ∠ C。
14.已知： AB=CD ，∠ A= ∠ D，求证：∠ B= ∠ C
A D
B C
证明：设线段 AB,CD 所在的直线交于E，当（ AD
△AED 是等腰三角形。
∴A E=DE
而AB=CD
∴B E=CE ( 等量加等量，或等量减等
量）∴△ BEC 是等腰三角形
∴∠ B= ∠C.
15.P 是∠ BAC 平分线 AD 上一点， AC>AB ，求证： PC-PB A P D B 在AC 上取点 E， 使 AE＝ AB 。 ∵AE＝ AB AP ＝ AP ∠EAP＝∠ BAE， ∴△ EAP≌△ BAP ∴PE＝PB。 PC＜EC＋ PE ∴PC＜（ AC－ AE）＋ PB ∴PC－ PB＜ AC－ AB 。 16. 已知∠ ABC=3 ∠ C，∠ 1= ∠ 2 ，BE⊥ AE，求证： AC-AB=2BE 证明： 在 AC 上取一点 D，使得角DBC= 角 C ∵∠ ABC=3 ∠C ∴∠ ABD= ∠ ABC- ∠ DBC=3 ∠ C- ∠ C=2 ∠C； ∵∠ ADB= ∠ C+ ∠ DBC=2 ∠ C; ∴A B=AD ∴AC –AB =AC-AD=CD=BD 在等腰三角形ABD 中， AE 是角 BAD 的角平分线， ∴AE 垂直 BD ∵BE⊥ AE ∴点 E 一定在直线BD 上， 在等腰三角形ABD 中， AB=AD ， AE 垂直 BD ∴点 E 也是 BD 的中点 ∴B D=2BE ∵BD=CD=AC-AB ∴AC-AB=2BE 17. 已知， E 是 AB 中点， AF=BD ， BD=5 ，AC=7 ，求 DC . D F A C E B ∵作 AG∥ BD 交 DE 延长线于 G ∴AGE 全等 BDE ∴A G=BD=5 ∴AGF ∽ CDF AF=AG=5 ∴D C=CF=2 18 ．如图，在△ABC中，BD= DC，∠ 1= ∠ 2，求证：AD⊥BC． 解：延长AD 至 BC 于点 E, ∵BD=DC ∴△ BDC 是等腰三角形 ∴∠ DBC= ∠ DCB 又∵∠ 1= ∠ 2∴∠ DBC+∠ 1=∠DCB+∠ 2 即∠ ABC= ∠ ACB ∴△ ABC 是等腰三角形 ∴AB=AC 在△ ABD 和△ACD 中 ｛AB=AC ∠ 1= ∠ 2 BD=DC ∴△ ABD 和△ACD 是全等三角形（边角边） ∴∠ BAD= ∠ CAD ∴AE 是△ ABC 的中垂线 ∴AE⊥ BC ∴AD ⊥BC 19 ．如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N． 求证：∠ OAB=∠ OBA 证明： ∵OM 平分∠ POQ ∴∠ POM ＝∠ QOM . ∵MA ⊥OP， MB ⊥ OQ ∴∠ MAO ＝∠ MBO ＝90 ∵OM ＝OM ∴△ AOM ≌△ BOM（AAS） ∴OA ＝ OB ∵ON ＝ ON ∴△ AON ≌△ BON（SAS） ∴∠ OAB= ∠ OBA ，∠ ONA= ∠ONB ∵∠ ONA+ ∠ONB ＝ 180 ∴∠ ONA ＝∠ ONB ＝90 ∴OM ⊥ AB 20 ．（5 分）如图，已知AD ∥ BC，∠ PAB 的平分线与∠ CBA 的平分线相交于E， CE的连线交AP 于 D．求证： AD + BC= AB． P C E D 做 A 角平分线 BE 的延长线，与AP 相交于 F 点， ∵PA//BC B ∴∠ PAB+ ∠ CBA=180 °，又∵， AE，BE 均为∠ PAB 和∠ CBA 的 ∴∠ EAB+ ∠ EBA=90 °∴∠AEB=90 °，EAB 为直角三角形 在三角形ABF 中， AE⊥ BF，且 AE 为∠ FAB 的角平分线 ∴三角形FAB 为等腰三角形，AB=AF,BE=EF 在三角形DEF 与三角形BEC 中， ∠E BC= ∠ DFE,且 BE=EF，∠ DEF= ∠ CEB， ∴三角形DEF 与三角形BEC 为全等三角形，∴DF=BC ∴A B=AF=AD+DF=AD+BC 21 ．如图，△ABC中，AD是∠CAB的平分线，且AB= AC+ CD，求证：∠ C=2∠ B A C D B 延长 AC 到 E使AE=AC连接ED ∵AB=AC+CD ∴CD=CE 可得∠ B= ∠ E △CDE 为等腰 ∠A CB=2 ∠ B . 22 ．（ 6 分）如图①， 、 分别为线段 AC 上的两个动点，且⊥ 于 E ， ⊥ 于 ， E F DE AC BF AC F 若 AB = CD ， AF = CE ， BD 交 AC 于点 M ． （ 1）求证： MB = MD ， ME = MF （ 2）当 E 、 F 两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立 请给予证明；若不成立请说明理由． （ 1 ）连接 BE ， DF ． ∵ DE ⊥ AC 于 E ， BF ⊥ AC 于 F ， ∴∠ DEC= ∠ BFA=90 °， DE ∥ BF ， 在 Rt △ DEC 和 Rt △ BFA 中， ∵ AF=CE ， AB=CD ， ∴ Rt △ DEC ≌ Rt △ BFA （ HL ）， ∴ DE=BF ． ∴ 四边形 BEDF 是平行四边形． ∴ MB=MD ，ME=MF ； （ 2 ）连接 BE ， DF ． ∵ DE ⊥ AC 于 E ， BF ⊥ AC 于 F ， ∴∠ DEC= ∠ BFA=90 °， DE ∥ BF ， 在 Rt △ DEC 和 Rt △ BFA 中， ∵ AF=CE ， AB=CD ， ∴ Rt △ DEC ≌ Rt △ BFA （ HL ）， ∴ DE=BF ． ∴ 四边形 BEDF 是平行四边形． ∴ MB=MD ，ME=MF ． 23 ．已知：如图， DC ∥ AB ，且 DC = AE ， E 为 AB 的中点， （ 1 ）求证：△ AED ≌△ EBC ． （ 2 ）观看图前， 在不添辅助线的情况下， 除△ EBC 外，请再写出两个与△ AED 的面积 A 相等的三角形． （直接写出结果，不要求证明） ： . 证明： ∵DC∥ AB ∴∠ CDE＝∠ AED ∵DE＝ DE， DC＝ AE ∴△ AED≌△ EDC ∵E 为 AB 中点 ∴AE＝ BE ∴BE＝ DC ∵DC∥ AB ∴∠ DCE＝∠ BEC ∵CE＝ CE ∴△ EBC≌△ EDC ∴△ AED≌△ EBC 24 ．（ 7 分）如图，△ABC中，∠BAC=90 度，AB= AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过 C 点的直线于E，直线 CE交 BA 的延长线于 F． 求证： BD=2 CE． F A E D 证明： B C ∵∠ CEB=∠ CAB=90 ° ∴ABCE 四点共元 ∵∠ AB E= ∠CB E ∴A E=CE ∴∠ ECA= ∠ EAC 取线段 BD 的中点 G，连接 AG ，则： AG=BG=DG ∴∠ GAB= ∠ ABG 而：∠ ECA= ∠ GBA ( 同弧上的圆周角相等） ∴∠ ECA= ∠ EAC= ∠ GBA= ∠GAB 而： AC=AB ∴△ AEC≌△ AGB ∴EC=BG=DG ∴B E=2CE 25 、如图： DF=CE ， AD=BC ，∠ D= ∠ C。求证：△ AED≌△ BFC。 