复变函数留数复习题

5.1指出下列函数的奇点及其类型，若是极点，指出它的级：

（1）3211z z z --+；（2）()

23211z z +；（3）1z z

e -；（4）21n

n z z +；（5）()ln +1z z ； （6）3sin z z ；（7）()

21

1

z z e -；（8）2

sin z e z z 。 解：（1）

()()

232

11

111z z z z z =--+-+，奇点：1（二级极点），-1（一级极点）； （2）奇点：0（三级极点），i ±（二级极点）； （3）()()11110111n

z z

z

n

n e

e e

e z ∞---=-==-∑，1z =为本性奇点；

（4）令10n

z +=，得：()()210,1,2k i

n

k z e

k π+==±± ，

因为()

10k

n z z z ='+≠，所以()21k i

n

e

π+是一级极点；

（5）()

0ln +1lim 1z z z

→=，0z =是可去奇点；

（6）30sin lim

z z z →=∞，且0z =是sin z 的一级极点，是3

z 的三级极点，所以0z =是3

sin z z

的二级极点；

（7）0z =是()

21z

z e -的三级零点，所以是

()

21

1z

z e -的三级极点， ()21,2z k i

k π==±± 均为一级极点；

（8）235

22sin 1123!5!z e z z z z z z z z ????=+++-+- ???????

！ 0z =是一级极点。

5.4求下列函数在各有限奇点处的留数：

（1）241z e z -；；（3）()

3211z +；（5）2

1sin z z ； 解：（1）223

44114822!3!z e z z z z z ??-=---- ???

()1

4

Re ,03

s f z c -==-????； （3）z i =±是三级极点，

()()()333221113Re ,lim 2!1611z i i s i z i z z →'''

????-????=-=????++????， ()()()333221113Re ,lim 2!1611z i i s i z i z z →-'''????????-=+=

????++???

?； （5）()()2

2

21

11sin 21!n

n n z z z n z ∞

+=-=+∑， 2111Re sin ,06s z c z -?

?==-???

?；

5.6计算下列函数在z =∞的留数：

（1）2

1

z e ；（2）cos sin z z -；（3）223z z +；（4）21

z

e

z -

解：（1）()2

1

2421111

102!z n e z z z n z

=+

+?+++<<∞ ！

展开式中不含正幂项，所以z =∞是2

1

z e 的可去奇点，且10c -=，

所以21Re ,0z s e ??

∞=????

；

（2）()234

cos sin 12!3!4!

z z z z z z z -=--

++-<∞

z =∞是cos sin z z -的本性奇点，[]Re cos sin ,0s z z -∞=；

（3）()2

20222123

1331n

n n n z z z z z z

∞==?=-++∑

)

242391z z z z ??=-+-<<∞ ???

z =∞是

223z z +的可去奇点，22Re ,23z s z ??

∞=-??+??

； （4）()232

222421*********!3!1z z e e z z z z z z z z

z z

????

=?=+++++++<<∞ ? ?-????-

展开式中含无穷多正幂项，所以z =∞是21

z

e z -的本性奇点，

()()

2110111sin 113!5!21!n n

n i i c i n i +∞-==+++=-=

+∑ ， 所以12sin Re ,=sin 1z e i

s c i i z i -??∞=--=??-??

。

5.7证明：若0z 是的()f z 的m 级零点，则0z 是()()

()

f z

g z f z '=的一级极点。

证明：0z 是()f z 的()1m m >级零点，可设()()()0m

f z z z z ?=-，

其中()z ?在0z 点解析，且()00z ?'≠，

()()

()()()1

00m m

f z m z z z z z z ??-''=-+-，

()()()()()()()()()

1

000m m

m

f z m z z z z z z

g z f z z z z ???-''-+-==- ()()()

()()

00m z z z z z z z ???'+-=

-

函数()()()0m z z z z ??'+-????，()()0z z z ?-在0z 点均解析，

()()()()0

000z z m z z z z m z ???='+-=≠????

，且0z 是()()0z z z ?-的一级零点，

所以0z 是()()

()

f z

g z f z '=

的一级极点。 5.9利用留数定理计算下列积分：

（1）22

41,:21C dz C x y x z +=+? ；（2）()()2232,:419C z dz C z z z +=-+? ；

（3）

sin 3

,:2

C z dz C z z =? ；（4）tan ,:3C zdz C z π=? 。 解：（1）被积函数有4

i e π

和74

i e

π两个极点在圆内，

744

4

441112Re ,Re ,111i i C dz i s e s e z z z ππ

π??????=+?? ? ?+++????????

? 74

43

3

1

1244i

i z e z e i z

z π

ππ==??=+

????

