高三一轮复习：集合与命题
高三一轮复习：集合
【知识要点】
一、集合的概念：能够确切指定的一些对象组成的整体。（“∈”、“?”） 1、元素的性质：确定性、无序性、互异性（检验）。 2、集合的分类：有限集、无限集、空集（?）； 高中阶段常见数集和点集；
常见的数集：N *、N 、Z 、Q 、R 、C 。 3、表示方法：列举法、描述法、图示法。 二、集合之间的关系： 1、子集：B A ?或A B ?。
2、真子集：A ?≠B ?B A ?且B A ≠。
3、相等的集合：?=B A B A ?且B A ?。
【注】（1）空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集； （2）任何集合是其自身的子集；
（3）集合的传递性：若B A ?，C B ?，则C A ?；
（4）含有n 个元素的集合的子集的个数为n 2，真子集的个数为12-n
，非空子集的
个数为12-n ，非空真子集的个数为22-n
。
三、集合的运算：
1、交集：=B A I {A x x ∈|且B x ∈}；
2、并集：=B A Y {A x x ∈|或B x ∈}；
3、补集：U A =e{U x x ∈|且A x ?}。
【例题解析】
1、用列举法表示下列集合：
（1）集合=A {1|2-=x y y ，2||≤x ，∈x Z }； （2）集合=B {1|),(2-=x y y x ，2||≤x ，∈x Z }；
（3）集合83C x
x x ??=∈∈??+??
N Z ，； 【解】（1）=A {1-，0，3}；
（2）=B {)3,2(，)3,2(-，)0,1(-，)0,1(，)1,0(-}； （3）=C {2-，1-，1，5}。
2、已知集合ππ24k A x x k ??==
+∈????Z ，，ππ42k B x x k ??
==+∈????
Z ，，则集合A 与B 的关系是A B ?≠。 【解】(21)π4k A x x k ?+?==
∈????Z ，，(2)π4k B x x k ?+?
==∈????
Z ，，则A B ?≠。 【变式】已知集合1
6
M x x m m ??==+∈???
?
Z ，，123n N x x n ??==
-∈???
?
Z ，， 126p P x x p ??
==+∈????
Z ，，则三个集合之间的关系为M N P ?=≠。 【解】613(21)266m m M x x m ?
++-?==
=∈???
?Z ，，326n N x x n ?-?
==∈????
Z ，， 313(1)266p p P x x p ?++-?
===∈????
Z ，，则M N P ?=≠。
3、已知集合=A {1，a ，b }，=B {a ，2
a ，a
b }，若B A =，求实数a 和b 。
【解】由题意，得：???==ab b a 21或???==2
1a
b ab ，解得：???==11b a 或???=-=01
b a 。 当1=a ，1=b 时，与元素的互异性矛盾，舍；
当1-=a ，0=b 时，==B A {1，1-，0}，满足题意。 综上，1-=a ，0=b 。
【变式】已知集合=A {2
a ，1+a ，3-}，=B {3-a ，12-a ，12+a }，若=B A I {3-}，
求实数a 的值。（1-）
4、已知集合=P {06|2=-+x x x }，=S {01|=+ax x }，若P S ?，求实数a 的值。 （实数a 的值为0，31，2
1-）
5、已经集合=A {043|2<--y y y }，集合=B {321|-≤<-a x a x }，若A B A =Y ，求实数a 的取值范围。
【解】)4,1(-=A ，因为A B A =Y ，所以A B ?。 当B =?时，得321-≥-a a ，解得：2≤a ；
当B ≠?时，得??
?
??<--≥->4
32112
a a a ，解得：272< 综上，实数a 的取值范围是?? ? ??∞-27, 。 【变式】已知],2[a A -=，=B {32|+=x y y ，A x ∈}，=C {2|x z z =，A x ∈}，若 C C B =I ，求实数a 的取值范围。 【解】由题意得：2->a ，=B {321|+≤≤-a y y }。 当02<<-a 时，=C {4|2≤≤z a z }； 当20≤≤a 时，=C {40|≤≤z z }； 当2>a 时，=C {20|a z z ≤≤}； 因为C C B =I ，所以B C ?，从而???≥+≤<-43222a a 或? ??+≤>322 2a a a ， 解得：221≤≤a 或32≤ ? ???3,21。 6、（1）已知集合=A {1|2-=x y y ，∈x R }，集合=B {22|2+-=x y x ，∈x R }，则 =B A I ),1[∞+-； （2）已知集合=A {1|),(2-=x y y x ，∈x R }，集合=B {22|),(2+-=x y y x ，∈x R }，则=B A I )}0,1(),0,1{(-。 7、（2009年上海卷）已知集合}1|{≤=x x A ，}|{a x x B ≥=，且=B A Y R ，则实数a 的取值范围是]1,(-∞； 【变式】已知集合}1|{≤=x x A ，{|}B x x a =>，若A B =?I ，则实数a 的取值范围是[1,)+∞。 8、设M 、N 是两个非空集合，定义M 与N 的差集为=-N M {M x x ∈|，N x ?}。已知=M {4|||≤x x }，=N {06|2>--x x x }，则=--)(N M M [4,2)(3,4]--U 。 【解】]4,4[-=M ，),3()2,(∞+--∞=Y N ， ]4,3()2,4[)(Y I --==--N M N M M 。 9、已知集合3(,) 12y A x y x y x ? -? ==∈∈??-? ? R R ，，，=B {2|),(+=ax y y x ，x ∈R ，y ∈R }，若A B =?I ，则实数a 的值为1 12 或 ； 【变式】已知集合3(,) 12y A x y x y x ? -? ==∈∈??-? ? R R ，，，=B {(,)|1x y y x =+，x ∈R ，y ∈R }，则()U A B =I e{(2,3)}。 10、判断以下命题的真假： （1）设全集=U R ，若=A {013|2>--x x x }，则U A =e{013|2≤--x x x }；（√） （2）设全集=U R ，若=A ??????≥--032 x x x ，则U A =e? ?????<--032x x x 。（×） 【变式1】设集合=A {4|4||2+≤+-x m x x x }，若A ∈0，A ?2，则实数m 的取值范围是)2,4[--； 【变式2】设集合=A 21a x a x a ??-?? ≥??-????，若A ∈2，A ?3，则实数a 的取值范围是 11,(2,3]32?? ??? U 。 11、某班有50名学生，其中18人参加了数学竞赛，20人参加了英语竞赛。