D E F C A B 证明：∵ DF=CE， ∴D F-EF=CE-EF ， 即DE=CF， 在△ AED 和△ BFC 中， ∵AD=BC ，∠ D= ∠ C ， DE=CF ∴△ AED≌△ BFC（ SAS） 26 、（ 10 分）如图： AE、BC 交于点 M ，F 点在 AM 上， BE∥ CF， BE=CF。 求证： AM 是△ ABC 的中线。 A F B M C E 证明： ∵BE‖CF ∴∠ E=∠ CFM，∠ EBM= ∠ FCM ∵B E=CF ∴△ BEM≌△ CFM ∴BM=CM ∴AM 是△ ABC 的中线 . 27 、（10 分）如图：在△ABC 中， BA=BC ， D 是 AC 的中点。求证：BD⊥ AC。 A D B C ∵△ ABD 和△ BCD 的三条边都相等 ∴△ ABD= △BCD ∴∠ ADB= ∠CD ∴∠ ADB= ∠CDB=90 ° ∴BD ⊥ AC 28 、（ 10 分） AB=AC ， DB=DC ，F 是 AD 的延长线上的一点。求证：BF=CF A D B C F 在△ ABD 与△ ACD 中 AB=AC BD=DC AD=AD ∴△ ABD ≌△ ACD ∴∠ ADB= ∠ADC ∴∠ BDF= ∠ FDC 在△ BDF 与△ FDC 中 BD=DC ∠B DF= ∠ FDC DF=DF ∴△ FBD≌△ FCD 29 、（ 12 分）如图： AB=CD ，AE=DF ， CE=FB 。求证： AF=DE 。 A B F E C D ∵AB=DC AE=DF, CE=FB CE+EF=EF+FB ∴△ ABE= △ CDF ∵∠ DCB= ∠ABF AB=DC BF=CE △ A BF= △ CDE ∴ A F=DE 30. 公园里有一条 “ Z ” 字形道路 ABCD ，如图所示，其中 AB ∥CD ，在 AB ，CD ，BC 三段路 旁各有一只小石凳 ， ， M ，且 ＝ ， M 在 BC 的中点，试说明三只石凳 ， ， M 恰好 E F BE CF E F 在一条直线上 . 证明：连接 EF ∵AB ∥ CD ∴∠ B= ∠C ∵M 是 BC 中点 ∴BM=CM 在△ BEM 和 △ CFM 中 BE=CF ∠ B = ∠ C BM=CM ∴△ BEM ≌△ CFM （ SAS ） ∴ C F=BE 31 ．已知：点 A 、F 、E 、C 在同一条直线上， AF ＝ CE ，BE ∥ DF ，BE ＝ DF ．求证：△ ABE ≌△ CDF ． ∵ A F=CE,FE=EF. ∴ A E=CF. ∵ D F//BE, ∴∠ AEB= ∠ CFD （两直线平行，内错角相等） ∵ B E=DF ∴： △ ABE ≌△ CDF （SAS ） 32. 已知：如图所示， AB ＝ AD ，BC ＝ DC ， E 、 F 分别是 DC 、 BC 的中点，求证： AE ＝ AF 。 D E A C F B 连接 BD ； ∵ A B=AD BC=D ∴∠ ADB= ∠ ABD ∠ CDB= ∠ ABD; 两角相加， ∠ ADC= ∠ABC ； ∵BC=DC E\F 是中点 ∴ D E=BF ； ∵AB=AD DE=BF ∠ADC= ∠ ABC ∴ A E=AF 。 33 ．如图，在四边形 ABCD 中， E 是 AC 上的一点， ∠ 1= ∠ 2 ，∠ 3= ∠ 4，求证 : ∠ 5= ∠ 6 ． D A 1 5 3 C E 6 2 4 B 证明： 在△ ADC ，△ ABC 中 ∵ AC=AC ，∠ BAC= ∠ DAC ，∠ BCA= ∠DCA ∵AB=AD ， BC=CD 在△ DEC 与△ BEC 中 ∠BCA= ∠DCA ， CE=CE，BC=CD ∴△ DEC≌△ BEC（两边夹一角） ∴∠ DEC= ∠ BEC 34 ．已知AB∥DE，BC∥EF，D，C在AF上，且AD＝CF，求证：△ABC≌△DEF． ∵A D=DF ∴A C=DF ∵A B//DE ∴∠ A= ∠EDF 又∵ BC//EF ∴∠ F= ∠ BCA ∴△ ABC≌△ DEF（ ASA） 35 ．已知：如图，AB= AC， BD AC，CE AB，垂足分别为D、E， BD、 CE 相交于点 F，求证： BE= CD． C D F E A 证明： ∵BD ⊥ AC ∴∠ BDC=90 ° ∵CE⊥ AB ∴∠ BEC=90 ° ∴∠ BDC= ∠BEC=90 ° ∵A B=AC ∴∠ DCB= ∠EBC ∴BC=BC ∴R t △ BDC≌ Rt△ BEC（ AAS) ∴BE=CD 36、如图，在△ ABC中，AD为∠ BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。 求证： DE=DF． A E F B D C 证明： ∵AD 是∠ BAC 的平分线 ∴∠ EAD= ∠ FAD ∵DE⊥ AB， DF⊥AC ∴∠ BFD= ∠ CFD=90 ° ∴∠ AED 与∠ AFD=90 ° 在△ AED 与△ AFD 中 ∠E AD= ∠ FAD AD=AD ∠A ED= ∠ AFD ∴△ AED≌△ AFD（ AAS ） ∴AE=AF 在△ AEO 与△ AFO 中 ∠EAO= ∠ FAO 中学全等三角形经典证明题汇总 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 2. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB 3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF 如图，四边 形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 B A D B C C B A C D F 2 1 E C D B A 8.已知：AB 知：AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB 16．如图，△ABC中，AD是∠CAB的平分线，且AB=AC+CD，求证：∠C=2∠B 17．如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．（1）求证：MB=MD，ME=MF（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由． 18．已知：如图，DC∥AB，且DC=AE，E为AB的中点，（1）求证：△AED≌△EBC．（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC外，请再写出两个与△AED的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）： 19．如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．求证：BD=2CE． 20、如图：DF=CE，AD=BC，∠D=∠C。求证：△AED≌△BFC。 21、如图：AE、BC交于点M，F点在AM上，BE∥CF，BE=CF。求证：AM是△ABC 的中线。 