关于实际弹簧振子运动特性的研究
关于实际弹簧振子运动特性的研究
摘要：本文分析和研究了实际弹簧振子的运动特性，即在考虑弹簧振子自身的质量和在运动过程中遇到摩擦阻力等情况下，对其振动的性质、周期、振幅等特性的影响，并得出了定量的表达式，同时文中对弹簧振子运动时所具有的能量也作了比较全面的论述。这将为物理课程中该问题的教学提供了良好的参考作用。
关键词：弹簧；质量；摩擦力；系统能量等。
0 引言
在一般的物理书籍中，当述及到弹簧振子的特性时，为了讨论问题的方便，往往都是忽略了弹簧振子的质量和物体在运动时所受到的摩擦阻力的,但在实际问题中却往往不是这样，下面我们将对上述两个因素对弹簧振子运动特性的影响作系统的分析和研究，同时对平时较为少见的实际弹簧振子运动时所具有的能量问题也作了全面的论述。 1 实际弹簧振子的运动特性
在一般教学和研究中涉及弹簧振子时，通常都是指轻弹簧[1]，即在这种理想条件下抽象出弹性集中于弹簧，质量集中于振子，没有运动阻力的理想弹簧振子模型。分析它的动力学特点，易知弹簧振子系统在运动中只受到回复力F =－k x 的作用，简谐振动的固有周期公式T =2π
k
m
。如果弹簧振子受到的摩擦力或弹簧质量不能忽略，那么这两种因素对弹簧振子的振动[2]到底会有什么影响呢？下面我们分别加以讨论。 1.1摩擦力对弹簧振子振动的影响
为简化该问题的讨论，我们不考虑弹簧质量对系统振动的影响，即忽略弹簧质量。设弹簧的倔强系数为k ，振子与杆的滑动摩擦系数为μ，静摩擦系数为μ'，弹簧振子的质量为
m ，x 轴方向如图
弹簧振子在运动过程中所受摩擦力大小f =μm g ，其方向与振子运动方向相反。如果我们用符号SignA 表示某任意值A 的正负号，则f =-μm g （dt
dx Sign
） 这样，当
dt dx >0时，f =-μm g ；当dt
dx <0时，f =μm g ；
当dt dx ≠O 时，弹簧振子的运动方程为：-k x -μm g （dt dx Sign ）=m 2
2dt x d
即22dt
x
d +（m k ）x =-μg （dt dx Sign ）
令2
ω=m k ，则有22dt
x d +2
ωx =-μg （dt dx Sign ） （1）
设0=t 时，x =0x ，
dt
dx
0=（此时摩擦力不应超过最大静摩擦力μ'm g ，因为μ<μ'），为了使振子开始运动，必须使拉振子回到平衡位置的弹簧的反作用力大小超过静
摩擦力，即
k |0x |>μ'm g ，|0x |>
k m g
μ'
这个不等式的成立表明振子已偏离平衡位置一段足够远的距离。令0x >0，振子开始就向x 轴的负方向运动，即dt
dx
Sign
=-1，则（1）式变为 2
2dt x d +2
ωx =u g （2） （2）式满足起始条件的积分是
x =2
ωμg +（0x -2
ω
μg ）t Cos ω
由此得到：
dt
dx
=- ω（0x -2ωμg ）t Sin ω 在t Sin ω0> 即0 ω π时，dt dx 仍为负值，在= =1t t ω π瞬时， dt dx 的值变为零并改变正负号，x 的值是1x =x （t 1）=-0x + 2 2ωμg 注意到21ω=m k ，如果|1x |=|-0ω+22ωμg |> 2ωμg ' ，则振动就会停止。在这种情况 下有 1x =-0x + 2 2ωμg 0< 这样，在1t 瞬时，振子开始向x 轴正方向运动。这就是说，当t >1t 时，在某一时间间隔内 dt dx 0>，Sign dt dx =1，（1）式就变为 2 2dt x d +2 ωx =-u g （3） 注意到起始条件是当1t t =时，x =1x ， dt dx =0。同前面的讨论一样，我们会得出在 2t = ω π 2瞬时 2x =x （2t ）=0x - 2 4ωμg 如果 |2x |=|0x - 2 4ωμg |> 2 ω μg '，则振动也不会停止，同样可以证明2x 0>。 这样，弹簧振子离开平衡位置的连续最大偏位移大小是 0x ，1x =-0x + 2 2ω μg ，2x =0x - 2 4ω μg ，……，n x =()n 1-（-0x + 2 2ω μg n ）。 与之相对应，振子中止的瞬时为 t =0，1t =ω π ，2t = ω π 2，……，n t = ω π n 在平衡位置同一侧的两个中止瞬时之间的时间间隔等于 T =n t -1-n t = ω π 2 因为2 ω= m k ，所以T =π2m k ，即等于无摩擦时弹簧振子的振动周期。 我们很容易得到：每一偏位移其绝对值比前一偏位移减少 2 2ω μg 。 前面的讨论表明：摩擦力的存在，使得弹簧振子并不严格地做简谐振动，但在正向或负向运动过程中仍分别为简谐振动，振动周期也并不发生影响，振动过程中弹簧振子偏离平衡位置的位移大小则每半周期按算术级数递减 2 2ωμg 。 例1 一倔强系数为k 的弹簧起先自由伸长，其右端挂一质量为m 的物体，并把该物体所在的起始位置记作O 点，在O 点左侧桌面光滑，右侧桌面粗糙，并且摩擦系数为μ，现 在将物体压缩到A 点再释放，求物体由A →B →C 所需要的时间（如图1-1-a 所示）？ 解：我们可以分五个时间段分别单独讨论，然后相加求总时间。 ①. 弹簧振子从A 点运动到O 点：1t = 2πm k ②.平衡位置左移：`把新的平衡位置记作o '（如图1-1-b 所示）， ? ?? = '=+='k mg o o x x A A μ00 m k = ω A mg A k kA ''+''=μ222 1 21 A x A k mg A ''+=''+=?0μ 0x A A -=''? ∴ A k mg arcCos ' =μα（如图1-1-b ′所示） m k A k mg arcCos t '== ∴μω α2 ③．平衡位置右移时:物体运动到最右点后向左运动时（如图1-1-c 所示） 此时有0x A A -''=''' k m t O B 2)(3π ='→ ④．A x Sin O O ' '= →'0 )(α （ 如图1-1-c ′所示） A x a r c S i n ' '=∴0α ∴ m k A x arcSin t ''= 04 ⑤．k m t 25π = 因此物体由A →B →C 所需要的总时间为： 54321t t t t t T ++++= = k m 2π +m k A k mg arcCos 'μ +k m 2π +m k A x arcSin ''0 +k m 2π = k m 23π+m k A k mg arcCos 'μ+ m k A x arcSin ''0 =k m A x arcSin A k mg arcCos ) 23(0''+'+μπ 1. 2弹簧自身重力不能忽略 在实际情况下，弹簧自身质量往往是存在的，那么弹簧自身质量对弹簧振子的振动又会有怎么样的影响呢？ 1.2.1弹簧在自身重力作用下的伸长与缩短 如图1-2-1所示，非轻质弹簧系统中弹簧和物体（质点）组成。今有一非轻质弹簧，设弹簧质量为0m ，在任意时刻都为均匀弹性体，倔强系数为k ，物体质量为m ，如果把它放在光滑的水平面上，使之处于自然长度状态，记作0l ，现将系统放置在一倾角为α的斜面上，并且把弹簧的一端固定在O 点，那么此时它将伸长多少呢？下面我们就这一情况来研讨一下。我们可以把弹簧截为长度相等的n 段小弹簧1l 、2l 、3l ……n l ，则根据下文提到的弹簧被截断以后新的倔强系数的确定方法，我们不难求出每小段弹簧的倔强系数为n k 。现在弹簧下端挂一质量为m 的重物，求平衡后弹簧的总伸长量。 x 假设弹簧的总伸长量为△l ，每一小段长为1l 、2l 、3l ……n l 的弹簧的伸长量分别为 △1l 、△2l 、△3l …… △n l ，则每小段弹簧受到向下的力依次为（m g +g n m 0 ）αSin 、（m g + n m 0 2g ）αSin 、（m g + g n nm 0）αSin ，则 △1l ＝nk Sin g n m mg α )(0+，△2l ＝nk Sin g n m mg α)2(0+……△n l ＝nk Sin g n nm mg α)(0+， 因此△l ＝△1l ＋△2l ＋△3l ＋……＋△n l ＝nk Sin g n m mg α)(0+ +nk Sin g n m mg α )2(0++……+nk Sin g n nm mg α)(0+ ＝nk nmgSin α+k n gSin m 20α（1＋2＋3+……+n ） ＝k mgSin α + k n gSin m 20α（21n +）n ， ∴△l ＝ k mg αSin +nk g m 20（1+n ）αSin ≈ k g m mg ) 2(0+ αSin ， n 越大，近似 程度越高。