2012年理数高考试题答案及解析-北京

2012年普通高等学校招生全国统一考试

数学(理)(北京卷)

本试卷共5页. 150分.考试时长120分钟.考试生务必将答案答在答题卡上.在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第一部分(选择题共40分)

一、选择题共8小题。每小题5分.共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合胜目要求的一项.

1．已知集合A={x ∈R|3x+2＞0} B={x ∈R|（x+1）(x-3)＞0} 则A ∩B= A （-∞，-1）B （-1，-

23） C （-2

,3）D (3,+∞) 【解析】和往年一样，依然的集合(交集)运算，本次考查的是一次和二次不等式的解法。因为3

}023|{-

>?>+∈=x x R x A ，利用二次不等式可得1|{-<=x x B 或}3>x 画出数轴易得：}3|{>=x x B A ．故选D ．【答案】D

2．设不等式组?

??≤≤≤≤20,

20y x ，表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标

原点的距离大于2的概率是（A ）

4π （B ）22π- （C ）6

π （D ）44π-

【解析】题目中?

??≤≤≤≤202

0y x 表示的区域如图正方形所示，而动点D

可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，因此

422241

222

ππ-=

??-?=P ，故选D 。【答案】D

3．设a ，b ∈R 。“a=0”是“复数a+bi 是纯虚数”的（） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

【解析】当0=a 时，如果0=b 同时等于零，此时0=+bi a 是实数，不是纯虚数，因此不是充分条件；而如果bi a +已经为纯虚数，由定义实部为零，虚部不为零可以得到0=a ，因此想必要条件，故选B 。【答案】B

4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（）

A. 2 B .4 C.8 D. 16

【解析】0=k ，11=?=k s ，21=?=k s ，22=?=k s ，8=s ，循环结束，输出的s 为8，故选C 。【答案】

5.如图. ∠ACB=90o，CD ⊥AB 于点D ，以BD 为直径的圆与BC 交于点E.则( ) A. CE ·CB=AD ·DB B. CE ·CB=AD ·AB C. AD ·AB=CD 2 D.CE ·EB=CD 2

【解析】在ACB ?中，∠ACB=90o，CD ⊥AB 于点D ，所以DB AD CD ?=2

,由切割线定理的CB CE CD ?=2

,所以CE ·CB=AD ·DB 。

【答案】A

6.从0，2中选一个数字.从1.3.5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为( )

A. 24

B. 18

C. 12

D. 6

【解析】由于题目要求的是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇；偶奇奇。如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析(3种选择)，之后十位(2种选择)，最后百位(2种选择)，共12种；如果是第二种情况偶奇奇，分析同理：个位(3种情况)，十位(2种情况)，百位(不能是0，一种情况)，共6种，因此总共12+6=18种情况。【答案】B

7.某三棱锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（）

A. 28+65

B. 30+65

C. 56+ 125

D. 60+125

【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，如图所示，图中蓝色数字所表示的为直接从题目所给三视图中读出的长度，黑色数字代表通过勾股定理的计算得到的边长。本题所求表面积应为三棱锥四个面的面积之和，利用垂直关系和三角形面积公式，可得：

10=底S ，10=后S ，10=右S ，56=左S ，因此该几何体表面积

5630+=+++=左右后底S S S S S ，故选B 。

【答案】B

8.某棵果树前n 前的总产量S 与n 之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高。m 值为（）

A.5

B.7

C.9

D.11

【解析】由图可知6,7,8,9这几年增长最快，超过平均值，所以应该加入，因此选C 。【答案】C

第二部分(非选择题共110分)

二.填空题共6小题。每小题5分。共30分.

9．直线t t y t x (12???--=+=为参数)与曲线ααα

(sin 3cos 3?

??==y x 为参数)的交点个数为______。

【解析】直线的普通方程01=-+y x ，圆的普通方程为92

=+y x ，可以直线圆相交，故有2个交点。

【答案】2

10．已知}{n a 等差数列n S 为其前n 项和。若2

a ，32a S =，则2a =_______。【解析】因为2

2111132132==?+=++?=+?=a d d a d a a a a a a S ，

所以112=+=d a a ，n n d n n na S n 4

41)1(21+=-+=。

【答案】12=a ，n n S n 4

412+=

11．在△ABC 中，若a =2，b+c=7，cosB=4

-，则b=_______。

【解析】在△ABC 中，利用余弦定理c

b c b c ac b c a B 4)

)((4412cos 222-++=-?-+=

c b c 4)(74-+=

，化简得：0478=+-b c ，与题目条件7=+c b 联立，可解得??