全等三角形证明经典题(含答案) 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，111749AD 是整数，求AD 解：延长AD 到E,使AD=DE ∵D 是BC 中点∴BD=DC 在△ACD 和△BDE 中 AD=DE ∠BDE=∠ADCBD=DC ∴△ACD ≌△BDE ∴AC=BE=2∵在△ABE 中AB-BE ＜AE ＜AB+BE ∵AB=4即 4-2＜2AD ＜4+21＜AD ＜3∴AD=2 2. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB 延长CD 与P ，使D 为CP 中点。连接AP,BP ∵DP=DC,DA=DB ∴ACBP 为平行四边形又∠ACB=90∴平行四边形ACBP 为矩形 ∴AB=CP=1/2AB 3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 4. 5. 证明：连接BF 和EF ∵BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF ∴三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)∴BF=EF,∠CBF=∠DEF 连接BE 在三 角形BEF 中,BF=EF ∴∠EBF=∠BEF 。 ∵∠ABC=∠AED 。∴∠ABE=∠AEB 。∴AB=AE 。在三角形ABF 和三角形AEF 中 AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ∴三角形ABF 和三角形AEF 全等。∴∠BAF=∠ EAF(∠1=∠2)。 6. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC A D B C 过C 作CG ∥EF 交AD 的延长线于点GCG ∥EF ，可得，∠EFD ＝CGD DE ＝DC ∠FDE ＝∠GDC （对顶角）∴△EFD ≌△CGD EF ＝CG ∠CGD ＝∠EFD 又EF ∥AB ∴∠EFD ＝∠1∠1=∠2 ∴∠CGD ＝∠2∴△AGC 为等腰三角形，AC ＝CG 又EF ＝CG ∴EF ＝AC 7. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠ C 证明：延长AB 取点E ，使AE ＝AC ，连接DE ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD ＝∠CAD ∵AE ＝AC ，AD ＝AD ∴△AED ≌△ACD （SAS ） ∴∠E ＝∠C ∵AC ＝AB+BD ∴AE ＝AB+BD ∵AE ＝AB+BE ∴BD ＝BE ∴∠BDE ＝∠E ∵∠ABC ＝∠E+∠BDE ∴∠ABC ＝2∠E ∴∠ABC ＝2∠C 8. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 证明： 在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF ∵CE ⊥AB ∴∠CEB ＝∠CEF ＝90° ∵EB ＝EF ，CE ＝CE ，∴△CEB ≌△CEF ∴∠B ＝∠CFE ∵∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180° ∴∠D ＝∠CFA ∵AC 平分∠BAD ∴∠DAC ＝∠FAC ∵AC ＝AC ∴△ADC ≌△AFC （SAS ） ∴AD ＝AF ∴AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE 9. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 在BC 上截取BF=AB ，连接EF ∵BE 平分∠ABC ∴∠ABE=∠FBE 又∵BE=BE ∴⊿ABE ≌⊿FBE （SAS ） ∴∠A=∠BFE ∵AB//CD ∴∠A+∠D=180o ∵∠BFE+∠CFE=180o ∴∠D=∠CFE 又∵∠DCE=∠FCECE 平分∠BCDCE=CE ∴⊿DCE ≌⊿FCE （AAS ）∴CD=CF ∴BC=BF+CF=AB+CD 10. 已知：AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC ，求证：∠F=∠C AB ‖ED ，得：∠EAB+∠AED=∠BDE+∠ABD=180度， ∵∠EAB=∠BDE ， B A C D F 2 1 E D C B A F E A 七年级数学下册《全等三角形》专题练习 1、已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C（做AB=AE交AC于E点） 6、已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE（做AD=AF交AB于F点） 8. 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。求 证：BC=AB+DC。 C D B A 9、已知：AB 知：如图所示，AB ＝ AD ，BC ＝DC ，E 、F 分别是DC 、BC 的中点，求证： AE ＝AF 。 35．在△ABC 中，?=∠90ACB ，BC AC =，直线MN 经过点C ，且MN AD ⊥于D ，MN BE ⊥于E .(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证： ①ADC ?≌CEB ?；②BE AD DE +=； (2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗若成立，请给出证明；若不成立，说明理由. A B C D D C B A F E P E D C B A D C B A M F E C B A F E D C B A F D C B F E D C B A D B C A F E 46. 如图, AB=12, CA⊥AB于A, DB⊥AB于B, 且AC=4m, P点从B向A运动, 每分钟走1m, Q 点从B向D运动, 每分钟走2m,P、Q两点同时出发, 运动几分钟后△CAP≌△PQB 试说明理由. 47、如图(1), 已知△ABC中, ∠BAC=900, AB=AC, AE是过A的一条直线, 且B、C在A、E的异侧, BD⊥AE于D, CE⊥AE于E. (图1) (图2) (图3) (1)试说明: BD=DE+CE. (2) 若直线AE绕A点旋转到图(2)位置时(BD 1：已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点， AD 是整数，求AD 长。 2：已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB :3：已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 :4：已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC A D B C B A C D F 2 1 E 5：已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE : 6：.:如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 7：P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB 9：已知，E 是AB 中点，AF=BD ，BD=5，AC=7，求DC 10：如图，在△ABC 中，BD =DC ，∠1=∠2，求证：AD ⊥BC ． 