当n →∞时，有△l = k g m mg ) 2(0+αSin 或k △l =)2(0g m mg +αSin 由上式看出弹簧自身的重力对弹簧的伸长量的贡献打了?的折扣，不能与所挂物体的重力一视同仁[4]。为什么自身的重力要打折扣呢？这是因为下部位弹簧（相对而言）的重力对上部位弹簧（相对而言）的伸长有影响，而上部位弹簧的重力对下部位弹簧伸长无影响的缘故。 当α＝π/2时，即为弹簧垂直悬挂状态，此时弹簧自身的质量对弹簧的伸长影响最大；当α慢慢减小以后，弹簧自身的质量对弹簧的伸长影响慢慢减小，直到α＝0的时候，弹簧自身的质量对弹簧的伸长影响为零（弹簧静止）。 1.2. 2弹簧自身质量对弹簧振子振动的影响 设弹簧振子系统由质量为m '、倔强系数为k ，原长为0x 、横截面积为S 、体密度为ρ（假设S ，ρ在运动中为衡量）的弹簧与质量为m 的刚性体振子所组成。并假设运动中振子与杆的摩擦阻力足够小，可以忽略不计。m '远小于m ，但m '不能忽略。 起始条件，0t t =时刻，弹簧振子系统处于平衡状态，振子m 位于0x 处；弹簧中io x 处 的质元为io m d ' =ρS d io x （如图1-2-2所示）。 系统振动以后，在1t t =时刻，m 运动到x 处。其速度为dt dx ，它离开原来自身平衡位置的位移大小为|io i x x -|；与此同时，质元i m d '的位于i x 处，质元速度为dt dx i ，离开它自 身平衡位置位移的大小是|io i x x -|。 这样，在1t 时间，位于m 的动能为k E = 21 m （dt dx ）2 （4） 质元io m d '的动能为k E d '=21 io m d '2)(dt dx i （5） 由弹簧应变定义，我们得到下面的关系式 0x x x o -=0 i io i x x x - （6） 对（6）式两端求导数有 dt dx i =o io x x .dt dx （7） 对（7）式代入（5）式，则有 k E d '=21io m d '（dt dx i ）2=2 2 2x sx io ρ.. ( dt dx )2. io dx (8) 对整个弹簧积分，即得到弹簧由于自身质量m '所具有的动能，即 k E ' = ?'k E d =?0 2 20 )( )( 2x io io dx dt dx x x s ρ=（60sx ρ）.（dt dx ）2 因为m '=ρs 0x ，所以k E ' = （6m ' ）（dt dx ）2 又因为弹簧势能p E = 21×应变×应力×体积，其中弹簧应变=0 x x x o -， 应力= s k （0x x -），体积=0x s ， 所以，p E =2 1k （0x x -） 2 因此，弹簧振子系统的总能量为 E = k E +k E '+ p E =21 m （dt dx ）2 +（6m '）（dt dx ）2 + 2 1 k （0x x -）2 （9） 对（9）式两端求导数而得到 （m +3m '）（22dt x d ）+k （0x x -）= 0 即（22dt x d ）+） （3 m k '+（0x x -）=0 （10） 令2 ω= ） （3 m m k '+，则（10）式就变为 （22dt x d ）+ 2 ω（0x x -）=0 （11） （11）式表明，虽然振子质量m 远大于弹簧质量m '，但m '不能忽略时，m '并不影响弹簧振子系统作简谐振动的特点，也就是说，同时考虑m 与m '时，该系统仍作简谐振动。 因为T = ω π 2，将 2 1ω= k m m ） （3'+ 代入 则T =2π k m m ） （3'+ （12） （12）式说明，虽然弹簧自身质量m '并不影响弹簧振子系统作简谐振动的性质，但系统作简谐振动的周期有所增加，m '对振动周期的影响相当于在振子m 上附加上一个 3 1m '的等效质量。当m >>m '而又允许忽略m '时，则（12）式变为T =2π k m ，即回到理想状态下弹簧振子振动周期，这与教材中所表示的公式相吻合。 例2 如图1-2-2-a 所示，一质量为m 的弹簧，其左端固定在墙上，右端挂一质量为M 的物体，并且M >m ，让我们求此时弹簧的振动周期为多少？ 解：如图1-2-2-b 所示，假设弹簧原长为L ，某时突然给M 向右运动的速度为υ，因为速度传递有时间先后性，所以其左端速度为0（因为左端固定）。在弹簧上取一段dl ，其相应质量为dm ，距离左端长为l ，我们可以根据大学物理的方法求出k E 。 m L dl dm =；υυL l d =；221）（υd dm dE k =22221υL l dl L m =dl L l m 3 2221υ= = =?L k k dE E 0 L l L m 0332 3121υ=2 3 121υm ? 222121υυM E M k '=+∑ 即 222 2 132121υυυM m M '=+ M ' =3 m M + =T π 2k m M 3+ 2 弹簧振子系统能量 在一般教学和研究中涉及弹簧振子时，通常是忽略弹簧质量的，就更不用说弹簧质量的势能问题了。那么下面我们就来探讨一下弹簧质量的势能问题以及由此引出的弹簧系统的能量公式。如图2-1所示,非轻质弹簧系统由弹簧和物体(质点)组成。设弹簧质量为0m ，在任意时刻都为均匀弹性体，倔强系数为k ，物体质量为m 。将系统放置在一倾角为α的斜面上，一端固定。取距固定端距离为l 的O 点为坐标原点，沿斜面向下为正，坐标1x 为弹簧原长位置，0x 为系统平衡位置，2x 为重力势能零点，x 3为弹簧弹性势能零点位置，x 为物体 m 在时刻t 的位置。 2.1 系统势能p E 系统的总势能p E 为弹簧的弹性势能1p E 、物体的重力势能2p E 以及弹簧的重力 势能3p E 之和。按定义，1p E 、2p E 以及3p E 分别由以下几式决定[5]： 1p E ＝ dx x x k x x ?---31） （ ＝dx x x x x x x k x x ][100333 ）（）（）（ -+-+-? ））（（））（（）（3103032 32 1x x x x k x x x x k x x k --+--+-= (13) 2p E αSin x x mg ）（2--= (14) 3p E ααSin x x x x l x g m Sin x l x l l x g m 22220220）（）（）（）（--+-+++= =αSin x x l g m ）（2022 1 +- (15) p E =1p E +2p E +3p E = 232 1）（x x k -））（（303x x x x k --+） ）（（310x x x x k --+ αSin x x mg ）（2--+αSin x x l g m ）（2022 1 +- (16) 又∵0x 为系统平衡位置，∴k ）（10x x -=mg αSin +g m 0αSin (17) 因为（16）式比较冗长，在实际运用时，在不影响结果正确的前提下，为了方便起见，可对其通过两种途径进行简化，有以下两种途径。 A ． 系统平衡位置为中心进行简化。定义弹性势能零点3x 、重力势能零点2x 及坐标原点0都在系统平衡位置0x 处，即2x =3x =0x =0,注意到式（17），此时系统势能p E 为 p E 221kx =1kxx -αmgxSin -αgxSin m 021-αglSin m 021 + 221kx =）（ααgSin m mgSin kx x 0121++-αglSin m 021+ 221kx =αgxSin m 021+αglSin m 02 1 + (18) 需注意的是，式中第一项虽与弹性势能的形式一样，但本质不同，它包括了系 统的弹性势能和部分重力势能；式中后二项也并不代表弹簧的全部重力势能，其 中最后一项为常量。 B 。弹簧原长位置进行简化。定义弹性势能零点3x 、重力势能零点2x 及坐标原点0都在弹簧原长位置1x 处，即0132===x x x ，此时系统势能p E 为 p E 221kx =-αmgxSin ―αgxSin m 021αglSin m 021 + 221kx =-(021m m +) αgxSin +αglSin m 021 221kx =+αgxSin m 021+αglSin m 02 1 (19) 式中第一项为弹性势能，第二项相当于在振子（质量m ）上附加了一个质量为 02 1 m 的物体的重力势能，最后一项同式（18）中一样为常量，且与其相等。 当式（18）、（19）中α为零时，系统势能就是弹簧的弹性势能，而且两式的推导过程均与斜面有无摩擦没有关系。 比较两式可知，不计弹簧质量，即0m 0=时，（18）式明显比（19）式简单，应用起来也更为方便，这也正是对轻弹簧振子系统常常采用的定义势能以及坐标原点和系统平衡位置重合的原因，而当考虑弹簧质量时，（18）式并不比（19）式简单，事实上，（19）式中各项 的物理意义比（18）式各项更加明确；（18）、（19）两式中都有相同的常量 αgSin m 02 1 ，在实际计算系统两个状态间能量之差时可以不计。 