东南大学高等数学分类练习题(有答案)

级数

一、填空题

1、当常数α

∑∞

=--+-1

1(n n

n n α

绝对收敛。 2、已知级数()∑∞

=--1

)1cos

1(1n n n

绝对收敛，则

3、已知级数

∑

∞

arctan n p

n n 收敛，则p

4、x

x f 3)(=在10

-=x

5、级数∑∞

=-+-11

)!1

2()1(n n n

6、级数∑∞=++0

212n n n x

7、级数∑∞

=+1)1(2n n

x n

8、设级数

∑∞

=+1

)1(n n n

x a

在3=x

9、级数∑∞

=+-+

)1)1(!2(n n

n n n

10、设级数

(),lim ,-且则 .n

n n n n n n n u

u s n A u A s u ∞

∞

-→∞

==-===∑∑

11、设

211

(1)

2,5,则 . 8n n n n n n n a a a ∞

∞

--===-===∑∑∑

二、单项选择题 1、若级数

∑∑∞=∞

,n n n

n v

u 都发散，则(

B )

（A ）∑∞

=+1

)(n n n v u 必发散（B ）∑∞=+1)(n n n v u 必发散（C ）∑∞

=1)(n n n v u 必发散（D ）∑∞

=+1

22)(n n n v u 必发散

2、①、

∑

∞

=-2

ln )1(n n

n ( C ) ②、设∑∞

=1n n u 条件收敛，则∑∞

=12

n n

u (D ) ③、∑∞

=133sin 3

n n

n n π

( A ) （A ）绝对收敛，（B ）条件收敛，（C ）发散，（D ）可能收敛可能发散 3、下列结论正确的是（

A ）

（A ）若1lim 1

>+∞→n

n n u u ，则∑∞=1n n u 发散；

（B ）若∑∞=-+1212)(n n n u u 收敛，则∑∞

=1n n u 收敛；（C ）若),2,1(cos 1

==+n u u n n ，则∑∞

=1n n u 收敛；（D ）若1lim 1

<+∞→n

n n u u ，则∑∞

=1n n u 收敛；

4、下面说法中正确的是（ D ）

（A ）若级数

∑∞

=1n n

收敛，且),2,1( =≥n v u n n ，则

∑∞

n n

也收敛；

（B ）若级数

∑∞

n n n v u 收敛，则∑∞

n n u 和∑∞

n n v 都收敛；

（C ）若正项级数

∑∞

=1n n u 发散，则),2,1(1

=≥

n n

u n ；（D ）若

∑∞

2n n

和

∑∞

2n n

都收敛，则

∑∞

=+1

2)(n n n

v u

收敛。

5、若级数

n u

∞

=∑收敛，则下列级数必收敛的为(

D )

（A ）1

(1)n n n u n

∞

=-∑（B ）21n n u ∞

=∑（C ）2121()n n n u u ∞

-=-∑（D ）11

()n n n u u ∞

+=+∑

、2

sin()[

设为常数,则级数

n n n αα∞

=∑ ( C ) （A ）绝对收敛，（B ）条件收敛，（C ）发散，（D ）敛散性与α有关 7、设1

0n u n

≤≤

收敛，则下列级数必收敛的为( D ) （A ）1

(1)n

n n u ∞

=-∑（B ）1n n u ∞

=∑（C

）n ∞

=D ）21

(1)n n n u ∞

=-∑

8、若级数

[(1)

](0)n

p n p n p ∞

-=-+>∑发散，则p 的取值范围是( D )

（A ）01p <≤（B ）12p <<（C ）2p ≥（D ）012或p p <≤≥

9、设11111

0,(1,2,),lim 1,(1)()且则级数n n n n n

n n n u n u u u ∞

+→∞=+≠==-+∑ ( C ).

（A ）发散，（B ）绝对收敛，（C ）条件收敛，（D ）敛散性不能判定 10、正项级数

n u

∞

=∑收敛是级数21

n n u ∞

=∑收敛的(

A )

（A ）充分条件（B ）必要条件（C ）充要条件（D ）非必要非充分条件

三、常数项级数敛散性

1、讨论级数∑∞

=-+-1

])3(4[4)1(n n

n n

n 的敛散性，若收敛是绝对收敛还是条件收敛？ 2、常数p 取什么值时，级数

∑∞

=-1

ln )1(n p n

是（1）发散；（2）条件收敛；（3）绝对收敛的？ 3、讨论级数

)0()

1()1(1

>+-∑∞

=a a n a

n n n

的绝对收敛与条件收敛。

4、讨论级数)0()

1(1

>-∑∞

=a n

n n

的敛散性，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？

四、和函数 1、求级数

∑∞

=+++1)

1)((1

n n x n x

2、求幂级数

∑∞

=----1

)12()

1(n n n n n x

3、求幂级数∑

∞

=+12121n n x n 的和函数

4、求幂级数∑∞

=-112

n n n n x

5、求幂级数1

(3)3n n

n x n -∞

=-∑

6、求下列级数的和：

（1）20

2(1)(1).2272 n n n n n ∞

==--+∑ （2）2113

ln 31.(41)428 n

n n ∞

==--∑

五、函数展开成幂级数

1、将x x x x f arctan 1ln )(2--=展成x

2、将x x x f 2121arctan )(+-=展成x 的幂级数，并求级数∑∞

=+-11

2)1(n n

n 和。

3、将111

()l n

arctan

412

x f x x x x +=+--在00x =

4、将2()ln(23)f x x x =+-在0

3x =处展开成幂级数。

5、将21()32f x x x =++展成4x +

六、证明题

1、设在区间],0[a 上)(0x u 连续，且 ,2,1],,0[,)()(0

=∈=?-n a x dt t u

x u x

n n ，证明级

数

∑∞

)(n n

x u

在],0[a 上绝对收敛。

2、设)(x f 在

=x 的某邻域内有连续的二阶导数，且0)

(lim

=→x

x f x . 证明：级数

∑

∞

(n n

f 绝对收敛。

3、设4

tan ,n n a xdx π

，

（1）求20

()n n n a a n ∞

+=+∑的值；1= （2）证明10,.对任意的级数收敛n n a n λ

λ∞

=>∑。

七、Fourier 级数 1、设??

?≤<≤<-=π

πx x x x f 0,10

,)(，)(x S 为)(x f 的以2π为周期的Fourier 级数的和函数，则在

区间],[ππ-上)(x S

2、设??

???

<<-≤≤=1

21,22210,)(x x x x x f ，+∞<<-∞+=∑∞

=x x n a a

x S n n ,cos 2)(1

0π，其中

),2,1,0(c o s )(210 ==?n x d x n x f a n π，则)25(-S

3、设()?

?≤<+≤<--=π

πx x x x f 0,

1， S(x )为f (x )的以2π为周期的Fourier 级数的和函数，

则S(3π4、将函数?????

≤≤<≤=ππ

πx x x f 2

,020,1)(展开为正弦级数，并写出该级数的和函数)(x S 的表达式。 5、设函数?????

≤≤≤≤=ππ

πx x x f 4

,040,1)( 把)(x f 展开为以2

π为周期的余弦级数，并写出该级数的和函数)(x S 的表达式。

空间解析几何

1、设c b a

,,均为非零向量，且b a c a c b c b a ?=?=?=,,，则c b a ++

2、已知2,2==b a ，且2=?b a

，则b a ? 3、设c b a

,,均为非零向量，则与a 不垂直的向量是（ D ）

（A ）c b a b c a )()(?-? （B ）a a

a b a b ??- （C ）b a ? （D ）a b a a

??+)(

4.设23,3,2,1,,3

a b B a b a b a b

=+=-== 和的夹角为A ()B

A B A =

则在上的投影 [ C ]

(A) 28 (B) 31 (C)

(D) 5、曲线0,122

22==+z b

y a x 绕x 轴旋转而成的曲面方程为（）

（A ）122222=++b z y a x （B ）122

22=++b y a z x （C ）2222b y a x z += （D ）122

22-+=b

y a x z

6、设)5,4,3(),2,1,1(),1,2,1(-=-=--=c b a

，则( )

（A ）b a ⊥ （B ）b c ⊥ （C ）c a ⊥ （D ）c b a

,,共面

7、两非零向量a 及b 的方向角分别为γβα,,及γβα''',,，则),cos(b a

= ( )

（A ）γβαγβα'''+cos cos cos cos cos cos （B ）γγββαα'+'+'cos cos cos cos cos cos （C ）)cos()cos()cos(γγββαα'++'++'+ （D ）)cos()cos()cos(γγββαα'-+'-+'- 8、过点（-1，2，3）且垂直于直线?