已知两项竞赛都参加了的有8人，则两项都没参加的有 20 人。（图示法） 【变式】设全集=U {50|2 ()()U U A B =I 痧{5}，求集合A 和B 。 【分析】=U {1，2，3，4，5，6，7}， ()( )()U U U A B A B ==U I 痧?{5}， 由图可得：=A {1，3，4，7}，=B {2，3，6，7}。 命题与条件 【知识要点】 一、命题：可以判断真假的语句叫做命题。 1、判断真命题需要证明，判断假命题只要举一反例即可。 2、命题的四种形式： 3、等价命题：对于两个命题A 和B ，如果B A ?，A B ?，那么A 和B 就叫做等价命题。一个命题与其逆否命题是等价命题，逆命题与否命题也是等价命题。 4、词语的否定形式：“是”与“不是”，“都是”与“不都是”，“且”与“或”，“＞”与“≤”，“至少一个”与“一个也没有”，“至多一个”与“至少两个”，“任意”与“存在”等。 二、充分条件和必要条件： 1、βα?：①α是β的充分条件，②β是α的必要条件，③β的充分条件是α，④α的必要条件是β； 2、βα?：α是β的充要条件； 3、βα?，βα?/：①α是β的充分非必要条件，②β是α的必要非充分条件。 三、子集与推出关系：设A 、B 都是非空集合，=A {a a |具有性质α}，=B {b b |具有性质β}，则B A ?等价于βα?。 【例题解析】 1、写出命题“已知a 、b ∈Z ，若a 、b 都是奇数，则b a +是偶数”的其他三种命题并判断四个命题的真假。 2、若A 是B 的充分非必要条件，B 是C 的充要条件，D 是C 的必要非充分条件，则D 是 A 的 必要非充分 条件。 3、判断下列各题中α是β的什么条件： （1）α：两个数的和是有理数，β：这两个数都是有理数；（必要非充分条件） （2）α：集合B A =，β：C B C A I I =；（充分非必要条件，反例如C =?） （3）α：01>x 且02>x ，β：021>+x x 且021>x x ；（充要条件） 【变式】α：31>x 且32>x ，β：621>+x x 且921>x x ；（充分非必要条件） （4）若x 、y ∈R ，α：022=+y x ，β：0=xy ；（充分非必要条件） （5）若0≠ab ，α： 1>a b ，β：1 a ； （充分非必要条件，α：0>>a b 或0<<0b b a 或? ??<>0b b a ） （6）设),2[∞+=A ，]3,(-∞=B ，α：A x ∈或B x ∈，β：B A x I ∈； （必要非充分条件） （7）α：21sin ≠ θ，β：6 π π2+≠k θ，∈k Z ；（充分非必要条件） （8）α：函数)(x f 与)(x g 同为奇函数或偶函数，β：函数)()(x g x f 为偶函数； （充分非必要条件，如1)(+=x x f ，()1g x x =-） （9）α：5x y +≠，β：2x ≠或3y ≠；（充分非必要条件） （10）α：B A ∠=∠，β：B A sin sin =；（充分非必要条件） 【变式】α：B A ∠=∠，β：B A tan tan =。（既不充分也不必要条件） 4、（2013年上海卷文科）钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（ A ） （A ）充分条件 （B ）必要条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分也非必要条件 【变式】（2013年上海卷理科）钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（ B ） （A ）充分条件 （B ）必要条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分也非必要条件 5、（1）写出“0>a ，0>b ”的一个充分非必要条件和必要非充分条件； 【解】一个充分非必要条件：1=a ，2=b ；一个必要非充分条件：∈a R ，∈b R 。 （2）写出“2>a ，2>b ”的一个充要条件； 【解】充要条件：4>+b a 且0)2)(2(>--b a 。 【变式1】写出“2--b a ） 【变式2】写出“a 和b 一个比2大一个比2小”的一个充要条件。（0)2)(2(<--b a ） 6、与正整数n 有关的数学命题，如果当k n =（∈k N *）时该命题成立，则可推得当1+=k n 时该命题也成立。现得知11=n 时命题不成立，那么可推得（ C ） （A ）当10=n 时该命题成立 （B ）当12=n 时该命题成立 （C ）当10=n 时该命题不成立 （D ）当12=n 时该命题不成立 【变式】（2007年上海卷理）设)(x f 是定义在正整数集上的函数，且)(x f 满足：“当2)(k k f ≥成立时，总可推出2)1()1(+≥+k k f 成立”。那么，下列命题总成立的是（ D ） （A ）若9)3(≥f 成立，则当1≥k 时，均有2)(k k f ≥成立 （B ）若25)5(≥f 成立，则当5≤k 时，均有2)(k k f ≥成立 （C ）若49)7( 7、已知集合=A {0232|2=-+x x x }，=B {02|=-kx x }，写出B ?≠A 的一个充分非必要条件，且这样的充分非必要条件有多少个？ 【解】??????-=2,21 A 。 当B =?时，0=k ；当? ?? ???=21B 时， 4=k ；当=B {2-}时，1-=k 。而6C C 2 313=+，所以B ?≠A 的一个充分非必要条件是0=k ，且这样的充分非必要条件有6 个。 【变式】已知函数3)1()1()(2 2+-+-=x a x a x f ，分别写出0)(>x f （∈x R ）的一个充分非必要条件和充要条件。 （一个充分非必要条件：1>a ；充要条件：11 13 - 8、若关于x 的方程032 2=+-m mx x 有两个大于1的实根，求实数m 的取值范围。 【解】设1x 、2x 为方程032 2=+-m mx x 的两实根，由题意得： ??? ??>-->+∈??????>>≥-=?0 )1)(1(211 04921212 122x x x x m x x m m R 解得：25 3+> m 。所以实数m 的取值范围是??? ? ??∞++,253。 【变式】若关于x 的方程012)2(2=++-+k x k x 有两个小于2的实根，求实数k 的取值范围。（实数k 的取值范围是),12[0,41∞+?? ? ??-Y ） 9、（2003年全国卷）已知0>a ，设命题P ：函数x a y =在R 上单调递减；命题Q ：关于 x 的不等式1|2|>-+a x x 的解集为R ，若命题P 和命题Q 有且只有一个正确，求实数a 的 取值范围。 【解】函数x a y =在R 上单调递减?10<-+a x x 的解集为R ?函数|2|)(a x x x f -+=在R 上的最小值大于1。 而?? ?<≥-=a x a a x a x x f 2, 22,22)(，所以12)(min >=a x f ，即21 >a 。