11：如图，OM 平分∠POQ ，MA ⊥OP ,MB ⊥OQ ，A 、B 为垂足，AB 交OM 于点N ． 求证：∠OAB =∠OBA : F A E D C B 12：如图①，E 、F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，若AB =CD ，AF =CE ，BD 交AC 于点M ． （1）求证：MB =MD ，ME =MF （2）当E 、F 两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由． 13：已知：如图，DC ∥AB ，且DC =AE ，E 为AB 的中点， （1）求证：△AED ≌△EBC ． （2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC 外，请再写出两个与△AED 的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）： 14：如图：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。求证：△AED ≌△BFC 。 O E D C B A F E D C B A 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 2. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB 3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC A D B C B A C D F 2 1 E 5.已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C 6.已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 7.已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD 8.已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证： 1 2 CD AB A D B C C D B A 9. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 10. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 11. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C 12. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证： AE=AD+BE B A C D F 2 1 E C D B A 12. 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。 求证：BC=AB+DC。 13.已知：AB//ED，∠EAB=∠BDE，AF=CD，EF=BC，求证：∠F=∠C 14.已知：AB=CD，∠A=∠D，求证：∠B=∠C D C B A F E A B C D 1、已知∠ABC=3∠C ，∠1=∠2，BE ⊥AE ，求证：AC-AB=2BE 2、已知，E 是AB 中点，AF=BD ，BD=5，AC=7，求DC 3、如图，在△ABC 中，BD =DC ，∠1=∠2，求证：AD ⊥BC ． 4．如图，OM 平分∠POQ ，MA ⊥OP ,MB ⊥OQ ，A 、B 为垂足，AB 交OM 于点N ． 求证：∠OAB =∠OBA 5．（5分）如图，已知AD ∥BC ，∠P AB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线 交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ． P E D C B A F A E D C B 6．（6分）如图①，E 、F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ， 若AB =CD ，AF =CE ，BD 交AC 于点M ． （1）求证：MB =MD ，ME =MF （2）当E 、F 两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立 请给予证明；若不成立请说明理由． 7．已知：如图，DC ∥AB ，且DC =AE ，E 为AB 的中点， （1）求证：△AED ≌△EBC ． （2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC 外，请再写出两个与△AED 的面积 相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）： 8．（7分）如图，△ABC 中，∠BAC =90度，AB =AC ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线 垂直于过C 点的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F ． 求证：BD =2CE ． O E D C B A F E D C B A 【第1部分全等基础知识归纳、?小结】 1、全等三?角形的定义：能够完全重合的两个三?角形叫全等三?角形。两个全等三?角形中， 互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫对应边，互相重合的 ?角叫对应?角。 概念深?入理理解： （1）形状?一样，?大?小也?一样的两个三?角形称为全等三?角形。（外观?长的像） （2）经过平移、旋转、翻折之后能够完全重合的两个三?角形称为全等三?角形。（位置变化） 2、 全等三?角形的表示?方法：若△ABC 和△A ′B ′C ′是全等的，记作“△ABC ≌△A ′B ′C ′”其中，“≌”读作“全等于”。记两个三?角形全等时，通常把表示对应顶点的字?母写在对应的位置上。 3、全等三?角形的性质： 全等是?工具、?手段，最终是为了了得到边等或?角等，从?而解决某些问题。 （1）全等三?角形的对应?角相等、对应边相等。 （2）全等三?角形的对应边上的?高，中线，?角平分线对应相等。 （3）全等三?角形周?长，?面积相等。 4、寻找对应元素的?方法 （1）根据对应顶点找 如果两个三?角形全等，那么，以对应顶点为顶点的?角是对应?角；以对应顶点为端点的边是对应边。通常情况下，两个三?角形全等时，对应顶点的字?母都写在对应的位置上，因此，由全等三?角形的记法便便可写出对应的元素。 （2）根据已知的对应元素寻找全等三?角形对应?角所对的边是对应边，两个对应?角所夹的边是对应边； 图3 图1图2 （3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。 通过对两个全等三?角形各种不不同位置关系的观察和分析，可以看出其中?一个是由另?一个经过下列列各种运动?而形成的；运动?一般有3种：平移、对称、旋转； 5、全等三?角形的判定：（深?入理理解） ①边边边（SSS）②边?角边（SAS）③?角边?角（ASA）④?角?角边（AAS） ⑤斜边，直?角边（HL） 注意：（容易易出错） （1）在判定两个三?角形全等时，?至少有?一边对应相等（边定全等）； （2）不不能证明两个三?角形全等的是，㈠三个?角对应相等，即AAA；㈡有两边和其中?一?角对应相等，即SSA。 全等三?角形是研究两个封闭图形之间的基本?工具，同时也是移动图形位置的?工具。在平?面?几何知识应?用中，若证明线段相等或?角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置，常常需要借助全等三?角形的知识。 6、常?见辅助线写法：（照着辅助线说明要能做出图、养成严谨、严密的习惯） 如：⑴过点A作BC的平?行行线AF交DE于F ⑵过点A作BC的垂线，垂?足为D ⑶延?长AB?至C，使BC＝AC ⑷在AB上截取AC，使AC＝DE ⑸作∠ABC的平分线，交AC于D ⑹取AB中点C，连接CD交EF于G点 同?一条辅助线，可以说法不不?一样，那么得到的条件、证明的?方法也不不同。 全等三角形证明经典50题(含答案) 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 解：延长AD 到E,使AD=DE ∵D 是BC 中点 ∴BD=DC 在△ACD 和△BDE 中 AD=DE ∠BDE=∠ADC BD=DC ∴△ACD ≌△BDE ∴AC=BE=2 ∵在△ABE 中 AB-BE ＜AE ＜AB+BE ∵AB=4 即4-2＜2AD ＜4+2 1＜AD ＜3 ∴AD=2 2. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB 延长CD 与P ，使D 为CP 中点。连接AP ,BP ∵DP=DC,DA=DB ∴ACBP 为平行四边形 又∠ACB=90 ∴平行四边形ACBP 为矩形 A D B C ∴AB=CP=1/2AB 3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 证明：连接BF 和EF ∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF ∴ 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边) ∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF 连接BE 在三角形BEF 中,BF=EF ∴ ∠EBF=∠BEF 。 ∵ ∠ABC=∠AED 。 ∴ ∠ABE=∠AEB 。 ∴ AB=AE 。 在三角形ABF 和三角形AEF 中 AB=AE,BF=EF, ∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ∴ 三角形ABF 和三角形AEF 全等。 ∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。 4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 过C 作CG ∥EF 交AD 的延长线于点G CG ∥EF ，可得，∠EFD ＝CGD DE ＝DC ∠FDE ＝∠GDC （对顶角） B A C D F 2 1 E ) 含答案题(全等三角形证明经典50 ADAD是整数，求D是BC中点，1.已知：AB=4，AC=2，A CB D 使AD=DE解：延长AD到E,BC中点∵D是∴BD=DC BDE中在△ACD和△AD=DE ADC∠BDE=∠BD=DC BDE∴△ACD≌△AC=BE=2∴ ABE中∵在△AB+BEAE＜AB-BE＜AB=4∵＜4+2即4-2＜2AD＜31＜AD∴AD=2 1ABCD?是AB中点，∠°，求证：ACB=90D2.已知：2A D BC 中点。连接AP,BP为与CDP，使DCP延长∵DP=DC,DA=DB为平行四边形∴ACBP又∠ACB=90为矩形ACBP∴平行四边形． ∴AB=CP=1/2AB 2 ∠中点，求证：∠1=，∠DF是CD3.已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=A 1E B DF C EFBF和证明：连接∠EDF BC=ED,CF=DF,∵∠BCF=边角边)三角形BCF全等于三角形EDF(∴∠DEF∴ BF=EF,∠CBF=连接BE中,BF=EF在三角形BEF。EBF=∠BEF∠∴ 。ABC=∠AED∵∠。∠AEB∠∴ ABE=。∴ AB=AE中和三角形AEF在三角形ABF AB=AE,BF=EF,∠AEFAEB+∠BEF=∠∠ABF=∠ABE+∠EBF= 全等。ABF和三角形AEF ∴三角形2)∠。BAF=∠EAF (∠1= ∴∠ A21F C D E B，EFCD=DE，2∠1=∠：知已． A A A CB1CDB AB?CD2A A 2121F E B C D E D F C B C DB、ABC、CE分别平分∠AB∥DC，BEABCD如图，四边形中，。上。求证：BC=AB+DCBCD，且点E在AD∠ ，连接EF在BC上截取BF=AB平分∠ABC∵BE FBE∴∠ABE=∠BE=BE又∵）（SAS∴⊿ABE≌⊿ FBE∠BFE∴∠A=DA ED C F C B B AAB知：AB∵ PC-PB 1.已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD 2.已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证： 1 2 CD AB = 3.已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2 4.已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC 5.已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C 6.已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证： AE=AD+BE 7.已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD 8.已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证： 1 2 CD AB = 9.已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2 10.