八年级上册数学 压轴题 期末复习试卷专题练习(word版

八年级上册数学 压轴题 期末复习试卷专题练习（word 版

一、压轴题

1．如图，直线l 1：y 1=﹣x +2与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点P （m ，3）为直线l 1上一点，另一直线l 2：y 2=

1

2

x +b 过点P ． （1）求点P 坐标和b 的值；

（2）若点C 是直线l 2与x 轴的交点，动点Q 从点C 开始以每秒1个单位的速度向x 轴正方向移动．设点Q 的运动时间为t 秒．

①请写出当点Q 在运动过程中，△APQ 的面积S 与t 的函数关系式； ②求出t 为多少时，△APQ 的面积小于3；

③是否存在t 的值，使△APQ 为等腰三角形？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．

2．如图，已知四边形ABCO 是矩形，点A ，C 分别在y 轴，x 轴上，4AB =，

3BC =．

（1）求直线AC 的解析式；

（2）作直线AC 关于x 轴的对称直线，交y 轴于点D ，求直线CD 的解析式．并结合（1）的结论猜想并直接写出直线y kx b =+关于x 轴的对称直线的解析式；

（3）若点P 是直线CD 上的一个动点，试探究点P 在运动过程中，||PA PB -是否存在最大值？若不存在，请说明理由；若存在，请求出||PA PB -的最大值及此时点P 的坐标．

3．问题背景：（1）如图1，已知△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E ．求证：DE ＝BD ＋CE ．

拓展延伸：（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC 中，AB ＝AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ．请写出DE 、BD 、CE 三条线段的数量关系．（不需要证明）

实际应用：（3）如图，在△ACB 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，点C 的坐标为(－2，0)，点A 的坐标为(－6，3)，请直接写出B 点的坐标．

4．如图①，在ABC ?中，12AB =cm ，20BC =cm ，过点C 作射线//CD AB ．点M 从点B 出发，以3 cm/s 的速度沿BC 匀速移动；点N 从点C 出发，以a cm/s 的速度沿

CD 匀速移动．点M 、N 同时出发，当点M 到达点C 时，点M 、N 同时停止移动．连接AM 、MN ，设移动时间为t (s)．

(1)点M 、N 从移动开始到停止，所用时间为 s ； (2)当ABM ?与MCN ?全等时，

①若点M 、N 的移动速度相同，求t 的值； ②若点M 、N 的移动速度不同，求a 的值；

(3)如图②，当点M 、N 开始移动时，点P 同时从点A 出发，以2 cm/s 的速度沿AB 向点B 匀速移动，到达点B 后立刻以原速度沿BA 返回．当点M 到达点C 时，点M 、N 、P 同时停止移动．在移动的过程中，是否存在PBM ?与MCN ?全等的情形?若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．

5．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 的坐标(3,2)-，过A 点作AB x

⊥

轴，垂足为点B ，过点(2,0)C 作直线l x ⊥轴，点P 从点B 出发在x 轴上沿着轴的正方向运动．

（1）当点P 运动到点O 处，过点P 作AP 的垂线交直线l 于点D ，证明AP DP =，并求此时点D 的坐标；

（2）点Q 是直线l 上的动点，问是否存在点P ，使得以P C Q 、、为顶点的三角形和

ABP ?全等，若存在求点P 的坐标以及此时对应的点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．

6．学习了三角形全等的判定方法（即“SAS ”、“ASA ”、“AAS ”、“SSS ”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL ”）后，我们继续对“两个三角形满足两边的其中一边的对角对应相等”的情形进行研究． （初步思考）

我们不妨将问题用符号语言表示为：在△DEF 中，AC ＝DF ，BC ＝EF ，∠B ＝∠E ，然后，对∠B 进行分类，可分为“∠B 是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究． （深入探究）

