双曲线标准方程--离心率练习题.docx

双曲线的标准方程及其简单的几何性质

一、选择题

1．平面内到两定点、的距离之差的绝对值等于| | 的点的轨迹是 ()

E F EF

A．双曲线B．一条直线 C ．一条线段D．两条射线

x2y2

k 的取值范围是()

2．已知方程1＋k－1－k＝ 1 表示双曲线，则

A．－ 10 C ．k≥0D．k>1 或k<－ 1

3．动圆与圆x2＋y2＝ 1 和x2＋y2－ 8x＋ 12＝ 0 都相外切，则动圆圆心的轨迹为()

A．双曲线的一支 B ．圆 C ．抛物线 D ．双曲线

x2y2

()

4．以椭圆＋＝ 1 的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是

34

22

x2y2x2

－ y ＝1B．y－3＝ 1－4＝ 1－4＝ 1

5．“ab<0”是“曲线ax2＋by2＝ 1 为双曲线”的 ()

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

6．已知双曲线的两个焦点为F1(－5，0)、F2( 5 ，0) ，P是此双曲线上的一点，且PF1⊥ PF2，

| 1| ·|2|＝2，则该双曲线的方程是()

PFPF

y2y2

22

y2

－3＝ 1－2＝ 1－y＝1D．x－4＝ 1

7．已知点F1( － 4,0) 和F2(4,0)，曲线上的动点P 到 F1、 F2距离之差为6，则曲线方程为 () y2y2y2x2y2y2

－7＝ 1－7＝ 1( y>0)－7＝ 1 或7－9＝ 1－7＝ 1( x>0)

8．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、 F2，在左支上过F1的弦 AB 的长为5，若 2a＝ 8，那么△ABF2的周长是 ()

A． 16B． 18C．21D． 26

x2＋y2

共焦点，它们的离心率之和为

14

)

9．已知双曲线与椭圆＝ 1，双曲线的方程是 (

9255

y2y2x2y2x2y2

－4＝ 1－12＝ 1 C ．－12＋4＝ 1 D ．－4＋12＝ 1

x2

2

10．焦点为 (0 ，± 6) 且与双曲线2－ y ＝1有相同渐近线的双曲线方程是() y2x2x2y2

－24＝ 1－24＝ 1－12＝ 1－12＝ 1

x2y2x2y2

11．若 0

A．相同的实轴 B ．相同的虚轴 C ．相同的焦点D．相同的渐近线

12．中心在坐标原点，离心率为

5

y 轴上，则它的渐近线方程为 ()

3的双曲线的焦点在

5 4 4

3

A ． y ＝± 4x

B ． y ＝± 5x

C ． y ＝± 3x

D ． y ＝± 4x

x 2 y 2

13．双曲线 b 2－ a 2＝1 的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率为() A ． 2

x 2 y 2

14．双曲线 9 － 16＝ 1 的一个焦点到一条渐近线的距离等于

(

)

B ． 3

C

． 4 D ． 2

二、填空题

15．双曲线的焦点在

x 轴上，且经过点 M (3,2) 、 N ( － 2，－ 1) ，则双曲线标准方程是 ________．

x 2 y 2

16．过双曲线 3 － 4 ＝ 1 的焦点且与 x 轴垂直的弦的长度为 ________．

17．如果椭圆

x

2

2 2 2

＋y

2＝ 1 与双曲线

x － y ＝ 1 的焦点相同，那么

＝ ________.

4

a

a 2

a

x 2 y 2

18．双曲线 4 ＋ b ＝1 的离心率 e ∈(1,2) ，则 b 的取值范围是 ________．

x 2 y 2

x 2

2

焦点相同，则 a ＝ ________.

19．椭圆 ＋

2

＝ 1 与双曲线 2－y ＝ 1

4

a

a

x 2

y 2

20 ．双曲线以椭圆

9 ＋ 25＝1 的焦点为焦点，它的离心率是椭圆离心率的

2 倍，求该双曲线的方程

2

2

21. 如图， F 1，F 2 是双曲线 C ：

x

2

y 2 1（ a 0 ， b 0 ）的左、右焦点，过 F 1 的直线 l 与 C 的左、

a

b

右分支分别交于 A ，B 两点．若 AB ： BF 2： AF 2 =3：4： 5，则双曲线的离心率为 ______．

求双曲线方程及离心率练习题

1．已知双曲线

y 2 x 2 1过点 2, 1 ，则双曲线的离心率为（

）

a

2

4

A.2

B.

2

C.

