二次函数七大综合专题

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二次函数七大综合专题

二次函数与三角形的综合题

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函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径的特点，进而得出已知三求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角①．．角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、

旋转等知识来推导边的大小。

则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长③若两个三角形的各边均未给出，

度，之后利用相似来列方程求解。x y。B(0，，0)、E(30)两点，与3)轴交于点如图，已知抛物线与交于A(－1，求抛物线的解析式；1）（，求四边形AEDB的面积；（2）设抛物线顶点为D DBE是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。与△3）△AOB

（

x，与．轴交于点B?（2016益阳第21题）的抛物线经过坐标原点如图，顶点为O3,1)A(）求抛物线对应的二次函数的表达式；（1y；OAB，求证：△OCD≌△的平行线交过（2）B作OA，轴于点C交抛物线于点D x的周长最小，求出P点的坐标．3（）在，使得△轴上找一点PCD P

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考点：考查二次函数，三角形的全等、三角形的相似。）∵抛物线顶点为（1，解析：3,1)A(

2，设抛物线对应的二次函数的表达式为13)?y?a(x?1．，0）代入表达式，得将原点坐标（0?a?33212．∴抛物线对应的二次函数的表达式为：xx?y??33312

2点坐标为：代入，中，得B（2）将3,0)(20y?x???xy33OA对应的一次函数的表达式为，设直线kx?y33,1)A(中，得，代入表达式将kx?y?k33．∴直线OA对应的一次函数的表达式为x?y33对应的一次函数的表达式为，BD∥AO，设直线BD∵by?x?33

代入B将中，得，3,0)(2?byx?2?b?33．BD对应的一次函数的表达式为∴直线2?y?x3

?3

?yx?2??3，由得交点D的坐标为3)3,?(??321?2xy???x?33?3代入，点的坐标

为将中，得C2)(0,??x?2y0?x3．由勾股定理，得：OA=2=OC，AB=2=CD, OD23??OBOC?OA?? OCDOAB与△中，，∴△OAB≌△OCD．在△CDAB???ODOB????PCD它使得△与轴的交点即为点轴的对称点3）点关于，的坐标为，则（P(0,2)DCCC xx的周长最小．??∽DQQ，则PO∥．∴．⊥

过点D作DQ，垂足为yDQ?CPOC??2CPOPOO32，∴，, 即∴???PO

?5DQCQ5332的坐标为点∴．P?,0)(5

二次函数与平行四边形的综合题

7）．0，4）和（的抛物线经过点A6，0B（x=1例：如图，对称轴为直线2 1）求抛物线解析式及顶点坐标；（））））））））））．

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为对角线是以OAy）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF（2）设点E（x，的取之间的函数关系式，并写出自变量xS与x的平行四边形，求平行四边形OEAF的面积值范围；是否为菱形？24时，请判断平行四边形OEAF①当平行四边形OEAF的面积为的坐标；若不存在，请E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点②是否存在点E 说明理

由．

二次函数综合题．【考点】压轴题．【专题】可用顶点式二次函数通式来设抛物线，然后将）已知了抛物线的对称轴解析式，【分析】（1 两点坐标代入求解即可．A、B点的横坐标，用抛物线

E2倍，因此可根据（2）平行四边形的面积为三角形OEA面积的的高，由此可根据三角OAE

点纵坐标的绝对值即为△的解析式求出E点的纵坐标，那么E 的函数关系式．与x的面积与x

的函数关系式进而可得出S形的面积公式得出△AOE的长；，OA的值，即可得出E点的坐标和OE将①S=24代入S，x的函数关系式中求出x是菱形，则需满足平行四边形相邻两边的长相等，据此可判断出四如果平行四边形OEAF OEAF是否为菱形．边形点的坐标应该是等腰直角三角形，即EOEAF是正方形，那么三角形OEA②如果四边形点．3）将其代入抛物线的解析式中即可判断出是否存在符合条件的E，﹣为（3

）因为抛物线的对称轴是x=，【解答】解：（1

2 x﹣）+k．（设解析式为y=a

，B两点坐标代入上式，得，把A

﹣a=．，解得k=

2．，﹣）﹣y=（x）﹣，顶点为（故抛物线解析式为

2，）y=）在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合（x﹣﹣yxE∵2（）点（，））））））））））．）））））））））