第一种情况：当∠B 是直角时，△ABC ≌△DEF ．

（1）如图①，在△ABC 和△DEF 中，AC ＝DF ，BC ＝EF ，∠B ＝∠E ＝90°，根据______，可以知道Rt △ABC ≌Rt △DEF ．

第二种情况：当∠B 是钝角时，△ABC ≌△DEF ．

（2）如图②，在△ABC 和△DEF 中，AC ＝DF ，BC ＝EF ，∠B ＝∠E ，且∠B 、∠E 都是钝角．求证：△ABC ≌△DEF ．

第三种情况：当∠B 是锐角时，△ABC 和△DEF 不一定全等．

（3）在△ABC 和△DEF 中，AC ＝DF ，BC ＝EF ，∠B ＝∠E ，且∠B 、∠E 都是锐角．请你用直尺在图③中作出△DEF ，使△DEF 和△ABC 不全等，并作简要说明．

7．ABC 是等边三角形，作直线AP ，点C 关于直线AP 的对称点为D ，连接AD ，直线BD 交直线AP 于点E ，连接CE ．

（1）如图①，求证：CE AE BE +=；（提示：在BE 上截取BF DE =，连接AF ．）

（2）如图②、图③，请直接写出线段CE ，AE ，BE 之间的数量关系，不需要证明； （3）在（1）、（2）的条件下，若26BD AE ==，则CE =__________． 8．（阅读材科）小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，

如果具有公共的项角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小明发现若∠BAC =∠DAE ，AB =AC ，AD =AE ，则△ABD ≌△ACE ． （材料理解）（1）在图1中证明小明的发现．

（深入探究）（2）如图2，△ABC 和△AED 是等边三角形，连接BD ，EC 交于点O ，连接AO ，下列结论：①BD =EC ；②∠BOC =60°；③∠AOE =60°；④EO =CO ，其中正确的有 ．(将所有正确的序号填在横线上)．

（延伸应用）（3）如图3，AB =BC ，∠ABC =∠BDC =60°，试探究∠A 与∠C 的数量关系．

9．如图，A ，B 是直线y =x +4与坐标轴的交点，直线y =-2x +b 过点B ，与x 轴交于点C ．

（1）求A ，B ，C 三点的坐标； （2）点D 是折线A —B —C 上一动点．

①当点D 是AB 的中点时，在x 轴上找一点E ，使ED +EB 的和最小，用直尺和圆规画出点E 的位置（保留作图痕迹，不要求写作法和证明），并求E 点的坐标．

②是否存在点D ，使△ACD 为直角三角形，若存在，直接写出D 点的坐标；若不存在，请说明理由

10．如图1，在等边△ABC 中，E 、D 两点分别在边AB 、BC 上，BE =CD ，AD 、CE 相交于点F ．

（1）求∠AFE 的度数；

（2）过点A 作AH ⊥CE 于H ，求证：2FH +FD =CE ；

（3）如图2，延长CE 至点P ，连接BP ，∠BPC =30°，且CF =

29CP ，求PF AF

的值． （提示：可以过点A 作∠KAF =60°，AK 交PC 于点K ，连接KB ）

11．在Rt ABC 中，ACB =∠90°，30A ∠=?，点D 是AB 的中点，连结CD ．

（1）如图①，BC 与BD 之间的数量关系是_________，请写出理由；

（2）如图②，若P 是线段CB 上一动点（点P 不与点B 、C 重合），连结DP ，将线段

DP 绕点D 逆时针旋转60°，得到线段DF ，连结BF ，请猜想BF ，BP ，BD 三者之间的数量关系，并证明你的结论；

（3）若点P 是线段CB 延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图③中补全图形，并直接写出BF ，BP ，BD 三者之间的数量关系． 12．在等腰Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°

（1）如图1，D ，E 是等腰Rt △ABC 斜边BC 上两动点，且∠DAE ＝45°，将△ABE 绕点A 逆时针旋转90后，得到△AFC ，连接DF ①求证：△AED ≌△AFD ；

②当BE ＝3，CE ＝7时，求DE 的长；

（2）如图2，点D 是等腰Rt △ABC 斜边BC 所在直线上的一动点，连接AD ，以点A 为直角顶点作等腰Rt △ADE ，当BD ＝3，BC ＝9时，求DE 的长．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、压轴题

