随机过程题库
随机过程综合练习题
一、填空题(每空3 分)
第一章
1．X1,X2, X n是独立同分布的随机变量，X i 的特征函数为g(t)，则
X1 X2 X n 的特征函数是。
2．E E(X Y) 。
3．X 的特征函数为g(t)，Y aX b，则Y的特征函数为。
4．条件期望E(X Y)是的函数，(是or不是)随机变量。
5．X1,X2, X n是独立同分布的随机变量，X i 的特征函数为g i(t)，则
X1 X 2 X n 的特征函数是。
6．n 维正态分布中各分量的相互独立性和不相关性。
第二章
7．宽平稳过程是指协方差函数只与有关。
8．在独立重复试验中，若每次试验时事件 A 发生的概率为p(0 p 1)，以X(n)记进行到n次试验为止 A 发生的次数，则｛X(n),n 0,1,2, ｝是过程。9．正交增量过程满足的条件是。10．正交增量过程的协方差函数C X (s,t) 。
第三章
11．｛X(t), t ≥0｝为具有参数0 的齐次泊松过程，其均值函数为；
方差函数为。
12．设到达某路口的绿、黑、灰色的汽车的到达率分别为1， 2 ，3且均为泊松过程，它
们相互独立，若把这些汽车合并成单个输出过程(假定无长度、无延时)，相邻绿色汽车之间的不同到达时间间隔的概率密度是，汽车之间的不同到达时刻间隔的概率密度是。
13．｛X(t), t ≥0｝为具有参数0的齐次泊松过程，
( t)n e n! 14．n15．240000 16．复合；17．
71 4
e
P X(t s) X(s) n
14．设{X(t), t ≥0} 是具有参数0的泊松过程，泊松过程第n 次到达时间W n的数学期望
15．在保险的索赔模型中，设索赔要求以平均 2 次/月的速率的泊松过程到达保险公司．若每次赔付金额是均值为10000 元的正态分布，求一年中保险公司的平均赔付金额。16．到达某汽车总站的客车数是一泊松过程，每辆客车内乘客数是一随机变量．设各客车内乘客数独立同分布，且各辆车乘客数与车辆数N(t) 相互独立，则在[0 ，t]内到达汽车总站的乘客总数是(复合or 非齐次)泊松过程．
17．设顾客以每分钟 2 人的速率到达，顾客流为泊松流，求在2min 内到达的顾客不超过 3 人的概率是．
第四章
18．无限制随机游动各状态的周期是。
19．非周期正常返状态称为。
20．设有独立重复试验序列{X n,n 1}。以X n 1记第n次试验时事件A发生，且n
Y n X k,n 1，则{Y n,n 1}是链。
k1
答案
一、填空题
n
4．Y;是5．g i(t) ；6．等价
i1
7．时间差；8．独立增量过程；
9．E X(t2) X(t1) X(t4)X(t3)02
10．X2(min{ s,t})
11．t; t ；12．f (t)1e 1
t
t0
f (t)
( 1 2
3)e(1 2 3)t t 0 0t00 t 0
n 0,1,
P{X n 1} p ，以X n 0 记第n 次试验时事件 A 不发生，且P{ X n 0} 1p ，若有
n
1．g n(t)；
2．EX ；3．e ibt g(at)
13．
3
18．2；19．遍历状态；20．齐次马尔科夫链；
二、
判断题
（
每题2 分）
第
一
章
1．g i(t) (i
n
1,2, n）是特征函数，g i （t ）不是特征函数。（
i1
）
2．n 维正态分布中各分量的相互独立性和不相关性等价。（）
3．任意随机变量均存在特征函数。（）
n
4．g i（t）（i 1,2, n）是特征函数，g i （t ）是特征函数。（）
i1
5．设X1,X 2,X 3,X 4 是零均值的四维高斯分布随机变量，则有
E（X1X2X3X4） E（X1X2）E（X3X4）+E（X1X3）E（X2X4）+E（X1X4）E（X2X3）（
）第二章
6．严平稳过程二阶矩不一定存在，因而不一定是宽平稳过程。（）
7．独立增量过程是马尔科夫过程。（）
8．维纳过程是平稳独立增量过程。（）
第三章
9．非齐次泊松过程是平稳独立增量过程。（）
第四章
10．有限状态空间不可约马氏链的状态均常返。（）
11．有限齐次马尔科夫链的所有非常返状态集不可能是闭集。（）