∴y＜0，

即﹣y＞0，﹣y表示点E到OA的距离．

∵OA是OEAF的对角线，

2S=2S∴．x﹣）+25OA××?|y|=﹣6y=﹣4（=2△OAE，6，0）因为抛物线与x轴的两个交点是（1，0）和（x＜＜6．所以自变量x的取值范围是1

2 +25=24．根据题意，当S=24时，即﹣4（x﹣）①

2 =．化简，得（x﹣）=4．x=3，x解得21有两个，故所求的点E ，，﹣4）（分别为E（3，﹣4），E421 OE=AE4）满足，点E（3，﹣1所以平行四边形OEAF是菱形；）不满足OE=AE，点E（4，﹣42 OEAF不是菱形；所以平行四边形OEAF是正方形，②当OA⊥EF，且OA=EF 时，平行四边形，此时点E的坐标只能是（3，﹣3））的点不在抛物线上，而坐标为（3，﹣

3 故不存在这样的点E，使平行四边形OEAF为正方形．图形面积的求法、平行四边形的性质、菱【点评】本题主要考查了二次函数解析式的确定、形和正方形的判定等知识．综合性强，难

度适中．2，2+bx+c的顶点坐标为（28题）如图，在平面直角坐标系中，抛物

线y=ax?（2016泰安第．E（9），与y轴交于点A0，5），与x轴交于点、B2（1）求二次函数y=ax+bx+c的表达式；上PAC作平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点在AC2（）过点A的面积最大？在何位置时，四边形APCDDAB于点，问当点Py方），作PD平行与轴交并求出最大面积；

为顶点的四边形是平MEN3（）若点M在抛物线上，点在其对称轴上，使得以A、、N、的坐标．、MN 为其一边，求点行四边形，且AE

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【考点】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数关系式，函数极值额确定方法，平行四边形的性质和判定，解本题的关键是建立函数关系式求极值．

【分析】（1）设出抛物线解析式，用待定系数法求解即可；

2=建立函数关系式S+4x+5），P坐标（x，﹣x（2）先求出直线AB解析式，设出点APCD四边形2+10x，根据二次函数求出极值；﹣2x 的坐标．M，NHMN≌△AOE，求出M点的横坐标，从而求出点（3）先判断出△

2【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x﹣2）+9，∵抛物线与y轴交于点A（0，22∴4a+9=5，∴a=﹣1，y=﹣（x﹣5），2）+9=﹣x+4x+5，

2（2）当y=0时，﹣x+4x+5=0，∴x=﹣1，x=5，∴E（﹣1，0），B（5，0），设直线AB的21解析式为y=mx+n，∵A（0，5），B（5，0），∴m=﹣1，n=5，2∴直线AB的解析式为y=﹣x+5；设P （x，﹣x +4x+5），∴D（x，﹣x+5），

2222xPD=﹣∴，2x+10x）=﹣××ACPD=2（﹣x+5x﹣+4x+5+x5=﹣x+5x，∵AC=4，∴S=APCD四边形

S ∴∴当x=﹣=时，=，APCD最大四边形（3）如图，

∥AE，MN=AE，作AOE，∴过MMH垂直于对称轴，垂足为H，∵MN∴△HMN≌△点M，当x=3时，点的横坐标为x=3或x=1，当x=1时，M点纵坐标为8MHM=OE=1，∴，（﹣1A（0，5），E3（8，∴M点的坐标为M1，8）或M（，8），∵纵坐标为21在抛物线的解析式为y=5x+b，∵点N∴解析式为0），∴直线AEy=5x+5，∵MN∥AE，MN222222=，=AE ∴MN =26 ∵，∴对称轴x=2上，N（210+b），AE=OA+0E ∵MN=AE ∴MN 22 2M点的坐标为∵M点，∴8）（]10+b+[812（﹣）

﹣（）=1+b+2），3（）或，（18M21））））））））））．

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）1+（b+2∴MN=MN，∴M，M关于抛物线对称轴x=2对称，∵点N在抛物线对称轴上，22112，点的坐标为（1或10+b=3 ∴当M=26，∴b=3，或b=﹣7，∴10+b=13 ），N点坐标为（2，3，13），

当M点的坐标为（3，8）时，28）时，N点坐标为（

函数极此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数关系式，【点评】解本题的关键是建立函数关系式求极值额确定方法，平行四边形的性质和判定，值