??=+=-+321

z x z y x 的平面方程为 .

9、点)1,1,1(到平面0522=+++z y x 的距离d= (

A )

（A ）

310 （B ） 103

（C ）3 （D ）10 10、直线3

7423:z

y x L =-+=-+与平面04224:=+--z y x π的关系为（ B ）（A ）平行，但直线不在平面上；（B ）直线在平面上；

（C ）垂直相交；（D ）相交但不垂直。

11、直线L:7

313-=

+=z y x 与平面π:011352=+-+z y x 的位置关系是（）. （A ）垂直； (B) 斜交； (C) 平行但不重合； (D)重合.

12、直线??

?-=-=5

272x z x y 与直线43201z

y x =--=-的夹角?

13、空间三直线方程分别为：

5423:

y x L =-+=-+ ???

??+=+-==t

z t y t

x L

72313:2

?=-+=+-+0

12:3z y x z y x L 则必有（

D ）

（A ）21//L L （B ）31//L L （C ）32L L ⊥ （D ）21L L ⊥ 14、直线1

2511:

1+=--=-z y x L 与??

?=+=-3

:2z y y x L 的夹角θ= 。 15．通过两条平行直线

3111212212

x y z x y z

--+-====和的平面方程是

16．设过直线340

20x y z x y z ++-=??

-+-=?

的平面与直线3217y z x n -+-==垂直,则n =［ C ］（A ）2 （B ）3 （C ）3- （D ）2-

17、过点（0，2，4）且与平面12=+z x 及23=-z y 都平行的直线是（）

（A ）

240201-=-=-z y x （B ）34

122--=-=z y x （C ）1

4322-=-=-z y x （D ）0)4()2(32=-+-+-z y x 18、曲面2

2y x z +=的名称是，它与曲面2

26y x z --=的交线在

xoy 面上的投影曲线方程是。

19、求过点（2，1，3），且与直线

2131-=

-=+z

y x 垂直相交的直线方程. 20、已知直线L 过点)2,1,3(-P ，且与两直线246:1+=+=-z y x L 及

2354:

y x L =+=-都相交，求L 的方程。 21、求点)2,1,3(-M 到直线43,23,1:+=+==t z t y x L 的距离d 。 22、已知直线λ

2111:

-=+=-z y x L 与直线z y x L =-=+11:2相交，求λ的值。 23、求过点)312(，，M 且与直线?

??=++=+-0130532:z x y x L 垂直相交的直线方程。

24、求直线??

?=++-=--+0

1:z y x z y x L 在平面0:=++z y x π上的投影直线方程。

25、光线沿直线??

?=-+=-+0

3z x y x 投射到平面01:=+++z y x π上，求反射线所在直线方程。

多元微分学

一、填空题

1、设函数y x z cos )(sin =，则dz

2、设),(y x z z =由方程122+=+

-e e xyz x z

确定，则)

0,1(dz

3 、设方程

y z

z x ln = 确定了一个二元隐函数z =z (x ,y

)，则 d ()=1,e z 4、函数xy

u =在点M (1,0,1)处沿向量k j i l 22++=

在点M (1,0,1)

5、函数2

2y x z u +=在点111(,,)M --沿曲线3

,,t z t y t x -==-=

在该点切线方向的

6、函数xyz u =在点（1，－1，1）处沿曲线??

=+++=12

2z y x y x z

7、已知z y x u 23=，其中),(y x z z =是由033

33=-++xyz z y x 所确定的隐函数。

则

)

0,1,1(-??x

8、设函数),(y x z z =由方程z

e z y xy =-+

所确定，则

)

1,0(2y

x z

???

4. 由方程2222=+++

z y x xyz 所确定的函数)

,(y x z z =在点)1,0,1(-处的全微分

=dz

5. )ln(

2z y x u +-=在点)2,0,1(M 沿方向l 方向导数取最大值;

二、单项选择题

1、设函数?????=≠=0,

,)sin()(22xy x xy xy

y x x f ，则)2,0(x f = ( C )

（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）不存在

2、设函数22z xy u -=，则u 在点（2，－1，1）处方向导数的最小值为（ A ）

（A ）62- （B ）－4 （C ）－2 （D ）－6 3、下列说法正确的是（ D ）.

（A ）()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数x f 和y f 都存在，则()y x f z ,=在点()00,y x 处必连续.

（B ）()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数x f 和y f 都存在，则()y x f z ,=在点()00,y x 处必可微.

（C ）()y x f z ,=在点()00,y x 处的二阶偏导数都存在，则必有xy f ()00,y x =yx f ()00,y x . （D ）()z y x f u ,,=在点M 0()000,,z y x 处的全微分存在，则在点M 0处沿任一方向的方向导数都存在.

4、若曲面224y x z --=上点P 处的切平面平行于平面012:=-+-z y x π，则点P 的坐标为（ C ）

（A ）)831,41,

41( （B ）)831,41,41(- （C ）)831,41,41(- （D ）)8

31,41,41(-- 5、设函数),(y x f 在点)0,0(附近有定义，且2)0,0(=x f ，1)0,0(=y f ，则（ B ）（A ）曲面),(y x f z =在点))0,0(0,0(，f 的法向量为{2,1,1}

（B ）曲线???==0

)

,(x y x f z 在点))0,0(0,0(，f 的切向量为{0,1,1}

（C ）曲线???==0

),(x y x f z 在点))0,0(0,0(，f 的切向量为{1,0,2}

（D ）dy dx dz

+=2)

0,0(

1. 若二元函数),(y x f z =在点),(000y x P 处的两个偏导数

x z ????,都存在,则 [ B ] (A) 点连续在0),(P y x f (B) 点连续在00),(x x y x f =

z dx x

z dz P P 0

0??+

??=

(D)A,B,C 都不对

2.曲线??

???=+=44

22y y x z 在点)5,4,2(处的切线与x 轴的正向所成的角度是 [ C ] (A)

2π (B) 3

x y z x y z ?++=?++=?在点(1,2,1)-处的切线必定平行于平面 [ A ]

(A)0y = (B)0x = (C)0z = (D)0x y z +-=

9．设二元函数(,)z f x y =在点(),x y 处可微，下列结论不正确的是 [ D ] （A ）(),f x y 在点(),x y 连续；（B ）(),f x y 在点(),x y 的某邻域内有界；（C ）(),f x y 在点(),x y 处两个偏导数()(),,,x y f x y f x y 都存在；（D ）(),f x y 在点(),x y 处两个偏导数()(),,,x y f x y f x y 都连续. 三、计算题

1、设)3,(22y y x yf z =，其中f 具有二阶连续偏导数，求y

x z

???2

2、设)cos ,3(x y y x f z -=，其中f 具有二阶连续偏导数，求y z ??，x

y z

???2。

1211122212233 cos ;(sin )sin cos (sin )y yx z f xf z f y xf xf x f y xf =-+=---+-

3、设y

x z y x y

yf z ???+=2

,(求.

4、求曲线???=++=++4

2222z y x z y x 在点（1，1，2）处的切线方程。

5、在抛物面2

y x z +=与平面z=1所围成的空间区域内作底面平行于x o y 坐标面的长方体，

求此长方体体积的最大值6、求原点到曲面1)(22=--z y x 的最短距离。

或 11022,,??- ???由问题的实际意义知原点到曲面存在

最短距离,9.在曲面222

1(0,0,0)49

x z y x y z ++=≥≥≥上求一点P ，使过点P 的切平面与三个坐标

7、设),(xy

e xy x

f z =，其中),(v u f 有二阶连续偏导数，求x z ??及x

y z

???2。

多元函数积分学

一、填空题

1、交换积分次序

--2

),(x x dy y x f dx

2、改变二次积分的次序??