12．有限马尔科夫链，若有状态k 使lim p i（k n）0 ，则状态k 即为正常返的。（）
n
13．设i S ，若存在正整数n，使得p i（i n）0, p i（i n 1）0,则i非周期。（）
14．有限状态空间马氏链必存在常返状态。（）
15．i 是正常返周期的充要条件是lim p i（i n ）不存在。（）
n
16．平稳分布唯一存在的充要条件是：只有一个基本正常返闭集。（）
17．有限状态空间马氏链不一定存在常返状态。（）
18．i 是正常返周期的充要条件是lim p i（i n ）存在。（）
n
19．若i j，则有d i d j （
15．√
20．不可约马氏链或者全为常返态，或者全为非常返态．
答案
、判断题
出现正面和反面的概率相等，求 X (t )的一维分布函数 F(x,1/2)和F(x,1)， X(t)的二维 分布函数 F(x 1,x 2;1/ 2,1)。
3．( 10分)—(易)设有随机过程 X(t) A Bt,t 0，其中 A 与B 是相互独立的随机 变量，均服从标
准正态分布，求 X(t) 的一维和二维分布。
第二章
4．( 10分)—(易)设随机过程 X(t)=Vt+b ，t ∈(0,+ ∞), b 为常数， V 服从正态分布 N(0， 1)的
随机变量，求 X(t) 的均值函数和相关函数。
5．( 10分)—(易)已知随机过程 X(t)的均值函数 m x (t)和协方差函数 B x (t 1, t 2)，g(t)为普通 函
数，令 Y(t)= X(t)+ g(t) ，求随机过程 Y(t)的均值函数和协方差函数。
6．(10 分)—(中)设 {X(t),t T }是实正交增量过程， T [0, ), X(0) 0, 是一服 从标准正态分布的随
机变量，若对任一 t 0,X(t)都与 相互独立，求
Y(t) X(t) , t [0, )的协方差函数。
7．( 10分)—(中)设 {Z(t) X Yt, t } ，若已知二维随机变量 (X,Y)的协
2
方差矩阵为 1 2 ，求 Z(t) 的协方差函数。
2
1．× 2．√ 3．√ 4．√ 5．√
6．√ 7．√ 8．√
9．×
10．√ 11．√ 12 ．√ 13．√ 14
． √ 16．√
17．×
18．×
19．√
20
．
√ 三、 大题
第一章
1．(10 分) —(易)设
X ~ B(n,p)，求 X 的特征函数，并利用其求
EX 。
2．(10 分) —(中)利用重复抛掷硬币的试验定义一个随机过程，
8．(10 分)—(难)设有随机过程{X(t), t T}和常数a ，试以X (t )的相关函数表示随
15．√
机过程Y（t） X（t a） X（t）,t T 的相关函数。
第三章
9．（10 分）—（易）某商店每日8 时开始营业，从8 时到11 时平均顾客到达率线性增加．在8 时顾客平均到达率为 5 人/时，11 时到达率达到最高峰20 人/时，从11 时到13 时，平均顾客到达率维持不变，为20 人/时，从13时到17时，顾客到达率线性下降，到17 时顾客到达率为12 人/时。假定在不相重叠的时间间隔内到达商店的顾客数是相互独立的，问在
8：30—9：30 间无顾客到达商店的概率是多少在这段时间内到达商店的顾客数学期望是多少? 10．（15 分）—（难）设到达某商店的顾客组成强度为的泊松过程，每个顾客购买商品的
概率为p ，且与其它顾客是否购买商品无关，求（0，t）内无人购买商品的概率。
11．（15分）—（难）设X1（t）和X2 （t）是分别具有参数1和2的相互独立的泊松过程，证明：Y（t）是具有参数 1 2的泊松过程。
12．（10分）—（中）设移民到某地区定居的户数是一泊松过程，平均每周有 2 户定居．即
2 。如果每户的人口数是随机变量，一户四人的概率为1/6，一户三人的概率为1/3，一
户两人的概率为1/3，一户一人的概率为1/6 ，并且每户的人口数是相互独立的，求在五周内移民到该地区人口的数学期望与方差。
k
13．（10分）—（难）在时间t内向电话总机呼叫k 次的概率为p t（k） e ,k 0,1,2, ，
k!
