自适应滤波算法分析

自适应滤波算法及其应用

摘要：

自适应滤波器理论是现代信号处理技术中的重要组成部分。而自适应滤波算法作为自适应滤波器的重要组成部分，直接决定着滤波性能的优劣。本文从自适应滤波器基本原理入手，介绍了自适应滤波器的基本理论思想，算法及设计方法。本文介绍了两种最基本的自适应算法，即最小均方误差(LMS)算法和递归最小二乘（RLS)算法，并针对两种算法的性能及优缺点进行了详细的比较。最后，介绍了几种自适应滤波算法的应用，自适应滤波器去除噪声的原理和从强噪声背景中采用自适应滤波提取有用信号的方法，自适应预测器，自适应均衡器。

1.自适应滤波原理

自适应滤波是利用前一时刻已获得的滤波器参数的结果，自动的调节现时刻的滤波器参数，以适应信号和噪声未知的或随时间变化的统计特性，从而实现最优滤波。自适应滤波器实质上就是一种能调节其自身传输特性以达到最优的维纳滤波器。自适应滤波器不需要关于输入信号的先验知识，计算量小，特别适用于实时处理。

由于无法预先知道信号和噪声的特性或者它们是随时间变化的，仅仅用FIR 和IIR两种具有固定滤波系数的滤波器无法实现最优滤波。在这种情况下，必须设计自适应滤波器，以跟踪信号和噪声的变化。

在自适应滤波器中，参数可调的数字滤波器一般为FIR数字滤波器，IIR数字滤波器或格型数字滤波器。自适应滤波分2个过程。第一，输入信号想x(n)通过参数可调的数字滤波器后得输出信号y(n)，y(n)与参考信号d(n)进行比较得误差信号e(n)；第二，通过一种自适应算法和x(n)和e(n)的值来调节参数可调的数字滤波器的参数，即加权系数，使之达到最佳滤波效果。

自适应滤波器的一般形式如图1所示，图中 输入信号 x(n)加权到数字滤波器产生输出信号y (n)，自适应算法调节滤波器权系数使输出y(n)和滤波器期望的响应 d(n)之间的误差信号e(n)为最小。自适应滤波器的系数受误差信号的控制，根据e(n)的值 和自适应算法自动调整。一旦输入信号的统计规律发生了变化，滤波器能够自动跟踪输入信号的变化，自动调整滤波器的权系数，实现自适应过程，最终达到滤波效果。

图1.1 自适应滤波器原理图 2.最小均方误差(LMS)算法

LMS 算法即最小均方误差(least-mean-squares) 算法，是由Widrow 和Hoff 提出的线性自适应滤波算法，包括滤波过程和自适应过程。因其具有计算量小、易于实现等点而在实践中被广泛用。

LMS 算法是一种基于最小均方误差准则的随机梯度下降算法，其核心思想就是利用单次采样获得的平方误差代替均方误差，通过调节权系数使得滤波器的输出信号y(n)与期望响应信号d(n)之间的均方误差或2()e n 最小。其梯度估计值如下式：

2[()]()2()()()e n n e n x n w n ∧

??==-? （2-1） 参数可调的数字滤波器 自适应算法LMS ∑ d(n)

e(n) y(n )) x(n)

这种瞬时估计法是无偏的，因为它的期望值E[)(n ?∧

]等于矢量)(n ?。因此，按照自适应滤波器滤波系数矢量的变化与梯度矢量估计的方向之间的关系，可以先写出LMS 算法的公式如下：

1(1)()[()]()()()2w n w n n w n e n x n μμ∧∧∧∧+=+-?=+ (2-2) 将式e(n)=d(n)-y(n)和e(n)=d(n)-w H x(n)代入到上式中，可得到

(1)()()[()()()]

[()()]()()()H

H w n w n x n d n w n x n I x n x n w n x n d n μμμ∧∧∧∧+=+-=-+

(2-3)

图2.1 自适应LMS 算法信号流图

由上式可以得到自适应LMS 算法的信号流图，这是一个具有反馈形式的模型，如图2-1所示。如同最陡下降法，我们利用时间n=0的滤波系数矢量为任意的起始值w(0),然后开始LMS 算法的计算，其步骤如下。

(1)由现在时刻n 的滤波器滤波系数矢量估值)(n w ∧

，输入信号矢量x(n)以及期望信号d(n)，计算误差信号： ()()()()H e n d n x n w n ∧

=- (2-4)

(2)利用递归法计算滤波器系数矢量的更新估值：

)()()()1(n x n e n w n w μ+=+∧

∧ (2-5) 其中，μ是收敛因子，()W n 为自适应滤波器在时刻n 的权矢量，

()[(),(1),......(1)]X n x n x n x n L =--+T 为时刻n 的输入信号矢量，L 是自适应滤波器的长度。()d n 为期望输出值，()v n 为干扰信号，()e n 是误差信号。μ是步长因子。LMS 算法收敛的条件为：max 01/μλ<<，max λ是输入信号自相关矩阵的最大