已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证： EF=AC A D B C B B A C D F 2 1 E C D B A A D B C 11.已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C 12.已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证： AE=AD+BE 12. 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD 上。求证：BC=AB+DC。 13.已知：AB//ED，∠EAB=∠BDE，AF=CD，EF=BC，求证：∠F=∠C 14.已知：AB=CD，∠A=∠D，求证：∠B=∠C 15.P是∠BAC平分线AD上一点，AC>AB，求证：PC-PB 全等三角形经典例题 典型例题： 知识点一：全等三角形判定1 例1：如图，在△AFD 和△EBC 中，点A ，E ，F ，C 在同一直线上，有下面四个论断：（1）AD ＝CB ；（2）AE ＝CF ；（3）DF ＝BE ；（4）AD ∥BC 。请将其中三个论断作为条件，余下的一个作为结论，编一道证明题，并写出证明过程。 思路分析： 1）题意分析：本题一方面考查证明题的条件和结论的关系，另一方面考查全等三角形判定1中的三边对应关系。 2）解题思路：根据全等三角形判定1：三边对应相等的两个三角形全等。首先确定命题的条件为三边对应相等，而四个论断中有且只有三个条件与边有关，因此应把论断中的（1）（2）（3）作为条件，来证明论断（4）。在证明全等之前，要先证明三边分别对应相等。 ; 解答过程： 已知：如图，在△AFD 和△EBC 中，点A ，E ，F ，C 在同一直线上，AD ＝CB ，AE ＝CF ，DF ＝BE 。求证：AD ∥BC 。 证明：∵AE ＝CF ∴AE ＋EF ＝CF ＋EF ∴AF ＝CE 在△AFD 和△CEB 中， ∵ & ∴△AFD ≌△EBC （SSS ） ∴∠A ＝∠C ∴AD ∥BC 解题后的思考：在运用全等三角形判定1判断三角形全等时，一定要找准三边的对应关系，然后给出证明。 小结：本例题一方面考查了命题的书写与证明，另一方面通过本题的严格证明锻炼学生的逻辑思维能力，进一步规范了三角形全等证明题的书写。 知识点二：全等三角形判定2 AD CB AF CE DF BE =??=? ?=? 例2：已知：如图，是和的平分线，。 * 求证：（1）△OAB ≌△OCD ；（2）。 思路分析： 1）题意分析：本题主要考查全等三角形判定2中的对应关系。 2）解题思路：根据全等三角形判定2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。在证明三角形全等之前，要先证明两边及夹角分别对应相等。 解答过程：证明：（1）∵OP 是和的平分线， ∴∠AOP ＝∠COP ，∠BOP ＝∠DOP ∴∠AOP －∠BOP ＝∠COP －∠DOP < ∴∠AOB ＝∠COD 在△OAB 和△OCD 中， ∵ ∴△OAB ≌△OCD （SAS ） （2）由（1）知△OAB ≌△OCD ∴AB ＝CD 解题后的思考：在判断三角形全等时，一定要根据全等三角形判定2，找准对应边和对应角。 . 例3：已知：如图，AB ∥CD ，AB ＝CD ，求证：AD ∥BC ，AD ＝BC 思路分析： 1）题意分析：本题主要考查全等三角形判定2的应用。 2）解题思路：根据全等三角形判定2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。在证明三角形全等之前，要先将用于证明三角形全等的条件准备好。即如何由已知条件证明出两边和一角相等，以及如何用上AB ∥CD 这个条件。 解答过程： 连接BD ∵ AB ∥CD 、 OP AOC ∠BOD ∠OA OC OB OD ==，AB CD =AOC ∠BOD ∠OA OC AOB COD OB OD =?? ∠=∠??= ? 全等三角形证明经典题 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 2. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB = 3. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 4. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C 5. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB = A D B C C D B B A C D F 2 1 E A 6. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 7. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 8. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C 一：如果abc=1,求证 11++a ab +11++b bc +11 ++c ac =1 二：已知a 1+b 1= )(29b a +，则a b +b a 等于多少？ B B A C D F 2 1 E C D B A 9. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证： AE=AD+BE 13. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 14.已知：AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC ，求证：∠F=∠C 14. 已知：AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C 15. P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB 全等三角形证明经典题(含答案) 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，111749AD 是整数，求AD 解：延长AD 到E,使AD=DE ∵D 是BC 中点 ∴BD=DC 在△ACD 和△BDE 中 AD=DE ∠BDE=∠ADC BD=DC ∴△ACD ≌△BDE ∴AC=BE=2 ∵在△ABE 中 AB-BE ＜AE ＜ AB+BE ∵AB=4 即4-2＜2AD ＜4+2 1＜AD ＜3 ∴AD=2 2. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB 延长CD 与P ，使D 为CP 中点。连接AP,BP ∵DP=DC,DA=DB ∴ACBP 为平行四边形 又∠ACB=90 ∴平行四边形ACBP 为矩形 ∴AB=CP=1/2AB 3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 证明：连接BF 和EF ∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF ∴ 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边) ∴ BF=EF,∠ CBF=∠DEF 连接BE 在三角形BEF 中,BF=EF ∴ ∠EBF=∠BEF 。 ∵ ∠ABC=∠AED 。 ∴ ∠ABE=∠AEB 。 ∴ AB=AE 。在三角形ABF 和三角形AEF 中 AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ∴ 三角形ABF 和三角形AEF 全等。∴ A D B C ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。 4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 过C 作CG∥EF 交AD 的延长线于点G CG∥EF，可得，∠EFD＝CGD DE ＝DC ∠FDE＝∠GDC（对顶角）∴△EFD≌△CGD EF ＝CG ∠CGD＝∠EFD 又EF∥AB ∴∠EFD＝∠1 ∠1=∠2 ∴∠CGD＝∠2∴△AGC 为等腰三角形，AC ＝CG 又 EF ＝CG ∴EF ＝AC 5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠ C 证明：延长AB 取点E ，使AE ＝AC ，连接DE ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD ＝∠CAD ∵AE ＝AC ，AD ＝AD ∴△AED ≌△ACD （SAS ） ∴∠E ＝∠C ∵AC ＝AB+BD ∴AE ＝AB+BD ∵AE ＝AB+BE ∴BD ＝BE ∴∠BDE ＝∠E ∵∠ABC ＝∠E+∠BDE ∴∠ABC ＝2∠E ∴∠ABC ＝2∠C 6. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 证明： 在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF ∵CE ⊥AB ∴∠CEB ＝∠CEF ＝90° ∵EB ＝EF ，CE ＝CE ， ∴△CEB ≌△CEF ∴∠B ＝∠CFE ∵∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180° ∴∠D ＝∠CFA ∵AC 平分∠BAD ∴∠DAC ＝∠FAC ∵AC ＝AC ∴△ADC ≌△AFC （SAS ） ∴AD ＝AF ∴AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE 7. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证： BC=AB+DC 。 在BC 上截取BF=AB ，连接EF ∵BE 平分∠ABC ∴∠ABE=∠FBE 又∵BE=BE ∴⊿ABE ≌⊿FBE （SAS ） ∴∠A=∠BFE ∵AB//CD ∴∠A+∠D=180o∵∠BFE+∠CFE=180o ∴∠D=∠CFE 又∵∠DCE=∠FCE CE 平分∠BCD CE=CE ∴⊿DCE ≌⊿FCE （AAS ）∴CD=CF B A C D F 2 1 E A 全等三角形证明经典试题50道 1. （已知：如图，E,F 在AC 上，AD ∥CB 且AD =CB ，∠D ＝∠B . 求证：AE =CF . 【答案】∵AD ∥CB ∴∠A=∠C 又∵AD=CB ，∠D=∠B ∴△ADF ≌△CBE ∴AF=CE ∴AF+EF=CE+EF 即AE=CF 2. 已知：如图，∠ABC =∠DCB ，BD 、C A 分别是∠ABC 、∠DCB 的平分线．求证：AB =DC 证明：在△ABC 与△DCB 中 (ABC DCB ACB DBC BC BC ∠=∠?? ∠=∠??=? 已知）（公共边）（∵AC 平分∠BCD ，BD 平分∠ABC ） ∴△ABC ≌△DCB ∴AB =DC 3. 如图，点D ，E 分别在AC ，AB 上． (1) 已知，BD=CE，CD=BE，求证：AB=AC； (2) 分别将“BD=CE”记为①，“CD=BE”记为②，“AB=AC”记为③．添加条件①、③，以②为结论构成命题1，添加条件②、③以①为结论构成命题2．命题1是命题2的命题，命题2是命题．（选择“真”或“假”填入空格）． 【答案】 (1) 连结BC，∵ BD=CE，CD=BE，BC=CB． ∴△DBC≌△ECB （SSS） ∴∠DBC =∠ECB ∴ AB=AC (2) 逆，假； 4. 如图，在□ABCD中，分别延长BA，DC到点E，使得AE=AB，CH=CD，连接EH，分别交AD，BC于点F,G。求证：△AEF≌△CHG. 【答案】证明：∵□ABCD ∴ AB=CD,∠BAD=∠BCD AB∥CD ∴∠EAF=∠HCG ∠E=∠H ∵ AE=AB，CH=CD ∴ AE=CH 七年级数学下册《全等三角形》专题练习 1、 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 2、已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB = 3、已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，证21∠=∠ 4、已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC B A C D F 2 1 E A D B C 5、已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C 6、已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证： AE=AD+BE 7、已知：AB=6，AC=2，D 是BC 中线，求AD 的取值范围。 8. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 9、已知：AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC ，求证：∠F=∠C D C B A F E C D B A D B C A 10、已知：AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C 11、已知∠ABC=3∠C ，∠1=∠2，BE ⊥AE ，求证： AC-AB=2BE 12．如图，在△ABC 中，BD =DC ，∠1=∠2，求证：AD ⊥BC ． 13．如图，OM 平分∠POQ ，MA ⊥OP ,MB ⊥OQ ，A 、B 为垂足，AB 交OM 于点N ． 求证：∠OAB =∠OBA 14．如图，已知AD ∥BC ，∠P AB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ． 15．