与图形的平移与旋转变换性质有关的综合题

121?x-y?2x0)≠二次函数的图象与一次函数y=kx+b(k（2016?重庆第26题）如图1，2是二次函数图象的，点B在第一象限内，点C两点，点的图象交于A，BA的坐标为（0,1），x轴的垂线，垂足为N≠0)的图象与x轴的交点，过点B作顶点，点M是一次函数y=kx+b(k ︰48。︰且SS=1AONB△AMO四边形和直线BC的解析式；（1）求直线AB，与抛物线交于点G射线是线段BC上一点，PD//x 轴，PD（2）点P是线段AB上一点，点DHAB上找一点PF与PE的乘积最大时，在线段BC⊥x轴于点E，PF⊥于点F，当PE过点P作22的最小值；GH+BH的值最小，求点B（不与点A，点重合），使HGH+的坐标和BH22121x?x-y?2平移，平，将二次函数3,4）沿直线BC，直线（3）如图2AB上有一点K（2////是KAC；当△C，平移后抛物线上点A，点C的对应点分别

为点A，点移的距离是t(t≥0) 的值。直角三角形时，求t y

B

DPG

FA OMxEN C1图

。(0,1)，∴AO=1的坐标为参考答案：（1）∵点A 。=1S︰S︰4948=1︰∵SS︰，∴BMN△△AMO四边形AONB△AMO。。

∴︰AOBN=1︰7BN=7可知，∽△由△AMOBMN））））））））））．

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12127?x?x- =-2。，解得x=6令y=7，则，x212 1分）∵点B在第一象限，∴点B的坐标为(6,7)。………（ y=kx+b中得，将点A(0,1)，B(6,7)代入1?b?1k??，解得??1?6k?b?7b??分）∴直线AB的解析式为y=x+1。………（2 是二次函数图象的顶点，∴点∵点CC的坐标为

(2,-1)。………（3分） BC的解析式为y=mx+n(m≠0)，将点B(6,7)，C(2,-1)代入得，设直线27?6m?nm???。，解得??n?2m?1?5?n???分）。………（4∴直线BC的解析式为

y=2x-513a? ,a+1)。(a,a+1)（2）设点P的坐标为。则点D的坐标为(211a?a?33，

PE=a+1PD=()-a=。∴22 PDF∽△BQN可知，设直线BC与x轴的交点为点Q，由△

2PF75??)?a(6PF= ，∴。………（5分）PD5557255562?5a?a)(6?a?∴

PE·PF=(a+1)·0

JR55B??x=有最大值。·∴当PF时，PE25H)??2(5DGP75FA)。,此时点P的坐标为(Q 22OMxENC7171221?2x1?x-?y?x-2x把y=中得，代入二次函数22227(5, 的坐标为=5。∴点G解得分） x=-1，x6)。………（212 GH。JHJ上一点，作⊥BR于点，

连接ABHRyxBRB过点作∥轴交轴于，点是线段））））））））））．

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22 BH=GH+HJ，∠AMO=45°，BHJH=。GH+∴∠JBH=222y

GH+J三点在同一条直线上时，，的值最小。当点G，HBH2BT 7分）的坐标为此时点

H(5,6)，………（K/A72 8分）。GH+BH的值最小为………（22A/C，AT∥BC（3）过点A作Ox22////C。，CC=AA=t平移过程中AC=AC=552/1t??2t) (设点C的坐标为,

55525/1tt?() 则点,A的坐标为55(3,4) 的坐标为∵点K522185222/2//2/26t?t?18t??t

=8，C，K(AA∴K==)C。5555221822//26??tt?18t?t) 8=()+(①当AC为斜边时，552?2?5225 =分） =………（10或t。t解得2151852222/26??tt?t?18t) K为

斜边时，=8+(②当A5554。 t=分）………（解得1152251822/18?t?t?26t?t) 为斜边时，=8+(③当CK5512分）。………（解得t=02?5?222554//或0或。A综上所述，当△CK是直角三角形时，或t=

与直角三角形性质有关的综合题

2，＝－1≠0)的对称轴为直线x(y枣庄第（2016?25题）如图，已知抛物线＝ax＋bx＋ca.

Bx0（，3）两点，与轴的另一个交点为C），（且经过A10，））））））））））．

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BC和抛物线的解析式；，C两点，求直线y＝mx＋n经过B⑴若直线的距离之和最的距离与到点CM到点Ax＝－1上找一点M，使点⑵在抛物线的对称轴M的坐标；小，求点的为直角三角形的点P1上的一个动点，求使△BPC⑶设点P为抛物线的对称轴x＝－坐标．

第25题图

b?1,????1,a???a2??2,b??0,?b?ca?）依题意，得解之，得参考答案：解：（1 ????3.c?3.c????23x?xy???2 2分．∴抛物线解析式为…………………………………………

Ax），（1，∵对称轴为0＝－1，且抛物线经过

B．（－3，0∴）nmxBCy＋）、＝（0，3）分别直线把，得（－3，0

1,0,n?m??3m???解之，得??3.?3.n?n??3y?x?BC…………的解析式为3分∴直线．MCMAMCMBMAMB.