由前述推导可知，由于系统平衡位置可能多与一处，而弹簧原长位置只可能是一处，因此使用（18）式建立方程时就可能有几种形式，而利用（19）式时则只能是一种形式。应该说这两种表达式形式简单明了，两种简化式各有千秋，并且这种方法对有无摩擦问题均可使用。 2.2系统动能k E 系统的总动能k E 为弹簧动能1k E 和物体动能2k E 之和。如图2-2所示，由于弹簧为均匀弹性体，所以当弹簧与物体的连接端和物体同时运动时，若物体速度为υ，坐标为x （考虑到弹簧被完全压缩时仍有一定长度，因此x ≠—l ），则弹簧上坐标为y 处的微元dy 的动能为 1k dE =21x l m +0dy .2）（x l y l ++ .2υ= 22υ.30）（x l m +.2 ）（y l + dy 1k E =22υ. 30）（x l m +. ?-+x l dy y l 2）（=2 061υm =2061x m ' 故系统2k E 的总动能k E 为：k E = 1k E + 2k E = 20)3 1 (21x m m '+ （20） 由式（20）可知，系统动能只由弹簧质量、物体质量以及物体速度决定。 2.3 系统能量E 按前述结论选取坐标后，系统的总能量为（注意两式中x 的意义不同） E = p E +k E 221kx =+20)31(21x m m '++αgxSin m 021+αglSin m 021 （21） 或E = p E +k E 221kx =+2 0)31(21x m m '+-）（021m m +αgxSin +αglSin m 02 1 （22） 例3 质量为1m 的物体自由下落一高度h 以后，与2m 作完全非弹性碰撞，2m 与3m 之间由劲度系数为k 、质量为0m 、原长为0l 的均匀弹簧相连，如图2-3所示，今欲使2m 在碰撞后反弹起来时恰好能将下端的物体3m 提离地面，问h 至少应为多大？ 解：设o 点为弹簧原长位置， b 点为)(21m m +反弹起来时恰好能将3m 提起的最高位置， 此时)(21m m +速度为零，c 点为2m 平衡位置，d 点为)(21m m +合为一体后的平衡位置， υ为1 m 和2 m 碰撞后)(2 1 m m +的速度，则有：?? ???==+==+===k m ob x k g m m oc x gh m m m k m cd x g g 31200211 12,)(2,υ 现在取O 点为坐标原点和弹性势能零点以及重力势能零点，向上为正，注意到此时坐标系与（19）所定义的区别，系统在初位置c 时0x x c -= ，在末位置b 时1x x b =，则利用（19）式和能量守恒得 22121υ）（m m ++20)(21x k -+)(21 0021x g m m m -++）（ =2121kx +10212 1 gx m m m ）（++ 2 1321032) 2)((2m m m m m m m m k g h +++++= 3.倔强系数k 的确定 众所周知，弹簧的倔强系数k ，不仅与弹簧的材料有关，而且还与弹簧的形状，即其长短、粗细有关。因此不管是几根弹簧串并联，或者还是一根弹簧被截成两段或多段等，弹簧的倔强系数k 都会随之发生变化[6]。 3.1弹簧串联 当两根倔强系数分别为1k 和2k 的弹簧（如图3-1）串联连接时，可用一根倔强系数为k 的等效弹簧来替代它们。那么k 与1k 2k 的关系如何呢？设在外力F 的作用下两根弹簧的形变为1x 和2x ，等效弹簧的形变为x 。因为弹簧串联，所以作用在弹簧上的外力1F =2F =F 。 即1F =1k 1x ；2F =2k 2x ；F =k x ；又x =1x +2x ，于是得到2 2 11 k F k F k F + =，即2 11 11k k k +=。若两根弹簧1k =2k =0k ，则k =20k 。若n 根相同弹簧串联，则其等效倔强 系数为k =k 0/n 。 3.2弹簧并联 当两根倔强系数分别为1k 和2k 的弹簧（如图3-2）并联连接时，设作用在弹簧上的外力为F ，两根弹簧上各受拉力1F 和2F ，则有F = 1F +2F ；1F =k 1x ；2F =2k 2x ；又x =1x ＝ 2x ；故得到k = 1k +2k 。若1k =2k =0k ，则k =20k ；若n 根相同弹簧并联，则其等效倔强 系数为k =n 0k 。 推广：若有n 根倔强系数分别为1k 、2k 、3k ……n k 的弹簧，串联时有 n k k k k k 1 1111321??????+++=；并联时`则有k =1k +2k + 3k +……+n k 。 3.3弹簧被截断以后 设一根弹簧长度为0l ，倔强系数为k ，被截出两段长度分别为1l 和2l ，相应的倔强系数分别为1k 和2k 。如果它们各自都受衡力F 的作用，原弹簧伸长0x ，长度为1l 的弹簧伸长1x ，长度为2l 的弹簧伸长2x （如图3-3所示），我们不难看出：由于弹簧材料、性质和粗细均相同，所以在相同的力的作用下，弹簧伸长量与其长度是成正比的，即 2211l x l x l x == (23) 根据胡克定律得到：F =k x ；F =1k 1x ；F =2k 2x （24） 由（23）（24）得到：1k = 1010 001l kl l l x kx x F ==；2k =2 0l kl ， 由此可见：弹簧被截下部分的倔强系数与被截下部分的长度成反比。 根据上面的推导，若已知原来弹簧的倔强系数及截下部分与原弹簧长度的比例， 那么被截下部分的倔强系数也就知道了。 举例1：把一根倔强系数为k 的弹簧截成原长的三段，求每段的倔强系数k '，我们可以把原弹簧看成是由三个倔强系数为k '的弹簧串联，即 k 1=k '1+k '1+k ' 1 ， 故k '=3k 举例2：把一根倔强系数为k 的弹簧截下 7 5 ，求截下的倔强系数k '，首先我们把原弹簧看成是由七个倔强系数为k '的弹簧串联，即k 1=k '1+k '1+k '1+k '1+k '1+k '1+k ' 1 ，可以得 到每个弹簧的倔强系数为7k ，而截下部分又恰好是这样的五个弹簧的串联，故截下部分弹 簧的倔强系数k '＝5 7 k 。 4. 结束语 在物理总复习的时候，我们常常选择一些既具有典型性又具有代表性的问题作为专题加以深入的分析和讨论，并把与之有关的物理学的各部分知识有机的结合起来。这样做不仅加深了学生对知识的理解，而且提高了学生综合分析问题的能力和运用物理规律解决实际问题的能力。而在这类综合题型中，弹簧问题始终是个热门话题，出题比较容易，而且难度系数相对比较大，可以出在选择题、填空题甚至计算题中的压轴题。这主要是因为弹簧问题的应用非常广泛，它可以与有关的静力学、牛顿运动定律、功和能、动量和冲量、震动和波、气态方程和热力学第一定律以及电磁学等方面的知识综合在一起加以应用。所以我们就弹簧问题很有必要再加以自习研究探讨。 谢辞：最后，对我的毕业论文悉心指导和帮助的胡树基老师表示我最诚挚的感谢！ 参考文献： [1]赵近芳.大学物理学（上册）[M].北京：北京邮电大学出版社，2002.119 [2]谢利民.弹簧振子运动的实际动力学分析[J].上海师范大学学报（自然科 学版），2002，31（2）：91～95 [3]苏启录等.弹簧振子问题探讨[J].福州师专学报（自然科学版），1999， 19（6）：26～28 [4] 李国强（翻译）.振动弹簧的有效弹性常数和有效质量物理教师 1998， 5：10～11 [5] 欧阳广义.弹簧弹性势能及简谐振动物体系势能物理教学 1981，2： 19～22 [6] 沈邦杰.有关弹簧问题的综合研究物理教学 1989，6：17～21 Research of the characteristic about the fact that the real spring oscillator moves 物理011 陈秀君指导老师胡树基 abstract: This text analyse and study actual spring sport characteristic of oscillator, consider spring oscillator one's own quality and in meet and rub obstruction ,etc. in the sport course cases, the impact on such characteristics as the nature , cycle , amplitude of its vibration ,etc., has drawn the quantitative expression formula, at the same time in the article that oscillator have at the sport be able to quantity make comparisons overall argumentation too to spring. This will offer good reference function for teaching of this question in physics course. Keywords: Spring; Quality; Frictional force; Systematic energy ,etc.. 