如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且∠C =2∠B,求证:AB=AC+CD P E D C B A D C B A 初二数学全等三角形证明经典例题 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 第1题图 第2题图 第3题图 2、已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 3、已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 第4题图 第5题图 第6题图 4、已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C 5、已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 6、已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 7、已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C 第7题图 第8题图 第9题图 8、 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 9、已知：AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C 第10题图 第11题图 第12题图 10、P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB 12、已知，E 是AB 中点，AF=BD ，BD=5，AC=7，求DC 第13题图 第14题图 第15题图 第16题图 13、如图，在△ABC 中，BD =DC ，∠1=∠2，求证：AD ⊥BC ． 14、．如图，OM 平分∠POQ ，MA ⊥OP ,MB ⊥OQ ，A 、B 为垂足，AB 交OM 于点N ． 求证：∠OAB =∠OBA 15、如图，已知AD ∥BC ，∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ． 16．已知：如图，DC ∥AB ，且DC =AE ，E 为AB 的中点， （1）求证：△AED ≌△EBC ． （2）在不添辅助线的情况下，除△EBC 外，请再写出两个与△AED 的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）： 17．如图，△ABC 中，∠BAC =90度，AB =AC ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F ． 求证：BD =2CE ． 第17题图 第18题图 第19题图 第20题图 18、如图：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。求证：△AED ≌△BFC 。 19、如图：AE 、BC 交于点M ，F 点在AM 上，BE ∥CF ，BE=CF 。求证：AM 是△ABC 的中线。 20、如图：在△ABC 中，BA=BC ，D 是AC 的中点。求证：BD ⊥AC 。 21、AB=AC ，DB=DC ，F 是AD 的延长线上的一点。求证：BF=CF 第21题图 第22题图 第23题图 第24题图 第25题图 22、如图：AB=CD ，AE=DF ，CE=FB 。求证：AF=DE 。 23、.公园里有一条“Z ”字形道路ABCD ，如图所示，其中AB ∥CD ，在AB ，CD ，BC 三段路旁各有一只小石凳E ，F ，M ，且BE ＝CF ，M 在BC 的中点，试说明三只石凳E ，F ，M 恰好在一条直线上. 24．已知：点A 、F 、E 、C 在同一条直线上， AF ＝CE ，BE ∥DF ，BE ＝DF ．求证：△ABE ≌△CDF ． 25.已知：如图所示，AB ＝AD ，BC ＝DC ，E 、F 分别是DC 、BC 的中点，求证： AE ＝AF 。 F E D C B A M F E C B A D C B A F D C B A F E D C B A D C A F E P E D C B A O E D C B A F E D C B A 【第1部分 全等基础知识归纳、小结】 1、全等三角形的定义： 能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。两个全等三角形中，互 相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。 概念深入理解： （1）形状一样，大小也一样的两个三角形称为全等三角形。（外观长的像） （2）经过平移、旋转、翻折之后能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。（位置变化） 2、全等三角形的表示方法：若△ABC 和△A′B′C′是全等的，记作“△ABC ≌△A′B′C′”其中，“≌”读作“全等于”。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 3、全等三角形的性质： 全等是工具、手段，最终是为了得到边等或角等，从而解决某些问题。 （1）全等三角形的对应角相等、对应边相等。 （2）全等三角形的对应边上的高，中线，角平分线对应相等。 （3）全等三角形周长，面积相等。 4、寻找对应元素的方法 （1）根据对应顶点找 如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。 （2）根据已知的对应元素寻找 全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； 图 3 图 1 图2 （3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。 通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的；运动一般有3种：平移、对称、旋转； 5、全等三角形的判定：（深入理解） ①边边边（SSS）②边角边（SAS）③角边角（ASA）④角角边（AAS） ⑤斜边，直角边（HL） 注意：（容易出错） （1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等（边定全等）； （2）不能证明两个三角形全等的是，㈠三个角对应相等，即AAA；㈡有两边和其中一角对应相等，即SSA。 全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。在平面几何知识应用中，若证明线段相等或角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知识。 6、常见辅助线写法：（照着辅助线说明要能做出图、养成严谨、严密的习惯） 如：⑴过点A作BC的平行线AF交DE于F ⑵过点A作BC的垂线，垂足为D ⑶延长AB至C，使BC＝AC ⑷在AB上截取AC，使AC＝DE ⑸作∠ABC的平分线，交AC于D ⑹取AB中点C，连接CD交EF于G点 同一条辅助线，可以说法不一样，那么得到的条件、证明的方法也不同。中学全等三角形经典证明题汇总
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