?-+=20

),(2

x x dy y x f dx I 3、交换二次积分的积分次序?

?-221

0),(y y

dx y x f dy

4、二次积分dx x dy y

??1

sin

2. 改变积分次序=+????-x

dy y x f dx dy y x f dx 202

101

0),(),(

二、单项选择题

1、设),(y x f 连续，且??+=D

dudv v u f xy y x f ),(),(，其中D 是由1,,02

===x x

y y 所

围成的区域，则

??D

dxdy y x f ),(等于（ A ）

（A ）

81 （B ）1 （C ）0 （D ）8

1- 2、设D 是

1=+y x 所围成的区域，D 1 是D 位于第一象限的部分，则二重积分

??++D

dxdy y x )1(= ( D )

（A ）??++1

)1(4

D dxdy y x （B ）0 （C ）1 （D ）2

3、将极坐标系下的二次积分?

?=?

πρρ?ρ?ρ?sin 20

)sin ,cos (d f d I 化为直角坐标下的二次

积分，则I =（ D ）

（A ）?

-2

0),(x x

dy y x f dx （B ）?

?--x

x dy y x f dx 21110),(

（C ）

?-2

),(y y y

dx y x f dy （D ）??y

dx y x f dy 0

),(+?

?-2

),(y y dx y x f dy

4、设D 是xoy 平面上以（1，1），（－1，1），（－1，－1）为顶点的三角形区域，D 1是D 在第一象限的部分，则

??+D

dxdy x x y )cos (sin sin 3

33等于（ A ）

（A ）??133

cos sin 2D dxdy x y

（B ）??1

33sin sin 2D dxdy x y

（C ）??

)cos (sin sin 4

33D dxdy x x y （D ）0 5、设D 为圆122=+y x 所围成的闭区域，D 1为D 在第一象限的部分区域，则（ D ）.

（A ）????=1

)sin(4)sin(D D

dxdy xy dxdy xy (B) ????=1

)sin(2)sin(D D

dxdy xy x dxdy xy x

)sin(2)sin(D D

dxdy xy xy dxdy xy xy (D) ????=1

)sin(4)sin(D D

dxdy xy xy dxdy xy xy

7、将直角坐标系下的三次积分?

---+=2

111

),,(x x

y x dz z y x f dy dx I 化为柱面坐标下的三次

积分，则I =（ B ）

（A ）

?-1

),sin ,cos (ρπ

πρ?ρ?ρρ?dz z f d d （B ）??

),sin ,cos (z

d z f dz d ρρ?ρ?ρ?π

（C ）???10

2),sin ,cos (ρ

πρ?ρ?ρρ?dz z f d d （D ）

),sin ,cos (ρρ?ρ?ρ?ππd z f dz d

3. 设函数),(y x f 为连续函数,则=?

?-1

2),(dy y x yf dx [ A ]

(A) ??

02),(2dy y x yf dx

(B) ??1

2),(4dy y x yf dx x

-10

22),(2dx y x yf dy

y (D) 0

4. 圆柱面2

a z y =+被圆柱面2

a y x =+所截部分的面积为 [ A ] (A) 2

8a (B) 2

4a (C) 2

2a (D) 2

三、计算题

1、计算二重积分dxdy x y D

??-，其中{}

0,0,1),(2

2≥≥≤+=y x y x y x D

2、计算dx x y

?+1

1的值

3、计算

--D

dxdy y x 2

211，其中}10,10),({≤≤≤≤=y x y x D

4、计算二重积分??++=

dxdy x y x I )(322，其中}42),({2

2≤+≤=y x y y x D 。

12．计算

d D

xy σ??

，其中区域{}

2222

(,)0,1,2D x y y x y x y x =≥+≥+≤。

5、计算三重积分

???Ω

++dv z y x ])

[(22

，其中Ω是由曲面221y x z --=与0=z 所围成

的区域。

6、计算

???Ω

+dxdydz y x

z )(22

，其中}4

1,2),,({22≤≤≤+=Ωz z y x z y x 7、计算三重积分???Ω

+dv y x z 2)(，其中Ω是由曲面2

21y x z --=与平面z=0所围成的闭区域. 8、计算三重积分

???

dv z 2

，其中Ω为球面222y x R z --=与锥面22y x z +=所围成的区域。

13．计算)

x y V Ω

???，其中222:2x y z z Ω++≤。

5、设l 为椭圆

2=+y x ，其周长为a 。则?++l ds y x xy )2(22

6、设曲线C 为圆周()4222=+-y x ，则()?-+ds

y x 227、已知Σ是介于两平面0=z 与)0(>=H H z 之间的圆柱面)0(222>=+R R y x ，则

??∑

++222R y x dS

8、设L ：??

???=++=++01

22z y x z y x ，其线密度1=μ，则L 关于z 轴的转动惯量Z I = 。

9、旋转曲面22y x z +=在10≤≤z

6、曲面)323()(322≤≤+=

z y x z 的面积为（）

（A ）3π （B ）6π （C ）9π （D ）12π 3. 设L 为圆锥螺线)10(,sin ,cos ≤≤===t

t z t t y t t x ,则=?L zds

3．设()

f x 为连续函数，1

()d ()d t

F t y f x x =?

?，则(2)F '

4．

()

cos d d x y y x y x y +≤+=??

0 ；

6．设()12

d d I x xy f x y y -?=

++???

，1

22200

d ()d I f π

?ρρρ=??，其中()f t 是连续函数，则有 [ C ] (A)21I I < (B)21I I > (C) 212I I = (D)2

1I I =

14．计算2d L

x s ?

，其中L 是曲面222

9x y z ++=与平面z = 8π=

9、设曲面Σ为圆锥面2

2y x z

上被圆柱面x y x

222

=+所截下的有限部分.已知Σ上任一点处

的面密度与该点到原点的距离成正比,试求曲面Σ的质量.

10、计算积分

??∑

+dS z y )(，其中Σ为下半球面222y x R z ---

=。3zdS R π∑

==-??

11、设S 为椭球面12

222

2=++z y x 的上半部分，点S z y x P ∈),,(，π为S 在点P 处的切

平面，),,(z y x ρ为点)00,0(，O 到π的距离。求

??S

dA z y x z

),,(ρ

7.求由曲面22y x z +=与222y x z +-

1. 计算??

++)(2

2σσd y

x y

x ，其中{}

1,1),()(22≥+≤+=y x y x y x σ

向量函数积分学

2、（7分）?-+-++=L dz y z dy y x dx y x I )()()(，其中??

???=+-=+21

2z y x y x L 从z 轴正向看

去为逆时针方向。 20

2:cos ,sin ,cos sin ;L

L x t y t z t t π

π===-+==-?

5．设S 为平面

1432=++z y x 在第一卦限部分的下侧，则42d d 3S x y z x y ??++∧ ??

???= -12 。 2、设Σ为曲面)0(2

222≥=++z a z y x 取上侧，则当),,(z y x f 为下述哪个函数时，曲面

积分

0),,(=∧??∑

dz dy z y x f ?

),,(z y x f =（

D ）

（A ）z e x

sin （B ）z y x 2

3 （C ）)1cos(2z xy + （D ）24y x +

2、若向量)0()(,)(22≠+?

????+++=y x y x y y x ay x A 为某函数),(y x u 的梯度，则a

一、填空题

1、设C 为闭曲线1=+y x ，取逆时针方向，则

++-C

y dy x e dx x y )()1(2

3、已知dy y x x by dx x y axy )3sin 1()cos (2

223+++-为某一函数),(y x f 的全微分，则

b a ,的值分别为(

B )

（A ）-2,2 （B ）2,-2 （C ）-3,3 （D ）3,-3

4. ),0,1(24

]2)2sin([πz y y x div +++=________3_____________________.

8．设L 是摆线sin 1cos x t t y t

=--??

