普通物理期末复习题(带答案)
练习题 一、填空
1、设)(32xy x y z ?+=，其中有?连续导数，求y
z xy x z x ??-??2= . 答案：2y -
2、求由曲线?
??==+012
2322z y x 绕y 轴旋转一周得到的旋转面在点)2,3,0(处的指向外侧
的单位法向量是 。 答案：
)3,2,0(5
1
3.已知级数
∑∞
=1
n n
u
的前n 项部分和() ,2,1,1
3=+=
n n n
S n ,则此级数的通项n u = . 答案：()
13
+=
n n u n
4、L:沿椭圆122
22=+b y a x 逆时针方向绕一周，计算?--+L
dy y x dx y x )4()23(= 。
答案： ab π3-
5、 设f(x)是以π2为周期的周期函数，它在区间],[ππ-上定义为???≤<-≤<=0
,00,)(x x e x f x ππ
，
则f(x)的付里叶级数在π=x 收敛于________2
π
e _______
6、设222z y x r ++=
，则计算r
grad
1
= 答案：)(113k z j y i x r
r grad
++-=
7. 微分方程0152=-'+''y y y 的通解是x x
e C e C y 2
5
231+=-
二、选择 1、曲面22y x z +=包含在圆柱x y x 222=+内部的那部分面积S=( B )
(A) π3 (B) π2 (C) π5 (D) π22
2、 ??
?=++=++1
02
22z y x z y x 则dz dx
=（ B ）
(A )
z y z x --； (B )y
x z
y --; (C )z x z x 24421+--; (D) z x y x --
3、设f(x,y)连续，
??
??
-+1
21
20
2
),(),(x x
dy y x f dx y x f dx =（ D ）
(A) ?
?-2
22),(y
y
dx y x f dy (B)
?
?
-1
2),(y
y dx y x f dy (C)
??
??
-+1
21
20
),(),(y
y
dx y x f dy dx y x f dy (D)
??
-1
2),(y y
dx y x f dy
4、设)()(y x y x z -++=?φ，则必有（ B ）
a) 0=+yy xx z z ; b) 0=-yy xx z z ; c) 0=xy z ; d) 0=+xy xx z z 5、若L 是以)0,0(O ，)0,1(A 和)1,0(B 三点为顶点的三角形的边界，则?+L
ds y x )(的值等
于(C)
（A ）21-（B ）
22
1
+（C ）21+（D ）2 三.1、设),(y x y x yf z -+=，f 具有二阶连续偏导数，求y z ??及x
y z
???2
答案：
()21f f y f y
z
-+=?? ()22211211212f f f f y f f x
y z
--+++=???()221121f f y f f -++= 2. 求球面03222=-++x z y x 与平面04532=-+-z y x 的交线在点（1，1，1）处的切线及法平面的方程。
答案: 将方程组???=-+-=-++04532032
2
2
z y x x z y x 两边对x 求导：??
???
=+-=-++053203222dx dz dx dy dx dz z dx dy y x
解得：
z
y y
x dx dz z y z x dx dy 35235.4,35255.7+--=++-= 切向量为{},1,9,16161161,169,1,,1)1,1,1(-=?
?????-=??????=dx dz dx dy T
所以所求切线方程为
,1
1
91161--=-=-z y x 法平面方程为0)1()1(9)1(16=---+-z y x 即024916=--+z y x
求??
???=+≠+++=0
,00,1sin )(),(22222
22
2y x y x y
x y x y x f 的偏导数，并讨论在点(0,0)处偏导数
的连续性。
答案：不连续
求曲面32=+-xy e z z 在点)0,2,1(处的切平面与法线方程。
答案：42=+y x ，
1221-=-=-z y x 求由曲线?
