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微分方程的稳定性理论简介
一阶方程的平衡点及稳定性
设有微分方程
()()t f x x ?
= （1）
右端方程不显含自变量t ，称为自治方程。代数方程
()0f x =
的实根0x x =称为方程（1）的平衡点（或齐点）它也是方程（1）的解（齐解）。
如果存在某个邻域，使方程（1）的解()x t 从这个邻域内的某个(0)
x 出发，满足
0lim ()t x t x →∞
= （3）
则称平衡点0x 是稳定的（稳定性理论中称渐近稳定）；否则，称0x 是不稳定的(不渐近稳定)
判断平衡点0x 是否稳定点通常有两种方法。利用定义即（3）式称
间接法。不求方程（1）的解()x t ，因而不利用（3）式的方法称直接法。下面介绍直接法。
将()f x 在0x 点做
Taylor 展开，只取一次项，方程（1）近似为
'
00()x t f x x x ?
=?（）（） （4） （4）称为（1）的近似方程，0x 也是方程（4）的平衡点。关于0x 点稳定性有如下结论：
若'
0f x （
）<0, 则0x 对于方程（4）和（1）都是稳定的； 若'
0f x （
）>0，则0x 对于方程（4）和（1）都是不稳定的。
0x 对于方程（4）的稳定性很容易由定义（3）式证明，因为若记'0()f x a =，
则（4）的一般解是
0()at x t ce x =+
其中c 是由初始条件决定的常数，显然，当0a <时（3）式成立。
二阶方程的平衡点和稳定性
二阶方程可用两个一阶方程表示为
112212()(,)
()(,)
x t f x x x t g x x ?
=???=? （6）
右端不显含t ，是自治方程。代数方程组 1212(,)0
(,)0
f x x
g x x =??
=? （7）
的实根011x x =，022x x =称为方程（6）的平衡点，记做00012(,)P x x 。
如果存在某个邻域，使方程（6）的解1()x t ，2()x t 从这个邻域内的某个12((0),(0))x x 出发，满足
011lim ()t x t x →∞
= ，022lim ()t x t x →∞
= （8）
则称平衡点0P 是稳定的（渐近稳定）；否则，称0P 是不稳定的（不渐近稳定）。
为了用直接法讨论方程的（6）的平衡点的稳定性，先看线性常系数方程
11122
21122
()()x t a x a x x t b x b x ?
=+??
?=+? （9）
系数矩阵记做
11a A b ?=?? 22a b ?
?? （10）
为研究方程（9）的唯一平衡点0P （0，0）的稳定性，假定A 的行列式
det 0A ≠ (11)
0P （0，0）的稳定性由（9）的特征方程
det()0A I λ?= （12） 的根λ（特征根）决定。方程（12）可以写成更加清晰的形式
2120
()det p q p a b q A λλ?++=?=?+??=?
（13）
特征根记作1λ，2λ，则
1λ
，21
(2
p λ?=? （14） 方程（9）的一般解具有形式1
2
1212()t t c e c e λλλλ+≠或1
2
1212()t t c e c te λλλλ+=，
1,c ，2,c 为任意常数。按照稳定性的定义（8）式可知，当1λ，2λ为负数或
有负实部时0P （0，0）是稳定平衡点；而当1λ，2λ有一个为正数或有正实部时0P （0，0）不是稳定平衡点。在条件（11）下1λ，2λ不可能为零。
微分方程稳定性理论将平衡点分为结点、焦点、鞍点、中心等类型，完全由特征根1λ，2λ或相应的,p q 取值决定。下表简明地给出了这些结果，表中最后一列指按照定义（8）式得到的关于稳定性的结论。
表1 由特征方程决定的平衡点的类型和稳定性
由表1可以看出，根据特征方程的的系数,p q 的正负很容易判断平衡点的稳定性，准则如下：若
0,0p q >> （15） 则平衡点稳定；
若0p < 或0q < （16）
则平衡点不稳定。
以上是对线性方程（9）的平衡点0P （0，0）稳定性的结论，对于一般的非线性方程（6），可以用近似线性方法判断其平衡点
00012(,)P x x 的稳定性。在0P 点将12(,)f x x 和12(,)g x x 作Taylor 展开，只取
一次项，得（6）的近似线性方程
12
1
2000000112111222000000212111222()(,)()(,)()()(,)()(,)()x x x x x t f x x x x f x x x x x t g x x x x g x x x x ?=?+????=?+?? （17）
