《高等数学(II)》期末考试
2015-2016(2)《高等数学》(Ⅱ)期末复习
基础题
1.求下列微分方程的通解或特解:
(1) 09=+''y y ,9)0(,1)0(='=y y ; (2)690y y y ''++=,(0)1,(0)1y y '== (3) 22y y x '''+=; (4)2323e x y y y '''-+=; (5)2433e x y y y x '''-+= . 2.设函数44224z x y x y =++,求
11
,,x y z z
dz x y
==????.
3.设2
2
(,e )x
y z f xy -=,其中f 具有一阶连续偏导数,求
,z z x y
????. 4.设(),z f x y =是由方程323z xyz a -=所确定的隐函数,求
,z z x y
????. 5.设3
e cos x
z y x y -=+,求2,,.z z z
x y x y
???????.
6.设(,)z z x y =由方程20z e z xy +--=所确定的隐函数,求
z x ??,z y ??. 7.设22(,sin )z f x y x =-,其中f 具有一阶连续偏导数,求
??z x ,??z
y
,d z . 8.设23e x y z +=,而2sin ,x t y t ==,求
d d t z
t
=.
9.设(,)z z x y =由方程xyz x y z =++所确定,求
z x ??,z
y
??,d z . 10.设(,arctan )z f x y x y =+,其中f 具有一阶连续偏导数,求
??z x ,??z
y
. 11.设函数y x z xy x y =+-,求d z ,2z
x y
???.
12.设2cos z u v =,222u x y =+,v xy =,求??z x ,??z
y
. 13.求函数226810z x x y y =--++的极值.
14.求函数322(,)42f x y x x xy y =-+-的极值.
15.一平面过原点且与平面132=++z y x 与156=+-z y x 垂直,求该平面方程. 16.求过点(0,2,4)且与两平面21x z +=和23=-y x 平行的直线方程. 17.求空间曲线23,,x t y t z t ===在点(1,1,1)处的切线方程及法平面方程. 18.求曲面222169x y z ++=在点0(3,4,12)M 处的切平面方程和法线方程. 19.求函数2
2
1ln()4z x y x y
=
+---的定义域,并画出定义域的图形.
20.计算积分d d D
I xy x y =??,其中D 是由曲线1xy =,直线,3y x x ==所围成的闭区域.
21.计算D
I ydxdy =??,其中D 由221,0x y y x y +===及所围成的在第一象限内的闭区域.
22.计算22(1)d D
I x y σ=++??,其中D 是由圆周229x y +=及坐标轴所围成的在第一象限
内的闭区域.
23.计算积分2(32)d D
I x y σ=+??,其中平面区域D 是由,1y x x ==与x 轴围成的.
24.设平面薄片所占的闭区域D 由22
4x y +=所围成,它的面密度为22
(,)x y x y e μ--=,求该
薄片的质量. 25.判定级数1!
5
n
n n ∞
=∑
的敛散性. 26.判断级数13!n
n n n n ∞
=?∑的敛散性.
27.判断级数1
2(1)
5n n
n n ∞
=+∑的敛散性 28.判定级数21533
n n n ∞
=??
+ ???∑的敛散性.
29.判定级数()
1
11
1(1)
n n n n ∞
-=-+∑是否收敛?若收敛,是绝对收敛还是条件收敛?
30.判定级数1
(1)3
n
n n n
∞
=-∑是否收敛?若收敛,是绝对收敛还是条件收敛?
提高题
1.设函数(,)z z x y =由方程222z x y z yf y ??
++= ???
所确定,其中f 可导.证明:
222()22z z
x y z xy xz x y
??--+=??. 2.设(,)z z x y =由(,)0F x z y z ++=所确定,其中(,)F u v 具有一阶连续偏导数,求证 1z z x y
??+=-??.
3.设()f x 在闭区间[0,1]上连续,且 1 0
()d f x x A =?,证明: 1 1
2
1d ()()d 2
x
x f x f y y A =
??. 4.已知级数1
n n a ∞=∑与1
n n b ∞=∑都收敛,且(1,2,3,)n n n a c b n ≤≤= ,证明:级数1
n n c ∞
=∑收敛。
5.设函数(),z f x y =在点()1,1处可微,且()1,1
1f =,()
1,12f
x ?=?,
()
1,13f y ?=?,
()()(),,x f x f x x ?=,求
()3
1d d x x x
?=. 6.已知()x ?在[)0,+∞上连续,且
() 0
d n
x x n ?≤?,又()1
d n n
D
a n x
y ?σ-=??,其中
(){},01,01D x y x y =≤≤≤≤ ()1,2,3,n = ,试证明级数21
n n a ∞
=∑收敛.
7.设10u >,11u ≠,2
n+11(1)2n n u u u =+,1,2,n = 。试讨论级数1
n n u ∞
=∑的敛散性.
8.已知级数12011n n n n n a a a a a a ∞+=-??+- ???
∑收敛,且12111, n n n a a a a a +-===+,(2,3,)n = ,
试判断1
n n a ∞
=∑的敛散性.
9.设(,)f x y 在闭区域22{(,)|,0}D x y x y y x =+≤≥上连续,且
228
(,)1(,)d πD
f x y x y f x y σ=---
??,求(,)f x y