2

i =-

（2）被积函数有3个一级极点，1,3z z i ==±，均在圆内，

()()()()()()()()22222222323232322Re ,1Re ,3Re ,319191919C z z z z dz i s s i s i z z z z z z z z π????????++++?? ? ? ?=++- ? ? ?-+-+-+-+??

???????

??

()()()()222213232322lim lim lim 91313z x i x i z z z i z z z i z z i π→→→-??

+++=++??+-+--??

1281281262186186i i i i i i ππ-+??=++=??---+??

（3）()sin z f z z =

，()0lim 1z f z →=，所以0z =是sin z z

的可去奇点，则 sin Re ,00z s z ??

=????

，

sin 0C z dz z =?

（4）被积函数有12±，32±和5

2

±6个极点在圆内，

sin 1sin 1sin 5tan 2Re ,Re ,Re ,cos 2cos 2cos 2C

z z z zdz i s s s z z z ππππππππ??

??????=-+++ ? ? ??????????

?? 6212i i πππ??

=?-=- ???

5.10计算下列积分： （1）

()()

13

3

224,:351C

z dz C z z z =++? ；（2）()()

51

3

,:2

11C

dz C z z z =

--?

； （3）

22,1,:121

C

i dz a C z z az >=+-?

；（4）1

321z z z e dz z =+? 。 解：（1）有限极点均在3z =内，

()()

()13

32

224112Re ,2Re ,051C z dz i s f z i s f z z z z ππ??

??=-∞=??? ?????????++?

()()32

241

2Re ,011i s z z z π??

??=??++?? 2i π=

（2）有限极点均在3

2

z =

内， ()()()251

112Re ,2Re ,011C dz i s f z i s f z z z z ππ?

?

??=-∞=??? ?????--???

?

? ()()4

5

2Re ,0011z i s z z π????==--????

（3）1z =

内只有一个一级极点：a -

22222Re ,2121C i i dz i s a z az z az π?=-+?+-+-??

2222z a i

i

z a

π→-=+

=

（4）()11321111z

z z f z e z e z z

=

=++ 2232

11111112!z z z z z z ????

=-+-++++ ??????? ()22115

12!324z z z z

=+

-++<<∞

所以()1

Re ,3

s f z ∞=-????， 132213

z

z z e dz i z π==-+? 5.11计算下列积分： （1）

()20

0cos d b a a b π

θθ

<<+?

；（2）()2200sin d a a πθ

θ>+?；

（3）2422

109x x dx x x ∞

-∞-+++?；（4）2

4011

x dx x +∞++?；

（5）

()220

sin 0,0x ax

dx a b x b +∞

>>+?

；（8）()22

220sin 0x b ax dx a x b x

+∞->+? 解：（1）被积函数的分母cos a b θ+在()0,2π内不为0，所以积分有意义。

2220

111121cos 22z z d dz

dz z a b iz i bz az b a b z

π

θ

θ====+++++?

??

212bz az b ++

的两个极点中只有z =在圆内，

所以

220

212Re cos 2d i s a b i bz az b π

θπθ?=??+++????

?

1

422z bz a

π=?

+

=

（2）220021cos 2sin 2

d d a a π

πθθ

θθ

=-++

?? 设2αθ=，22

2200sin 21cos d d a a ππθα

θ

α=++-?? 1211

11212C dz iz a z z ==??+-+ ?

??

?

()221

2

2211

C dz a z z ==+++?

=

（3）令()2422

109

x x R z x x -+=++，()R z 在实轴上无奇点，

在上半平面有两个一级极点，

()(){}

2422

2Re ,3Re ,109x x dx i s R z i s R z i x x π∞

-∞-+=+?

???????++?

()()2242423222lim 3lim 109109z i z i z z z z i z i z i z z z z π→→??

-+-+=-+-??++++?

? 5

12

π=

（4）

22440

111

121

x x dx dx x x +∞

+∞-∞++=++?

?， 令()2411

z R z z +=+，4

1z +在实轴上恒不为0，在上半平面有2个一级极点：4i e π，34i e π

，

()()3244

40

1Re ,Re ,1i i x dx i s R z e s R z e x ππ

π+∞

??????+??=+??????+????????

?

3223944

1144i i i i e e i e e ππ

πππ??++ ?=+= ? ???

（5）令()22

z

R z x b =

+，在上半平面有1个一级极点，

2222

2Re ,iax iaz ab

xe ze dx i s bi ie x b x b ππ+∞

--∞

??==??++??

?

所以

22220

11Im 22

iax

ab x xe dx dx e x b x b π+∞

+∞--∞??==??++???

?