要使命题P 和命题Q 有 且只有一个正确，只需),1[21, 0∞+?? ? ??∈Y a 。 【变式】已知命题P ：012 ≥++mx x 在∈x R 时恒成立，命题Q ：关于x 的方程 022=-+mx mx 有实数解。若命题P 与命题Q 有且仅有一个是真命题，求实数m 的取值 范围。（),2(]0,2[]8,(∞+---∞Y Y ） 10、若下列关于x 的方程： 03442=+-+a ax x ，0)1(22=+-+a x a x ，0222=-+a ax x 至少有一个有实根，求实数a 的取值范围。 【解】若三个方程都没有实根，则 ?? ???<+<--<+--0840 4)1(0 )34(41622 22a a a a a a a ， 解得：12 3 -<<- a 。 所以，若三个方程至少有一个有实根，则实数a 的取值范围是),1[2 3,∞+-?? ? ? ?-∞-Y 。 【变式1】若下列关于x 的方程： 03442=+-+a x x ，02=-+a x x ，03222=-++a x x 至少有一个有实根，求实数a 的取值范围。（?? ? ???∞+- ,41） 【变式2】已知两个关于x 的方程2 220x x a -+-=，2 410ax x -+=中至少有一个方程有实数根，求实数a 的取值范围。（R ） 【变式3】设∈m R ，求关于x 的方程0122 =++x mx 至少有一个负数根的充要条件。 （1m ≤） 数学汇总 第一章 集合与函数概念 教学目的：（1）理解两个集合的并集与交集的的含义，会求两个简单集合的并集与交集； （2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； （3）能用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。 教学重点：集合的交集与并集、补集的概念； 教学难点：集合的交集与并集、补集“是什么”，“为什么”，“怎样做”； 【知识点】 1. 并集 一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集（Union ） 记作：A ∪B 读作：“A 并B ” 即： A ∪B={x|x ∈A ，或x ∈B} Venn 图表示： 说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）。 说明：连续的（用不等式表示的）实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示。 问题：在上图中我们除了研究集合A 与B 的并集外，它们的公共部分（即问号部分）还应是我们所关心的，我们称其为集合A 与B 的交集。 2. 交集 一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集（intersection ）。 记作：A ∩B 读作：“A 交B ” 即： A ∩B={x|∈A ，且x ∈B} 交集的Venn 图表示 说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的公共元素组成的集合。 拓展：求下列各图中集合A 与B 的并集与交集 A B A(B) A B B A A ∪B B A ? 说明：当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，不能说两个集合没有交集 3. 补集 全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe ），通常记作U 。 补集：对于全集U 的一个子集A ，由全集U 中所有不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集（complementary set ）,简称为集合A 的补集， 记作：C U A 即：C U A={x|x ∈U 且x ∈A} 补集的Venn 图表示 A U C U A 说明：补集的概念必须要有全集的限制 4. 求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且” 与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。 5. 集合基本运算的一些结论： A ∩ B ?A ，A ∩B ?B ，A ∩A=A ，A ∩?=?,A ∩B=B ∩A A ?A ∪B ，B ?A ∪B ，A ∪A=A ，A ∪?=A,A ∪B=B ∪A （ C U A ）∪A=U ，（C U A ）∩A=? 若A ∩B=A ，则A ?B ，反之也成立 若A ∪B=B ，则A ?B ，反之也成立 若x ∈（A ∩B ），则x ∈A 且x ∈B 若x ∈（A ∪B ），则x ∈A ，或x ∈B ¤例题精讲： 【例1】设集合,{|15},{|39},,()U U R A x x B x x A B A B ==-≤≤=<< 求e. 解：在数轴上表示出集合A 、B ，如右图所示： {|35}A B x x =<≤ ， (){|1,9U C A B x x x =<-≥ 或， 【例2】设{|||6}A x Z x =∈≤，{}{}1,2,3,3,4,5,6B C ==，求： （1）()A B C ； （2）()A A B C e. 解：{}6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6A =------ . （1）又{}3B C = ，∴()A B C = {}3； （2）又{}1,2,3,4,5,6B C = ， A B B A -1 3 5 9 x 高三数学专题练习1 集合的概念与运算 小题基础练① 一、选择题 1．[2018·全国卷Ⅱ]已知集合A＝{1,3,5,7}，B＝{2,3,4,5}，则A∩B＝() A．{3} B．{5} C．{3,5} D．{1,2,3,4,5,7} 答案：C 解析：A∩B＝{1,3,5,7}∩{2,3,4,5}＝{3,5}．故选C. 2．[2018·全国卷Ⅰ]已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则?R A＝() A．{x|－1 A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．无穷多个 答案：B 解析：因为A ＝{x |0 02 命题及其关系、充分条件与必要条件 1．“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的( ) A ． 充分不必要条件 B ． 必要不充分条件 C ． 充要条件 D ． 既不充分也不必要条件 【答案】A 直线与双曲线相切，则直线与双曲线只有一个公共点，反之当直线与双曲线只有一个公共点时除了直线与双曲线相切，还有就是直线和双曲线的渐近线平行的时候；故是充分不必要条件。