弹簧振子的简谐振动 弘毅学堂汪洲 26 实验目的： （1）测量弹簧振子的振动周期T。 （2）求弹簧的倔强系数k和有效质量0m 实验器材 气垫导轨、滑块、附加砝码、弹簧、光电门、数字毫秒计。 实验原理： 在水平的气垫导轨上，两个相同的弹簧中间系一滑块，滑块做往返振动，如图2.2.4所示。如果不考虑滑块运动的阻力，那么，滑块的振动可以看成是简谐运动。 设质量为1m 的滑块处于平衡位置，每个弹簧的伸长量为0x ，当1m 距平衡点x 时，1m 只受弹性力10()k x x -+与10()k x x --的作用，其中1k 是弹簧的倔强系数。根据牛顿第二定律，其运动方程为 1010()()k x x k x x mx -+--=&& 令 12k k = 则有 kx mx -=&& ① 方程①的解为 00sin()x A t ω?=+ 说明滑块做简谐振动。式中，A 为振幅，0?为初相位，0ω叫做振动系统的固有圆频率。有 0k m ω= 且 10m m m =+ 式中，m 为振动系统的有效质量，0m 为弹簧的有效质量，1m 为滑块和砝码的质量。 0ω由振动系统本身的性质所决定。振动周期T 与0ω有下列关系 222T πω= == ② 在实验中，我们改变1m ，测出相应的T ，考虑T 与m 的关系，从而求出k 和0m 。 实验内容： （1）按气垫导轨和计时器的使用方法和要求，将仪器调整到正常工作状态。 （2）将滑块从平衡位置拉至光电门左边某一位置，然后放手让滑块振动，记录A T 的值。要求记录5位有效数字，共测量10次。 （3）再按步骤（2）将滑块从平衡位置拉至光电门右边某一位置测量B T ，重复步骤（2）共测量10次。 取A T 和B T 的平均值作为振动周期T ，与T 相应的振动系统有效质量是 10m m m =+，其中1m 就是滑块本身（未加砝码块）的质量，0m 为弹簧的有效质量。 （4）在滑块上对称地加两块砝码，再按步骤（2）和步骤（3）测量相应的周期。有效质量20m m m =+，其中2m 为滑块本身质量加上两块砝码的质量和。 （5）再用30m m m =+和40m m m =+测量相应的周期T 。式中， 3m =1m +“4块砝码的质量” 4m =1m +“6块砝码的质量” 注意记录每次所加砝码的号码，以便称出各自的质量。 机械2008年第8期总第35卷设计与研究?９? ———————————————— 收稿日期：2008－04－13 基金项目：湖北省武汉市科技攻关重点项目（200710321089） 汽车用空气弹簧垂向弹性特性分析与计算 黄卫平，鲍卫宁 （江汉大学机电与建工学院，湖北武汉 430056） 摘要：空气悬架系统主要由空气弹簧、推力杆、高度控制阀、减振器和横向稳定杆等组成，空气弹簧是空气悬架系统的核心部件，空气弹簧具有理想的弹性特性，载荷越大弹簧刚度越大；空气弹簧自振频率低，通用性较好，能适应不同载荷和工作高度；空气悬架系统由于有良好舒适性在商用汽车上得到广泛应用。空气悬架设计时，合理选择空气弹簧结构型式，确定气囊的工作高度、承载能力，可获得极其柔软的弹簧特性，空气弹簧垂向特性对于整车平顺性匹配有重要影响，本研究通过对空气弹簧弹性理论的分析，讨论了空气弹簧垂向刚度和自振频率的计算方法，旨在寻求空气弹簧与整车匹配的基本。以城市客车设计为例，探讨了空气弹簧载荷确定、空气弹簧型号选择、刚度匹配设计基本方法，并指出空气弹簧设计匹配注意基本问题。研究结果表明，合理匹配空气弹簧刚度，空气悬架可以获得良好综合特性。关键词：空气弹簧；弹性特性；非线性；匹配设计 中图分类号：U463.33+4.2 文献标识码：A 文章编号：1006－0316(200808－0009－03 The elastic characteristic computation of the automobile air spring HUANG Wei-ping，BAO Wei-ning (School of Electromechanical & Architectural Engineering，Jianghan University，Wuhan 430056，China Abstract ：Introduced the automobile with the air spring structure and the principle of work and the elastic characteristic of air spring, the calculation formulas for stiffness and natural frequency are derived, with the example of the match design of the city bus air suspension system, the analysis and match design is carried out, the suggestion about how to select air spring to match the automobile suspension is also given . Key words：air spring；elasticity characteristic；non-linearity ；suspension design 空气弹簧诞生于上世纪中期，早期主要用于机械设备隔振。1944年，通用和法尔斯通公司首次实现了在客车上的应用；1947年美国的普尔曼车上首次使用了空气弹簧的悬架系统；1951年，美国NEWAY 公司的独立总成成为世界上第一款批量应用的空气悬架系统，因通用性强，结构简单，成本较低而迅速占领北美市场。欧洲则遵循另外一条道路，各自开发适合自己车型的空气悬架系统。由于空气悬架具有良好的性能，使其在汽车悬架中的应用越来越广泛。 目前，国外高级大客车几乎100%使用空气悬架；重型载货车上空气悬架的占有率也达到了85%；大约80%的拖挂车使用空气悬架；空气悬架在轻型 车辆上的应用目前虽然只占市场份额的10%，预测到2008年将达到40%；部分轿车也逐渐装备了空气弹簧悬架。 1 汽车空气悬架结构 空气悬架系统主要由空气弹簧组件、推力杆、高度控制阀、减振器和横向稳定杆等组成，如图1所示。它以空气弹簧为弹性元件，利用空气的可压缩性实现其弹性作用的。通过压缩空气的压力能够随载荷和道路条件变化进行自动调节，不论满载还是空载，整车高度几乎没有变化，可以大大提高乘坐的舒适性。 ?１０?设计与研究机械2008年第8期总第35卷 空气弹簧研究综述 1.3 空气弹簧研究综述 1.3.1 国内外空气弹簧发展简史 空气弹簧的发展仅有五十多年的时间。美国自1947年，在普尔曼车上首先采用空气弹簧，后来在意大利、英国、法国等许多欧洲国家对空气弹簧做了大量研究工作，装有空气弹簧的转向架相继出现。1955年，日本国家铁路技术研究院机车车辆动力试验室，对在车辆上安装的空气弹簧进行了系统的研究，为设计空气弹簧提供了宝贵的基本数据；同时，对装有空气弹簧的车辆进行了一系列的试验工作。目前，日本不仅在铁路客车上成功地装用了多种型式的空气弹簧，而且在货车上也予以采用。 在日本，装有空气弹簧的转向架，不仅数量多，而且型式多样。空气弹簧绝大多数用于中央悬挂，轴箱弹簧为螺旋钢弹簧。起初只安装三曲囊式空气弹簧，用以改善车辆的垂向振动性能，横向复原仍采用摇动台。为了取消复杂、笨重的摇动台结构，于是研制出了约束膜式空气弹簧和自由膜式空气弹簧，这类空气弹簧不仅能承受垂向振动，而且可以利用其具有良好的横向刚度的优点来承受横向振动；同时，可以与牵引拉杆两端部的弹性元件共同作为横向复原装置。牵引拉杆一端连接摇枕，另一端连接在构架（对心盘支重的转向架）上，或连接在车体（对旁承支重的转向架）上。牵引拉杆两端弹性元件的横向复原力，对空气弹簧来说，是比较小的。 1957年，我国第一机械工业部汽车研究所，对空气弹簧做了大量的试验研究工作，并装在汽车上试用，积累了一些经验。1958年，沈阳机车车辆厂在试制的“东风号”客车上，首先装用空气弹簧，即由天津车辆段和天津橡胶研究所共同研制出一种双曲囊式空气弹簧（图），其有效直径为460mm时，高度为184mm，最大外径为520mm。