1．（1）b=

72；（2）①△APQ 的面积S 与t 的函数关系式为S=﹣32t +272或S=32

t ﹣27

2

；②7＜t ＜9或9＜t ＜11，③存在，当t 的值为3或9+2或9﹣2或6时，△APQ 为等腰三角形． 【解析】

分析：（1）把P (m ,3)的坐标代入直线1l 的解析式即可求得P 的坐标，然后根据待定系数法即可求得b ；

（2）根据直线2l 的解析式得出C 的坐标，①根据题意得出9AQ t =-，然后根据

1

2

P S AQ y =

?即可求得APQ 的面积S 与t 的函数关系式；②通过解不等式273322t -<或327 3.22

t -<即可求得7

2

2

2(71)032103,t -++-=++-当AQ =PA 时,则

()()222(72)2103,t --=++-当PQ =AQ 时,则()2

22(71)03(72)t t -++-=--， 即可求得．

详解：解;(1)∵点P (m ,3)为直线l 1上一点， ∴3=?m +2，解得m =?1， ∴点P 的坐标为(?1,3)， 把点P 的坐标代入212y x b =+ 得,()1

312

b =?-+， 解得7

2b =； (2)∵72

b =

； ∴直线l 2的解析式为y =12x +72， ∴C 点的坐标为(?7,0)，

①由直线11:2l y x =-+可知A (2,0)， ∴当Q 在A . C 之间时，AQ =2+7?t =9?t ，

∴11273(9)32222S AQ yP t t =?=?-?=-； 当Q 在A 的右边时，AQ =t ?9，

∴11327(9)32222

S AQ yP t t ；=

?=?-?=- 即△APQ 的面积S 与t 的函数关系式为27322S t =-或327

.22

S t =- ②∵S <3，

∴273322t -<或327

3.22t -< 解得7

③存在； 设Q (t ?7,0)，

当PQ =PA 时,则()()()222

2(71)032103,t -++-=++-

∴22

(6)3t -=,解得t =3或t =9(舍去)，

当AQ =PA 时,则()()22

2(72)2103,t --=++-

∴2

(9)18,t -=解得9t =+9t =- 当PQ =AQ 时,则()2

22(71)03(72)t t -++-=--，

∴22

(6)9(9)t t -+=-，

解得t =6.

故当t 的值为3或9+9-6时，△APQ 为等腰三角形．

点睛：属于一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质以及三角形的面积,分类讨论是解题的关键.

2．（1）y =3

4-x +3；（2）y =34

x -3，y =-kx -b ；（3）存在，4，(8，3) 【解析】 【分析】

（1）利用4AB =，3BC =，找出A 、C 两点的坐标，设直线解析式，利用待定系数法求出AC 的解析式；

（2）由直线AC 关于x 轴的对称直线为CD 可知点D 的坐标，设直线解析式，利用待定系数法求出CD 的解析式，对比AC 的解析式进而写出直线y kx b =+关于x 轴的对称直线的解析式；

（3）先判断||PA PB -存在最大值，在P 、A 、B 三点不共线时，P 点在运动过程中，与A 、B 两点组成三角形，两边之差小于第三边，得出结论在P 、A 、B 三点共线时，此时

||PA PB -最大，y p = y A =3，求出P 点的纵坐标，最后根据点P 在直线CD 上，将P 点的纵

坐标代入直线方程可得横坐标，从而求出P 点坐标． 【详解】

解：（1）在矩形ABCD 中，OC =AB =4，OA =BC =3， 故A (0，3)，C (4，0)，

设直线AC 的解析式为：y =kx +b (k ≠0，k 、b 为常数)， 点A 、C 在直线AC 上，把A 、C 两点的坐标代入解析式可得：

340b k b =??

+=?解得：343

k b ?

=-

???=?， 所以直线AC 的解析式为：y =3

4

-

x +3． （2）由直线AC 关于x 轴的对称直线为CD 可知：点D 的坐标为：(0，-3)， 设直线CD 的解析式为：y =mx +n (m ≠0，m 、n 为常数)， 点C 、D 在直线CD 上，把C 、D 两点的坐标带入解析式可得：

-340n m n =??

+=?解得：343

m n ?