=-?上从0t =到π2=t 的弧段，则曲线积分

22()d ()d L

x y x x y y

x y

-++=+? [ B ] (A)π (B)π- (C)0 (D)π2 二、单项选择题

1、设C 是沿曲线3x y =从点(0,0)到点(1,1)的一段曲线，则曲线积分

y d y x y d x x 2sin 2cos 2

=（ C ）. （A ）0 (B)21 (C)2cos 2

(D) )2cos 1(21+ 三、计算题

1、设)(x f 具有一阶连续导数，且1)0(=f ，试求二元函数),(y x u ，使

dy y e ydx x f x f du x )2()](2)([++-'= 222();(,)x x x f x e e u x y e y y C =-=++

3、计算曲线积分?

+--+y

x dy

y x dx y x 2

)()(，其中C 为闭合曲线1=+y x (取正向). 2π-

4、计算曲线积分

+---C

x dy x ydx 2

2)1(4)1(，其中C 为圆周x y x 82

2=+，沿逆时针方向。π- 5、（9分）?

+-=L

x xdy ydx I 2

29，其中L 为从点A )1,0(经曲线2

1y x --=至点B )1,0(-，再

从B 点经抛物线12-+=x x y 至点C )1,1(6、已知曲线积分?++L dy x f x dx x yf )](2

[

)(2

与路径无关，其中f 为可微函数，0)0(=f . （1）求)(x f ；（2）计算

dy x f x dx x yf )](2

[)()

,()

0,0(2

++?

ππ

7.试求连续可微函数()x ?，使在右半平面内曲线积分

()

cos ()d ()d B

A x x x x y x

??-+?与路

径无关，其中22π???

???

；且当(1,0),(,)A B ππ==时，求该曲线积分的值。 , 1π-

7、计算?

+++++=

dy x a x y xy dx x a y I )]ln([2222

22其中L 是圆周222a y x =+上

点)0,(a A 依逆时针方向到点)0,(a B -的弧)0(>a 。

8、设在点A(0,1)处有一单位质量的质点，曲线OTB 是以C(0,1)为圆心，半径r=1的上半圆弧，点B(2,0)。试求一质量为m 的质点M 沿OTB 运动，由点O 到点B 时，A 处质点对质点M 的引力所做的功。

9、计算曲面积分??∑+++∧++∧+∧=2

22222)1()1(z y x dy

dx z dx dz y dz dy x I ，其中Σ是曲面20(222≤≤--=z y x z ，取上侧。

10、计算??

∑

++∧+∧+2

222)4(z y x dx

yzdz dz dy z , 其中∑为半球面229y x z --=

的上侧。

11、计算曲面积分??∑

∧∧∧++++dy dx z dx dz y dz dy y x x )1()(3

343，

其中Σ为上半球面2

22y x a z --=的上侧

3. 计算?

+++-C

y x dy

y x dx y x 2

2)()(,其中C 为摆线t y t t x cos 1,sin -=--=π,从0=t 到π=t 的一段。

复数

1. 设031=--i e z ,则

1、设031=--i e z

，则)Im(z = 。

2．设1i

i -=，则Im z

2、若0)1(=+-i

i e ，则)Im(z = 。 3、函数2

)1(1

)(-=

z z z f 在圆环域110<-

)(2-=

e z

z f ，则（ C ）

（A ）0=z 是)(z f 的一级极点（B ）0=z 是)(z f 的二级极点（C ）0=z 是)(z f 的可去奇点（D ）∞=z 是)(z f 的孤立奇点 5、设2

cos 1)(z

z f -=

，则（ A ）（A ）0=z 是)(z f 的三级极点（B ）0=z 是)(z f 的二级极点（C ）0=z 是)(z f 的可去奇点（D ）∞=z 是)(z f 的孤立奇点

6、已知调和函数2

2)1()1(),(+--=y x y x u ，求解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的表达

式。

7、确定正常数α，使得函数y e

y x u x

3sin ),(α=为调和函数，并求以),(y x u 为实部的解析

函数)(z f （要求用复变量z 表示）。

8、已知y x y y e v u x ---=-)sin (cos ，求解析函数iv u z f +=)(（单独用z 表示）

e cos ,e sin =-+=++x x u y y C v y x C ()e ()=+++z

f z C i z C

1. 已知解析函数)(z f 的虚部y xy y x v -=2),(,且0)0(=f ,求)(z f 的表达式,并用z 表示.

2222

202000令得于是分

得()(),()()()()f z x y x C i xy y y f x x x C f z z z C f C f z z z

=--++-==-+=-+===-

11．设调和函数(,)e (cos sin )x u x y x y y y x =-+,求(,)u x y 的共轭调和函数),(y x v ，并求解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=。(自变量单独用z 表示)

e (sin cos )x v x y y y y C =+++, ()e z

f z z z C =++

9、计算积分

-C

dz z z z

)

1(cos 3

，其中C 为任一包含1,0==z z 的正向简单闭曲线。 10、设L ：2=z 取逆时针方向，则

?-L z z dz

)1(2= 。 11、设L ：3=z 取逆时针方向，则

?--L z i z dz

)2)((= 。

12、将函数1

)(2-=z z f 在以20=z 为中心的各圆环域内展成为Laurent 级数。 13、函数)

1(1

)(2-=

z z z f 在圆环域21<

14、设L ：2=z 取逆时针方向，计算?-L z

dz z z e )

1(2

15、设)

1(sin )(2

z z z

z f ，则留数]0),([Re z f s = 。 16、设L ：3=z 取正方向，计算?--L z dz z z e 2

22)1(1

17、设z

z z f 1

sin

)(2

=，则]0),([Re z f s = 。

18、计算?=-+222)1)(1(z dz z z z

东南大学高等数学数学实验报告上

Image Image 高等数学数学实验报告实验人员：院（系） ___________学号_________姓名____________实验地点：计算机中心机房实验一 1、实验题目：根据上面的题目，通过作图，观察重要极限：lim（1+1/n）n =e 2、实验目的和意义方法的理论意义和实用价值。利用数形结合的方法观察数列的极限，可以从点图上看出数列的收敛性，以及近似地观察出数列的收敛值；通过编程可以输出数列的任意多项值，以此来得到数列的收敛性。通过此实验对数列极限概念的理解形象化、具体化。三、计算公式（1+1/n）n 四、程序设计五、程序运行结果六、结果的讨论和分析当n足够

Image Image 大时，所画出的点逐渐接近于直线，即点数越大，精确度越高。对于不同解题方法最后均能获得相同结果，因此需要择优，从众多方法中尽可能选择简单的一种。程序编写需要有扎实的理论基础，因此在上机调试前要仔细审查细节，对程序进行尽可能的简化、改进与完善。实验二一、实验题目制作函数y=sin cx的图形动画，并观察参数c对函数图形的影响。二、实验目的和意义本实验的目的是让同学熟悉数学软件Mathematica所具有的良好的作图功能，并通过函数图形来认识函数，运用函数的图形来观察和分析函数的有关性态，建立数形结合的思想。三、计算公式：y=sin cx 四、程序设计五、程序运行结果六、结果的讨论和分析 c的不同导致函数的区间大小不同。实验三一、实验题目观察函数f(x)=cos x的各阶泰勒展开式的图形。二、实验目的和意义利用Mathematica计算函数的各阶泰勒多项式，并通过绘制曲线图形，来进一步掌握泰勒展开与函数逼近的思想。三、计算公式

高等数学作业上-1 (答案)