特征值。将时间指数n 增加1，回到步骤(1)，重复上述计算步骤，一直到达稳态为止。自适应LMS 算法简单，它既不要计算输入信号的相关函数，又不要求矩阵之逆，因而得到了广泛的应用。但是，由于LMS 算法采用梯度矢量的瞬时估计，它有大的方差，以致不能获得最优滤波性能。

3.递归最小二乘（RLS ）算法

SISO 系统动态过程的数学模型：

11()()()()()A z z k B z u k n k --=+ (3-1)

其中()u k ，()z k 为输入输出量，()n k 为噪声。式中

11212()1...a

a n n A z a z a z a z ----=++++11212()...

b b n n B z b z b z b z ----=+++

展开后得到：

1212()(1)(2)...(1)(2)...()a b n n b z k a z k a z k a bu k b u k b u k n =------+-+-++- 模型（1）可化为最小二乘格式：

()()()z k h k n k τθ=+ (3-2)

记1212[,,...,,,...,]a b n n a a a b b b τθ=为待估计的参数。

()[(1),...,(),(1),...,()]a b h k z k z k n u k u k n τ=------，对于1,2,...k L =（L 为数据长度）。方程（2）构成一个线性方程组，写成()()()L L L z k H k n k θ=+；

(1)(2)()L z z Z z L ??????=?????? ，(1)(2)()L h h H h L τττ??????=????????

，(1)(2)()L n n n n L ??????=??????

根据最小二乘法一次完成算法，其参数估计为：1?()L L L L

LS H H H Z ττθ-=。 参数递推估计，每取得一次新的观测数据后，就在前次估计结果的基础上，利用新引入的观测数据对前次估计的结果，根据递推算法进行修正，减少估计误差，从而递推地得出新的参数估计值。这样，随着新观测数据的逐次引入，一次接一次地进行参数估计，直到参数估计值达到满意的精确程度为止。 算法步骤：

步骤一：初始化(0)0W =；1(0)P I σ-=，其中I 为单位矩阵；

步骤二：更新1,2,...n =计算

更新增益矢量：()(1)()/[()(1)()]T g n P n X n X n P n X n λ=-+-；

滤波： ()(1)(T y n W n X n =-；

误差估计： ()()()e n d n y n =-；

更新权向量： ()(1)()()W n W n g n e n =-+；

更新逆矩阵： 1()[(1)()()(1)]T P n P n g n X n P n λ-=---；

其中，()P n 为自相关矩阵()xx P n 的逆矩阵，常数λ是遗忘因子，且01λ<<。 综上所述：算法实现的主要步骤为：(1)数据采集与生成，取()d n ，()X n ；(2)对参数的初始化；(3)自适应的滤波处理；(4) 滤波器系数更新。

4.LMS 和RMS 算法性能比较

LMS 算法的性能优缺点归纳如下：

1) 无需进行矩阵求逆就可以求解维纳方程,不需要知道输入信号 X(n) 的自相关矩阵 R 以及输入信号和期望信号的互相关矩阵 P;

2) 较之最速下降法,该算法不需要离线的梯度估计或者数据副本;

3) 结构简单易于实现,且能够获得较高的性能;

4) 计算复杂度低,广泛应用于线性时不变系统。

5) 对于许多输入信号具有稳健性。

LMS 算法的缺点主要有以下几个方面:

1) 因为 LMS 算法没有采用期望计算梯度,导致在迭代过程中,各个滤波系

数都会产生较大的偏差。因此在当算法达到稳态时,不会终止于维纳解,而是来回波动于误差性能曲线的最优点附近。

2)由于传统的LMS 算法使用固定步长因子,导致收敛速度与稳态失调之

间存在不可调和的矛盾:当μ较大时,算法收敛速度较快,但是稳态失调较大;相反, μ较小时,稳态失调较小,但是收敛速度比较缓慢。

3)由于输入信号功率在迭代过程中会发生动态变化,因此会产生梯度噪声放大问题。

4)输入矩阵R 的特征值和时域LMS 算法中权矢量W(n) 的收敛速度成反比,特征值越大收敛速度就越快,但是如果特征值太大,会导致系统不稳定。同时,时域LMS 算法的性能对R 的特征值分散度非常敏感,R 的特征值太分散时,算法的收敛速度就会很慢。只有所有的特征值都相等时,才可获得最好的收敛性能。以上分析说明输入信号的自相关矩阵对时域LMS 算法的收敛性能有很大的影响。但是大多数实际信号特征值不都相等,所以,总体来说时域LMS 算法的收敛速度一般是比较慢的。

RLS(递推最小二乘法)算法的关键是用二乘方的时间平均的最小化锯带最小均方准则，并按时间进行迭代计算。对于非平稳信号的自适应处理，最合适的方法是采用最小二乘自适应滤波器。它使误差的总能量最小。RLS算法的优点是收敛速度快，其收敛性能与输入信号的频谱特性无关，但其缺点是计算复杂度很高，对于N阶的滤波器，RLS算法的计算量为O(N2)，为了对非平稳信号进行跟踪，RLS算法引入了数加权遗忘因子λ。该遗忘因子的引入，使RLS算法能够对非平稳信号进行跟踪。