学科& 故答案为：A ． 2．“k ＝1”是“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 圆x 2＋y 2＝1圆心是（0,0），半径1=r ，当k ＝1，直线x －y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝1的距离12 211| 100|22<=++-=d ，直线x －y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝1相交；当直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交时， ,111| 00|2 2<++-=k d 解得22<<-k ，所以“k ＝1”是“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”的充分而不必要条件. 3．设，则“a =1”是“直线ax+y-1=0与直线x+ay+1=0平行”的 A ． 充分不必要条件 B ． 必要不充分条件 C ． 充分必要条件 D ． 既不充分也不必要条件, 【答案】C 若直线ax+y-1=0与直线x+ay+1=0平行，则 ,且 解得，故选． 4．()()()0, 000,x f x x x p f q x x f x ===函数在处导数存在，若：：是的极值点，则（） A ． p 是q 的充分必要条件 B ． p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 C ． p 是q 的必要条件但不是q 的充分条件 D ． p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 【答案】C 集合练习题 一、选择题（每小题5分，计5×12=60分） 1．下列集合中，结果是空集的为（） （A）（B） （C）（D） 2．设集合，，则（） （A）（B） （C）（D） 3．下列表示①②③④中,正确的个数为( ) （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 4．满足的集合的个数为（） （A）6 （B） 7 （C） 8 （D）9 5．若集合、、，满足，，则与之间的关系为（） （A）（B）（C）（D） 6．下列集合中，表示方程组的解集的是（） （A）（B）（C）（D） 7．设，，若，则实数的取值范围是（） （A）（B）（C）（D） 8．已知全集合，，，那么 是（） （A）（B）（C）（D） 9．已知集合，则等于（） （A）（B） （C）（D） 10．已知集合，，那么（） （A）（B）（C）（D） 11．如图所示，，，是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（） （A）（B） （C）（D） 12．设全集，若，， ，则下列结论正确的是（） （A）且（B）且 （C）且（D）且 二、填空题（每小题4分，计4×4=16分） 13．已知集合，，则集合 14．用描述法表示平面内不在第一与第三象限的点的集合为 15．设全集，，，则的值为 16．若集合只有一个元素，则实数的值为三、解答题（共计74分） 17．（本小题满分12分）若，求实数的值。 18．（本小题满分12分）设全集合，， ，求，，， 19．（本小题满分12分）设全集，集合与集合，且，求， 20．（本小题满分12分）已知集合 ， ，且 ，求实数 的取值范围。 21．（本小题满分12分）已知集合 ， ， ，求实数的取值范围 22．（本小题满分14分）已知集合 ， ，若 ，求实数的取值范围。 已知集合}31{≤≤-=x x A ，},{2A x y x y B ∈==，},2{A x a x y y C ∈+==，若满足B C ?， 求实数a 的取值范围． 已知集合}71{<<=x x A ，集合}521{+<<+=a x a x B ，若满足 }73{<<=x x B A ，求 实数a 的值． 第一章 集合与命题 一．集合： 1． 概念及符号的使用.：集合、元素，属于，自然数集，整数集，有理数集，实数集， 有限集、无限集；空集，列举法、描述法、子集，包含（包含于），图示法，文氏图，真子集，真包含（真包含于），、交集，并集，全集，补集。 2． ∈?，的比较 ：元素与集合间关系用,∈?；集合与集合间关系用??，类； 4． 关于子集的等价关系：U A B A B A A B B A B U ??=?=?= C 5． 集合的运算性质： ① A B =B A ，A B =B A ② ()A B C =()A B C ， ()A B C =()A B C ③ ()U C A B =U U C A C B , ()U U U C A B C A C B = ④ A A A = A A A = A ?=? A A ?= 6．有限集的元素个数 有限集A 的元素的个数记为card( A)，规定 card(φ) =0. 基本公式： （1）设有限集合A, card(A)=n,则 (ⅰ)A 的子集个数为n 2； (ⅱ)A 的真子集个数为12-n ； (ⅲ)A 的非空子集个数为12-n ；(ⅳ)A 的非空真子集个数为22-n . （2）设有限集合A 、B 、C ，card(B)=m, card(A)=n ， m 专题1.1 集合的概念及其基本运算【考纲解读】 内容 要求 5年统计 A B C 集合 集合及其表示√2017．1 2016．1 2015．1 2014．1 2013·4 子集√ 交集、并集、补集√ 【直击考点】 题组一常识题 1．【教材改编】设全集U＝{小于9的正整数}，A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5，6}，则?U(A∪B)＝________． 【答案】{7，8} 2．【教材改编】已知集合A＝{a，b}，若A∪B＝{a，b，c}，则这样的集合B有________个．【答案】4 【解析】因为A∪B?B，A＝{a，b}，所以满足条件的B可以是{c}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，所以集合B有4个．学# 3．【教材改编】设全集U＝{1，2，3，4，5， 6，7，8，9}，?U(A∪B)＝{1，3}，A∩(?U B)＝{2，4}，则集合B＝________． 【答案】{5，6，7，8，9} 【解析】由?U(A∪B)＝{1，3}，得1，3?B；由A∩(?U B)＝{2，4}，得2，4?B，所以B＝{5，6，7，8，9}． 题组二常错题 4．设集合M＝{(x，y)|y＝x2}，N＝{(x，y)|y＝2x}，则集合M∩N的子集的个数为________．【答案】8 【解析】由函数y＝x2与y＝2x的图像可知，两函数的图像在第二象限有1个交点，在第一象限有2个交点(2，4)，(4，16)，故M∩N有3个元素，其子集个数为23＝8. 5．