系数矩阵记作
1
1x x f A g ?=??? 2002012(,)
x x P x x f g ???? （18）
特征系数为
1
1
()x x P p f g =?+，det q A = （19）
显然，0P 点对于方程（17）的稳定性由表1或在准则（15），（16）决定，而且已经证明了如下结论：
若方程（17）的特征根不为零或实部不为零，则0P 点对于方程（6）的稳定性与对于近似方程（17）的稳定性相同，即由准则（15），（16）决定。
最后，提出以下几点值得注意：
1. 平衡点及其稳定性的概念只是对自治方程（1），（6）而言才有意义。
2. 非线性方程（1），（6）的平衡点的稳定性，与相应的近似线性方程（4），（17）的平衡点的稳定性一致，是在非临界情况下（即0a ≠或,0p q ≠）得到的，在临界情况下（即0a =或,0p q =）二者可以不一致。
3. 在讨论平衡点稳定性时，对初始点的要求是存在一个邻域，这是局部稳定的定义。如果要求对任意的初始点，（3），（8）式成立，称为全局稳定。对于线性方程，局部稳定与全局稳定是
等价的，对于非线性方程，二者不同。
4. 对于临界情况，和非线性方程的全局稳定，可以利用相轨线分析方法讨论。
微分方程的定性理论
对某些实际问题，建模的主要目的并不是要寻求动态过程每个瞬间的性态，而是研究某种意义下稳定状态的特征，特别是当时间充分长后动态过程的变化趋势。为分析这种稳定与不稳定的规律，常常不需要求解微分方程，而是利用微分方程的稳定性理论，直接研究平衡状态的稳定性即可。因此，常微分方程的定性和稳定性理论已成为数学建模必备的基础理论知识。 动力学体系、自治系统与非自治系统 1. 基本概念
考虑微分方程的初值问题
(,)dX
F t X dt
= (1) 00()X t X = （2） 其中
1,2,(...,)T n X x x x =
(,)F t X =()
11,21,1,(,...),(,...),...,(,...)
T
n n n n f t x x f t x x f t x x
以下我们都假设(,)F t X 是t 、X 的函数，且保证解的唯一性，即(,)F t X 对X 满足利普希茨（Lipschitz ）条件：存在L ，使|(,)(,)|||F t X F t X L X X ?≤?，于是初值问题（1）、（2） 存在唯一的解
00(;,)X X t t X =, (3)
设方程组（1）表示某一运动系统，其中自变量t 视为时间，而X 是在
n 维空间n R 中质点运动时点的坐标1,2(,...,)n x x x 。这时解（3）称为运动
系统（1）在时刻t 质点通过点0,0()t X 的一个运动。在把时间t 当做参数的这种解释下，称（1）是一个动力系统，称空间n R 为相空间。参数方程（3）在相空间中确定的曲线称为相轨线，简称轨线。 以下只考虑2n =的情形，这时（1）、（2）变为
(,,)(,,)dx
P t x y dt
dy Q t x y dt
?=???
?=?? （4） 它满足初值条件00,00()()x t x y t y ==的解为
()
()x x t y y t =??
=?
（5） 方程组（4）是二维动力系统，Oxy 平面就称为动力系统（4）的相平面。以t 为参数，解（5）在相平面上所描绘的曲线就是相轨线或轨线。 如果方程组(4)的右端函数显含自变量t ，则称它为非自治系统，相应地，把右端函数不显含t 的方程组
(,)(,)dx
P x y dt
dy Q x y dt
?=???
?=?? （6） 称为自治系统（或定常系统）。 例1 考虑自治系统
dx
y dt
dy x dt
?=????
?=?? 显然，cos ,sin x t y t ==是方程组满足初值条件(0)1,(0)0x y ==的解。它在三维空间{(,,)}t x y 中表示的曲线是一条螺旋线。如果上述方程
线是一个圆221x y +=，
它是上述曲线在Oxy 平面上的投影，当t 轨线的方向如图所示，它表明当时刻0t =时 经过点(1,0)的质点做逆时针方向的周期性运动。
2. 自治系统相轨线的基本性质
假设自治系统（6）的右端函数在相平面2R 满足存在唯一性定理条件，则它的轨线有以下基本性质：
性质 1 设()x x t =，()y y t =是自治系统（6）的一个解，则
(),()x x t c y y t c =+=+也是(6)的解，其中c 是任意常数。
性质2 自治系统（6）经过相平面上任意一点0,0()x y 存在唯一的一条轨线。