第一章函数极限连续 §1函数 1．解：（1）要使24sin x -有意义，必须.2,042≤≥-x x 即使所以定义域为[-2，2]. （2）当时，且1 3≠≠x x 3 41 2+-x x 有意义;而要使2+x 有意义，必须,2-≥x 故函数的定义域为：).,3()3,1()1,2[+∞-、、（3）,1010.101110ln 110ln arccos e x e e x e x x ≤≤∴≤≤≤≤-，即有意义，则使要使即定义域为].10,10 [ e e （4）要使)1(+x tg 有意义，则必有.,2,1,0,2 1 ±±=+≠ +k k x ππ ;即函数定义域为 .,2,1,0,12? ?? ?? ?±±=-+≠∈ k k x R x x ππ且（5）当有意义，时有意义；又当时x arctg x x x 1 033≠-≤故函数的定义域为： ].3,0()0(、，-∞ （6）x k k x k sin )2,1,0()12(2时当 ±±=+≤≤ππ有意义；有要使216x -有意义，必须有.44≤≤-x 所以函数的定义域为：].,0[],4[ππ、 -- 2． .2)2 1(,2)21 (,2)0(,1)2(,2)3(2 1-=-====f f f f f 3．解：3134,34)]([22≤≤-+--+-= x x x x x x g f 有意义；必须因此要使，即[])(x g f 的定义域为[1，3]。 4．解? ?? ??>-=<=???? ???>-=<=; 0,1,0,0,0, 1,1, 1,1, 0, 1,1)]([x x x e e e x g f x x x ?????????>=<==, 1,1,1,1,1,)]([) (x e x x e e x f g x f 。 5．有意义，时当)(sin 1sin 0x f x ≤≤故其定义域为).2,1,0]()12(,2[ ±±=+k k k ππ。 6．???-<++-≥+=+?? ?<+-≥-=-; 1,52, 1,32)1(;1,52, 1,12)1(2 2 x x x x x x f x x x x x x f

高数习题集(附答案)

第一章函数与极限 §1 函数必作习题 P16－18 4 (5) (6) (8)，6，8，9，11，16，17 必交习题一、一列火车以初速度0v ，等加速度a 出站，当速度达到1v 后，火车按等速运动前进；从出站经过T 时间后，又以等减速度a 2进站，直至停止。 (1) 写出火车速度v 与时间t 的函数关系式； (2) 作出函数)(t v v =的图形。二、证明函数1 2+= x x y 在),(+∞-∞内是有界的。

三、判断下列函数的奇偶性： (1)x x x f 1sin )(2= ； (2)1 212)(+-=x x x f ； (3))1ln()(2++=x x x f 。四、证明：若)(x f 为奇函数，且在0=x 有定义，则0)0(=f 。

§2 初等函数必作习题 P31－33 1，8，9，10，16，17 必交习题一、设)(x f 的定义域是]1,0[，求下列函数的定义域： (1))(x e f ； (2))(ln x f ； (3))(arcsin x f ； (4))(cos x f 。二、(1)设)1ln()(2x x x f +=，求)(x e f -； (2)设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f ； (3)设x x f -= 11)(，求)]([x f f ，})(1{x f f 。)1,0(≠≠x x

三、设)(x f 是x 的二次函数，且1)0(=f ，x x f x f 2)()1(=-+，求)(x f 。四、设???>+≤-=0, 20, 2)(x x x x x f ，???>-≤=0, 0,)(2x x x x x g ，求)]([x g f 。

东南大学高数a下实验报告

高数实验报告学号：姓名：数学实验一一、实验题目：（实验习题7-3）观察二次曲面族kxy y x z ++=22的图形。特别注意确定k 的这样一些值，当k 经过这些值时，曲面从一种类型变成了另一种类型。二、实验目的和意义 1. 学会利用Mathematica 软件绘制三维图形来观察空间曲线和空间曲线图形的特点。 2. 学会通过表达式辨别不同类型的曲线。三、程序设计这里为了更好地分辨出曲线的类型，我们采用题目中曲线的参数方程来画图，即t t kr r z sin cos 22+= 输入代码： ParametricPlot3D [{r*Cos[t]，r*Sin[t],r^2+ k*r^2*Cos[t]*Sin[t]}, {t, 0, 2*Pi}, {r, 0, 1}，PlotPoints -> 30] 式中k 选择不同的值：-4到4的整数带入。四、程序运行结果

k=4： k=3： k=2：

k=1: k=0:

k=-1: k=-2:

k=-3: k=-4: 五、结果的讨论和分析 k取不同值，得到不同的图形。我们发现，当|k|<2时，曲面为椭圆抛物面；当|k|=2时，曲面为抛物柱面；当|k|>2时，曲面为双曲抛物面。

数学实验二一、实验题目一种合金在某种添加剂的不同浓度下进行实验，得到如下数据： 2 + y+ = cx a bx 法确定系数a,b,c，并求出拟合曲线二、实验目的和意义 1.练习使用mathematic进行最小二乘法的计算 2.使用计算机模拟，进行函数的逼近三、程序设计 x={,,,,}; y={,,,,}; xy=Table[{x[[i]],y[[i]]},{i,1,5}]; q[a_,b_,c_]:=Sum[(a+b*x[[i]]+c*x[[i]]*x[[i]]-y[[i]])^2,{i,1 ,5}]; Solve[{D[q[a,b,c],a]?0,D[q[a,b,c],b]?0,D[q[a,b,c],c]?0},{a, b,c}] A={a,b,c}/.%; a=A[[1,1]]; b=A[[1,2]];

大学高等数学上习题(附答案)

《高数》习题1（上）一．选择题 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和（B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（）. （A ）连续且可导（B ）连续且可微（C ）连续不可导（D ）不连续不可微 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（）. （A ）1f C x ?? - + ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 10．设()f x 为连续函数，则()10 2f x dx '?等于（）. （A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -????（C ）()()1 202f f -??? ?（D ）()()10f f - 二．填空题 1．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = . 2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '=. 3． ()21ln dx x x = +?. 三．计算 1．求极限 ①21lim x x x x →∞+?? ??? ②() 20sin 1 lim x x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分x xe dx -?

【高等数学基础】形成性考核册答案(附题目)

【高等数学基础】形成性考核册答案【高等数学基础】形考作业1答案：第1章函数第2章极限与连续（一）单项选择题 ⒈下列各函数对中，（C ）中的两个函数相等． A. 2 )()(x x f =，x x g =)( B. 2)(x x f = ，x x g =)( C. 3 ln )(x x f =，x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ，1 1)(2--=x x x g 分析：判断函数相等的两个条件（1）对应法则相同（2）定义域相同 A 、2 ()f x x ==，定义域{}|0x x ≥；x x g =)(，定义域为R 定义域不同，所以函数不相等； B 、()f x x = =，x x g =)(对应法则不同，所以函数不相等； C 、3 ()ln 3ln f x x x ==，定义域为{}|0x x >，x x g ln 3)(=，定义域为{}|0x x > 所以两个函数相等 D 、1)(+=x x f ，定义域为R ；21 ()11 x g x x x -= =+-，定义域为{}|,1x x R x ∈≠ 定义域不同，所以两函数不等。故选C ⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（C ）对称． A. 坐标原点 B. x 轴 C. y 轴 D. x y = 分析：奇函数，()()f x f x -=-，关于原点对称偶函数，()()f x f x -=，关于y 轴对称 ()y f x =与它的反函数()1y f x -=关于y x =对称，奇函数与偶函数的前提是定义域关于原点对称设()()()g x f x f x =+-，则()()()()g x f x f x g x -=-+= 所以()()()g x f x f x =+-为偶函数，即图形关于y 轴对称故选C ⒊下列函数中为奇函数是（B ）． A. )1ln(2 x y += B. x x y cos = C. 2 x x a a y -+= D. )1ln(x y += 分析：A 、()()( )()2 2 ln(1)ln 1y x x x y x -=+-=+=，为偶函数 B 、()()()cos cos y x x x x x y x -=--=-=-，为奇函数或者x 为奇函数，cosx 为偶函数，奇偶函数乘积仍为奇函数 C 、()()2 x x a a y x y x -+-= =，所以为偶函数