这种空气弹簧曾先后在天津车辆段、北京车辆段，装在101型、201型和202型转向架上，以代替叠板弹簧。实践证明：这种空气弹簧的垂向振动性能具有良好的运行品质。但是，由于没有采用高度控制阀，在列车返段时，只好采用人工加气；同时，泄漏问题也没有得到很好的解决，所以没有继续应用。 1959年，四方机车车辆厂在新造低重心车辆的转向架上，1960年在新造双层客车的转向架上，又安装了双曲囊式空气弹簧。但是由于车辆自重较大，空气弹簧的有效承压面积不够，同时受到列车管压力的限制，支承不了簧上重量，只好与螺旋钢弹簧联合使用，并设计了机械式高度控制阀，对空气弹簧的高度进行自动控制；同时，在垂向振动性能方面也取得了比只用钢弹簧更好的运行品质，受到旅客好评。 1965年，长春客车厂在试制DK1型转向架时，又对双曲囊式空气弹簧稍加改进，并设计了电磁式高度控制阀，采用无摇动台结构，在摇枕中下部和构架侧梁内侧之间加装横向复 km，因此，垂向振动性能原弹簧。经过多次试验，由于地铁电动客车运行速度不超过80h 很好。但由于采用横向复原螺旋钢弹簧，在车辆进出曲线和通过道岔时侧摆较大，横向振动性能仍不理想，横向复原弹簧安装也很不方便，故未扩大应用。长春客车厂于同年在试制高速列车的CCKZ1型转向架上，安装了外筒锥角为40o，内筒为0o的约束膜式空气弹簧；四方机车车辆厂于同年也在同列高速客车的KZ2型转向架上安装了内外筒皆为0o的约束膜式空气弹簧，这两种转向架均采用旁承支重的无摇动台结构，用节流孔产主阻尼，代替垂直油 弹簧振子实验报告 一、引言 ?实验目的 1.测定弹簧的刚度系数(stiffness coefficient). 2.研究弹簧振子的振动特性，验证周期公式. 3.学习处理实验数据. ?实验原理 一根上端固定的圆柱螺旋弹簧下端悬一重物后，就构成了弹簧振子.当振子处于静止状况时，重物所受的重力与弹簧作用于它的弹性恢复力相平衡，这是振子的静止位置就叫平衡位置.如用外力使振子离开平衡位置然后释放，则振子将以平衡位置为中心作上下振动.实验研究表明,如以振子的平衡位置为原点(x=0),则当振子沿铅垂方向离开平衡位置时,它受到的弹簧恢复力F在一定的限度与振子的位移x成正比，即 F =_ kx⑴ 式中的比例常数k称为刚度系数(stiffness coefficient),它是使弹簧产生单位形变所须的载荷?这就是胡克定律?式(1)中的负号表示弹性恢复力始终指向平衡位置.当位移x 为负值，即振子向下平移时，力F向上.这里的力F表示弹性力与重力mg的综合作用结果. 根据牛顿第二定律，如振子的质量为m,在弹性力作用下振子的运动方程为: + Arx = O x = Asin +(/>) (3) 式表明?弹簧振子在外力扰动后，将做振幅为A,角频率为宀0的简谐振 动，式中的(叫/ +。)称为相位，0称为初相位?角频率为叫的振子其振动周期 (4) (4) 式表示振子的周期与其质量、弹簧刚度系数之间的关系，这是弹簧振子的 最基本的特性?弹簧振子是振动系统中最简单的一种，它的运动特性(振幅，相 位，频率，周期)是所有振动系统共有的基本特性，研究弹簧振子的振动是认识 更复杂震动的基础. 弹簧的质量对振动周期也有影响?可以证明，对于质量为“0的圆柱形弹簧, 振子周期为 (5) m o/ m o/ 式中 ?称为弹簧的等效质量，即弹簧相当于以 ?的质量参加了振子的 振动?非圆柱弹簧（如锥形弹簧）的等效质量系数不等于1/3. d 2x 上式可化为一个典型的二阶常系数微分方程乔 =0 其解为 (3) 可得 x = 气垫导轨上弹簧振子振动的研究 力学实验最困难的问题就是摩擦力对测量的影响。气垫导轨就是为消除摩擦而设计的力学实验的装置，它使物体在气垫上运动，避免物体与导轨表面的直接接触，从而消除运动物体与导轨表的摩擦，也就是说，物体受到的摩擦阻力几乎可以忽略。利用气垫导轨可以进行许多力学实验，如测速度、加速度，验证牛顿第二定律、动量守恒定律，研究简谐振动、阻尼振动等，本实验采用气垫导轨研究弹簧振子的振动。 一、必做部分：简谐振动 [实验目的] 1．测量弹簧振子的振动周期T 。 2．求弹簧的倔强系数k 和有效质量 0m 。 [仪器仪器] 气垫导轨、滑块、附加砝码、弹簧、光电门、数字毫秒计。 [实验原理] 在水平的气垫导轨上，两个相同的弹簧中间系一滑块，滑块做往返振动，如图13-1所示。如果不考虑滑块运动的阻力，那么，滑块的振动可以看成是简谐振动。 设质量为m 1的滑块处于平衡位置，每个弹簧的伸长量为x 0，当m 1距平衡点x 时，m 1只受 弹性力)(01x x k +-与)(01x x k --的作用，其中k 1是弹簧的倔强系数。根据牛顿第二定律，其运动方程为 x m x x k x x k =--+-)()(0101（1） 令 12k k = 方程（1）的解为 )s i n (00?ω+=t A x （2） 说明滑块是做简谐振动。式中：A —振幅；0?—初相位。 m k = 0ω （3） 0ω叫做振动系统的固有频率。而 01m m m += （4） 式中：m —振动系统的有效质量；m 0—弹簧的有效质量；m 1—滑块和砝码的质量。 0ω由振动系统本身的性质所决定。振动周期T 与0ω有下列关系： k m m k m T 010 222+=== ππ ωπ （5） 在实验中，我们改变m 1，测出相应的T ，考虑T 与m 的关系，从而求出k 和0m 。 图13-1简谐运动原理图 ××大学实验报告 学院：×× 系：物理系专业：×× 年级：××级 姓名：×× 学号：×× 实验时间：×× 指导教师签名：_______________ 实验四：气垫弹簧振子的简谐振动 一．实验目的与要求： 1. 考察弹簧振子的振动周期与振动系统参量的关系。 2. 学习用图解法求出等效弹簧的倔强系数和有效质量。 3. 学会气垫调整与试验方法。 二．实验原理： 1.弹簧的倔强系数 弹簧的伸长量x 与它所受的拉力成正比 F=kx k=X F 2.弹簧振子的简谐运动方程 根据牛顿第二定律，滑块m 1 的运动方程为 -k 1(x+x 01)-k 2(x-x 02)=m 2 2dt x d ,即-(k 1+k 2)x=m 2 2dt x d 式中，m=m 1+m 0（系统有效质量），m 0是弹簧有效质量，m 1是滑块质量。令 k=k 1+k 2,则 -kx= m 2 2dt x d 解为x=A sin （ω0t+ψ0 ），ω0= m k = m k k 2 1+ 而系统振动周期 T 0=0 2ωπ=2π k m 当 m 0《 m 1时，m 0=3 s m ，m s 是弹簧的实际质量（m 0与m s 的关系可简单写成 m 0=3 m s ）。 本实验通过改变m 1测出相应的T ，以资考察T 和m 的关系，从而求出m 0和 k 。 三．主要仪器设备： 气垫导轨、滑块（包括挡光刀片）、光电门、测时器、弹簧。 四．实验内容及实验数据记录： 1.气垫导轨水平的调节 使用开孔挡光片，智能测时器选在2pr 功能档。让光电门A 、B 相距约60cm (取导轨中央位置),给滑块以一定的初速度(Δ t 1和Δt 2控制在20-30ms 内),让 它在导轨上依次通过两个光电门.若在同一方向上运动的Δ t 1和Δt 2的相对 误差小于3%,则认为导轨已调到水平.否则重新调整水平调节旋钮。 2.研究弹簧振子的振动周期与振幅的关系 先将测时器设置于6pd （测周期）功能档。按动选择钮，屏幕显示6pd 时，按动执行键，显示为0。每按一次选择键，显示加1；当达到预定值（如预置数为n =6，则表示测3个周期的时间）后，将滑块拉离平衡点6.00厘米（即选定某一振幅），再按执行键，放手让其运动，进入测周期操作。当屏幕上显示预置数减为0后，显示屏上出现总时间t ；由此可得周期T = n t 2。 再重新测量几次并取平均值。并测量滑块和弹簧的质量，利用T 0= 2ωπ =2π k m 计算弹簧的倔强系数。取不同的振幅测量，探讨周期与振幅是否有关。 3.观测简谐振动周期T 与m 的关系，并求出k 与弹簧的有效质量m 0。 弹簧振子的简谐振动 弘毅学堂汪洲 2016300030016 实验目的： （1）测量弹簧振子的振动周期T。 （2）求弹簧的倔强系数k和有效质量 m 实验器材 气垫导轨、滑块、附加砝码、弹簧、光电门、数字毫秒计。 实验原理： 在水平的气垫导轨上，两个相同的弹簧中间系一滑块，滑块做往返振动，如图2.2.4所示。如果不考虑滑块运动的阻力，那么，滑块的振动可以看成是简谐运动。 设质量为1m 的滑块处于平衡位置，每个弹簧的伸长量为0x ，当1m 距平衡点x 时，1m 只受弹性力10()k x x -+与10()k x x --的作用，其中1k 是弹簧的倔强系数。根据牛顿第二定律，其运动方程为 1010()()k x x k x x mx -+--= 令 12k k = 则有 kx mx -= ① 方程①的解为 00sin()x A t ω?=+ 说明滑块做简谐振动。