其中0 为常数．如果任意两相邻的时间间隔内的呼叫次数是相互独立的，求在时间2t 内呼叫n 次的概率P2t （n）
14．（10 分）—（易）设顾客到某商场的过程是泊松过程，巳知平均每小时有30 人到达，
求下列事件的概率：两个顾客相继到达的时间间隔超过 2 min
15．（15 分）—（中）设进入中国上空流星的个数是一泊松过程，平均每年为10000个．每个流星能以陨石落于地面的概率为0.0001，求一个月内落于中国地面陨石数W 的EW、varW 和P{W ≥2} ．
16．（10 分）—（易）通过某十字路口的车流是一泊松过程．设1min 内没有车辆通过的概
率为0.2，求2min 内有多于一辆车通过的概率。
17．（10 分）—（易）设顾客到某商场的过程是泊松过程，巳知平均每小时有30 人到达，
求下列事件的概率：两个顾客相继到达的时间间隔短于 4 min
18．（15 分）—（中）某刊物邮购部的顾客数是平均速率为 6 的泊松过程，订阅1年、2 年
或3年的概率分别为1／2、l／3和1／6，且相互独立．设订一年时，可得1元手续费；订两年时，可得 2 元手续费；订三年时，可得 3 元手续费. 以X（t）记在[0，t]内得到的总手续费，求EX（t）与var X（t）
19．（10分）—（易）设顾客到达商场的速率为2个／min，求（1）在 5 min 内到达顾客数
的平均值；（2）在5min 内到达顾客数的方差；（3）在5min 内至少有一个顾客到达的概率．
20．（10 分）—（中）设某设备的使用期限为10年，在前5年内平均 2.5 年需要维修一次，
后 5 年平均 2 年需维修一次，求在使用期限内只维修过 1 次的概率．
21．（15 分）—（难）设X（t）和Y（t）（t ≥0）是强度分别为X 和Y 的泊松过程，证明：在
X（t）的任意两个相邻事件之间的时间间隔内，Y（t）恰好有k 个事件发生的概率为
k
XY
X Y。
p
X Y X Y
第四章
22．（10 分）—（中）已知随机游动的转移概率矩阵为求三步转移概率矩阵P（3）及当初始分布为时，经三步转移后处于状态 3 的概率。
23．（15 分）—（难）将 2 个红球 4 个白球任意地分别放入甲、乙两个盒子中，每个盒子放3 个，现从每个盒子中各任取一球，交换后放回盒中（甲盒内取出的球放入乙盒中，乙盒内取出的球放入甲盒中），以X（n）表示经过n 次交换后甲盒中红球数，则{X（n），n≥0}为齐次马尔可夫链，求（1）一步转移概率矩阵；（ 2 ）证明：{X（n），n≥0}是遍历链；（3）求lim P ij（n）, j 0,1,2 。
n
24．（10 分）—（中）已知本月销售状态的初始分布和转移概率矩阵如下：求下一、二个月的销售状态分布。
25．（15 分）—（难）设马尔可夫链的状态空间I ＝{1 ，2，?，7} ，转移概率矩阵为
求状态的分类及各常返闭集的平稳分布。
26．（15分）—（难）设河流每天的BOD（生物耗氧量）浓度为齐次马尔可夫链，状态空间
I={1 ，2，3，4} 是按BOD 浓度为极低，低、中、高分别表示的，其一步转移概率矩阵（以一
天为单
位）为
若BOD 浓度为高，则称河流处于污染状态。（1）证明该链是遍历链；（2）求该链的平稳分
布；
（3）河流再次达到污染的平均时间 4 。
27．（10 分）—（易）设马尔可夫链的状态空间I＝{0，1，2，3} ，转移概率矩阵为
求状态空间的分解。
28．（15 分）—（难）设马尔可夫链的状态空间为I＝{1 ，2，3，4}．转移概率矩阵为