第03次课J-分离变量法在一维非稳态导热问题中的应用

非稳态导热㈠

分离变量法在一维非稳态导热问题中的应用

一、无限大平壁一维非稳态导热（参考文献[1]PP45-50）

大平壁在等温介质中的冷却：常物性、无内热源、第三类边界条件（见图1）。

图1

令：

f

t

t-

=

θ，导热微分方程为：0

,

2

2

φ

π

πτ

δ

θ

τ

θ

x

x

a

?

?

=

?

?

初始条件为：

()x f

x=

≤

≤

=θ

δ

τ,

0,0；边界条件：

δ

δ

θ

θ

λ

τ

δ

θ

τ

=

=

=

=

?

?

-

=

=

?

?

=

x

x

x

h

x

x

x

x

|

,0

,

|

,0

,0

φ

φ

假设解的形式为()()()τ

τ

θΓ

?

=x

X

x,

则两个常微分方程：

方程(3—2—3)的解是

由下表知，特征方程（3-2-4）的为()()x

A

x

X

m

m

m

ε

cos

=，

特征值为方程()λ

δ

ε

ε

h

m

m

=

tan的正根，范数()

()

()

[]λ

λ

ε

δ

λ

ε

εh

h

h

N

m

m

m

+

+

+

=

2

2

2

2

2

1

则根据

()[]

()

m

L

m N

dx

x

f

A

β

??

=0

特征函数

，得待定常数为：

，其中，εδ

β=

二、半无限大物体一维非稳态导热（参考文献[2]PP40-45）

常物性、无内热源、第二、三类边界条件

典型问题：一半无限大物体，∞≤≤x 0，初始温度为F (x)，当时间τ＞0时，x ＝0的边界上以对流方式向温度为零度的介质传输热量，如图2所示。

该问题的数学描述为：

三、多维的齐次问题（参考文献[2]PP49-57）

典型问题：矩形截面的柱体，为二维非稳态导热，材料为常物性，物体内没有内热源，边界条件如图3所示。

τ??=??+??t

a y

t x t 1222

2， 0

,00,

0,0042=+??====+??==??=t H y

t

b y t y t H x

t

a x x t x 时，时，时，时， ，

()y x F t ,0==时，τ 图3矩形截面柱体的二维非稳态导热

令()()()()τθΓ=y Y x X y x t ,,，分离方程如下：

,0,

0022=+====+''X H dx

dX a x A dx

dX x X X ）

（β， 0,0,00

42=+====+''Y H dy dY b x B Y y Y Y ）（γ， ()()()C e τ

γβατ22+-=Γ

上述问题的完全解为：()()()(

)τ

γβαγβτ2

2,,,,11

n m e y Y x X C y x t n m m mn n +-∞=∞

=∑∑

=

求解待定系数C mn 后，得：

()()()()()()()()()y d x d y x F y Y x X e y Y x X N N y x t a b

n m n m m n n

m n m ''''''=??∑∑+-∞=∞

=0011,,,,,1,,22γβγβγβττγβα 上式中出现的本征函数、本征值及范数可从表1-2中直接查得，即：

()()x x X m m ββcos ,=，

()(

)

2

22

22222

1H H a H N m

m m +++=βββ，且m β为方程()2tan H a m m =ββ的正根：

()()y y X n n γγsin ,=，

()

()

n

n

n

n n n H H b H N +++=222

22

1

γγγ，且n γ为方程()4cot H b n n -=γγ的正根：

()(

)

()()()()()()()y d x d y x F y x y x H

H

b H H H

a H e y x t a x b

y n m n m n

n

n

n n m

m m n n m '

'''''??

++++++=?

?