式中，A 为振幅，0?为初相位，0ω叫做振动系统的固有圆频率。有 0ω= 且 10m m m =+ 式中，m 为振动系统的有效质量，0m 为弹簧的有效质量，1m 为滑块和砝码的质量。 0ω由振动系统本身的性质所决定。振动周期T 与0ω有下列关系 222T πω= == ② 在实验中，我们改变1m ，测出相应的T ，考虑T 与m 的关系，从而求出k 和0m 。 实验内容： （1）按气垫导轨和计时器的使用方法和要求，将仪器调整到正常工作状态。 （2）将滑块从平衡位置拉至光电门左边某一位置，然后放手让滑块振动，记录A T 的值。要求记录5位有效数字，共测量10次。 （3）再按步骤（2）将滑块从平衡位置拉至光电门右边某一位置测量B T ，重复步骤（2）共测量10次。 取A T 和B T 的平均值作为振动周期T ，与T 相应的振动系统有效质量是10m m m =+，其中1m 就是滑块本身（未加砝码块）的质量，0m 为弹簧的有效质量。 （4）在滑块上对称地加两块砝码，再按步骤（2）和步骤（3）测量相应的周期。有效质量 20m m m =+，其中2m 为滑块本身质量加上两块砝码的质量和。 （5）再用30m m m =+和40m m m =+测量相应的周期T 。式中， 3m =1m +“4块砝码的质量” 4m =1m +“6块砝码的质量” 注意记录每次所加砝码的号码，以便称出各自的质量。 （6）测量完毕，先取下滑块、弹簧等，再关闭气源，切断电源，整理好仪器。 （7）在天平上称出两弹簧的实际质量并与其有效质量进行比较。 数据处理： 1、用逐差法处理数据 由下列公式 221 104()T m m k π=+ 空气弹簧是一种在柔性密闭橡胶气囊中冲入压缩空气,利用空气的压缩弹性进行工作的非金属弹性元件,它的的振动固有频率较低,且不同载荷下几乎保持不变,是一种隔振性能优良的隔振器。担架支架是伤员运送车辆在行驶途中承载、固定卧姿伤病员担架的主要设备。担架支架的隔振系统设计在很大程度上决定了伤病员在运送途中的乘卧舒适性。性能优异的担架支架隔振系统能有效提高伤员运送车辆的运送能力。空气弹簧是较为合适的可用于担架支架系统的隔振器,它是利用空气的压缩弹性进行工作的非金属弹性元件。作为隔振元件,空气弹簧具有非线性变刚度特性,通过内压的调整,可以得到不同的承载能力;承受轴向载荷和径向载荷,可产生相对较好的缓冲隔振效果;还具有结构简单、安装高度低、更换方便、工作可靠、质量轻、单位质量储能量高等优点。将空气弹簧增加附加气室能显著降低空气弹簧的刚度及固有频率。本文对应用于急救车担架支架装置的空气弹簧隔振器的动态特性进行了理论分析、实验测试、实验建模等方面的研究,为今后进一步研究半主动控制的空气弹簧隔振系统提供了参考依据。本文首先介绍了空气弹簧的研究与发展现状,对空气弹簧的性能和优缺点进行了比较。并对空气弹簧的动力学特性进行研究,推导了空气弹簧动刚度计算公式,分析了其动力学特性的影响因素,建立了带附加气室与不带附加气室空气弹簧的力学模型。其次做了空气弹簧的动力学特性实验,得到如下结论:不带附加气室时,当初始气压、激振振幅增加时,空气弹簧动刚度随之增加;当激振频率增加时,空气弹簧的动刚度随之减小。空气弹簧的固有频率几乎保持不变。而带附加气室空气弹簧在节流孔孔径4-7mm范围内,当孔径增大时,空气弹簧动刚度随之减小;当初始气压、激振频率、激振振幅增加时,空气弹簧动刚度随之增加。在高频(8Hz)左右时,振幅、频率的变化对动刚度的改变已不明显。在低频率时,带附加气室能显著降低空气弹簧的动刚度,而在较高频率时,带附加气室会使空气弹簧的动刚度增加。最后对带附加气室空气弹簧力学模型进行了简化,通过实验数据运用最小二乘法对模型参数进行了识别,并用四个指标对模型拟合精度进行了评价。分析结果表明误差较小,模型能够比较准确的反映出应用空气弹簧隔振器的力学特性。 简谐振动的研究·实验报告 【实验目的】 研究简谐振动的基本特征 【实验仪器】 气垫导轨、通用数字计时器、滑块、砝码、弹簧（5对）、约利氏秤 朱力氏秤 朱力氏秤的示意图如右图所示。一个可以升降的套杆1上刻有毫米分度，并附有读数游标2。将弹簧3挂在1顶部，下端挂一有水平刻线G 的小镜子4，小镜子外套一个带有水平刻线D 的玻璃管5，镜下再钩挂砝码盘6。添加砝码时，小镜子随弹簧伸长而下移。欲知弹簧伸长量需旋动标尺调节旋钮7将弹簧提升，直至镜上水平刻线G 与玻璃管上水平刻线D 及D 在镜中的像相互重合，实现所谓“三线重合”。测量时注意先用底座上螺丝调节弹簧铅直，此时小镜子应不会接触到玻璃管。 【实验原理】 简谐振动是振动中最简单、最基本的运动，对简谐振动的研究有着重要的意义。简谐振动的方程为 x x 2ω-= 其位移方程为 )sin(αω+=t A x 速度方程为 )sin(αωω+=t A v 其运动的周期为 ω π 2= T T 或ω由振动系统本身的特性决定，与初始运动无关。而A ，α是由初始条件决定的。 实验系统如图4-15-1所示。 两个弹性系数k 相同的弹簧分别挂在质量为m 的滑行器两侧，且处于拉伸的状态。在弹性恢复力的作用下，滑行器沿水平导轨作往复运动。当滑行器离开平衡位置0x 至坐标x 时，水平方向上受弹性恢复力)()(00x x k x x k --+-与的作用，有 x m x x k x x k =--+-）00()( 即 x m kx =-2 令k k 20=，有 x m k x x m x k 0 0-==- 或 上式形式与简谐振动方程相同，由此可知滑行器的运动为简谐振动。与简谐振动方程比较可得 m k 0 2= ω 即该简谐振动的角频率 m k 0 = ω 1、)sin(αω+=t A x 的验证 将光电门F 置于0x 处，光电门G 置于1x 处，滑行器1拉至A x 处（010x x x x A ->-）释放，由计时器测出滑行器从0x 运动至1x 的时间1t 。依次改变光电门G 的位置i x ，每次都从A x 释放滑行器，测出对应i x 的时间i t ，最后移开光电门G 。从滑行器通过0x 时开始计时，当它从最大位移返回到0x 时，终止计时，测出时间值为2 T t =，可求出达到最大位置的时间2 t t B = 。 从上面的操作中可以看出2 π α= =，A x A 。将测量的i x ，i t 值代入（4）式，看其是 否成立。ω可由（4）式求出，其中B t T 4=。 2、)cos(αωω+=t A v 的验证 使滑行器处于平衡位置，并使挡光板正对坐标原点，然后依次改变光电门的位置（x 取值与1中相同），每次仍均在A x 处释放滑行器，这样可由计时器给出的时间i t ?及滑行距离 s ?（挡光板两相应边距离）可求出i v ，将i v 及1测出的i t 对应代入（3）式时，看是否成 “弹簧振子”模型 太原市第十二中学 姚维明 模型建构： 【模型】常见弹簧振子及其类型问题 在简谐运动中，我们对弹簧振子（如图1，简称模型甲）比较熟悉。在学习过程中，我们经常会遇到与此相类似的一个模型（如图2，简称模型乙）。认真比较两种模型的区别和联系，对于培养我们的思维品质，提高我们的解题能力有一定的意义。 【特点】①弹簧振子做简谐运动时，回复力F=-kx ，“回复力”为振子运动方向上的合力。加速度为m kx a -= ②简谐运动具有对称性，即以平衡位置（a=0）为圆心，两侧对称点回复力、加速度、位移都是对称的。这是解题的关键。 模型典案： 【典案1】把一个小球挂在一个竖直的弹簧上，如图2。当它平衡后再用力向下拉伸一小段距离后轻轻放手，使小球上下振动。试证明小球的振动是简谐振动。 〖证明〗设弹簧劲度系数为k ，不受拉力时的长度为l 0，小球质量为m ，当挂上小球平衡时，弹簧的伸长量为x 0。由题意得mg=kx 0 容易判断，由重力和弹力的合力作为振动的回复力 假设在振动过程中的某一瞬间，小球在平衡位置下方，离开平衡位置O 的距离为x,取向下的方向为正方向 则回复力F=mg+[-k(x 0+x)]=mg-kx 0-kx= -kx 根据简谐运动定义，得证 比较： （1）两种模型中，弹簧振子都是作简谐运动。这是它们的相同之处。 (2）模型甲中，由弹簧的弹力提供回复力。因此，位移(x)，回复力(F)，速度(v)，加速度(a)，各量大小是关于平衡位置O 点对称的。 (3)模型乙中，由弹簧的弹力和重力两者的合力提供回复力。弹簧的弹力大小关于平衡位置是不对称．．．的，这点要特别注意。但是，回复力（加速度）大小关于平衡位置是对称．．的。在解题时我们经常用到这点。 【典案2】如图3所示，质量为m 的物块放在弹簧上， 弹簧在竖直方向上做简谐运动，当振幅为A 时，物体对弹 簧的最大压力是物重的1.8倍，则物体对弹簧的最小压力是 物重的多少倍？欲使物体在弹簧振动中不离开弹簧，其振幅 最大为多少？ 〖解析〗1)选物体为研究对象，画出其振动过程的几个 特殊点，如图4所示， O 为平衡位置，P 为最高点，Q 为最低点。 