??===.

2,4,

3a b c 【答案】4

12．在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线=4x 的焦点F.且与该撇物线相交于A 、B 两点.其中点A 在x 轴上方。若直线l 的倾斜角为60o.则△OAF 的面积为【解析】由x y 42

=可求得焦点坐标F(1,0)，因为倾斜角为?60，所以直线的斜率为

360tan =?=k ，利用点斜式，直线方程为33-=x y ，将直线和曲线联立

???

??-??????=-=)332,3

1()

32,3(4332B A x

y x y ，因此33212121=??=??=?A

OAF y OF S ．【答案】3

13．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则CB DE ?的值为________，

DC DE ?的最大值为______。

【解析】根据平面向量的数量积公式=?=?DA DE CB DE θcos ||||DA DE ?，由图可知，

||cos ||DA DE =?θ，因此1||2==?DA CB DE ，

=?=?αcos ||||DC DE DC DE αcos ||?DE ，而α

cos ||?DE 就是向量DE 在DC 边上的射影，要想让DC DE ?最大，即让射影最大，此时E 点与B 点重合，射影为DC ，所以长度为1．【答案】1，1

14.已知)3)(2()(++-=m x m x m x f ，22)(-=x

x g ，若同时满足条件： ①R x ∈?，0)(

【解析】根据022)(<-=x

x g ，可解得1

0)(

能向下，故0

???->

?<--=<=4

21131221m m m x m x ，和大前提0

)0,1(-∈m 时，43-<--m ，解得，交集为空，舍。当1-=m 时，两个根同为42->-，

舍。当)1,4(--∈m 时，42-

三、解答题公6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15．（本小题共13分）已知函数x

x x x f sin 2sin )cos (sin )(-=

。

（1）求)(x f 的定义域及最小正周期；（2）求)(x f 的单调递减区间。

16．（本小题共14分）

如图1，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且

DE ∥BC ，DE=2，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C ⊥CD,如图2. (I)求证：A 1C ⊥平面BCDE ；

(II)若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 所成角的大小；

(III)线段BC 上是否存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直？说明理由

解：（1）

CD DE ⊥，1A E DE ⊥

∴DE ⊥平面1

ACD ，

又

1A C ?平面1

ACD ， ∴1A C ⊥DE

又1

AC CD ⊥， ∴1A C ⊥平面BCDE 。

（2）如图建系C xyz -，则()200D -，，，(0023A ，，，()030B ，

，，()220E -，， ∴(10323A B =-，，,()1210A E =--，，设平面1A BE 法向量为()n x y z =，，

则1100

A B n A E n ??=???=?? ∴323020y z x y ?-=??--=?? ∴3

z y y x ?=???

?=-?? ∴(123n =-，，又∵(103M -，， ∴(103CM =-，， ∴2

cos ||||14313222CM n CM n θ?=

===?++?+?，

∴CM 与平面1A BE 所成角的大小45?。

（3）设线段BC 上存在点P ，设P 点坐标为()00a ，，，则[]03a ∈，

则(1023A P a =-，，，()20DP a =，，

A 1 (0,0,23)D (-2,0,0)

E (-2,2,0)B (0,3,0)

C (0,0,0)

设平面1A DP 法向量为()1111n x y z =，，，

则1111020ay x ay ?-=??+=??

∴111112

z x ay

?=????=-??

∴(

)136n a =-，。

假设平面1A DP 与平面1A BE 垂直，

则10n n ?=，∴31230a a ++=，612a =-，2a =-，

∵03a <<，∴不存在线段BC 上存在点P ，使平面1A DP 与平面1A BE 垂直。 17．（本小题共13分）

近年来，某市为了促进生活垃圾的风分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应分垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：

（Ⅰ）试估计厨余垃圾投放正确的概率；（Ⅱ）试估计生活垃圾投放错误额概率；

（Ⅲ）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为c b a ,,其中a ＞0，c b a ++=600。当数据c b a ,,的方差2

s 最大时，写出c b a ,,的值（结论不要求证明），并求此时2

s 的值。（注：])()()[(1

222212

x x x x x x n

s n -++-+-=

，其中x 为数据n x x x ,,,21 的平均数）

解：（1）由题意可知：

4002

6003。

（2）由题意可知：

200+60+403

100010。

（3）由题意可知：22221

(120000)3

s a b c =++-，因此有当600a =，0b =，0c =时，有

280000s =．

18．（本小题共13分）

解：（1）由()1c ，为公共切点可得：

2()1(0)f x ax a =+>，则()2f x ax '=，12k a =， 3()g x x bx =+，则2()=3f x x b '+，23k b =+，

∴23a b =+?