已知集合M＝{x︱x－a＝0}，N＝{x︱ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值是________．【答案】0或1或－1 【解析】M＝{a}，∵M∩N＝N，∴N?M，∴N＝?或N＝M，∴a＝0或a＝±1. 6．已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m＝________． 集合 一．【课标要求】 1．集合的含义与表示 （1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系； （2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 2．集合间的基本关系 （1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； （2）在具体情境中，了解全集与空集的含义； 3．集合的基本运算 （1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集； （2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； （3）能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用二．【命题走向】 有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主。 预测高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。具体 三．【要点精讲】 1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合 a∈；若b不是集合A的元素，（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作A b?； 记作A （2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性； 确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或 者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立； 互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素； 无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关； （3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法； 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内； 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。 具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。 （4）常用数集及其记法： 非负整数集（或自然数集），记作N ； 正整数集，记作N *或N +； 整数集，记作Z ； 有理数集，记作Q ； 实数集，记作R 。 2．集合的包含关系： （1）集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集（或B 包含A ），记作A ?B （或B A ?）； 集合相等：构成两个集合的元素完全一样。若A ?B 且B ?A ，则称A 等于B ，记作A =B ；若A ?B 且A ≠B ，则称A 是B 的真子集，记作A B ； （2）简单性质：1）A ?A ；2）Φ?A ；3）若A ?B ，B ?C ，则A ?C ；4）若集合A 是n 个元素的集合，则集合A 有2n 个子集（其中2n －1个真子集）； 3．全集与补集： （1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U ； （2）若S 是一个集合，A ?S ，则，S C =}|{A x S x x ?∈且称S 中子集A 的补集； （3）简单性质：1）S C (S C )=A ；2）S C S=Φ，ΦS C =S 4．交集与并集： 集合与命题测试 姓名___________ 学号_________ 一．填空题(40分) 1.设,a b R ∈，集合{1,,}{0,,}b a b a b a +=，则b a -=______ 2.满足条件{1,2,3}?≠M ?≠{1,2,3,4,5,6}的集合M 的个数是________ 3.设集合}3|{2x y y M -==，}12|{2-==x y y N ，则=?N M . 4.设全集U=R ，{}1≥=x x M ，{}50<≤=x x N ,R x ∈ , 则（C U M ）∪（C U N ）=__________ 5.设A={x 0152=+-∈px x Z },B={x 052=+-∈q x x Z },若A ?B={2,3,5},则=+q p ______ 6.集合A={R x x kx x ∈=+-,01682}中只有一个元素，则实数k 的值为_________ 7.已知集合A ＝{|}x x a <，B ＝{|12}x x <<，且R B C A R =?)(，则实数a 的取值范围是__________ 8.设P 和Q 是两个集合，定义集合Q P -={}Q x P x x ?∈且,|，如果??????<-=02x x x P ，{}12<-=x x Q ，R x ∈，那么Q P -等于_________ 9.如果不等式1<-a x 成立的充分不必要条件是21＜x ＜2 3，则实数a 的取值范围是_________ 10.下列5个命题，其中正确命题的序号为_________ ①a ∈A ?a ∈A ∪B ②A ?B ?A ∪B ＝B ③a ∈B ?a ∈A ∩B ④A ∪B ＝B ?A ∩B ＝A ⑤A ∪B ＝B ∪C ?A ＝C 二．选择题（20分） 11.设U 为全集，P 、Q 为非空集合，且P Q U .下面结论中不正确的是（ ） A.( U P )∪Q ＝U B.( U P )∩Q ＝? C.P ∪Q ＝Q D.P ∩(U Q )＝ ? 12.已知集合{}{}{}2,,21,,41,A x x k k Z B x x k k Z C x x k k Z ==∈==+∈==+∈又,a A b B ∈∈，则有（ ） A.()a b A +∈ B. ()a b B +∈ C. ()a b C +∈ D. (),,a b A B C +∈中任一个 13.“xy ＞0”是“|x ＋y |＝|x |＋|y |”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 高中数学新课标典型例题：子集、全集、补集·典型例题 例1 判定以下关系是否正确 (1){a}{a}? (2){1，2，3}＝{3，2，1} (3){0}??