=

???=-?， 所以直线CD 的解析式为：y =

3

4

x -3， 故猜想直线y kx b =+关于x 轴的对称直线的解析式为：y =-kx -b ．

（3）

点P 在运动过程中，||PA PB -存在最大值， 由题意可知：如图，延长AB 与直线CD 交点即为点P ，

此时||PA PB -最大，其他位置均有||PA PB -＜AB （P 点在运动过程中，与A 、B 两点组成任意三角形，两边之差小于第三边）， 此时，||PA PB -= AB =4，y p = y A =3，

点P 在直线CD 上，将P 点的纵坐标代入直线方程可得：

3

4x -3=3， x =8，

故P 点坐标为(8，3)，

||PA PB -的最大值为x p -x B =8-4=4．

【点睛】

本题主要考查利用待定系数法求解一次函数解析式及类比推理能力，掌握任意三角形两边之差小于第三边是解题的关键．

3．（1）证明见解析；（2）DE ＝BD ＋CE ；（3）B(1，4) 【解析】 【分析】

（1）证明△ABD ≌△CAE ，根据全等三角形的性质得到AE=BD ，AD=CE ，结合图形解答即可；

（2）根据三角形内角和定理、平角的定义证明∠ABD=∠CAE ，证明△ABD ≌△CAE ，根据全等三角形的性质得到AE=BD ，AD=CE ，结合图形解答即可；

（3）根据△AEC ≌△CFB ，得到CF=AE=3，BF=CE=OE-OC=4，根据坐标与图形性质解答． 【详解】

（1）证明：∵BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ， ∴∠ADB ＝∠CEA ＝90° ∵∠BAC ＝90° ∴∠BAD ＋∠CAE ＝90° ∵∠BAD ＋∠ABD ＝90° ∴∠CAE ＝∠ABD ∵在△ADB 和△CEA 中

ABD CAE

ADB CEA

AB CA

∠=∠

?

?

∠=∠

?

?=

?

∴△ADB≌△CEA（AAS）

∴AE＝BD，AD＝CE

∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE

即：DE＝BD＋CE

（2）解：数量关系：DE＝BD＋CE

理由如下：在△ABD中，∠ABD=180°-∠ADB-∠BAD，

∵∠CAE=180°-∠BAC-∠BAD，∠BDA=∠AEC，

∴∠ABD=∠CAE，

在△ABD和△CAE中，

ABD CAE

BDA AEC

AB CA

∠∠

?

?

∠∠

?

?

?

＝

＝

＝

∴△ABD≌△CAE（AAS）

∴AE=BD，AD=CE，

∴DE=AD+AE=BD+CE；

（3）解：如图，作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，

由（1）可知，△AEC≌△CFB，

∴CF=AE=3，BF=CE=OE-OC=4，

∴OF=CF-OC=1，

∴点B的坐标为B（1，4）．

【点睛】

本题考查的是全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．

4．（1）

20

3

；（2）①t＝

8

3

；②a＝

18

5

；（3）t＝6.4或t＝

10

3

【解析】

【分析】

（1）根据时间＝路程÷速度即可求得答案；

（2）①由题意得：BM＝CN＝3t，则只可以是△CMN≌△BAM，AB＝CM，由此列出方程求

解即可；

②由题意得：CN≠BM，则只可以是△CMN≌△BMA，AB＝CN＝12，CM＝BM，进而可得3t＝10，求解即可；

（3）分情况讨论，当△CMN≌△BPM时，BP＝CM，若此时P由A向B运动，则12－2t＝20－3t，但t＝8不符合实际，舍去，若此时P由B向A运动，则2t－12＝20－3t，求得t

＝6.4；当△CMN≌△BMP时，则BP＝CN，CM＝BM，可得3t＝10，t＝10

3

，再将t＝

10

3

代入分别求得AP，BP的长及a的值验证即可．【详解】

解：（1）20÷3＝20

3

，

故答案为：20

3

；

（2）∵CD∥AB，

∴∠B＝∠DCB，

∵△CNM与△ABM全等，

∴△CMN≌△BAM或△CMN≌△BMA，①由题意得：BM＝CN＝3t，

∴△CMN≌△BAM

∴AB＝CM，

∴12＝20－3t，

解得：t＝8

3

；

②由题意得：CN≠BM，

∴△CMN≌△BMA，

∴AB＝CN＝12，CM＝BM，

∴CM＝BM＝1

2 BC，

∴3t＝10，

解得：t＝10 3

∵CN＝at，

∴10

3

a＝12

解得：a＝18

5

；

（3）存在∵CD∥AB，

∴∠B＝∠DCB，

∵△CNM与△PBM全等，

∴△CMN≌△BPM或△CMN≌△BMP，

当△CMN≌△BPM时，则BP＝CM，

若此时P由A向B运动，则BP＝12－2t，CM＝20－3t，∵BP＝CM，

∴12－2t＝20－3t，

解得：t＝8 (舍去)

