解析不等式恒成立问题

纵观近年来各地高考数学试题，有关不等式恒成立问题屡见不鲜，这类问题既含参数又含变量，往往与函数、数列、方程、几何有机结合起来，具有形式灵活、思维性强、知识交汇点多等特点.考题通常有两种设计方式：一是证明某个不等式恒成立，二是已知某个不等式恒成立，求其中的参数的值或取值范围.解决这类问题的关键是转化，通过等价转化能使问题起到“柳暗花明”的功效.而等价转化过程往往渗透着换元、化归、数形结合、分类讨论、函数与方程等数学思想方法，其常用方法主要有：更换主元法、分离参数法、数形结合法、最值法等，笔者试图通过本文能对学生突破这一难点有所启迪.

一、更换主元法

在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题，同时注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更加明朗化，一般地，已知存在范围的量为变量，而待求范围的量为参数.

例1.设不等式221(1)x m x ->-对满足[]2,2m ∈-的一切实数m 恒成立，求x 的取值范围.

解：设2()(1)(21),f m x m x =---则不等式221(1)x m x ->-对满足[]2,2m ∈-的一切实数m 恒成立?()0f m <对[]2,2m ∈-恒成立.当

22m -≤≤时，()0f m <22(2)2(1)(21)0,(2)2(1)(21)0f x x f x x ?=---

x x x x ?--?

解得11221122

x x x ?+<

的取值范围是. 注：此类问题常因思维定势，学生易把它看成关于x 的不等式讨论，此种解法因计算繁琐易出错；若变换一个角度，以m 为变量，使2()(1)(21),f m x m x =---则问题转化为求一次函数（或常数函数）()f m 的值在[]2,2-内恒为负时，参数x 应满足的条件——“换位”思考优势明显.

二、分离参数法

当不等式中的参数（或关于参数的代数式）能够与其它变量完全分离出来，且分离后不等式另一边的函数（或代数式）的最值可求时，常用分离参数法.

例2.已知函数()ln()x f x e a =+（a 为常数）是实数集R 上的奇

函数，函数()cos g x x x λ=-在区间2,33ππ??????

上是减函数. （Ⅰ）求a 的值与λ的范围；

（Ⅱ）若对（Ⅰ）中的任意实数λ都有()1g x t λ≤-在2,33ππ??????

上恒成立，求实数t 的取值范围.

（Ⅲ）若0m >，试讨论关于x 的方程

2ln 2()x x ex m f x =-+的根的个数.