图2 m 图3 P 点 第２６卷第５期 Ｖ０１．２６Ｎｏ．５ 周口师范学院学报 ＪｏｕｒｎａｌｏｆＺｈｏｕｋｏｕＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ２００９年９月 Ｓｅｐ．２００９ 弹簧质量与弹簧振子振动周期关系的探讨 周俊敏，王玉梅 （周口师范学院物理系，河南周口４６６００１） 摘要：从能量的观点出发，分别讨论了弹簧振子垂直地面放置和平行地面放置时所遵守的运动方程，并通过解微分方程，得出结论．这些结论对指导实验和生产实践有一定的参考价值． 关键词：弹簧振子；振动周期；机械能守恒；运动方程中图分类号：０３２６文献标识码：Ａ 文章编号：１６７１—９４７６（２００９）０５—００５８—０３ 弹簧振子在生产实践中有着十分广泛的应用，而振动的周期是描述振动系统运动的一个非常重要的基本物理量，因此探讨弹簧质量对弹簧振子振动周期的影响就显得十分必要．在实验教学中笔者发现，大部分实验教材直接给出弹簧振子的振动周 ｒ‘‘—？———＝７ 的正方向，建立坐标系如图１（ｂ）所示．设质点的位置坐标为Ｘ，引即为质点相对于坐标原点的位移． 取物体为研究对象，作用在物体上的力有两个：重力大小为ｍｇ，方向竖直向下；弹簧对物体的拉力Ｆ＝一ｋ（ｘ＋ｚ。），方向竖直向上．由此可知物体的合力Ｆ台一一点（ｚ＋Ｘ。）＋ｍｇ＝一妇．由简谐 图１ 期公式为Ｔ一２，ｒ＾／ｍ＋ｃＭ，学生通过实验测出ｆ Ｖ Ｋ 值的范围为０．３２～０．３４，但未从理论上分析ｃ值在这一范围的原因［１－３］．另外，教材中分析弹簧振子振动周期时，大都从力的观点［４＿５１出发得出运动方程．笔者从能量的观点出发，分别讨论弹簧振子垂直地面放置和平行地面放置时所遵守的运动方程，并通过解运动方程得出弹簧振子的振动周期以及 １ 弹簧振子实验报告记录 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 弹簧振子实验报告 一、引言 ●实验目的 1.测定弹簧的刚度系数(stiffness coefficient). 2.研究弹簧振子的振动特性，验证周期公式. 3.学习处理实验数据. ●实验原理 一根上端固定的圆柱螺旋弹簧下端悬一重物后，就构成了弹簧振子.当振子处于静止状况时,重物所受的重力与弹簧作用于它的弹性恢复力相平衡,这是振子的静止位置就叫平衡位置.如用外力使振子离开平衡位置然后释放,则振子将以平衡位置为中心作上下振动.实验研究表明,如以振子的平衡位置为原点(x=0),则当 振子沿铅垂方向离开平衡位置时,它受到的弹簧恢复力F在一定的限度内与振子的位移x成正比,即 (1) 式中的比例常数k称为刚度系数（stiffness coefficient），它是使弹簧产生单位形变所须的载荷.这就是胡克定律.式（1）中的负号表示弹性恢复力始终指向平衡位置.当位移x为负值，即振子向下平移时，力F向上.这里的力F表示弹性力与重力mg的综合作用结果. 根据牛顿第二定律，如振子的质量为m，在弹性力作用下振子的运动方程为： (2) 令，上式可化为一个典型的二阶常系数微分方程，其解为 （） （3） （3）式表明.弹簧振子在外力扰动后，将做振幅为A，角频率为的简谐振动，式中的（）称为相位，称为初相位.角频率为的振子其振动周期为，可得 （4） (4)式表示振子的周期与其质量、弹簧刚度系数之间的关系，这是弹簧振子的最基本的特性.弹簧振子是振动系统中最简单的一种，它的运动特性（振幅，相位，频率，周期）是所有振动系统共有的基本特性，研究弹簧振子的振动是认识更复杂震动的基础. 弹簧的质量对振动周期也有影响.可以证明，对于质量为的圆柱形弹簧，振子周期为 （5） 空气弹簧动力学特性分析 担架支架是伤员运送车辆在行驶途中承载、固定卧姿伤病员 担架的主要设备。担架支架的隔振系统设计在很大程度上决定了 伤病员在运送途中的乘卧舒适性。性能优异的担架支架隔振系统 能有效提高伤员运送车辆的运送能力。空气弹簧是较为合适的可 用于担架支架系统的隔振器,它是利用空气的压缩弹性进行工作的非金属弹性元件。作为隔振元件,空气弹簧具有非线性变刚度特性,通过内压的调整,可以得到不同的承载能力;承受轴向载荷和径向 载荷,可产生相对较好的缓冲隔振效果;还具有结构简单、安装高 度低、更换方便、工作可靠、质量轻、单位质量储能量高等优 点。将空气弹簧增加附加气室能显著降低空气弹簧的刚度及固有 频率。本文对应用于急救车担架支架装置的空气弹簧隔振器的动 态特性进行了理论分析、实验测试、实验建模等方面的研究,为今后进一步研究半主动控制的空气弹簧隔振系统提供了参考依据。 本文首先介绍了空气弹簧的研究与发展现状,对空气弹簧的性能和优缺点进行了比较。并对空气弹簧的动力学特性进行研究,推导了空气弹簧动刚度计算公式,分析了其动力学特性的影响因素, 建立了带附加气室与不带附加气室空气弹簧的力学模型。 其次做了空气弹簧的动力学特性实验,得到如下结论:不带附 加气室时,当初始气压、激振振幅增加时,空气弹簧动刚度随之增加;当激振频率增加时,空气弹簧的动刚度随之减小。空气弹簧的 固有频率几乎保持不变。而带附加气室空气弹簧在节流孔孔径4-7mm范围内,当孔径增大时,空气弹簧动刚度随之减小;当初始气压、激振频率、激振振幅增加时,空气弹簧动刚度随之增加。在高频(8Hz)左右时,振幅、频率的变化对动刚度的改变已不明显。在低频率时,带附加气室能显著降低空气弹簧的动刚度,而在较高频率时,带附加气室会使空气弹簧的动刚度增加。 最后对带附加气室空气弹簧力学模型进行了简化,通过实验数据运用最小二乘法对模型参数进行了识别,并用四个指标对模型拟合精度进行了评价。分析结果表明误差较小,模型能够比较准确的反映出应用空气弹簧隔振器的力学特性。 弹簧质量对弹簧振子振动周期的影响 摘 要：从能量的观点出发，通过对有弹簧质量弹簧振子的振动实验进行研究，分析弹簧振子振动周期与弹簧质量的关系。 关 键 词：弹簧振子；弹簧质量；振动周期 振动作为自然界中最为普遍的运动形式之一, 在物理学的基础理论研究中具有显著地位, 正确理解与掌握振动的客观规律对于深入研究并掌握自然界的普遍运动规律具有十分重要的理论意义和实践意义。作为自然界各种振动形式中最简单的一个抽象物理模型——简谐振子, 由一质量为m 的质点和一劲度系数为k 的无质量理想弹簧所组成, 其振动周期为 2T = (1) 在高中和大学物理中，弹簧质量对振动的影响往往被忽略。显然，这在弹簧质量远小于振子质量的情况下是可行的。但在一些实际问题中，人们往往会用弹簧的有效质量来对理想的弹簧振子振动周期公式进行修正。查阅相关资料可知，由机械能守恒定律计算出有效质量为031 m （其中0m 为弹簧质量）；进一步由质心运动定理却得出有效质量为 02 1 m ，从而得到 “弹簧振子佯谬”；而利用数值计算解超越方程的方法，得出“有效质量随振子与弹簧质量比的增大而减小”，“当振子与弹簧质量比较大时，有效质量可小于03 1 m ”，“不能简单地认为有效质量介于031m 和 02 1 m 之间”等结论。理论繁杂冗乱，令人眼花缭乱。本文通过对弹簧振子垂直地面放置的模型进行分析，并通过解微分方程，得出最终的周期公式。 考虑弹簧质量时弹簧振子的振动周期（弹簧与地面垂直情况） 查阅资料可知，弹簧振子的周期T 与劲度系数k 、振子质量m 有关，在弹簧质量不可忽略时，还要考虑弹簧自身质量0m 的影响，则弹簧振子的振动周期公式可写为： k Cm m T 0 2+=π (2) 式中0Cm 即为弹簧的有效质量，C 为待定系数，在下文中称为“有效质量系数”。 为了验证该公式并分析在弹簧与地面垂直情况下有效质量系数的大小，可以对该模型进 行进一步分析。 实验十九 弹簧振子的研究 【实验目的】 1.研究弹簧本身质量对振动的影响； 2.研究不同形式的弹簧，其质量对振动的影响是否相同 【实验仪器】 弹簧（锥形的、柱形的），停表（或数字毫秒计及光电门），砝码，托盘。 【实验原理】 设弹簧的劲度系数为k ，悬挂负载质量为m (图 19-1)。一般给出弹簧振动周期T 的公式为 k m T π 2= （19-1） 测量加各种不同负载m 的周期T 的值，作T m -图线，如图 19-2(a)，可以看出T 与m 不是线性关系，但是作m T -2图 线，则显然是一直线（图19-2(b)），不过此直线不通过 零点，即 0=m 时02≠T 。从上述实验结果可以看出在弹簧周期公式中的质量，除去负载 m 还应包括弹簧自身质量0m 的一部分，即 )219(20 -+=k Cm m T π 式中C 为未知系数。在此实验中就是研究C 值。 【实验内容】 研究锥形弹簧的C 值 (1)先测弹簧的质量0m 。其次测量弹簧下端悬挂不同负载m 时的周期T （砝码托盘的质量应计入负载中）， 共测 n 次。(2)用停表测量周期时，要测量连续振动50次的时间t 。握停表 的手最好和负载同步振动。 