《定积分的简单应用》教学教案
1.7 定积分的简单应用
学习目标：
1.进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法；
2.让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理；
3.初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法，以及利用定积分求一些简单的旋转体的体积；
4.体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。 学习重点：几种曲边梯形面积的求法。 学习难点：定积分求体积以及在物理中应用。 学习过程： 一、问题情境
1、求曲边梯形的思想方法是什么？
2、定积分的几何意义是什么？
3、微积分基本定理是什么？ 二、数学应用
（一）利用定积分求平面图形的面积 例1、求曲线],[sin 320π∈=x x y 与直线,,3
20π==x x x 轴所围成的图形面积。 答案：22330
3sin cos |2
o
S xdx x ππ
=-=
?＝ 变式引申：
1、求直线32+=x y 与抛物线2x y =所围成的图形面积。
答案：3
3233323132
23
1=
-+=--?
|))x x x dx x x S （－＋（＝ 2、求由抛物线342-+-=x x y 及其在点M （0，－3） 和N （3，0）处的两条切线所围成的图形的面积。 略解：42+-=x y / ，切线方程分别为34-=x y 、
62+-=x y ，则所求图形的面积为
x
y
o
y=－x 2+4x-3
4
9
34623434223
3
2
32＝＝
dx x x x dx x x x S )]()[()]()[(-+--+-+
-+---?
?
3、求曲线x y 2log =与曲线)(log x y -=42以及x 轴所围成的图形面积。 略解：所求图形的面积为
dy dy y f y g S y ?
?
?-=
-1
1
224)()()(【＝
e e y y 210224224log |)log -=?-=（
4、在曲线)0(2≥=x x y 上的某点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成的面积为
12
1
.试求：切点A 的坐标以及切线方程. 略解：如图由题可设切点坐标为
),2
00x x （ 为2002x x x y -=，切线与x 轴的交点坐标为
),(02
0x
，则由题可知有121
12202
2
002
20
2
00=
=+-+=?
?
dx x x x x dx x S x x x )( 10=∴x ，所以切点坐标与切线方程分别为12),1,1(A -=x y
总结：1、定积分的几何意义是：a x x f y b a ==与直线上的曲线在区间)(],[、
x b x 以及=轴所围成的图形的面积的代数和，即轴下方轴上方－x x b
a
S S dx x f =?)(.因此求一些曲边
图形的面积要可以利用定积分的几何意义以及微积分基本定理，但要特别注意图
形面积与定积分不一定相等，如函数sin ,2y x x π=∈ ［0］的图像与x 轴围成的图
形的面积为4,而其定积分为0. 2、求曲边梯形面积的方法与步骤：
（1）画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；
（2）对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限； （3）确定被积函数；
（4）求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和。 3、几种常见的曲边梯形面积的计算方法： （1）x 型区域：
①由一条曲线）
其中0≥=)()((x f x f y 与直线)(,b a b x a x <==以及x 轴所围成的曲x
x
O y=x 2 A
B C
边梯形的面积：?b
a
dx x f S )(＝（如图（1））；
②由一条曲线）其中0≤=)()((x f x f y 与直线)(,b a b x a x <==以及x 轴所围成的曲边梯形的面积：??b
a
b
a
dx x f dx x f S )()(＝－＝（如图（2））；
③由两条曲线）其中，)()()(()(x g x f x g y x f y ≥==与直线)(,b a b x a x <==所围成的曲边梯形的面积：
b
dx x g x f S |)()(|－＝（如图（3））；
图（1） 图（2） 图（3） （2）y 型区域：
①由一条曲线）其中0≥=x x f y )((与直线)(,b a b y a y <==以及y 轴所围成的曲边梯形的面积,可由)(x f y =得)(y h x =，然后利用?b
a dy y h S )(＝求出（如图（4））；
②由一条曲线）其中0≤=x x f y )((与直线)(,b a b y a y <==以及y 轴所围成的曲边梯形的面积，可由)(x f y =先求出)(y h x =，然后利用??b
a
b
a
dy y h dy y h S )()(＝－＝求
出（如图（5））；
③由两条曲线)()(x g y x f y ==，与直线)(,b a b y a y <==所围成的曲边梯形的面积，可由)()(x g y x f y ==，先分别求出)(y h x 1=，)(y h x 2=，然后利用
?
b
a
dy y h y h S |)()(|21－＝求出（如图（6））；
图（4） 图（5） 图（6） （二）、定积分求旋转体体积
例2：求由曲线142==x x y ,所围成的图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积。 分析：（1）分割：将旋转体沿x 轴方向将区间[0,1]进行n 等分；（2）对区间??
?
?
??-n i n i ,1上的柱体以区间右端点对应的函数值的平方数2
??
?
???)(n i f 作为底面圆半径的平方，
以n
x 1
=
?作为圆柱的高，以此圆柱体积近似代替曲边圆柱的体积，即x n i f V i ?π?2
??
?
???=)(；（3）求和
2
11()n n
i i i
i V f x n π==??
?=?????∑∑；（4）逼近：当分割无限变细时，即x ?趋近于0时，根据定积分的定义其极限即为旋转体的体积
xdx V ?
1
4π＝。
略解：ππ241
=?dx x V ＝
（三）、定积分在物理中应用 1、求变速直线运动的路程
例3、A 、B 两站相距7.2km ，一辆电车从A 站B 开往站，电车开出ts 后到达途中C 点，这一段的速度为1.2t(m/s)，到C 点的速度为24m/s ，从C 点到B 点前的D 点以等速行驶，从D 点开始刹车，经ts 后，速度为（24-1.2t ）m/s ，在B 点恰好停车，试求
（1）A 、C 间的距离；（2）B 、D 间的距离；（3）电车从A 站到B 站所需的时间。
分析：作变速直线运动的物体所经过的路程s,等于其速度函数v=v(t)(v(t)≥0)在时
间区间[a,b]上的定积分,即?b
a
dt t v S )(＝
略解：（1）设A 到C 的时间为t 1则1.2t=24, t 1=20(s),
则AC ＝?==20
020
22406021)(|..m t tdt （2）设D 到B 的时间为t 21则24-1.2t 2=0, t 21=20(s),
则DB ＝?==20
020
022********)(|..m t dt t ）－（
（3）CD=7200-2?240=6720(m),则从C 到D 的时间为280(s),则所求时间为20+280+20=320（s ） 2、变力沿直线所作的功
问题：物体在变力F(x )的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x=a 点移动到x= b 点，则变力F(x) 所做的功为:?b
a dx x F W )(＝
例3：如果1N 能拉长弹簧1cm ，为了将弹簧拉长6cm ，需做功（ A ） A 、0.18J B 、0.26J C 、0.12J D 、0.28J
略解：设kx F =，则由题可得010.=k ，所以做功就是求定积分1800106
0..=?xdx 。
五：回顾与小结：
本节课主要学习了利用定积分求一些曲边图形的面积与体积，即定积分在几何中应用，以及定积分在物理学中的应用，要掌握几种常见图形面积的求法，并且要注意定积分的几何意义，不能等同于图形的面积，要注意微积分的基本思想的应用与理解。 六：教后反思
根据定积分的定义，定积分既有几何背景，又有物理背景，进而定积分与这些知识有着天然的联系。譬如：求几何图形的面积，求路程、平均速度、电荷量、电压、功、质量等。上述种种尽管形式相异，然而所采用的思想方法均是：化曲为直，以不变代变，逼近，从某个角度而言充分展现了数学思想方法的高度抽象性及应用的广泛性。 七：课外作业