又(1)1f a =+，(1)1g b =+，

∴11a b +=+，即a b =，代入①式可得：3

3a b =??

．（2）

24a b =，∴设322

()()()14

h x f x g x x ax a x

=+=+++

则221()324h x x ax a '=++，令()0h x '=，解得：12a x =-，26

x =-；

0a >，∴26

a a

-<-，

∴原函数在2a ??-∞- ???，单调递增，

在26a a ??-- ???，单调递减，在6a ??

-+∞ ???

，上单调递增 ①若12

--≤，即2a ≤时，最大值为2(1)4a h a =-；

②若126a a -<-<-，即26a <<时，最大值为12a h ??

-= ???

③若16a --

≥时，即6a ≥时，最大值为12a h ??

-= ???

．综上所述：

当(]02a ∈，时，最大值为2(1)4a h a =-；当()2,a ∈+∞时，最大值为12a h ??

-= ???

．

19．（本小题共14分）

解：（1）原曲线方程可化简得：22

18852

x y m m +=--

由题意可得：

88 52 8

?--

，解得：

（2）由已知直线代入椭圆方程化简得：22

(21)16240

k x kx

+++=，

=32(23)

?-，解得：2

由韦达定理得：

M N

x x

①，

M N

x x

，②

设(,4)

N N

N x k x+，(,4)

M M

M x kx+，(1)

G x，

MB方程为：

y x

=-，则

，，

∴

x k

，，()2

N N

AN x x k

，，

欲证A G N

，，三点共线，只需证AG，AN共线

即

(2)

N N

x k x

x k

+=-

成立，化简得：(3)6()

M N M N

k k x x x x

+=-+

将①②代入易知等式成立，则A G N

，，三点共线得证。

20．（本小题共13分）

解：（1）由题意可知()

1.2

r A=，()

1.2

r A=-，()

1.1

c A=，()

0.7

c A=，()

1.8

c A=-

∴()0.7

k A=

（2）先用反证法证明()1

k A≤：

若()1

k A>

则()1|||1|11c A a a =+=+>，∴0a > 同理可知0b >，∴0a b +> 由题目所有数和为0 即1a b c ++=- ∴11c a b =---<- 与题目条件矛盾 ∴()1k A ≤．

易知当0a b ==时，()1k A =存在 ∴()k A 的最大值为1 （3）()k A 的最大值为

2t t ++. 首先构造满足21

()2

t k A t +=+的,{}(1,2,1,2,...,21)i j A a i j t ===+：

1,11,21,1,11,21,211

...1, (2)

t t t t t a a a a a a t +++-========-+， 22,12,2

2,2,12,22,211

...,...1(2)

t t t t t t a a a a a a t t +++++========-+.

经计算知，A 中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且

1221

|()||()|2

t r A r A t +==

+， 2121121

|()||()|...|()|11(2)22t t t t t c A c A c A t t t t ++++====+>+>+++，

1221121

|()||()|...|()|122

t t t t t c A c A c A t t +++-+====+

++. 下面证明

2t t ++是最大值. 若不然，则存在一个数表(2,21)A S t ∈+，使得21

()2

t k A x t +=>

+. 由()k A 的定义知A 的每一列两个数之和的绝对值都不小于x ，而两个绝对值不超过1的数的和，其绝对值不超过2，故A 的每一列两个数之和的绝对值都在区间[,2]x 中. 由于

1x >，故A 的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于1x -.

设A 中有g 列的列和为正，有h 列的列和为负，由对称性不妨设g h <，则

,1g t h t ≤≥+. 另外，由对称性不妨设A 的第一行行和为正，第二行行和为负.