若此时P由B向A运动，则BP＝2t－12，CM＝20－3t，∵BP＝CM，

∴2t－12＝20－3t，

解得：t＝6.4，

当△CMN≌△BMP时，则BP＝CN，CM＝BM，

∴CM＝BM＝1

2 BC

∴3t＝10，

解得：t＝10 3

当t＝10

3

时，点P的路程为AP＝2t＝

20

3

，

此时BP＝AB－AP＝12－20

3

＝

16

3

，

则CN＝BP＝16 3

即at＝16

3

，

∵t＝10

3

，

∴a＝1.6符合题意

综上所述，满足条件的t 的值有：t ＝6.4或t ＝

103

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定及性质的综合运用，解决本题的关键就是用方程思想及分类讨论思想解决问题，把实际问题转化为方程是常用的手段．

5．（1）证明见解析；(2,3)D ；（2）存在，(0,0)P ，(2,3)Q 或(0,0)P ，(2,3)Q -或

(4,0)P ，(2,7)Q 或(4,0)P ，(2,7)Q -或1(,0)2P -，(2,2)Q -或1

(,0)2

P -，

(2,2)Q -．

【解析】 【分析】

（1）通过全等三角形的判定定理ASA 证得△ABP ≌△PCD ，由全等三角形的对应边相等证得AP ＝DP ，DC ＝PB ＝3，易得点D 的坐标；

（2）设P （a ，0），Q （2，b ）．需要分类讨论：①AB ＝PC ，BP ＝CQ ；②AB ＝CQ ，BP ＝PC ．结合两点间的距离公式列出方程组，通过解方程组求得a 、b 的值，得解． 【详解】 （1）

AP PD ⊥

90APB DPC ∴∠+∠=

AB x ⊥轴

90A APB ∴∠+∠=

A DPC ∴∠=∠

在ABP ?和PCD ?中

A DPC A

B PC

ABP PCD ∠=∠??

=??∠=∠?

()ABP PCD ASA ∴???

AP DP ∴=，3DC PB == (2,3)D ∴

（2）设(,0)P a ，(2,)Q b ①AB PC =，BP CQ =

22

3a a b ?-=??

+=??

，解得03a b =??=±?或47a b =??=±? (0,0)P ∴，(2,3)Q 或(0,0)P ，(2,3)Q -或(4,0)P ，(2,7)Q 或(4,0)P ，(2,7)Q -

②AB CQ =，BP PC =，

322a a b +=-??

=?，解得122

a b ?

=?

??=±? 1(,0)2P ∴-，(2,2)Q -或1

(,0)2

P -，(2,2)Q -

综上：(0,0)P ，(2,3)Q 或(0,0)P ，(2,3)Q -或(4,0)P ，(2,7)Q 或(4,0)P ，(2,7)

Q -或1(,0)2P -

，(2,2)Q -或1

(,0)2P -，(2,2)Q - 【点睛】

考查了三角形综合题．涉及到了全等三角形的判定与性质，两点间的距离公式，一元一次绝对值方程组的解法等知识点．解答（2）题时，由于没有指明全等三角形的对应边（角），所以需要分类讨论，以防漏解．

6．（1）HL ；（2）见解析；（3）如图②，见解析；△DEF 就是所求作的三角形，△DEF 和△ABC 不全等． 【解析】 【分析】

（1）根据直角三角形全等的方法“HL ”证明；

（2）过点C 作CG ⊥AB 交AB 的延长线于G ，过点F 作FH ⊥DE 交DE 的延长线于H ，根据等角的补角相等求出∠CBG=∠FEH ，再利用“角角边”证明△CBG 和△FEH 全等，根据全等三角形对应边相等可得CG=FH ，再利用“HL ”证明Rt △ACG 和Rt △DFH 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠A=∠D ，然后利用“角角边”证明△ABC 和△DEF 全等； （3）以点C 为圆心，以AC 长为半径画弧，与AB 相交于点D ，E 与B 重合，F 与C 重合，得到△DEF 与△ABC 不全等；