(word完整版)高等数学习题集及答案

第一章函数一、选择题 1. 下列函数中，【】不是奇函数 A. x x y +=tan B. y x = C. )1()1(-?+=x x y D. x x y 2sin 2 ?= 2. 下列各组中，函数)(x f 与)(x g 一样的是【】 A. 3 3)(,)(x x g x x f = = B.x x x g x f 22tan sec )(,1)(-== C. 1 1)(,1)(2+-=-=x x x g x x f D. 2 ln )(,ln 2)(x x g x x f == 3. 下列函数中，在定义域内是单调增加、有界的函数是【】 A. +arctan y x x = B. cos y x = C. arcsin y x = D. sin y x x =? 4. 下列函数中，定义域是[,+]-∞∞,且是单调递增的是【】 A. arcsin y x = B. arccos y x = C. arctan y x = D. arccot y x = 5. 函数arctan y x =的定义域是【】 A. (0,)π B. (,) 22ππ- C. [,] 22ππ- D. (,+)-∞∞ 6. 下列函数中，定义域为[1,1]-，且是单调减少的函数是【】 A. arcsin y x = B. arccos y x = C. arctan y x = D. arccot y x = 7. 已知函数arcsin(1)y x =+，则函数的定义域是【】 A. (,)-∞+∞ B. [1,1]- C. (,)ππ- D. [2,0]- 8. 已知函数arcsin(1)y x =+，则函数的定义域是【】 A. (,)-∞+∞ B. [1,1]- C. (,)ππ- D. [2,0]- 9. 下列各组函数中，【】是相同的函数 A. 2()ln f x x =和 ()2ln g x x = B. ()f x x =和()g x = C. ()f x x =和()2 g x = D. ()sin f x x =和()arcsin g x x = 10. 设下列函数在其定义域内是增函数的是【】 A. ()cos f x x = B. ()arccos f x x = C. ()tan f x x = D. ()arctan f x x = 11. 反正切函数arctan y x =的定义域是【】 A. (,)22 ππ - B. (0,)π C. (,)-∞+∞ D. [1,1]- 12. 下列函数是奇函数的是【】

高数A1习题册答案

习题一一、 1. × 2. \/ 3. × 4. × 5. × 6. \/ 7. × 二、 1. A 2. D 3. B 4. A 三、 1. 直线y x = 2. [-1，3） 3. 1[,0]2 - 4. 奇 5. 2 log 1 y y y =- 6. 3,,sin u y e u v v x === 四、 1(2)3f x x += +，2 2 1()1f x x =+， 11(())1211x f f x x x +== ++ +，11()()2f f x x =+ 习题二一、 1. ∨ 2. × 3. × 4. ∨ 5. ∨ 6. × 7 × 8 × 二、 1. B 2. B 3. A 4. C 5. D 6. C 7. C 三、 1) lim 1x x x - →=-，0 lim 1x x x + →=

lim x x x →不存在 2) 1lim ()2x f x + →=，1 lim ()2x f x - →= 1 lim ()2x f x →= 2 lim ()5,lim ()0x x f x f x →→== 习题三一、 1. × 2. × 3. ∨ 4. × 5. 二、 1. C 2. B 3. D 4. D 三、 (1) 2131 lim 11 x x x →-+=+ (2) 22 11112 lim lim 21213x x x x x x x →→-+==--+ (3) 2 02lim 2h hx h I x h →+== (4) 23 I = (5) 0I = (6) 422 lim 13 x x I x →-==- (7) 1 1133lim 213 n n I +→∞-==- (8) 111 lim (1)2212 n n →∞- =+ (9) 23 211132 lim lim 111x x x x x I x x x →→++-+==-=--++

高等数学习题集[附答案及解析]

WORD 格式第一章函数与极限 §1 函数必作习题 P16－18 4 (5) (6) (8)，6，8，9，11，16，17 必交习题一、一列火车以初速度0v ，等加速度a 出站，当速度达到1v 后，火车按等速运动前进；从出站经过T 时间后，又以等减速度a 2进站，直至停止。 (1) 写出火车速度v 与时间t 的函数关系式； (2) 作出函数)(t v v =的图形。二、证明函数1 2+= x x y 在),(+∞-∞内是有界的。

三、判断下列函数的奇偶性： (1)x x x f 1sin )(2= ； (2)1 212)(+-=x x x f ； (3))1ln()(2++=x x x f 。四、证明：若)(x f 为奇函数，且在0=x 有定义，则0)0(=f 。

WORD 格式 §2 初等函数必作习题 P31－33 1，8，9，10，16，17 必交习题一、设)(x f 的定义域是]1,0[，求下列函数的定义域： (1))(x e f ； (2))(ln x f ； (3))(arcsin x f ； (4))(cos x f 。二、(1)设)1ln()(2x x x f +=，求)(x e f -； (2)设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f ； (3)设x x f -= 11)(，求)]([x f f ，})(1{x f f 。)1,0(≠≠x x

三、设)(x f 是x 的二次函数，且1)0(=f ，x x f x f 2)()1(=-+，求)(x f 。四、设???>+≤-=0, 20, 2)(x x x x x f ，???>-≤=0,0,)(2x x x x x g ，求)]([x g f 。

[整理]东南大学高等数学期中期末试卷.

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------------- ------------- (A) ∑ ∞ =1 21 n n (B) ∑∞ =??? ??+111ln n n (C) ()n n n n n ??? ??+-∑∞ =111 (D) ∑?∞=+1 1 04 d 1n n x x x 4. 下列结论正确的是 [ ] (A) 若[][]b a d c ,,?,则必有 ()()?? ≤b a d c x x f x x f d d . (B) 若()x f 在区间[]b a ,上可积,则()x f 在区间[]b a ,上可积. (C) 若()x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有()()?? +=T T a a x x f x x f 0 d d . (D) 若()x f 在区间[]b a ,上可积,则()x f 在[]b a ,内必有原函数. 三. (每小题7分,共35分) 1. ()()30 2 0d cos ln lim x t t t x x ?+→. 2. 判断级数 ∑∞ =-1 354n n n n 的敛散性. 3. x x x x d cos cos 04 2?-π. 4. ?∞+13 d arctan x x x . 5. 求初值问题 ()()?? ? ??-='=+=+''210,10sin y y x x y y 的解. 四.(8分) 在区间[]e ,1上求一点ξ,使得图中所示阴影部分绕 x 轴旋转所得旋转体的体积最小五.(7分) 设 b a <<0,求证 ()b a a b a b +-> 2ln . 六.(7分) 设当1->x 时,可微函数()x f 满足条件 ()()()0d 1 10=+- +'?x t t f x x f x f 且()10=f ,试证:当0≥x 时,有 ()1e ≤≤-x f x 成立. 七.(7分) 设()x f 在区间[]1,1-上连续,且 ()()0d tan d 1 1 11 ==??--x x x f x x f , x ln

高等数学课后习题与解答

高等数学课后习题及解答 1. 设u=a-b+2c，v=-a+3b-c.试用a，b，c 表示2u-3v. 解2u-3v=2（a-b+2c）-3（-a+3b-c） =5a-11b+7c. 2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平行四边形. 证如图8-1 ，设四边形ABCD中AC 与BD 交于M ，已知AM = MC ，DM 故 MB . AB AM MB MC DM DC . 即AB // DC 且|AB |=| DC | ，因此四边形ABCD是平行四边形. 3. 把△ABC的BC边五等分，设分点依次为D1，D2，D3，D4，再把各分点与点 A 连接.试以AB=c, BC=a 表向量证如图8-2 ，根据题意知 1 D 1 A, 1 D 2 A, D 3 A, D A. 4 1 D3 D4 BD1 1 a, 5 a, D1D2 a, 5 5 1 D 2 D 3 a, 5 故D1 A=- （AB BD1）=- a- c 5

D 2 A =- （ AB D A =- （ AB BD 2 BD ）=- ）=- 2 a- c 5 3 a- c 3 =- （ AB 3 BD 4 ）=- 5 4a- c. 5 4. 已知两点 M 1（0，1，2）和 M 2（1，-1，0） .试用坐标表示式表示向量 M 1M 2 及-2 M 1M 2 . 解 M 1M 2 =（1-0， -1-1， 0-2）=（ 1， -2， -2） . -2 M 1M 2 =-2（ 1，-2，-2） =（-2， 4，4）. 5. 求平行于向量 a =（6， 7， -6）的单位向量 . a 解向量 a 的单位向量为，故平行向量 a 的单位向量为 a a 1 = （ 6，7， -6）= 6 , 7 , 6 ， a 11 11 11 11 其中 a 6 2 72 ( 6)2 11. 6. 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A （1，-2，3）， B （ 2， 3，-4）， C （2，-3，-4）， D （-2， -3， 1）. 解 A 点在第四卦限， B 点在第五卦限， C 点在第八卦限， D 点在第三卦限 . 7. 在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置： A （ 3， 4， 0）， B （ 0， 4，3）， C （ 3，0，0）， D （ 0， D A 4