由于LMS算法只是用以前各时刻的抽头参量等作该时刻数据块估计时的平方误差均方最小的准则，而未用现时刻的抽头参量等来对以往各时刻的数据块作重新估计后的累计平方误差最小的准则，所以LMS算法对非平稳信号的适应性差。RLS算法的基本思想是力图使在每个时刻对所有已输入信号而言重估的平方误差的加权和最小，这使得RLS算法对非平稳信号的适应性要好。与LMS算法相比，RLS算法采用时间平均，因此，所得出的最优滤波器依赖于用于计算平均值的样本数，而LMS算法是基于集平均而设计的，因此稳定环境下LMS算法在不同计算条件下的结果是一致的。在性能方面，RLS的收敛速率比LMS要快得多，因此，RLS在收敛速率方面有很大优势。

5.自适应滤波算法的应用

自适应滤波技术的应用非常广泛，可以说，只要是在信号的统计特性或信号是随时间变化的非平稳过程的场合，都有自适应滤波器的用武之地。目前，在通信、控制、雷达、导航、声呐、生物医学工程等诸多领域和学科中都有自适应滤波器的应用。这里以自适应噪声对消为例进行简要介绍。

自适应噪声对消是自适应滤波器LMS 算法的一种应用，自适应噪声对消以噪声干扰为处理对象，将它们抑制掉或进行非常大的衰减，以提高信号传递和接收的信噪比质量。噪声对消是利用干扰信号的相关性把它们抑制掉，但对不相关或相关性很弱的噪声信号无能为力，这些噪声信号不但不能被抵消，反而会对滤波器产生干扰，使算法效果受到影响。为了区分这两种干扰噪声信号，我们把滤波器要抵消的强相关性干扰噪声称为加性干扰噪声信号n 0，把那些不相关和相关性较弱的干扰噪声信号称为噪声信号v 。图5.1为自适应噪声抵消的原理框图。

图5.1 自适应噪声对消原理框图

如图中所示，主输入中含有希望提取的相关信号s 和加性干扰信号n 0 、噪声信号v ，参考输入为n1，信号s 与v 、n 0 、n 1 均不相关，n 0和n 1相关，与v 不相关。s 、v 、n 0、n 1都为零均值信号。由图1 可知，自适应滤波器的输出y 为n 1的滤波信号。因此，自适应抵消系统的输出为： e = s + n 0 + v - y 上式两边平方后取数学期望，即对时间n 取长时平均，由于s 与v 、n 0 、n 1 不相关，由此得：

E( e 2 ) = E[ ( s + v)2] + E[ ( n 0 - y) 2 ] (5-1)

当调节滤波器参数使E(e 2 ) 最小化时，E[ ( s + v) 2 ] 不受影响，从而使最小输出能量为： 信号源s 噪声源n 1 自适应滤波器

∑ d=s+n 0

v y

e

Emin ( e2 ) = E[ ( s + v) 2 ] + Emin [ ( n0 - y) 2 ] (5-2)

当E( e2 ) 最小时，E[ ( n0 - y)2 ] 也同时为最小，所以滤波器输出y 即为n0 的最佳估计值，从而达到噪声抵消的目的。

6.结论

自适应滤波技术是现代信号处理学科中非常重要的一环，其应用领域十分广阔。本文以LMS算法和RLS算法为主，分析了自适应滤波算法的基本原理和设计方法，对其主要性能及优缺点进行了分析，同时以自适应噪声对消为例介绍了自适应滤波技术的具体应用情况。

与LMS相比较，RLS算法具有较好的启动速度和收敛速度，对非平稳信号适应性强，其滤波性能也好于LMS算法，但其计算复杂度高，不便于实时处理。而LMS算法存在收敛速度不够快和抵抗突出值干扰能力不够强的缺点。如何能够改进RLS算法，降低算法复杂度以及提高LMS算法收敛速度是需要进一步研究的方向。

参考文献

[1] 崔旭涛, 何友, 杨日杰. 自适应滤波算法的仿真及工程实现[J]. 现代电子技

术, 2009, 32(18):179-181.

[2] 张会先. 自适应滤波算法的研究与应用[D]. 西安电子科技大学, 2012.

[3] 秦为, 马烈. 自适应滤波抑制电子设备窄带干扰的研究[J]. 海军航空工程学

院学报, 2006, 21(3): 361-363.

[4] 武雨春. 自适应滤波算法及其在回波抵消中的应用[J]. 硕士学位论文, 大连

理工大学, 2000.

[5] 辛英, 于静. 自适应卡尔曼滤波算法改进与仿真[J]. 中国科技信息, 2011,

22: 026.

[6] 张常云. 自适应滤波方法研究[J]. 航空学报, 1998, 19(7): 96-99.

[7] 赵欣波, 杨苹. 基于LMS 算法的自适应滤波及在回声消除中的应用[J]. 信

息技术, 2006, 30(8): 28-30.

[8] 龚耀寰, 电子学. 自适应滤波[M]. 电子工业出版社, 1989.

[9] 邹艳碧, 高鹰. 自适应滤波算法综述[J]. 广州大学学报(自然科学版), 2002,

1(2): 44-50.