+=+，∴（2）∵=xMCMBCMA最小的点与对称轴+应为直线＝∴使题第25.

的交点－1xMBCx1 ，把与对称轴＝－＝－1的交点为设直线3?y?x y2.

代入直线，得＝M分）………………………………………………………………………6∴，（－12 CBPt，得 3）（0，结合），（－3，0）3 （）设，（－1，2BC 18，＝2222t PBt 41＋3)＋＋，

＝＝(－2222tt PCt10.

－3)－＝6＝(－1)＋(＋222PCPBBBC为直角顶点，则＝＋，即①若 22tttt2.＝－解之＋,＝得－6

＋10. 4 18＋222PBPCCBC若＝为直角顶点，则＋，即②22tttt4．＋．解之，得＝410＋ 18

－6＋＝））））））））））．

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222BCPPBPC为直角顶点，则＝＋，即③若17?3?17322ttttt 4＋，＋＝－6＋10＝18．解之，

得＝．2122P , 综上所述，满足条件的点分别为共有四个17317?3?PPPP，)．…110分) ,(－1，－2), (－1，4), (－1(，－421322

与相似三角形性质有关的综合题2，）3，1c+bx+c（b，为常数）的图象经过点A （（2016?湖州）如图，已知二次函数y=﹣x，交该二次函数图象于点D，B∥x轴，交y轴于点，

C（0，4）顶点为点M，过点A作AB点连结BC．）求该二次函数的解析式及点M的坐标；（1）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶m＞0（2）若将该二次函数图象向下平移m（，求m的取值范围；ABC的内部（不包括△ABC的边界）点落在△相似，请直△BCD，点C，点M所构成的三角形与（3）点P是直线AC上的动点，若点P 的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．接写出所有点P

【考点】二次函数综合题．【专题】二次函数图象及其性质．的值，通过配方法得到cC的坐标代入函数解析式，即可求出b、1【分析】（）将点A、点的坐标；点M代入求x=1向下平移的，可先求出直线AC的解析式，将）点（2M是沿着对称轴直线x=1 的值，即可得到m的取值范围；yM在向下平移时与AC、AB相交时出点PCM分成△与PCM△BCD相似，则要进行

分类讨论，由题意分析可得（3）∠MCP=90°，则若△CDB两种，然后利用边的对应比值求出点坐标．或△PCM∽△∽△BDC2 +bx+c得，，04）代入二次函数y=﹣x，点31【解答】解：（）把

点A（，1）C

（

解得

2x∴﹣二次函数解析式为y= +2x+4，2﹣，1）+5xy=配方得﹣（））））））））））．

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∴点M的坐标为（1，5）；

（2）设直线AC解析式为y=kx+b，把点A（3，1），C（0，4）代入得，

解得、两边分别交于点Ex=1与△ABCy=∴直线AC的解析式为﹣x+4，如图所示，对称轴直线

F

点

，1））3，点F坐标为（1，代入直线把x=1AC解析式y=﹣x+4解得y=3则点E坐标为（1，4；3，解得2＜m＜m∴1＜5﹣＜）坐标为（0，5GMG）连接MC，作⊥y轴并延长交AC于点N，

则点3

（

4=1 ﹣，GC=5∵MG=1

=∴MC=，5），11x+4y=5把代入y=﹣解得x=﹣，则点N坐标为（﹣，，，∵NG=GCGM=GC ∴∠NCG=∠GCM=45°，NCM=90∴∠°，））））））））））．

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由此可知，若点P在AC上，则∠MCP=90°，则点D与点C必为相似三角形对应点

BDC，则有△PCM∽△若有①，BD=1，CD=3∵

，∴CP=== CD=DA=3，∵°，∴∠DCA=45 轴，轴右侧，作P在yPH⊥y若点

∵∠PCH=45°，CP=

∴PH==

y= ，，解得把x=代入y=﹣x+4

P∴（）；1

y=代入﹣y=﹣x+4，解得同理可得，若点P在y轴左侧，则把x=

P∴（）；2

，则有∽△CDB 若有②△PCM

∴CP==3

=3÷，∴PH=3 y=1；﹣在y轴右侧，把x=3代入y=x+4，解得若点Py=7 3代入y=x+4，解得﹣﹣在若点Py轴左侧，把x=P∴．3；3（，1）P（﹣，7）43