考虑A 的第一行，由前面结论知A 的第一行有不超过t 个正数和不少于1t +个负数，每个正数的绝对值不超过1（即每个正数均不超过1），每个负数的绝对值不小于1x -（即每个负数均不超过1x -）. 因此

()11|()|()1(1)(1)21(1)21(2)r A r A t t x t t x x t t x x =≤?++-=+-+=++-+<，

故A 的第一行行和的绝对值小于x ，与假设矛盾. 因此()k A 的最大值为2

2++t t 。

关于数学名言警句大全

1、数学家本质上是个着迷者，不迷就没有数学。——努瓦列斯

2、不管数学的任一分支是多么抽象，总有一天会应用在这实际世界上。——罗巴切夫斯基

3、宁可少些，但要好些。——高斯

4、在数学中最令我欣喜的，是那些能够被证明的东西。——罗素

5、获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切。——克莱因

6、给我最大快乐的，不是已懂得知识，而是不断的学习；不是已有的东西，而是不断的获取；不是已达到的高度，而是继续不断的攀登。——高斯

7、当数学家导出方程式和公式，如同看到雕像、美丽的风景，听到优美的曲调等等一样而得到充分的快乐。——柯普宁

8、没有哪门学科能比数学更为清晰地阐明自然界的和谐性。——卡罗斯 9、第一是数学，第二是数学，第三是数学。——伦琴 10、数学的本质在於它的自由。——康扥尔

11、在数学里，分辨何是重要，何事不重要，知所选择是很重要的。——广中平佑

12、新的数学方法和概念，常常比解决数学问题本身更重要。——华罗庚 13、宁可少些，但要好些，二分之一个证明等于0。——高斯 14、从最简单的做起。——波利亚

15、在数学中，我们发现真理的主要工具是归纳和模拟。——拉普拉斯 16、每一个目标，我都要它停留在我的眼前，从第一到曙光初现开始，一直

保留，慢慢展开，直到整个大地光明为止。——牛顿

17、下棋要找高手…。只有不怕在能者面前暴露自己的弱点，才能不断进步，自学，不怕起点低，就怕不到底。——华罗庚

18、我总是尽我的精力和才能来摆脱那种繁重而单调的计算。——纳皮尔

19、一个国家只有数学蓬勃的发展，才能展现它国立的强大。数学的发展和至善和国家繁荣昌盛密切相关。——拿破仑

20、每当我的头脑没有问题思考时，我就喜欢将已经知道的定理重新验证一番。()这样做并没有什么目的，只是让自己有个机会充分享受一下专心思考的愉快。——爱因斯坦

21、思维自疑问和惊奇开始。——亚里士多德

22、历史使人聪明，诗歌使人机智，数学使人精细。——培根

23、用一，从无，可生万物。——莱布尼兹

24、数学主要的目标是公众的利益和自然现象的解释。——傅立叶

25、如果我能够看的更远，那是因为我站在巨人的肩上。——牛顿

26、数学对观察自然做出重要的贡献，它解释了规律结构中简单的`原始元素，而天体就是用这些原始元素建立起来的。——开普勒

27、数学是最宝贵的研究精神之一。——华罗庚

28、现代高能物理到了量子物理以后，有很多根本无法做实验，在家用纸笔来算，这跟数学家想样的差不了多远，所以说数学在物理上有着不可思议的力量。——邱成桐

29、当我听别人讲解某些数学问题时，常觉得很难理解，甚至不可能理解。这时便想，是否可以将问题化简些呢﹖往往，在终于弄清楚之后，实际上，它只是一个更简单的问题。——希尔伯特

30、数缺形时少直观，形缺数时难入微，又说要打好数学基础有两个必经过程：先学习、接受“由薄到厚”；再消化、提炼“由厚到薄”。——华罗庚

31、学习数学要多做习题，边做边思索。先知其然，然后知其所以然。——苏步青

32、数学是规律和理论的裁判和主宰者。——本杰明

33、数学方法渗透并支配着一切自然科学的理论分支。它愈来愈成为衡量科

学成就的主要标志了。——冯纽曼

34、我的成功归功于精细的思考，只有不断地思考，才能到达发现的彼岸。

35、历史使人贤明，诗造成气质高雅的人，数学使人高尚，自然哲学使人深沉，道德使人稳重，而伦理学和修辞学则使人善于争论。——培根