∑∑

='='+-∞

=∞

=00

2

2222

22

222211

,sin cos sin cos 4,,2

2γβγβγ

γββττ

γβα

四、某些非齐次或非线性问题的处理思路

1、线性、齐次多维非稳态热传导问题（参考文献[2]PP57-61）

对线性、齐次多维非稳态热传导问题，可以象一维问题那样，用分离变量法求解，其结果必定是二重或三重级数，不便于计算和应用。在一定条件下，规则物体中齐次多维非稳态热传导问题的解可以简单地

用相应一维问题解的乘积来表示，此即纽曼(Neumann )乘积定理。应用该定理的条件是：

(1)热传导问题必须是齐次的，

(2)物体的初始温度均勾或者可以分解成相应单个空间变量函数的乘积。

2、变导热系数的二维稳态导热（参考文献[2]PP473-476）

如果导热系数随温度的变化不可忽略，就成为一个变导热系数的导热问题。变导热系数时的导热微分方程是非线性的。

可以用基尔霍夫变换可把非线性的导热微分方程变为线性的微分方程。设导热系数λ＝λ(t)，导热

微分方程为：0=???

?

??????+??? ??????y t y t x t x t λλ。作基尔霍夫变换()()''0dt t t T t ?=λ，则dt dT λ=。所以，上式变成02

222=??+??y

T x T 。 在对微分方程作基尔霍夫变换的同时，边界条件也应作相应的变换。因此只有在第一类或第二类边界条件时，通过基尔霍夫变换，边界条件才能变成线性边界条件，所以基尔霍夫变换才有效。

对于新的变量T ，可以用分离变量法求解，在T 求得后，再求出温度t 的值。

3、含内热源的二维稳态导热（非齐次项与时间无关）（参考文献[3]PP72-75）

含内热源的导热问题，导热微分方程中出现源项，因而变为非齐次的偏微分方程。当导热微分方程和边界条件中的非齐次项均与时间无关时，则可将这类非齐次问题的解分解为与时间无关的稳态导热问题之解与齐次非稳态导热问题之解的和。

02222=+??+??k

q y t x t v

设温度场的解由两部分组成，即()()()y x v y x u y x t ,,,+=。其中，v(x ，y)是微分方程的任一特解，亦即v(x ，y)只满足微分方程，而不满足原导热问题的边界条件。而u(x ，y)满足原微分方程对应的齐次微

分方程，即：02222=??+??y

u

x u 。而且()()y x v y x u ,,+满足原导热问题的边界条件，由此推导出()y x u ,的

边界条件。由此可见，含内热源的导热问题的求解，首先求非齐次方程的任一待解，然后求相应的齐次方程的解()y x u ,，()y x u ,的求解方法与无内热源导热问题的方法相同。

4、非齐次项与时间有关（参考文献[2]PP228-223、参考文献[3]PP75-76）

再世际应用中，还会遇到热传导问题的非齐次项与时间有关的情形，例在实际应用中，还会遇到热传

导问题的非齐次项与时间有关的情形，例如物体被加热或冷却，其边界温度(在第一类边界条件下)或环境温度(第三类边界条件下)按一定规律随时间而变化。对于这种情形，可以在同一热传导问题但非齐次项与时间无关时的解的基础上，利用杜哈美尔(Duhamel )定理进行求解。

5、当边界条件不满足SL 问题的要求（教材PP30-31）

问题：如下数学描述令：f t t -=θ，导热微分方程为：0,022φππτδθτθx x

a ??=??

初始条件为：0,0,0θθδτ=≤≤=x ；边界条件：

δ

δθθ

δ

τδθθτ==-=??===x x Bi x

x x |,0,,0,00

φφ

令∞+=θθθ1，其中∞θ是∞→τ时平壁内的温度分布（直线分布），即：

??? ??

+-=??

???

?

??????+-=∞δθλδθθx Bi Bi h x 1110

0 关于1θ的数学描述如下：导热微分方程为：0,021

21φππτδθτθx x

a ??=??

初始条件为：δ

θδτx

Bi Bi x +=≤≤=1,0,01；边界条件：δ

δθθ

δτδθτ==-=??===x x Bi x

x x 11|,0,0,0,0φφ

五、周期性非稳态导热的分离变量解（教材PP33-37） 问题1：半无限大物体第一类边界条件下的周期性非稳态导热

令m t t -=θ，导热微分方程为：22x

a ??=??θ

τθ，初始条件为：,0=τ壁面温度已知（A w ），壁内温度待求；边界条件：0

,2cos ,0,0=∞→?