P个，分别为P∴所有符合题意得点坐标有4，（）（，）P，P31），（321．），（﹣P374解题的关【点

评】一次函数解析式及相似三角形性质，本题考查了二次函数的图象与性质、的坐标．P键是分类讨论三角形相似的不同情况，结合特殊角的使用来求出点

二次函数与圆的性质有关的综合题））））））））））．

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2x）与＜0﹣5m（m（2016?巴中第31题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=mx+4mx

x，与y=x相交于点E、B（点A在点B的左侧），该抛物线的对称轴与直线轴交于点A

轴yPF⊥PD交x上（不与原点重合），连接PD，过点P作轴相交于点D，点P在直线y= ．F，连接DF于点

16①，求抛物线的解析式；）如图所示，若抛物线顶点的纵坐标为（B2A两点的坐标；（、）求PDFPPE3②的大小为定与点重合时，所示，小红在探究点（的位置发现：当点）如图∠

PDFPy=x的大小为定值．请（不与原点重合），上任意一点值，进而猜想：对于直线∠你判断

该猜想是否正确，并说明理

由．

二次函数综合题．【考点】2y=05y=mx+4x1可求得函数图象（），然后令【分析】（﹣）先提取公式因式将原式变形为BAx的坐标，然后依据抛物线的对称性可得到抛物线的从而可求得点与、轴的交点坐标，

y=6mx=2x=2的值；﹣，于是可求得，故此可知当时，﹣对称轴为B12A的坐标；）的可知点（、）由（OFO3PBFPDPFOD、，的度数，然后再由（）先由一次函数的解析式得到，证明点⊥⊥∠DPFPDF=60°．、、共圆，最后依据圆周角定理可证明∠2 y=mx15m+4mx，）（【解答】解：﹣∵2xy=m（∴x+55=m+4x x1））﹣（（﹣）．x+5y=0mx1=0，﹣（令得：）（）m0≠，∵x=5x=1．﹣或∴0B1A50），（﹣、（，）．∴））））））））））．

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2x=．﹣抛物线的对称轴为∴6，抛物线的顶点坐标为为∵

9m=6．﹣∴

m=．﹣∴

2y=x﹣抛物线的解析式为∴x+．﹣0021A5B1．））（、）由（，）可知：（（﹣，3）如图所示：（

xOPy=，的解析式为∵AOP=30°．∴∠PBF=60°∴∠FOODPFPD，，⊥⊥∵FOD=90DPF=°．∠∴∠FOD=180DPF+°．∠∴∠OFDP共圆．点、、、∴PDF=PBF．∠∴∠PDF=60°．∴∠

二次函数与方程根和关系的关系、函数值大小比较有关的综合题

23m2m)x－＋1－mxy＝＋(1已知抛物线题）2016【题与x轴相交于不同17】（?广州第24BA、, 的两点m的取值范围）求（1PP，并求出点的坐标；（2）证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点））））））））））．

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AB的面积是否有最值，和构成时，由））求出的.值；若没有，请说明理有，求出最值及相对应的综合性强［难易］

根的判别式，韦达定理，最值的求法［考点］

01m m1）根据根的判别式求出的取值范围，注意［解析］（3x=4y=P(3,4)

2故过定点）令,得出,（1S4=··AB ABP△求出的取值范围，，再根据（3）利用韦达定理写

出AB的长度m2ABP△

面积的范围［参考答案］0m1ì（1）根据已知可知í

2)(1-2m0-4m(1-3m)>?2)2-m(1)m-3-4m(122m+12-4mm=1-4+4m

218m-m+=16201)->=(4m11m01m4-1所以所以4101m1m且. 所以m的取值范围为43=x221+x3m=(x+-2x-3)mmxy=1+x-2mx+-令（2）,，则令

2x4y=0=y3x=3x=-1,x=1x=-0-3=-2x，；当时，得；当时，21轴上，所以抛）在x，），因为（－10，所以抛物线过定点（－1，0）（3，4(3,4)

的坐标为P物线一定经过非坐标轴上一点P，

12m-12m-x,x,0),0),(x=·x+x=x(则, （3）A,B的坐标为设2121mm21

m1-m2-13xx,=x+=·x2211mm2)AB=xxxxx-(=x+·-4 211122））））））））））．

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(m21)-(2m)m(1-3-4m=2m

22m4m124+1-m+-4m=2m

2m161+8-m=2m21)(4m-=2m14m31-1-114m2)-8=-2′2

￡8AB==·(4 ,因为所以2AB＝,所以＝m44mmm1112112S-<4-=

精品文档考试教学资料施工组织设计方案））））））））））．