（4）根据三种情况结论，∠B 不小于∠A 即可． 【详解】

（1）在直角三角形中一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等运用的是HL ．

（2）证明：如图①，分别过点C 、F 作对边AB 、DE 上的高CG 、FH ，其中G 、H 为垂足． ∵∠ABC 、∠DEF 都是钝角

∴G 、H 分别在AB 、DE 的延长线上． ∵CG ⊥AG ，FH ⊥DH ， ∴∠CGA ＝∠FHD ＝90°．

∵∠CBG ＝180°－∠ABC ，∠FEH ＝∠180°－∠DEF ，∠ABC ＝∠DEF ， ∴∠CBG ＝∠FEH ． 在△BCG 和△EFH 中，

∵∠CGB ＝∠FHE ，∠CBG ＝∠FEH ，BC ＝EF ， ∴△BCG ≌△EFH ． ∴CG ＝FH ．

又∵AC ＝DF ．∴Rt △ACG ≌△DFH ．

∴∠A＝∠D．

在△ABC和△DEF中，

∵∠ABC＝∠DEF，∠A＝∠D，AC＝DF，

∴△ABC≌△DEF．

（3）如图②，△DEF就是所求作的三角形，△DEF和△ABC不全等．

【点睛】

本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，应用与设计作图，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，阅读量较大，审题要认真仔细．

7．（1）见解析；（2）图②中，CE+BE=AE，图③中，AE+BE=CE；（3）1.5或4.5

【解析】

【分析】

=，连接AF，只要证明△AED≌△AFB，进而证出△AFE为等（1）在BE上截取BF DE

边三角形，得出CE+AE= BF+FE，即可解决问题；

（2）图②中，CE+BE=AE，延长EB到F，使BF=CE，连接AF，只要证明△ACE≌△AFB，进而证出△AFE为等边三角形，得出CE+BE= BF+BE，即可解决问题；图③中，AE+BE=CE，在EC上截取CF=BE，连接AF，只要证明△AEB≌△AFC，进而证出△AFE为等边三角形，得出AE+BE =CF+EF，即可解决问题；

