常微分方程初步
第七章 常微分方程初步
第一节 常微分方程
引例1(曲线方程)：已知曲线上任意一点M（x,y）处切线的斜率等于该点横坐标4倍，且过（-1，3）点，求此曲线方程
解：设曲线方程为，则曲线上任意一点M（x,y）处切线的斜率为
根据题意有
这是一个含有一阶导数的模型
引例2(运动方程)：一质量为m的物体，从高空自由下落，设此物体的运动只受重力的影响。试确定该物体速度随时间的变化规律
解：物体开始下落点为坐标原点，y轴铅垂向下。设t时刻物体的位置为，根据题意，只受重力的影响，力的方向与y轴相同，则
即
这是一个含有一阶导数的模型
引例3（火车制动）：一火车在直线轨道上以的速度行驶，当制动时，火车获得负加速度为，求制动后要经过多少时间才能刹住火车？
解：设火车开始制动后内行驶了，由题意得到
这是一个含有二阶导数的模型
定义描述
从以上两个例子可以看到，在实际问题中，有时只能从含有未知导数的等式中求未知函数。如引例1中，方程是含有未知函数的导数。于是我们引进微分方程的定义：
含有未知函数的导数（或微分）的等式称为微分方程。未知函数是一元函数的微分方程为常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程为偏微分方程。
微分方程中，所含未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶。如引例1中，方程是一阶微分方程；引例2中，方程是二阶微分方程；引例3中，方程是二阶微分方程.
如果微分方程中未知函数及其各阶导数都是一次，且不含这些变量的交叉项如，称为线性微分方程。
任何满足微分方程的函数都称为微分方程的解。求微分方程的过程称为解微分方程。如果微分方程的解这中含有任意常数，且任意个不相关的常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解。
在通解中，利用附加条件确定任意常数的取值，得到的不含任意常数的解称为特解，这附加条件称为初始条件。
回应任务
引例1的求解
解（1）求通解
由题意得
（7.1.1）
对式（7.1.1）两边同时对积分，得
（7.1.2）
（2）求特解
将代入式（7.1.2），得
，即
故所求曲线为
引例2的求解
解：由题意得
（7.1.3）
对式（7.1.3）两边同时对求积分，
（7.1.4）
再对式（7.1.4）两边同时对求积分，得
引例3的求解
解：设火车开始制动后内行驶了，由题意得到
（7.1.5）
初始条件
对式（7.1.5）两端同时积分对积分，得速度方程
（7.1.6）
由初始条件得，
，即
因为火车刹住时速度为零，即
解出火车从制动到完全刹住的时间
式（7.1.6）两端再对积分，得
由初始条件，得
而上面已经得
故
新的案例分析
案例1（曲线运动）求一曲线方程，此曲线通过（1，3），并且它在任一点处切线的斜率等于该点横坐标倒数的2倍。
案例2（球体运动）在离地面高度为处，以初速垂直向上抛一小球，若不考虑空气阻力，求此球的运动规律。
案例3（运动问题）
第二节 分离变量法
引例1（人口问题）：两百多年前英国人口学家（Malthus，1766-1834）调查了英国人口统计资料，得出了人口增长率 r 不变的假设，记时刻t的人口为x（t），则人口增长速度与人口总量成正比，从而建立了Malthus人口模型
这是一个带有初始条件的一阶微分方程。
引例2（招生情况）：某校1995年招生人数为5000人，如果该校能保持每年3%的相对增长率，问到2010年的招生情况如何？
解：设第t年该校招生为y（t），t=0时代表1995年，从1995年起，y（t）相对增长率保持为3%，即
这是一个带有初始条件的一阶微分方程。
引例3（死亡时间鉴定问题）：设温度为的物体放置在温度为的空气中。实验表明，物体温度为时间的变化率与当时物体和空气的温度之差成正比，比例常数为
依赖于所给物质的性质。当一起谋杀案发生后，警察中午12：00到达现场。依据法医测得尸体温度为30℃，室温20℃。已知尸体从37℃经两小时后变为35℃，试推算下谋杀是什么时间发生的？
解：建立微分方程：
设从谋杀后计，时刻尸体温度为。由题物体冷却速度与温差成正
则
（常数，负号表示温度是减少的，即）
引例4（落体问题）：高空跳伞运动员的速度随时间的变化规律（设运动员所受空气的阻力与降落速度成正比）
解：建立微分方程
假设跳伞运动员开始降落的速度为零，设降落速度为，降落时，受重力与阻力有关，负号表示阻力与方向相反。则所受合力