3

D.

4

2． 双曲线 mx 2 y 2

1(m R) 的离心率为

2 ，则 m 的值为（

）

A ． 1

B

． -1

C.

1

D

． 2

x 2

y 2

2

2

2．已知双曲线

1 （ a 0 ， b 0 ）的一条渐近线为

8 与

：

l ，圆 C ： x a y l 交

a 2

b 2

于 A ， B 两点，若 VABC 是等腰直角三角形，且

uuur uuur

OB 5OA （其中 O 为坐标原点），则双曲线

的离心

率为（

）

A.

13 B.

2 13

C.

13 D.

2 13

3

3

5

5

3． 若双曲线的焦点到渐近线的距离是焦距的 ，则该双曲线的离心率为（ ）

A.

B.

C. 2

D.

4．设 F

a 2

b 2

1（a 0

， b 0

）的右焦点，若 OF

的垂直平分线与渐近线在第一象限内的

为双曲线 x

2

y 2

交点到另一条渐近线的距离为

1 |OF | ，则双曲线的离心率为（ ）

2

A ． 2 2

B ．

2

3

C ． 2 3

D ． 3

3

5．双曲线的焦点到渐近线的距离等于半实轴长，则该双曲线的离心率等于

（

）

． 2

B

．

3

C. 2 D

．

3 A

6．双曲线的顶点到渐进线的距离等于虚轴长的

1 ，则此双曲线的离心率是（

）

4

A. 2

B.

2

C. 3

D. 3

7． 过双曲线

x 2

y 2 1 a 0 ，b 0 的右焦点 F

x 2

y 2 a 2

FM （切点为 M ），交 y 轴于点

a 2

b 2

作圆

的切线 P ，若 M 为线段 FP 的中点，则双曲线的离心率为（

）

A.

2

B. 3

D. 5

8．已知双曲线的方程为

，过左焦点 作斜率为 的直线交双曲线的右支于点

P ，且 y 轴平分线段 ，则双曲线的离心率为（

）.

A.

B.

C.

D.

9． 已知双曲线 ，其一渐近线被圆

所截得的弦长等于 4，则

的离心率为 ( )

A.

B.

C.

或 D.

或

x 2

y 2

2

2

8

1 （ a 0 ， b 0 ）的渐近线与圆

10．已知双曲线

x 2 2 y a

2

b

2

3 相切，则该双曲线的

离心率为（ ）

A.

6

B.

3

C.3

D. 3 22

11．设F为双曲线C：x

2

y21(a0, b0) 的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线

C

的左、右a2b2

支交于点 P, Q ，若PQ 2 QF ，PQF60o，则该双曲线的离心率为（）

A. 3

B.13

C.23

D.4 2 3

12．双曲线的左右焦点分别为，直线经过点及虚轴的一个端点，且

点到直线的距离等于实半轴的长，则双曲线的离心率为( )

A. B. C. D.

13．设，分别为椭圆：与双曲线：

的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的值为（）A.2 B. C.3 D. 2

14．已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（）

A. 6

B. 3

C.

D.

15．已知 O为坐标原点， F 是双曲线 C：的左焦点， A， B 分别为双曲线 C 的左、右顶点， P 为双曲线 C 上的一点，且 PF⊥x轴，过点 A 的直线与线段PF 交于 M，与 y 轴交于点 E，直线 BM与 y 轴交于点 N，若，则双曲线 C 的离心率为

A.2

B.3

C. 2

D. 3

16．已知双曲线的左，右焦点分别为，点 P 为双曲线右支上一点，若，则双曲线的离心率取值范围为（）

A. B. C. D.

17．已知双曲线的一条渐近线方程为,,分别是双曲线的左 ,右焦点 , 点P 在双曲线上 , 且,则等于（）

A. 4

B. 6

C. 8

D.