??==+012
2322z y x 绕y 轴旋转一周得到的旋转面在点)2,3,0(处的指向外侧的
单位法向量。
答案：
)3,2,0(5
1
已知曲面方程为)0,0,0(1>>>=z y x xyz 在曲面上求一点，使其到原点的距离最短并求出最短距离。 答案：（1,1,1）最短距离：3 8.3．设),()2(xy x g y x f z +-=，其中)(t f 二阶可导，),(v u g 具有二阶连续偏导，求y
x z
???2。解：2221221
)2(2,)2(2g g xy g x y x f z g y g y x f z xy x '+''+''+-''-='+'+-'=。 8.6．设n
是曲面42222=++z y x 在点M(1,1,1)处的外法线向量，求函数32z xy u =在点M 沿方向n
的方向导数，并求方向导数的最大值。
解:68
}1,2,1{}3,2,1{61},,{},1,2,1{61},2,4,2{}2,4,2{00=
?=???????=??===n z u y u x u n u n z y x n M M , 方向导数的最大值为:14=M gradu . 8.14． 设)(22y z y z x ?=+,求y
z
??.
解 )(2,)()(),(),,(22y
z
z F y z y z y z F y z y z x z y x F z y ????'-='+-=-+=，
)
(2)
()(x
z
z y
z
x z y
z F F y z
z
y ???'-'-=-=??
设L 为正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分，计算曲线积分
?
-L
ydx xdy 2
答案：
2
3π 设4:222=++z y x S ，计算dS y x S
)(22??
+。 答案：
3
128π
设)10(:2
2≤≤+=
∑z y x z 的下侧，求
??∑
-++dxdy z ydxdz xdydz )1(32
答案：π2
验证dy ye y x x dx xy y x y )128()83(2322++++是某个函数),(y x u 的全微分，并求
),(y x u 。 答案：)1(124),(223+-++=y y e ye y x y x y x u
八. (8分)判别级数()
[
]∑∞
=-+1123
1n n
n n
的敛散性。
解：()
{
}
()
u n n
n
n
n
n
n
=
+-<
+=+?? ?
?
?1321213213 因021
31<
+<，故2131+??
???=∞
∑n
n 收敛 故原级数收敛。
6、求幂级数
n
x n n n
n ∑∞
=-+1
)2(3
1
的收敛区间，并讨论该区间端点处的收敛性. 解：[
]
[
]
3
1)
1()32(13)32(1lim )1()2(3)2(3lim 111=+??
????-+??????-+=+-+-++→∞++→∞n n n n n n n n n n n n ，所以收敛半径为3，收敛区
间为（-3，3）；
当3=x 时，由于n n n
n n 21
1)2(33>-+，且∑∞=11n n 发散，所以原级数在此处发散； 当3-=x 时，由于n n n n n n n n n n 1)2(321)1(1)2(3)3(-+--=-+-，且∑∞
=-1
1)1(n n n 与∑∞
=-+11
)2(32n n
n n n
都收敛，所以原级数在3-=x 处收敛.
1、证明??
???==≠++==0,00,),(2
22
2y x y x y x xy y x f z 在点(0,0)连续、偏导数存在，但不可微。
七、（10分）设曲面h z z y x ≤≤=+∑0,:222 . γβαcos ,cos ,cos 是∑的外法线方向余弦，求??∑
++=
ds z y x
I )cos cos cos (222
γβα
八、（5分）设正向数列{n a }单调减少，且∑+∞=-1
)1(n n n
a 发散，证明级数∑+∞
=+1
)1
1(
n n
n a 收敛 七、解： 加辅助平面1∑：z=h 取上侧 利用高斯公式 dxdy z
dv z y x I ?????∑Ω
-++=
1
2
)(2
42)(2h zdv dv y x π-++=??????Ω
Ω
=4020
2
h zdz rdr d h r h πθπ
-???