高等数学AB上册期中期末试卷完整版0309东南大学

03～09级高等数学（A ）（上册）试卷东南大学 2003级高等数学（A ）（上）期中试卷一、单项选择题（每小题4分，共12分） 1.2)( ,)( ='=οοx f x x f y 且处可导在点函数, 是时则当dy x ,0→?（）（A ）等价的无穷小与x ?；（B ）同价但非等价的无穷小与x ?；（C ）低价的无穷小比x ?；（D ）高价的无穷小比x ?。 2.方程内恰有在) ,(0125 ∞+-∞=-+x x （）（A ）一个实根；（B ）二个实根；（C ）三个实根；（D ）五个实根。 3.已知函数 ,0)0( , 0 ==f x f 的某个邻域内连续在 ,1cos 1) (lim 0=-→x x f x 则处在 0 =x f （）（A ）不可导；（B ）可导且0)0(≠'f ；（C ）取得极大值；（D ）取得极小值。二、填空题（每小题4分，共24分） 1.=?????=≠-=a x a x x x x x f 0., ,0,3cos 2cos )(2则当若时，处连续在 0 )( =x x f . 2.设函数nx nx n e e x x x f +++=∞ →11lim )( 2，则=x x f )( 在 0 处，其类型是 . 3.函数Lagrange x xe x f x 处的带在1)(==ο余项的三阶Taylor 公式为 4.设函数所确定由方程 1)sin()(=-=x ye xy x y y ，则=dy . 5.已知)1ln()(x x f -=，则=)0() (n f . 6.设2 2tan )(cos x x f y +=，其中可导 f ，=dx dy 则三、（每小题7分，共28分） 1.求极限x x x 2cot 0 )]4 [tan(lim π +→. 2.求极限)sin 1(sin lim x x x -++∞ →

《高等数学基础》作业

高等数学基础形成性考核册专业：建筑学号：姓名：牛萌河北广播电视大学开放教育学院（请按照顺序打印，并左侧装订）

高等数学基础形考作业1：第1章函数第2章极限与连续（一）单项选择题 ⒈下列各函数对中，（ C ）中的两个函数相等． A. 2 )()(x x f =，x x g =)( B. 2)(x x f = ，x x g =)( C. 3 ln )(x x f =，x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ，1 1 )(2--=x x x g ⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（ C ）对称． A. 坐标原点 B. x 轴 C. y 轴 D. x y = ⒊下列函数中为奇函数是（ B ）． A. )1ln(2 x y += B. x x y cos = C. 2 x x a a y -+= D. )1ln(x y += ⒋下列函数中为基本初等函数是（ C ）． A. 1+=x y B. x y -= C. 2 x y = D. ?? ?≥<-=0, 10 ,1x x y ⒌下列极限存计算不正确的是（ D ）． A. 12lim 2 2 =+∞→x x x B. 0)1ln(lim 0 =+→x x C. 0sin lim =∞→x x x D. 01 sin lim =∞→x x x ⒍当0→x 时，变量（ C ）是无穷小量． A. x x sin B. x 1 C. x x 1 sin D. 2)ln(+x ⒎若函数)(x f 在点0x 满足（ A ），则)(x f 在点0x 连续。 A. )()(lim 00 x f x f x x =→ B. )(x f 在点0x 的某个邻域内有定义 C. )()(lim 00 x f x f x x =+→ D. )(lim )(lim 0 x f x f x x x x -+→→=

高等数学习题集[附答案及解析]

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 第一章函数与极限 §1 函数必作习题 P16－18 4 (5) (6) (8)，6，8，9，11，16，17 必交习题一、一列火车以初速度0v ，等加速度a 出站，当速度达到1v 后，火车按等速运动前进；从出站经过T 时间后，又以等减速度a 2进站，直至停止。 (1) 写出火车速度v 与时间t 的函数关系式； (2) 作出函数)(t v v =的图形。二、证明函数1 2+=x x y 在),(+∞-∞内是有界的。

关于高等数学课后习题答案

习题6?2 1? 求图6?21 中各画斜线部分的面积? (1) 解画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 6 1]2132[)(10 22310=-=-=?x x dx x x A . (2) 解法一画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 1|)()(101 0=-=-=?x x e ex dx e e A ? 解法二画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1? e ]? 所求的面积为 1)1(|ln ln 1 11=--=-==??e e dy y y ydy A e e e ?

(3) 解画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?3? 1]? 所求的面积为 3 32]2)3[(1 32=--=?-dx x x A ? (4) 解画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?1? 3]? 所求的面积为 3 32 |)313()32(31323 12= -+=-+=--?x x x dx x x A ?

2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积? (1) 22 1x y =与x 2?y 2?8(两部分都要计算)? 解? 3 423 8cos 16402+=-=?ππ tdt ? 3 46)22(122-=-=ππS A ? (2)x y 1=与直线y ?x 及x ?2? 解? 所求的面积为 ?-=-= 2 12ln 2 3)1(dx x x A ?

(3) y ?e x ? y ?e ?x 与直线x ?1? 解? 所求的面积为 ?-+=-=-1 021)(e e dx e e A x x ? (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 解所求的面积为 3? 求抛物线y ??x 2?4x ?3及其在点(0? ?3)和(3? 0)处的切线所围成的图形的面积? 解? y ???2 x ?4?

高等数学作业题及参考答案

高等数学作业题（一）第一章函数 1、填空题（1）函数1 1 42-+-=x x y 的定义域是 2、选择题 (1)下列函数是初等函数的是（）。 A.3sin -= x y B.1sin -=x y C.??? ??=≠--=1 ,01, 112x x x x y D. ?? ?≥<+=0 , , 1x x x x y (2)x y 1 sin =在定义域内是（）。 A. 单调函数 B. 周期函数 C. 无界函数 D. 有界函数 3、求函数2)1ln(++-=x x y 的定义域 4、设,1)(2+-=x x x f 计算x f x f ?-?+) 2()2( 5、要做一个容积为250立方米的无盖圆柱体蓄水池，已知池底单位造价为池壁单位造价的两倍，设池底单位造价为a 元，试将总造价表示为底半径的函数。 6、把一个圆形铁片，自中心处剪去中心角为α的一扇形后，围成一个无底圆锥，试将此圆锥体积表达成α的函数。第二章极限与连续

1、填空题（1）3 2 += x y 的间断点是（2）0=x 是函数x x y +=1的第类间断点。（3）若极限a x f x =∞ →)(lim 存在，则称直线a y =为曲线=y ()x f 的渐近线。（4）有界函数与无穷小的乘积是（5）当0→x ，函数x 3sin 与x 是无穷小。（6）x x x 1)21(lim 0 +→= （7）若一个数列{}n x ，当n 时，无限接近于某一个常数a ，则称a 为数列{}n x 的极限。（8）若存在实数0>M ，使得对于任何的R x ∈，都有()M x f <，且()0lim 0 =→x g x ，则()()=→x g x f x 0 lim （9）设x y 3sin =，则=''y (10) x x x )211(lim - ∞ →= 2、选择题（1）x x x sin lim 0→的值为（）。 A.1 B.∞ C.不存在 D.0 （2）当x →0时，与3 100x x +等价的无穷小量是( )。 A. 3x B x C. x D. 3 x （3）设函数x x x f 1 sin )(?=，则当0)(>-x f 时，)(x f 为 ( ) A. 无界变量 B.无穷大量 C. 有界，但非无穷小量 D. 无穷小量（4）lim sin sin x x x x →0 21 的值为（）。 A.1 B.∞ C.不存在 D.0 （5）下列函数在指定的变化过程中，（）是无穷小量。 A ．e 1 x x , ()→∞ B. sin ,()x x x →∞ C. ln(), ()11+→x x D. x x x +-→11 0,()