≠ (4)0∈{0} (5){0}(6){0} ??∈＝ 分析 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 解 根据子集、真子集以及集合相等的概念知①②③④是正确的，后两个都是错误的． 说明：含元素0的集合非空． 例2 列举集合{1，2，3}的所有子集． 分析 子集中分别含1，2，3三个元素中的0个，1个，2个或者3个． 解含有个元素的子集有：； 0? 含有1个元素的子集有{1}，{2}，{3}； 含有2个元素的子集有{1，2}，{1，3}，{2，3}； 含有3个元素的子集有{1，2，3}．共有子集8个． 说明：对于集合，我们把和叫做它的平凡子集．A A ? 例已知，，，，，则满足条件集合的个数为≠3 {a b}A {a b c d}A ?? ________． 分析 A 中必含有元素a ，b ，又A 是{a ，b ，c ，d}真子集，所以满足条件的A 有：{a ，b}，{a ，b ，c}{a ，b ，d}． 答 共3个． 说明：必须考虑A 中元素受到的所有约束． 例设为全集，集合、，且，则≠ 4 U M N U N M ?? [ ] 分析 作出4图形． 答 选C ． 说明：考虑集合之间的关系，用图形解决比较方便． 点击思维 例5 设集合A ＝{x|x ＝5－4a ＋a 2，a ∈R}，B ＝{y|y ＝4b 2＋4b ＋2，b ∈R}，则下列关系式中正确的是 [ ] A A B B A B C A B D A B ．＝．．．≠≠ ??? 分析 问题转化为求两个二次函数的值域问题，事实上 x ＝5－4a ＋a 2＝(2－a)2＋1≥1， y ＝4b 2＋4b ＋2＝(2b ＋1)2＋1≥1，所以它们的值域是相同的，因此A ＝B ． 答 选A ． 说明：要注意集合中谁是元素． M 与P 的关系是 [ ] A ．M ＝U P B ．M ＝P C M P D M P ．．≠?? 分析 可以有多种方法来思考，一是利用逐个验证(排除 )的方法；二是利用补集的性质：M ＝U N ＝U (U P)＝P ；三是利用画图的方法． 第一章集合与常用逻辑用语 1．集合 (1)集合的含义与表示 ①了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系． ②能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题． (2)集合间的基本关系 ①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集． ②在具体情境中，了解全集与空集的含义． (3)集合的基本运算 ①理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集． ②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集． ③能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算． 2．常用逻辑用语 (1)理解命题的概念． (2)了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系． (3)理解必要条件、充分条件与充要条件的含义． (4)了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义． (5)理解全称量词和存在量词的意义． (6)能正确地对含一个量词的命题进行否定． 1．1 集合及其运算 1．集合的基本概念 (1)我们把研究对象统称为________，把一些元素组成的总体叫做________． (2)集合中元素的三个特性：______，______，_________. (3)集合常用的表示方法：________和________． 2 3.元素与集合、集合与集合之间的关系 (1)元素与集合之间存在两种关系：如果a是集合A中的元素，就说a ________集合A，记作________；如果a 不是集合A中的元素，就说a________集合A，记作________． (2)集合与集合之间的关系： 相等集合A与集合B中的所有元素都 相同 __________ ?A＝B 子集A中任意一个元素均为B中的元素________或________ 真子集 A中任意一个元素均为B中的元 素，且B中至少有一个元素不是A 中的元素 ________或________ 空集空集是任何集合的子集，是任何 ______的真子集 ??A，?B (B≠?) 结论：集合{a1，a2，…，a n}的子集有______个，非空子集有________个，非空真子集有________个． 集合的并集集合的交集集合的补集 符号表示若全集为U，则集合A 的补集记为________ Venn图表示(阴影部分) 意义 5.集合运算中常用的结论 (1)①A∩B________A；②A∩B________B； ③A∩A＝________；④A∩?＝________； ⑤A∩B________B∩A. (2)①A∪B________A; ②A∪B________B； ③A∪A＝________；④A∪?＝________； ⑤A∪B________B∪A. (3)①?U(?U A)＝________； ②?U U＝________； ③?U?＝________； ④A∩(?U A)＝________； ⑤A∪(?U A)＝________. (4)①A∩B＝A?________?A∪B＝B； 原命题若p 则q 否命题若┐p 则┐q 逆命题 若q 则p 逆否命题若┐q 则┐p 互为逆否互逆否互为逆否互互逆否互四种命题的相互关系 教学目标：1.熟练四种命题之间的关系，及四种命题的真假性之间的关系，并能利用四种命 题真假性之间的内在联系进行推理论证 2.培养学生简单推理的思维能力. 教学重点：四种命题之间的相互关系即真假性之间的联系 教学难点：利用真假性之间的内在联系进行推理论证． 授课类型：新授课 教具准备：多媒体课件． 教学过程： 一．复习引入： 1. 二．新课教授 1.四种命题间的相互关系 下列四个命题中， （1）若f (x) 是正弦函数，则f (x) 是周期函数； （2）若f (x) 是周期函数，则f (x) 是正弦函数； （3）若f (x) 不是正弦函数，则f (x) 不是周期函数； （4）若f (x) 不是周期函数，则f (x) 不是正弦函数； 命题（1）与命题（2）（3）（4）之间的关系我们已经了解，那么任意两个命题间的关系是： （老师引导—学生回答） 归纳：原命题、逆命题、否命题 和逆否命题之间的关系： 2.四种命题真假性之间的关系 （1）讨论： ①例1中三个命题的真假与它们的逆命题、否命题、逆否命题的真假间关系： （学生回答）：原命题（1）为真 其逆命题（2）为假 其否命题（3）为假 其逆否命题（4）为真 发现有以下规律： 题，并判断真假性。 （学生回答）：原命题为：若x2－3x ＋2＝0，则x ＝2，为假 其逆命题为：若x ＝2，则x2－3x ＋2＝0，为真 其否命题为：若x2－3x ＋2≠0，则x ≠2，为真 其逆否命题为：若x ≠2，则x2－3x ＋2≠0，为假 发现有另外的规律， ③再举其它例子：写出“同位角相等，两直线平行”的逆命题，否命题及逆否命题，并判断真假性。 （学生回答）： 原命题为：同位角相等，两直线平行，为真 其逆命题为：两直线平行，同位角相等，为真 其否命题为：同位角不相等，两直线不平行，为真 其逆否命题为：两直线不平行，同位角不相等，为真 发现还存在以下规律： ④把以上命题改成：同位角不相等，两直线平行，写出其逆命题，否命题及逆否命题，并判断真假性。 （学生回答）：原命题为：同位角不相等，两直线平行，为假 其逆命题为：两直线平行，同位角不相等，为假 其否命题为：同位角相等，两直线不平行，为假 其逆否命题为：两直线不平行，同位角相等，为假 发现： （2）归纳总结：可以发现，一般的四种命题的真假性，有且仅有以上的四种情况。（让学生课下举例子验证） 并且由于逆命题与否命题也是互为逆否命题，因此四种命题的真假性之间有以下关系：（教师引导，与学生一起归纳）： ①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性 ②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系 四种命题真假性之间的联系可以为我们进行推理论证带来方便，例如，由于原命题与其逆否命题有相同的真假性，当直接证明一个命题为真命题有困难时，可以通过证明其逆否命题为真命题来简介地证明原命题为真。 3.例题分析：证明：若222p q +=，则2p q +≤.（教师引导→学生板书→教师点评） 集合与命题 一、填空题：（每小题4分，共32分） 1．若{}{}4,3,2,1,2,1==B A ，则满足A ≠?M ≠?B 的集合M 的个数是________个． 2．已知集合{}t M ,3,1=，{} 12+-=t t P ，若M P M =?，则t =_ _ 3．设全集U=Z ，集合},43|{Z x x x x A ∈≥-<=或，则C U A=_ _ 4、设集合{|12}A x x =≤≤，{|}B x x a =≤，若A B ?，则实数a 的取值范围是 2≥a 。 4．已知：2 ()f x x ax b =++，{}{}|()22A x f x x ===，则实数a = b = ． 5．命题“若0x y +>，则00x y >>且”的否命题 ，所写命题是__ __命题。（填“真”或“假”） 6． 若b a >，则 b a 11<成立的充要条件是____________________________________. 7．若集合M={x| x 2+x-6=0}，N={x| kx+1=0}，且N ?M ，则k 的可能值组成的集合为 8．集合{}{}12,<≤-=≤=x x B a x x A ，若B A ≠?φ， 则实数a 的取值范围是__________ 7、设关于的不等式032)14(2>-+-+m x m x 的解集为，且，则实数的取值范围是 5 4-≤m 。 9．集合A 、B ，定义{}B x A x x B A ?∈=-且,|，()()A B B A B A --=* 叫做集合的对称差。若集合(){}2y|y x-11,03A x ==+≤≤，{} 2|1,13B y y x x ==+≤≤，则B A *= _ 二、选择题：（每小题5分，共20分） 9．若x ∈R ，则x>1的一个必要不充分条件是（ ） A ．x>1 B.x>0 C ．x>2 D ．x≥2 10．给出以下四个命题： ①“若x ＋y =0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题； ③“若1-≤q ，则02=++q x x 有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三内角相等”的逆否命题．其中真命题是 ( ) A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．③④ 11．设全集},91|{N x x x U ∈<≤=，则满足{ }8,7,5,3,1∩}7,5,3,1{=B C U 的所有集合B 的个数有（ ） A ．1个 B ．4个 C ．5个 D ．8个 12．设{}2|560,A x x x x R =--=∈ {}2|60,B x mx x x R =-+=∈ 且B B A = x A A A ?∈2,0m 慧诚教育2017年秋季高中数学讲义 必修一第一章复习 知识点一集合的概念 1．集合 一般地，把一些能够________________对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象________构成的集合(或集)，通常用大写拉丁字母A，B，C，…来表示． 2．元素 构成集合的____________叫做这个集合的元素，通常用小写拉丁字母a，b，c，…来表示． 3．空集 不含任何元素的集合叫做空集，记为?. 知识点二集合与元素的关系 1．属于 如果a是集合A的元素，就说a________集合A，记作a________A. 2．不属于 如果a不是集合A中的元素，就说a________集合A，记作a________A. 知识点三集合的特性及分类 1．集合元素的特性 ________、________、________. 2．集合的分类 (1)有限集：含有________元素的集合． (2)无限集：含有________元素的集合． 3．常用数集及符号表示 名称非负整数集(自然数集)整数集实数集 符号N N*或N＋Z Q R 知识点四集合的表示方法 1．列举法 把集合的元素________________，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 2．描述法 用集合所含元素的________表示集合的方法称为描述法．知识点五集合与集合的关系 1．子集与真子集 定义符号语言图形语言(Venn图) 子集如果集合A中的________元素 都是集合B中的元素，我们就 说这两个集合有包含关系，称 集合A为集合B的子集 ________(或 ________) 真子集如果集合A?B，但存在元素 ________，且________，我们 称集合A是集合B的真子集 ________(或 ________) 2.子集的性质 (1)规定：空集是____________的子集，也就是说，对任意集合A，都有________． (2)任何一个集合A都是它本身的子集，即________． (3)如果A?B，B?C，则________． (4)如果A?B，B?C，则________． 3．