??

??==θτπθτx T A x w φ

()???

? ??-=-

x aT T e

A x x

aT

w πτπτθπ

2cos , τ

τθλ

,,w w x

q ??-=??? ??+=42cos 2πτπ

πλT

aT A w

问题2：半无限大物体第三类边界条件下的周期性非稳态导热

令fm t t -=θ，导热微分方程为：22x

a ??=??θ

τθ，初始条件为：,0=τ壁面温度已知（A w ），壁内温度待求；边界条件：()0

,2cos ,|,00=∞→?

??

??=-=??==θτπθθθθλ

x T A h x x f f f x

()???

? ??--=-

?πτπτθπ

x aT T e

cA x x

aT

f 2cos ,，22)1(1B B c ++=，B arct

g +=11?，

其中aT

h

B π

λ

=

六、分离变量法总结

1、通过教材CHP2共计9个问题的求解过程，掌握各种情况下分离变量法的数学基础及分析步骤，在求解过程中尤其注意充分利用特征函数、特征值、模数表（如教材P25表2-1、参考文献[2]P37表2-

2、P43表2-

3、P97表3-1、P102表3-2、P103表3-3）。

2、特征值表达式的6种形式（参考文献[3]PP24-26）。

(1)两个齐次边界均是第一类边界条件，此时，特征值由下式求得：

()0sin 1=L m β，m m m L ξπβ==1，Λ,3,2,1=m ，1

L m m πβ=。

(2)两个齐次边界条件均是第二类边界条件(绝热边界)，此时，特征值由下式求得：

()0sin 1=L m β，()m m m L ξπβ=-=11，Λ,3,2,1=m ，()1

1L m m π

β-=。

与(1)比，0=m β也是一个重要的特征值，不能遗忘。这是因为，此处的特征函数为()0cos =x m β时，常数l 也是特征函数。

(3)两个齐次边界条件中，一个是第一类边界条件，另一个是第二类边界条件，此时，特征值的表达式为：()0cos 1=L m β，()m m m L ξπ

β=-=

2

121，Λ,3,2,1=m 。

(4)两个齐次边界条件中，一个是第一类边界条件，另一个是第三类边界条件。这里假设x ＝0处为第一类边界条件。在此条件下，特征值的表达式为：

()2cot Bi m m -=ξξ，()πξπm m m ππ212-，Λ,3,2,1=m 。

(5)两个齐次边界条件中，一个是第二类边界条件，另一个是第三类边界条件，这里假设x ＝0处为第二类边界条件。

此时，特征值的表达式为：()2

cot Bi m

m ξξ=

，()()21212π

ξπ--m m m π

π，Λ,3,2,1=m 。

(6)两个边界都是齐次第三类边界条件，此时，特征值由下式决定：()()

212

12cot Bi Bi Bi Bi +?-=ξξξ

特征值不仅与Bi 2有关，而且与Bi l 有关，当Bi 1＝Bi 2＝Bi ，即两个边界处的对流换热系数相同时，上

式变为：()Bi

Bi ξξξ2cot 2

2-=，特征解为：

()πξπm m m

ππ1-，Λ,3,2,1=m ，其中()πξξ=--∞

→1lim m m m

3、分离变量法的应用条件。

分离变量法可直接求解仅含有一个非齐次边界条件的Laplace 及付立叶方程，或者偏微分方程存在特征函数。若不满足该条件，应通过各种变换来达到该条件后，再利用分离变量法求解。

分离变量法在许多情况下是其他分析解法的基础。

参考文献：

[1]贾力等．高等传热学[M]．北京：高等教育出版社．2003

[2]M. N.奥齐西克著．俞昌铭主译．热传导[M]．北京：高等教育出版社，1983

[3]杨强生等．高等传热学[M]．上海：上海交通大学出版社，2001