为了显示0m 的影响，负载 m 的 起始值应尽可能取小些（比如0m 的三分之一左右或更小），变化范围适当大些。 n 也应大些。 2.数据处理 将式（19—2）改为 )319(442 022 -+=m k cm k T ππ 则得令 k b cm k a m x T y 2 022 4,4,,ππ= === bx a y += 从n 组),(i i y x 值，可以求得b a 、值，从而求出C 值， bm a C = （19-4） 并且C 的不确定度)(c u 为 )519())(())(())(( )(2 022-++=m m u b b u a a u C C u 3.研究柱形弹簧的C 值，步骤同上 4.比较二C 值是否一致。 注意：有的弹簧，当所加负载增到某值m 附近时，在上下振动的同时有明显地左右摆动，这对测量周期很不方便，这时可在弹簧上端加一长些的吊线即可解决 回答问题： 1.你对如何测准周期有何体会？ 2.对此实验的结果你作些什么说明？设想再做什么探索？ 测量举例 1.锥形弹簧（No.15） g m g m 8242.1)(,651.120='=托盘 弹簧振子的简谐振动 弘毅学堂汪洲2016300030016 实验目的： （1）测量弹簧振子的振动周期T。 （2）求弹簧的倔强系数k和有效质量 m 实验器材 气垫导轨、滑块、附加砝码、弹簧、光电门、数字毫秒计。 实验原理： 在水平的气垫导轨上，两个相同的弹簧中间系一滑块，滑块做往返振动，如图2.2.4所示。如果不考虑滑块运动的阻力，那么，滑块的振动可以看成是简谐运动。 设质量为1m 的滑块处于平衡位置，每个弹簧的伸长量为0x ，当1m 距平衡点x 时，1m 只受弹性力10()k x x -+与10()k x x --的作用，其中1k 是弹簧的倔强系数。根据牛顿第二定律，其运动方程为 1010()()k x x k x x mx -+--= 令 12k k = 则有 kx mx -= ① 方程①的解为 00sin()x A t ω?=+ 说明滑块做简谐振动。式中，A 为振幅，0?为初相位，0ω叫做振动系统的固有圆频率。有 0k m ω= 且 10m m m =+ 式中，m 为振动系统的有效质量，0m 为弹簧的有效质量，1m 为滑块和砝码的质量。 0ω由振动系统本身的性质所决定。振动周期T 与0ω有下列关系 222T πω= == ② 在实验中，我们改变1m ，测出相应的T ，考虑T 与m 的关系，从而求出k 和0m 。 实验内容： （1）按气垫导轨和计时器的使用方法和要求，将仪器调整到正常工作状态。 （2）将滑块从平衡位置拉至光电门左边某一位置，然后放手让滑块振动，记录A T 的值。要求记录5位有效数字，共测量10次。 （3）再按步骤（2）将滑块从平衡位置拉至光电门右边某一位置测量B T ，重复步骤（2）共测量10次。 取A T 和B T 的平均值作为振动周期T ，与T 相应的振动系统有效质量是10m m m =+，其中1m 就是滑块本身（未加砝码块）的质量，0m 为弹簧的有效质量。 （4）在滑块上对称地加两块砝码，再按步骤（2）和步骤（3）测量相应的周期。有效质量20m m m =+，其中2m 为滑块本身质量加上两块砝码的质量和。 （5）再用30m m m =+和40m m m =+测量相应的周期T 。式中， 3m =1m +“4块砝码的质量” 4m =1m +“6块砝码的质量” 注意记录每次所加砝码的号码，以便称出各自的质量。 （6）测量完毕，先取下滑块、弹簧等，再关闭气源，切断电源，整理好仪器。 （7）在天平上称出两弹簧的实际质量并与其有效质量进行比较。 数据处理： 空气弹簧的优点及分类 近年来，非线性课题一直是各学科的研究前沿，在隔振领域也不例外。随着隔振设计中对隔振系统各种性能指标要求的提高，迫使人们不断探索新型的隔振器。非线性隔振器能够自动避开共振，有效抑制振动幅值、隔离冲击，因而受到广泛的关注。线性隔振器却不能自动避开共振。 非线性隔振器的刚度是随隔振器变形量的不同而变化的，因而由非线性隔振器组成的隔振系统其固有频率与振动幅值有关。如果隔振器是非线性硬特性的，固有频率随振幅的增加而上升；如果隔振器是非线性软特性的，固有频率随振幅的增加而下降。当设备在启动过程中经过共振点时，被隔振设备的振动幅值将出现峰值，高出静态位移许多倍。随着振幅的迅速增长，由非线性隔振器组成的隔振系统其固有频率将上升或下降，从而避开共振频率。对于线性隔振器，其刚度值是不变的，只能通过阻尼作用控制共振振幅。但是过了共振点之后，隔振器的隔振效率因为阻尼的作用而下降。 此外非线性隔振器还能有效防止冲击。对于非线性硬特性的隔振器其刚度随变形量的增加而上升，遇到冲击时，簧上载荷的加速度随变形量的增加而增大，因而在较小的变形下冲击速度迅速降低。对于非线性软特性的隔振器其刚度随变形量的增加而降低，因而能够起到缓冲作用，但隔振器的变形量较大。在很多情况下不允许有太大的变形量，就应该选择非线性硬特性隔振器来防止冲击。 根据上述分析，空气弹簧是一种理想的隔振元件。空气弹簧是在柔性密闭容器中加入压力空气，利用空气压缩的非线性恢复力来实现隔振和缓冲作用的一种非金属弹簧。它具有优良的非线性硬特性，因而能够有效限制振幅，避开共振，防止冲击。空气弹簧隔振系统的固有频率可以设计得很低，甚至达1Hz以下，而橡胶隔振器的自振频率一般为5-7 H z。所以空气弹簧的隔振效率比起其它隔振元件高得多，而且能够隔离低频振动。特别是因为空气弹簧隔振系统容易实施主动控制，作为一种具有可调非线性静、动态刚度及阻尼特性的隔振元件，空气弹簧的应用越来越广泛。 1.2 空气弹簧的分类及特点 1.2.1 空气弹簧的分类 目前国内、外对空气弹簧的分类方法很不统一，大致有下列几种： （一）按橡胶囊的曲数分类 空气弹簧按橡胶囊的曲数分为单（一）曲，双（二）曲，三曲，……，n曲，如图1-3和图1-4所示。随着曲数的增加，刚度变小，空气弹簧隔振系统的固有频率也相应减小。但这不仅给制造上带来了麻烦，而且还会引起橡胶囊的弹性不稳，因此一般只使用到4曲。 （二）按结构型式分类 1. 日本《空气弹簧》一书中的分类： 胶囊型空气弹簧：轮胎型[ 图1-3 (c) ] 平板型[ 图1-3 (a)、(b) ] 耳垂型[ 图1-4 (b) ] 2. 我国的分类： 空气弹簧：囊式空气弹簧[ 图1-2、1-3 ] 约束膜式空气弹簧[ 图1-4 (a) ] 自由膜式空气弹簧[ 图1-4 (b) ] 气轨上弹簧振子的简谐振动 目的要求： （1）用实验方法考察弹簧振子的振动周期与系统参量的关系并测定弹簧的劲度系数和有效质量。 （2）观测简谐振动的运动学特征。 （3）测量简谐振动的机械能。 仪器用具： 气轨（自带米尺，2m,1mm），弹簧两个，滑块，骑码，挡光刀片，光电计时器，电子天平（0.01g），游标卡尺（0.05mm），螺丝刀。 实验原理： （一）弹簧振子的简谐运动过程: 质量为m1的质点由两个弹簧与连接，弹簧的劲度系数分别 为k1和k2，如下图所示： 当m1偏离平衡位置x时，所受到的弹簧力合力为 令 k=，并用牛顿第二定律写出方程 解得 X=Asin() 即其作简谐运动，其中 在上式中，是振动系统的固有角频率，是由系统本身决定的。m=m 1+m0是振动系统的有效质量，m 0是弹簧的有效质量，A是振幅，是初相位，A和由起始条件决定。系统的振动周期为 通过改变测量相应的T，考察T 和的关系，最小二乘法线性拟合求出k 和 （二）简谐振动的运动学特征: 将（）对t 求微分 ） 可见振子的运动速度v 的变化关系也是一个简谐运动，角频率为，振幅为，而且v 的相位比x 超前 .消去t，得 v2=ω02(A2?x2) x=A时，v=0，x=0 时，v 的数值最大，即 实验中测量x和v 随时间的变化规律及x和v 之间的相位关系。 从上述关系可得 （三）简谐振动的机械能: 振动动能为 系统的弹性势能为 则系统的机械能 式中：k 和A均不随时间变化。上式说明机械能守恒，本实验通过测定不同位 置x上m 1的运动速度v，从而求得和，观测它们之间的相互转换并验证机 械能守恒定律。 （四）实验装置： 1.气轨设备及速度测量 实验室所用气轨由一根约2m 长的三角形铝材做成，气轨的一端堵死，另 一端送入压缩空气，气轨的两个方向上侧面各钻有两排小孔，空气从小孔喷出。把用合金铝做成的滑块放在气轨的两个喷气侧面上，滑块的内表面经过精加工弹簧振子的简谐振动
汽车用空气弹簧垂向弹性特性分析与计算.
空气弹簧研究综述
弹簧振子实验报告
气垫导轨上弹簧振子振动的研究
气垫弹簧振子的简谐振动实验报告
弹簧振子的简谐振动
空气弹簧动力学特性分析
简谐振动的研究·实验报告
《弹簧振子》模型
弹簧质量与弹簧振子振动周期关系的探讨(精)
弹簧振子实验报告记录
空气弹簧动力学特性分析
弹簧质量与弹簧振子振动周期关系的探讨
实验十九 弹簧振子的研究
弹簧振子的简谐振动
空气弹簧的优点
气轨上的弹簧简谐振动实验报告