由牛顿第二定律及加速度得
初始条件为
定义描述
形如
的微分方程，称为可分离变量的微分方程。
可分离变量微分方程的特点是：等式右边可以分解成两个函数之积，其中一个是只含有的函数，另一个是只含有的函数。
可分离变量的微分方程通过分离变量为
对上式两边积分得
上式左端对求积分，右端对求积分，即可得到方程的解。
把这种求解过程称为分离变量法，求解步骤：第一步，分离变量；第二步，两边分别积分。
回应任务
引例1求解
解：
（1）建立了Malthus人口模型
（7.2.1）
（2）求
通解：
式（7.2.1）分离变量得
（7.2.2）
式（7.2.2）两边同时积分，得
即通解为
（7.2.3）
（3）求特解
将代入式（7.2.3），即
故特解为
引例2求解
解：
（1）建立微分方程
（7.2.4）
（2）求通解
式（7.2.4）分离变量得
（7.2.5）
式（7.2.5）两边同时积分，得
即通解为
（7.2.6）
（3）求特解
将代入式（7.2.6），即
故特解为
将代入
引例3求解
解：
（1）建立微分方程
（7.2.7）
（2）求通解
对式（7.2.7）分离变量得
（7.2.8）
对式（7.2.8）两边积分得
得通解
（7.2.9）
（3）求特解
将初始条件代入（7.2.9），得
故特解为
（4）实际问题求解
根据已知条件代入
得
故时刻尸体温度为
题目已知法医检验当时温度，即，即
得
即经过了8小时24分，故谋杀发生在3点36分
引例4求解
解：
（1）建立微分方程
（7.2.10）
（2）求通解
对式（7.2.10）分离变量
（7.2.11）
对式（7.2.11）两边积分
即
（3）求特解
将初始条件代入通解得
故特解为
新的案例分析
案例1（曲线方程）设一曲线上任意一点切线垂直于该点与原点的连线，求此曲线方程。
案例2（冷却问题）将一个温度为80℃的物体放在20℃的恒温环境中冷却，已知物体冷却速度与温差成正比，求该物体温度变化规律。
案例3（混合问题）：容器内有清水100 ，今以3的速度从一管放进纯净水，以2的速度从另一管抽出盐水，设容器内盐水浓度始终是均匀的，求容器内含盐量随时间变化的规律。
案例4（时间推算）当一起谋杀案发生之后，警察上午10：00到达现场，法医测得测得尸体温度为30度，室温20度，已知尸体在最初2小时降低2度，谋杀是什么时间发生的？
案例5（衰变规律）求放射性元素质量衰变规律（已知衰变速度与它现存量成正比）
第三节 一阶线性微分方程的解法
引例1（利润函数）已知某产品利润L与广告支出x的函数关系为
当时，求该产品的利润函数。
解：题目已知
可以写成
引例2（混合问题）：容器内有盐水100 ，内含盐水10，今以3的速度从一管放入每升含盐的盐水，以2的速度从另一管抽出盐水，设容器内盐水浓度始终是均匀的，求容器内含盐量随时间变化的规律。
解：设时刻容器内含盐量，
盐流入容器的速度=
盐流出容器的速度=
容器中含盐量变化率=盐流入容器的速度-盐流出
容器的速度=
即
定义描述
一阶微分方程的标准形式如
（其中均为已知的连续函数）
当时，，称为一阶线性齐次微分方程。
当时，，称为一阶线性非齐次微分方程。
（一）一阶线性齐次微分方程的解法
对于
变形为
分离变量
两边积分
得
即
（7.3.1）
（二）一阶线性非齐次微分方程的解法
一阶线性非齐次微分方程可以用"常数变易法"求。将通解（7.3.1）的任意常数C换成函数，即令
两边求导
将代入，得
两边积分
将代入
得通解
（7.3.2）
回应任务
引例1的求解
解：（1）微分方程：
则得到
（2）求通解
由公式得
（3）求特解
将代入通解，得
故特解
引例2的求解
解：（1）建立微分方程
其中
（2）求通解
将代入（7.3.2）
（3）求特解
将得
得特解
案例1（曲线方程）：已知一曲线通过原点，并且它在任意点处切线的斜率等于，求此曲线方程。
案例2（落体问题）：在离地面高度为处，以初速垂直向上抛一物体，考虑空气阻力与速度成正比，求此曲线运动规律。
案例3（蒸发问题）：空气中雨点均匀蒸发，设蒸发速度为，空气阻力与雨速成正比，求雨点运动速度与时间关系（设雨点初始质量为，初始速度为零）
第四节 二阶常系数齐次线性微分方程的解法
引例：设一弹簧放于油中，运动满足以下微分方程
求此弹簧在任意时刻的位移
定义描述
案例：质量为的物体悬挂与弹簧下，空气阻力与速度成正比，如果其运动满足方程
求其运动规律
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