18．方程

x2y2

）m 2

1表示双曲线的一个充分不必要条件是（

m 3

A. 3 m 0

B. 3 m 2

C. 3 m 4

D. 1 m 3

19．已知直线l过点A1,0且与 e B : x2y22x0 相切于点 D ，以坐标轴为对称轴的双曲线 E 过点D ，其一条渐近线平行于l ，则E的方程为（）

A. 3x2y2 1

B.x2 3 y2 1

C. 5 y2x2 1

D. 3 y2x21

4422322

20．已知双曲线的右顶点为A，过右焦点的直线与双曲线的一条渐近线平行，交另一条渐

近线于点 B，则（）

A. B. C. D.

双曲线的标准方程及其简单的几何性质（答案）

1、 [ 答案 ]D

2、 [ 答案 ]A[解析 ]由题意得 (1 ＋k)(1 －k)>0 ，∴(k－ 1)( k＋ 1)<0 ，∴－ 1

3、 [ 答案 ]A[解析 ]设动圆半径为 r ，圆心为 O，

x 2＋

y

2＝ 1 的圆心为1，圆

x

2＋

y

2－ 8

x

＋ 12＝ 0 的圆心为2，

O O

由题意得 | OO1| ＝r＋ 1， | OO2|＝ r ＋2，∴|OO2|－| OO1|＝ r ＋2－ r －1＝1<| O1O2|＝4，由双曲线的定义知，动圆圆心O的轨迹是双曲线的一支．

4、 [ 答案 ] B [解析 ]由题意知双曲线的焦点在

y 轴上，且＝ 1，＝ 2，

a c

22x2

∴ b＝ 3，双曲线方程为y－＝1.

3

5、 [ 答案 ] C [解析 ]<0? 曲线

ax 2＋2＝ 1 是双曲线，曲线

ax

2＋

by

2＝1 是双曲线 ?<0.

ab by ab 6、 [ 答案 ] C [解析 ]∵ c＝5，| PF1|2＋| PF2|2＝| F1F2|2＝4c2，

∴ (| PF 1| － | PF 2|) 2＋ 2| PF 1| ·|PF 2| ＝ 4c 2，∴4a 2＝ 4c 2－ 4＝ 16，∴ a 2＝4， b 2＝ 1.

7、 [ 答案 ] D [

解析 ]

由双曲线的定义知，点

P 的轨迹是以

1

、 2 为焦点，

F

F

实轴长为 6 的双曲线的右支，其方程为： x

2

y

2

x >0)

－ ＝ 1(

9 7

8、 [ 答案 ] D [ 解析 ]

| AF 2| － | AF 1| ＝ 2a ＝ 8， | BF 2| －| BF 1| ＝ 2a ＝8，

∴| 2| ＋ |

2|

－ (|

1|

＋ |1|) ＝ 16，∴|

2|

＋ |

2| ＝ 16＋ 5＝ 21，

AF BF

AF

BF

AF

BF

∴△ ABF 的周长为 | AF | ＋ | BF | ＋| AB | ＝ 21＋ 5＝ 26.

2

2

2

x 2 y 2

4

9、 [ 答案 ] C

[ 解析 ]

∵椭圆 9 ＋ 25＝ 1 的焦点为 (0 ，± 4) ，离心率 e ＝ 5，

14 4 10

y 2 x 2

∴双曲线的焦点为 (0 ，± 4) ，离心率为 5 － 5＝ 5 ＝ 2， ∴双曲线方程为： 4 － 12＝ 1.

10、 [ 答案 ]

B [ 解析 ]

与双曲线

x 2

2 x 2

2

－ y ＝ 1 有共同渐近线的双曲线方程可设为

－ y ＝ λ( λ≠0) ，

2

2

y 轴上，

y 2 x 2

又因为双曲线的焦点在

∴方程可写为 － λ－ － 2λ＝ 1.

又∵双曲线方程的焦点为

(0 ，± 6) ，∴－ λ－ 2λ ＝36. ∴ λ＝－ 12.

∴双曲线方程为

y 2

x 2

＝ 1.

－

12

24

11、 [ 答案 ]

C [

解析 ] ∵0< k < ，∴ 2－

k 2

>0. ∴

c 2

＝( a 2－

k 2

) ＋ (

2

＋ k 2) ＝

2

＋

2

.

a

a

b

a b 12、 [ 答案 ]

D [

解析 ]

c 5

c 2 a 2＋b 2 25

b 2

16

b 4 a 3

∵ ＝ ，∴ a 2＝ a 2 ＝ ，∴ 2＝，∴ ＝ ，∴ ＝ .

a 3 9 a 9

a 3

b 4

a

3

又∵双曲线的焦点在

y 轴上，∴双曲线的渐近线方程为 y ＝± b x ，∴所求双曲线的渐近线方程为

y ＝± 4x .

13、 [ 答案 ]

C [ 解析 ]

双曲线的两条渐近线互相垂直，则渐近线方程为：

y ＝± x ，

b b 2

c 2 －a 2

2

2

c

∴ a ＝ 1，∴ a 2＝ a 2 ＝ 1，∴ c ＝2a ， e ＝a ＝ 2.