（3）根据线段CE，AE，BE，BD之间的数量关系分别列式计算即可解决问题．

【详解】

=，连接AF，

（1）证明：在BE上截取BF DE

在等边△ABC中，

AC=AB，∠BAC=60°

由对称可知：AP是CD的垂直平分线，AC=AD，∠EAC=∠EAD，设∠EAC=∠DAE=x．

∵AD=AC=AB，

∴∠D=∠ABD=1

2

（180°-∠BAC-2x）=60°-x，

∴∠AEB=60-x+x=60°．

∵AC=AB，AC=AD，

∴AB=AD，

∴∠ABF=∠ADE，

∵BF DE

，

∴△ABF≌△ADE，

∴AF=AE，BF=DE，

∴△AFE为等边三角形，

∴EF=AE，

∵AP是CD的垂直平分线，

∴CE=DE，

∴CE=DE=BF，

∴CE+AE= BF+FE =BE；

（2）图②中，CE+BE=AE，延长EB到F，使BF=CE，连接AF

在等边△ABC中，

AC=AB，∠BAC=60°

由对称可知：AP是CD的垂直平分线，AC=AD，∠EAC=∠EAD，∴AB =AD，CE=DE，

∵AE =AE

∴△ACE≌△ADE，

∴∠ACE=∠ADE

∵AB =AD，

∴∠ABD=∠ADB

∴∠ABF=∠ADE=∠ACE

∵AB=AC，BF=CE，

∴△ACE≌△ABF，

∴AE=AF，∠BAF=∠CAE

∵∠BAC=∠BAE+∠CAE =60°

∴∠EAF=∠BAE+∠BAF =60°

∴△AFE为等边三角形，

∴EF=AE，

∴AE=BE+BF= BE+CE，即CE+BE=AE；

图③中，AE+BE=CE，在EC上截取CF=BE，连接AF，

在等边△ABC中，

AC=AB，∠BAC=60°

由对称可知：AP是CD的垂直平分线，AC=AD，∠EAC=∠EAD，∴AB =AD，CE=DE，

∵AE =AE

∴△ACE≌△ADE，

∴∠ACE=∠ADE

∵AB =AD，

∴∠ABD=∠ADB

∴∠ABD=∠ADE=∠ACE

∵AB=AC，BE=CF，

∴△ACF≌△ABE，

∴AE=AF，∠BAE=∠CAF

∵∠BAC=∠BAF+∠CAF =60°

∴∠EAF=∠BAF+∠BAE =60°

∴△AFE为等边三角形，

∴EF=AE，

∴CE =EF+CF= AE + BE ，即AE+BE=CE ；

（3）在（1）的条件下，若26BD AE ==，则AE=3，

∵CE+AE=BE ， ∴BE-CE=3，

∵BD=BE+ED=BE+CE=6， ∴CE=1.5；

在（2）的条件下，若26BD AE ==，则AE=3，因为图②中，CE+BE=AE ，而BD=BE-DE=BE-CE ，所以BD 不可能等于2AE ；

图③中，若26BD AE ==，则AE=3，

∵AE+BE=CE ， ∴CE-BE=3，

∵BD=BE+ED=BE+CE=6， ∴CE=4.5．

即CE=1.5或4.5．

【点睛】

本题考查几何变换，等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 8．（1）证明见解析；（2）①②③；（3）∠A +∠C =180°． 【解析】 【分析】

（1）利用等式的性质得出∠BAD=∠CAE ，即可得出结论；

（2）同（1）的方法判断出△ABD ≌△ACE ，得出BD=CE ，再利用对顶角和三角形的内角和定理判断出∠BOC=60°，再判断出△BCF ≌△ACO ，得出∠AOC=120°，进而得出∠AOE=60°，再判断出BF ＜CF ，进而判断出∠OBC ＞30°，即可得出结论；

（3）先判断出△BDP 是等边三角形，得出BD=BP ，∠DBP=60°，进而判断出△ABD ≌△CBP （SAS ），即可得出结论． 【详解】

（1）证明：∵∠BAC=∠DAE ， ∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD ， ∴∠BAD=∠CAE ， 在△ABD 和△ACE 中，

AB AC BAD CAE AD AE ??

∠∠???

＝＝＝ ， ∴△ABD ≌△ACE ；

（2）如图2，

∵△ABC 和△ADE 是等边三角形，

∴AB=AC ，AD=AE ，∠BAC=∠DAE=60°， ∴∠BAD=∠CAE ， 在△ABD 和△ACE 中，

AB AC BAD CAE AD AE ??

∠∠???

＝＝＝ ， ∴△ABD ≌△ACE ，

∴BD=CE ，①正确，∠ADB=∠AEC ， 记AD 与CE 的交点为G ， ∵∠AGE=∠DGO ，

∴180°-∠ADB-∠DGO=180°-∠AEC-∠AGE ， ∴∠DOE=∠DAE=60°， ∴∠BOC=60°，②正确， 在OB 上取一点F ，使OF=OC ， ∴△OCF 是等边三角形，

∴CF=OC ，∠OFC=∠OCF=60°=∠ACB ， ∴∠BCF=∠ACO ， ∵AB=AC ，

∴△BCF ≌△ACO （SAS ）， ∴∠AOC=∠BFC=180°-∠OFC=120°， ∴∠AOE=180°-∠AOC=60°，③正确， 连接AF ，要使OC=OE ，则有OC=1

2

CE ， ∵BD=CE ，

∴CF=OF=

1

2

BD ， ∴OF=BF+OD ， ∴BF ＜CF ，

∴∠OBC ＞∠BCF ， ∵∠OBC+∠BCF=∠OFC=60°，

∴∠OBC ＞30°，而没办法判断∠OBC 大于30度， 所以，④不一定正确， 即：正确的有①②③， 故答案为①②③； （3）如图3，