直角三棱锥的几个性质

直角三棱锥的几个性质

有一类特殊的三棱锥，它的经过同一顶点的三条棱两两垂直，我们不妨把这种三棱锥称作直角三棱锥，从结构上看，它是平面的直角三角形在空间的扩展。循着直角三角形的一些重要性质对直角三棱锥进行探究，我们能得到直角三棱锥的有趣的相应性质。

我们已经学习过的直角三角形的性质有：

性质1：RtΔ的垂心就是直角顶点。

性质2：RtΔ的两个锐角互余。

性质3：RtΔ两直角边的平方和等于斜边的平方。

性质4：RtΔ中，斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影比例中项；每条直角边是它在斜边上的射影和斜边的比例中项；由此，RtΔ两条直角边的平方比等于它们在斜边上的射影比。

性质5：RtΔ两直角边的乘积，等于斜边与斜边上高的乘积。

性质6：RtΔ斜边上的中线等于斜边的一半。

(所以RtΔ的外接圆半径R＝c＝)。

性质7：RtΔ的内切圆半径r＝＝(a＋b－c)。

现在我们来探究一下直角三棱锥的性质。如图所示，在三棱锥P-ABC中，三条侧棱PA、PB、PC 两两垂直，设PA＝a，PB＝b，PC＝c。

性质1：直角三棱锥的底面是锐角三角形。

证明：∵PA、PB、PC两两垂直，∴PA⊥面PBC，PB⊥

面PCA，PC⊥面PAB，∴面PAB、面PBC、面PCA两两垂直。

作PH⊥面ABC于H，连CH并延长并交AB于D，连PD，则

PH⊥AB，PH⊥CD，面PCD⊥面ABC；而PC⊥面PAB PC⊥AB，

所以AB⊥面PCD，∴AB⊥PD，AB⊥CH。同理，AH⊥BC，BH

⊥CA。

由AB⊥面PCD知CD⊥AB，而PD⊥AB且∠APB＝

90°，∴∠ABC、∠CAB为锐角。同理，∠BCA也是锐角，

性质2：直角三棱锥顶点在底面的射影是底面三角形的垂心。

证明：由AB⊥CH，AH⊥BC，BH⊥CA易知，H是ΔABC的垂心，由此可得：

性质3直角三棱锥顶点到底面的距离为h则＝＋＋。

证明：在RtΔPAB中，PD·AB＝PA·PB PD＝；在RtΔPCD中，CD＝PD＋PC＝()＋c＝；在RtΔPCD中，PH⊥CD，∴PD·PC＝CD·PH PH＝

＝＝，∴＝＝

＋＋。

性质4：直角三棱锥三条侧棱与底面所成角的正弦值的平方和等于1。（三条侧棱与底面所成角，和三个侧面与底面所成角互为余角。）证明：因PH⊥面ABC，∴侧棱PC与底面ABC所成角为∠PCH＝α，则有sin∠PCH＝sinα＝

＝＝。同理,侧棱PB与底面ABC所成角为∠PBH＝

β,sin∠PBH＝sinβ＝，侧棱PA与底面ABC所成角为∠PAH＝γ，sin∠PBH ＝sinγ＝，所以sinα＋sinβ＋sinγ＝1。因此，

性质5：直角三棱锥三个侧面与底面所成角的余弦值的平方和等于1。

由AB⊥PD,AB⊥CD，∴侧面PAB与底面ABC所成角为∠PDC＝θ,由PC⊥PD知θ＋α＝90°,∴sin α＝sin(90°－θ)＝cosθ。类似推理，由sinα＋sinβ＋sinγ＝1。易得：sinθ＋sin

δ＋sin＝1。

性质6：①底面内任一点到顶点距离的平方，等于它到三个侧面距离的平方和。

如图，Q为底面ΔABC内任一点，作点Q到面PAB的距离为RQ＝d，到面PBC的距离为RT＝d，到面PCA的距离为RS＝d，容易

得到：PQ＝RQ＋RP＝RQ＋

RT＋RS＝d＋d＋d

性质7：直角三棱锥底面三角形的面积S＝。

证明：底面三角形的面积S＝AB·CD＝·＝

，

性质8：直角三棱锥三个侧面面积的平方和，等

于底面面积的平方。

证明

把S＝S·S；S＝S·S；S

＝S·S；这三个式子相加，得S＝S＋S＋

S。

性质9：直角三棱锥外接球的半径R＝。

证明：将直角三棱锥补成长方体，则直角三棱锥的外接球也是长方体的外接球，其球心是长方体的中心，半径为长方体对角线的一半。因此有

性质10：直角三棱锥内切球的半径r＝。

证明：设直角三棱锥内切球半径为r，球心为Ｏ，连OA,OB,OC，则把直角三棱锥分成四个小三棱锥，∴ V＝V＋V＋V＋V，

∵ S＝，∴×ab×c＝×ab×r＋×bc×r＋×ca

×r＋×××r ，

∴r＝。