4

14、[ 答案 ] C [ 解析 ]

∵焦点坐标为 ( ±5,0) ，渐近线方程为 y ＝± 3x ，∴一个焦点 (5,0) 到渐近线

4

y ＝ 3x 的距离为 4.

15、 [ 答案 ]

x 2 y 2

＝ 1 [ 解析 ]

7 －

7 设双曲线方程为：

3

5

9 4

又点 M (3,2) a 2－b 2＝1

、 N ( － 2，－ 1) 在双曲线上，∴

1

4

a 2－

b 2＝1

x 2

y 2

a 2－

b 2＝ 1( a >0， b >0)

a 2

＝

7

3

，∴

.

2

7

b ＝ 5

16、 [ 答案 ]

8 3 [ 解析 ] ∵a 2＝ 3， b 2＝ 4，∴ c 2＝ 7，∴ c ＝ 7，

3

x ＝ 7

该弦所在直线方程为

x ＝ 7，由 x 2

y

2

2

16 4 3 8

3

得 y ＝

，∴|y | ＝

3 ，弦长为.

3 －

4

＝ 1

3

3

17、 [ 答案 ] 1 [

解析 ] 由题意得 a >0，且 4－ a 2＝ a ＋ 2，∴ a ＝ 1.

18、 [ 答案 ]

－12

解析 ]

∵ b <0，∴离心率 e ＝

4－ b

，∴－ 12

2

∈(1,2)

19、 [ 答案 ]

6 [ 解析 ] 由题意得 4－a 2＝ a 2＋ 1，∴2a 2＝ 3，a ＝ 6 .

2

2

c 4

8

焦点为 (0 ，± 4) ，离心率 e ＝ a ＝5，∴双曲线的离心率

e ＝ 2e ＝5，

1

c 1

4 8

a

5 2

＝

2

2

25 39

y 2 －

x 2

∴ ＝

＝ ，∴

1

＝ ，∴

1

1

－ 1 ＝16－

＝ ，∴双曲线的方程为

＝ 1. a 1

a 1 5

2

b

c

a

4

4

25 39

4 4

20、 [ 答案 ]

y 2

x 2

[ 解析 ]

x 2

y 2

2

25

－ ＝ 1

椭圆 ＋ ＝ 1 中， a ＝ 5， b ＝ 3， c

＝ 16，

39 9

25

4

4

21、

求双曲线方程及离心率练习题

1． C 【解析】由题意可得：

1 4 1, a 21

，据此有： a 2

1 , b

2 4, c 2 a 2 b 2 9 ，则：

a 2 4

2

2

2

2

c 2 9, e 3 . 本题选择 C 选项 .

e

2

a

2． B 【解析】因为 , 所以 , 选 B.

2． A

3．D 【解析】不妨设双曲线的焦点为 ，则其中一条渐近线为 ，焦点到其距离 ，

又知，所以

，故选 D ． 4． B 【解析】由题意得 的垂直平分线

与渐近线 在第一象限内的交点为 ，因此到另

一条渐近线

的距离为 选 B.

5． A 【解析】因为双曲线的焦点到渐近线的距离为 b ，所以 选 A.

6． A

7． A

8． A

，解得，选 A.

9． D【解析】的渐近线为渐近线被截得的弦长为或或. 选 D.

10．A【解析】由题意知圆心 2 2,0 到渐近线 bx ay0

8

, 化简得3a22c2

6的距离等于, 解得e,

32

11． B

12． D

13． B

14． A

15． C

【解析】

因为轴，所以设，

16． A【解析】根据双曲线定义，，且点在左支，则，设，，则,, 则,, 在中 ,, 则离心率 . ∴. 故选 A.

17． C【解析】由题知双曲线的渐近线方程为，据所给渐近线方程，又，知，根据双曲线的定义可得，又，则．故本题

答案选．

【解析】由题意知，m 2 m 3 0 3 m 2 ，则C，D均不正确，而B为充要条件，不合题意，故选 A.

19． D【解析】可设直线方程：y k (x 1),e B : x2y22x 0 的圆心为 (1,0) 半径为1，由相切得条

件可得：d=k k0 1 k

3

，所以直线方程：y

3

(x1), ，联立圆解得：1k 233

x 1

, y3 D (

1

,

3

) ，故渐近线方程为 y

3

x ，设双曲线方程为y21 x2m 代入D可222223

得双曲线方程：3 y2x2

1 22

20． A

【解析】渐近线为与的一条渐近线平行，不妨用，即的纵坐标. 选 B.