集合相等 定义符号语言图形图言(Venn图) 集合相等如果集合A是集合B的子集 (A?B)，且 ________________，此时， 集合A与集合B中的元素是 一样的，因此，集合A与集 合B相等 A＝B 4.集合相等的性质 如果A?B，B?A，则A＝B；反之，________________________. 高三数学一轮复习（集合、常用逻辑用语01） 【复习课题】集合的概念及运算(1) 【复习要求】 1．了解集合的概念，理解子集、交集、并集、补集的概念；明确子集、真子集相等的定义及它们之间的区别与联系；弄清元素与集合、集合与集合的关系。 2．了解空集和全集的意义，了解属于、包含、相等关系的意义。 3．掌握有关的术语和符号，会用它们正确表示一些简单的集合。 【复习过程】 (1)一般地，我们把研究对象统称为，把一些元素组成的总体叫做，简称． (2)集合中的元素有三个特点：①；②；③． (3)集合中元素与集合的关系分为和两种，分别用和来表示． 集合有三种表示方法：、、。 注意：区分集合中元素的形式：如：A＝{x|y＝2x＋2x＋1}；B＝{y|y＝2x＋2x＋1}；C＝{(x，y)|y＝2x＋2x＋1}；D＝{x|x＝2x＋2x＋1}；E＝{(x，y)|y＝2x＋2x＋1，x∈Z，y∈Z}；F＝{(x，y)|y＝2x＋2x＋1} 2．集合间的基本关系 (1)一般地，对于两个集合A、B，如，我们就说这两个集合有 包含关系，称集合A为集合B的子集，记作. (2)对于两个集合A、B，若且，则称集合A与集合B相等． (3)如果集合A?B，但存在元素x∈B，且x?A，我们称集合A是集合B的， 记作. 注意：条件为A?B，在讨论的时候不要遗漏了A＝φ的情况． (4)不含任何元素的集合叫做，记作，并规定：空集是任何集合的子集． 思考：{0}与φ有什么区别？ (5)若A含有n个元素，则A的子集个数为个，A的非空子集个数为个，A的非 空真子集个数为个． 3．集合的基本运算 (1)一般地，由所有的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集， 记作A∪B，即：A∪B＝． (2)一般地，由的所有元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作 A∩B，即：A∩B＝． (3)如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为，通常 记作. (4)对于一个集合A，由全集U中的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U的补集，记作?UA，即?UA＝． (5)A∩B＝A?，A∪B＝A?. 4．集合的运算性质 A∪φ＝，A∪A＝，A∪B＝， A∩φ＝， A∩A＝，A∩B＝， A∪(?UA)＝，A∩(?UA)＝，?U(?UA)＝. 1．由实数33 2, |, |, ,x x x x x- -组成的集合中，最多含有元素个 2．集合{x|x>1且x≤3，x∈N}中的元素有 3．已知集合S＝{x|x≤5 2}，又a＝3，则a与S的关系为 4．设集合A＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}，B＝{x|x＝n＋1，n∈Z}，则集合A，B的关系是 5．已知集合M＝{x|－3 [课题]第一章集合与简易逻辑测试题 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.集合A={x|x≤}，a=3，则( ) A.a A B.a A C.{a}∈A D.{a} A 2.集合M={x|x=3k-2，k∈Z}，Q={y|y=3l+1，l∈Z}，S={z|z=6m+1，m∈Z}之间的关系是( ) A.S Q M B.S=Q M C.S Q=M D.S Q=M 3.若A={1，3，x}，B={x2，1}，且A∪B=A，则这样x的不同取值有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.符合条件{a}P{a，b，c}的集合P的个数是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 5.若A={x|x2-4x+3＜0}，B={x|x2-6x+8＜0}，C={x|2x2-9x+a＜0}，(A∩B)C，则a的取值范围是( ) A.a≤10 B.a≥9 C.a≤9 D.9≤a≤10 6.若a＞0，使不等式|x-4|+|3-x|＜a在R上的解非空，则a的值必为( ) A.0＜a＜1 B.0＜a≤1 C.a＞1 D.a≥1 7.集合A={x|x2-5x+4≤0}，B={x|x2-5x+6≥0}，则A∩B= ( ) A.{x|1≤x≤2，或3≤x≤4} B.{x|1≤x≤2，且3≤x≤4} C.{1，2，3，4} D.{x|1≤x≤4或2≤x≤3} 8.如果方程x2+(m-3)x+m的两根都是正数，则m的取值范围是( ) A.0＜m≤3 B.m≥9或m≤1 C.0＜m≤1 D.m＞9 9.由下列各组命题构成“P或Q”，“P且Q”，“非P”形式的复合命题中，“P或Q”为真命题，“P且Q”为假命题，“非P”为真命题的是( ) 集合 【知识清单】 1.性质：确定性、互易性、无序性. 2.元素和集合的关系：属于“∈”、不属于“?”. 3.集合和集合的关系：子集（包含于“?”）、真子集（真包含于“≠ ?”）. 4.集合子集个数=n 2；真子集个数=12-n . 5.交集：{}B x A x x B A ∈∈=且| 并集：{}B x A x x B A ∈∈=或| 补集：{}A x U x x A C U ?∈=且| 6.空集是任何非空集合的真子集；是任何集合的子集. 题型一、集合概念 解决此类型题要注意以下两点： ①要时刻不忘运用集合的性质，用的最多的就是互易性； ②元素与集合的对应，如数对应数集，点对应点集. 【No.1 定义&性质】 1.下列命题中正确的个数是（ ） ①方程022=++-y x 的解集为{}2,2- ②集合{} R x x y y ∈-=,1|2 与{}R x x y y ∈-=,1|的公共元素所组成的集合是{}1,0 ③集合{}01|<-x x 与集合{}R a a x x ∈>,|没有公共元素 A.0 B.1 C.2 D.3 分析：①中的式子是方程但不是一个函数，所以我们要求的解集不是x 的值所构 成的集合，而是x 和y 的值的集合，也就是一个点. 答案：A 详解：在①中方程022=++-y x 等价于? ??=+=-020 2y x ，即???-==22y x 。因此解集应为 (){}2,2-，错误； 在②中，由于集合{} R x x y y ∈-=,1|2的元素是y ，所以当R x ∈时，112-≥-=x y .同理， {}R x x y y ∈-=,1|中R y ∈，错误； 在③中，集合{}01|<-x x 即1高中数学必修一集合的基本运算教案
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