=42
1
h π-
八、 证：由}{n a 单调递减有下界（非负），故极限存在 a a n n =∞
→lim
则有0>≥a a n （0≠a 否则与
∑∞
=-1
)
1(n n n
a 发散矛盾）
≤+∑∞
=1)11(n n n
a ∑∞
=+1)11(n n
a
111
<+a
由等比级数收敛，由比较判别法原级数收敛 3确定常数m,使??=+D
dxdy y x m 2)cos(，其中D 是由直线2
,2,π
=
==x x y x y 所围成的
区域 3
32)cos()cos(202-=+=+????D
x x dy y x dx dxdy y x π
m=-3 2计算r
grad
1，其中2
22z y x r ++= )(113k z j y i x r
r grad
++-=
五．（11分）求幂级数∑∞
=+11
n n x n n
在其收敛域1 故()()()?? ???=≠-∈-+-=000111111 x ,, x ,,x ,x ln x x x s 求 ()??∑ +ds z xy 2 ，其中∑为半球面228y x z --= 位于圆柱面422=+y x 内的部分。 () 1223 128-π 计算 ??∑ γ,ds cos z 2 其中∑是上半平面：01222>=++z ,z y x ；γ是球面∑的法线与z 轴正向夹成的锐角。241212π=??? ? ?-π . 将函数x y c o s =展开成 ??? ? ? -4πx 的幂级数。 3. 计算三重积分 ??? Ω zdv ,其中Ω为曲面222y x z --=及2 2y x z +=所围成的闭区域. 解：联立Ω的两曲面方程，得交线：122=+y x ，)1(=z ； 投影柱面：122=+y x ；Ω在xoy 面的投影域为：1:2 2 ≤+y x D xy )0(=z ， 用柱面坐标：Ω：,2,20,1022r z r r -≤ ≤≤≤≤≤πθ ???Ω zdv =?=???Ω dz rdrd z θ??? -?=2 2 21 20 r r zdz r dr d π θ ()421 2212r r rdr --? ?=?π() 12 721053π π=--?=?dr r r r 7.求微分方程y y y y y '='-''2 2的通解。 ) (,ln , )1 1(,)(), (,,1,0,,1121112111122C y e C e C y x C C y y C dx C dy C y y dx C y y dy C y y dx dy P C y y P y dy dP P P y P dy dP yP dy dP P y P , y :x C x C =-==+=+-=++====-==-=''='包含即得通解即从后一等式得或即得或即则原方程化为令解 求级数 ∑ ∞ =++?????????+??? ??+2 1) 1ln(ln )1(11ln n n n n n n n n 的和。 记,)1ln(ln )1()11(ln 1n n n n n n n n u ++? ?????++=于是有 ) 1l n ()1(1 ln 1++-=n n n n u n ，所以， )1l n ()1(12ln 21++-= n n s n ，故2 ln 21 lim ==∞→n n s s 十. (8分)设0>x ，求微分方程() 0622=-+dy x y ydx 通解. 原方程化为 23y x y dy dx -=- 这是一阶线性方程 y dy y dy y p ln 33 )(-=-=??， ?? =?- =? y dy y y dy e y Q dy y p 2112)(3)( 所以通解为32 2 Cy y x += 十一. (10分)求二元函数2 2 3),(xy y x xy y x f --=的极值. 联立0)23(23),(2=--=--=y x y y xy y y x f x 及0)23(23),(2 =--=--=y x x xy x x y x f y 得到驻点: ? ? ?==???==???==?? ?==11 ,30,03,00y x y x y x y x 在),(y x 点: y y x f xx 2),(-=，y x y x f xy 223),(--=，x y x f yy 2),(-= 在)0,0(点: 因为092 <-=-B AC ，所以)0,0(不是极值点， 在)0,3(点: 因为092<-=-B AC ，所以)0,3(不是极值点， 在)3,0(点: 因为092<-=-B AC ，所以)3,0(不是极值点， 在)1,1(点: 因为032>=-B AC ， 所以)1,1(是极值点， 又02)1,1(<-=xx f ，所以()11,1=f 是极大值. 解答全部结束 六．（8分）求微分方程 02sin =+'+''x y y 满足初始条件1,1='===ππx x y y 的 特解。 解：对应齐次微分方程的特征方程为： 02=+r r 故特征根 01=r ，12-=r 从而齐次微分方程的通解为： （2分） x e c c y -+=21 （2分） 因 i 2 不是特征根，故可令非齐次方程特解为： x B x A y 2sin 2cos *+= 代入方程解得 101=A ，5 1 =B 于是原方程通解为： x x e c c y x 2sin 51 2cos 10121+++=- （2分） 代入初始条件得πe c 532-=，2 3 1=c 所以满足初始条件的特解为：x x e e y x 2sin 5 1 2cos 1015323++ -=-π。 （2分）