高等数学课后习题与解答

高等数学课后习题及解答 1. 设 u =a -b +2c ，v =-a +3b -c .试用 a ，b ， c 表示 2u -3v . 解 2u -3v =2（ a -b +2c ） -3（-a +3b -c ） =5a -11b +7c . 2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平行四边形. 证如图 8-1 ，设四边形 ABCD 中 AC 与 BD 交于 M ，已知 AM = MC ， DM 故 MB . AB AM MB MC DM DC . 即 AB // DC 且|AB |=| DC | ，因此四边形 ABCD 是平行四边形. 3. 把△ ABC 的 BC 边五等分，设分点依次为 D 1，D 2，D 3，D 4，再把各分点与点 A 连接.试以 AB =c, BC =a 表向量证如图 8-2 ，根据题意知 1 D 1 A , 1 D 2 A , D 3 A , D A . 4 1 D 3 D 4 BD 1 1 a, 5 a, D 1D 2 a, 5 5 1 D 2D 3 a, 5 故 D 1 A =- （ AB BD 1 ）=- a- c 5

D 2 A =- （ AB D A =- （ AB BD 2 BD ）=- ）=- 2 a- c 5 3 a- c 3 =- （ AB 3 BD 4 ）=- 5 4a- c. 5 4. 已知两点 M 1（0，1，2）和 M 2（1，-1，0） .试用坐标表示式表示向量 M 1M 2 及-2 M 1M 2 . 解 M 1M 2 =（1-0， -1-1， 0-2）=（ 1， -2， -2） . -2 M 1M 2 =-2（ 1，-2，-2） =（-2， 4，4）. 5. 求平行于向量 a =（6， 7， -6）的单位向量 . a 解向量 a 的单位向量为，故平行向量 a 的单位向量为 a a 1 = （ 6，7， -6） = 6 , 7 , 6 ， a 11 11 11 11 其中 a 6 2 7 2 ( 6) 2 11. 6. 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A （1，-2，3）， B （ 2， 3，-4）， C （2，-3，-4）， D （-2， -3， 1）. 解 A 点在第四卦限， B 点在第五卦限， C 点在第八卦限， D 点在第三卦限 . 7. 在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置： A （ 3， 4， 0）， B （ 0， 4，3）， C （ 3，0，0）， D （ 0， D A 4

东南大学高等数学试卷

东南大学考试卷（A卷）适用专业自动化考试形式闭卷考试时间长度120分钟一．单项选择题（20分，每题1分） 1. 目前我们所说的个人台式商用机属于（） A 巨型机 B 中型机 C 小型机 D 微型机 2. 下列元件中存取速度最快的是（） A Cache B 寄存器 C 内存 D 外存 3. 动态RAM刷新是以（）为单位进行的。 A 存储单元 B 行 C 列 D 存储矩阵 4. 在程序中断控制方式中，堆栈常用于（） A 数据移位 B 保护程序现场 C 程序转移 D 输入输出 5. 在微程序控制器中，机器指令和微指令的关系是（） A 每一条机器指令由一条微指令来执行 B 一条微指令由若干条机器指令组成 C 每一条机器指令由一段用微指令组成的微程序来解释执行 D 一段微程序由一条机器指令来执行 6. 水平型微指令与垂直型微指令相比，下列说法正确的是（） A 前者一次只能完成一个操作 B 后者一次只能完成一个操作 C 两者都是一次只能完成一个操作 D两者都是一次能完成多个操作 7 计算机的存储器采用分级方式的原因是（） A 减少主机箱的体积 B 解决容量、价格、速度三者之间的矛盾 C 保存大量数据方便 D 操作方便 8. 属于顺序存取存储器的是（） A 软盘 B 磁带 C 硬盘 D 光盘 9. 下列哪个不是输入设备（） A 鼠标 B 触摸屏 C LC D D 光笔 10. 在计算机的指令系统中，通常采用多种确定操作数的方式。当操作数直接由指令给出时，其寻址方式称为（） A 间接寻址 B 直接寻址 C 立即数寻址 D 变址寻址共8页第1页

11. 在中断响应的过程中，保护程序计数器PC的作用是（） A 使CPU能找到中断处理程序的入口地址 B 使中断返回时，能回到断点处继续原程序的执行 C 使CPU和外部设备能并行工作 D 为了实现中断嵌套 12. 在32位微机系统中，存储器的地址若采用4字节对齐方式，下列结构体的大小 sizeof(sa)的字节数是（） struct data { char c1; int i; short s; } sa A 7 B 8 C 12 D 16 13. cache存储器介于CPU与主存之间，由（）组成。 A DRAM B SRAM C ROM D Flash 14. 若某个寄存器存储的数据为C768H，逻辑右移三位，结果是（） A 3B40H B 18EDH C F8EDH D 以上都不是 15. 程序计数器（PC）属于（） A 运算器 B 控制器 C 存储器 D I/O接口 16. 中断系统的实现方式是（） A 仅用硬件 B 仅用软件 C 软、硬件结合 D 以上都不对 17. 下列哪个不是RISC的特点, （） A CPU中通用寄存器数量相当多 B 以微程序控制方式为主 C 大部分指令在一个或小于一个机器周期内完成 D 避免使用复杂指令 18. 指令周期是指（） A CPU从主存取出一条指令的时间 B CPU执行一条指令的时间 C CPU从主存取出一条指令加上执行这条指令的时间 D 时钟周期时间 19. 根据传送信息的种类不同，系统总线分为（） A 地址线和数据线 B 地址线、数据线和控制线 C 地址线、数据线和响应线 D 数据线和控制线 20. 页表用虚拟页号作为索引，它所包含的项数与虚地址空间的总页面数相同。如果虚地址为28位，页大小为4KB，每个页表项为4字节，那么页表的大小是（） A 64K B B 128KB C 256KB D 512KB 共8页第2页

《高等数学下》作业集答案.

第七章向量代数与空间解析几何第一节向量及其标表示 2． (i)A、B间的距离为d=3；(ii)中点C的坐标为(0,1,)；(iii)A、B联线与23 三坐标面交点为(-3,-2,0),(-1,0,-1),(0,1,) 3 2 3．(1) i+j+k不是单位向量，(2)三个单位向量之和有可能是零向量，此时a=-b-c。 5 5．prjba=2及prjab= m与b的夹角为arccos. 13 第二节数量积、向量积和混合积一、1． 36. 2．λ= 3. 3．共面.4． 18 。二、计算下列各题，1 。arccos， 2、（1）3，{5,1,7}；（2）,18，{10,2,14}；（3 ）cos= 2. 3、 π 3 .4 3,cos=-

3，5．(0,0,)。 5第三节空间平面与空间直线一、1．D，2．C， 3． C．4．A． 5． D．6．A．7． A．8． C．二、1．1，2．x-y+z=0。3．过点(x-1)-(y-2)-(z+1)=0， 4．已知两条直线的方程是(x-1)+(y-2)-(z-3)=0。三、（1）2(x-1)+3y+(z+1)=0；（2）3x-2y-1=0；（3）x-z=1；（4）2x-y+z=0；（5）y-3z=0；（6）4x+3(y-1)-z=0. 四、（1） x+53 =y+82= =z1 x+41 x3 y-40y-2-1 z x y-1 z ; （2） z-41 == 五、（1） x-2-1 y+33 =；（2）== 3z-42 ; （3）；（3） -3x+13 = 12y-2z-1== -11 = 六、（1）异面，（2）d=1,(3)? ?3x+7y-6z-12=0?x=1 z2 第四节空间曲面与空间曲线

东南大学大一下高等数学实验报告1

高等数学数学实验报告实验人员：院（系） _ 电子 _学号_ __姓名_ ___成绩_________ 实验一一、实验题目利用参数方程作图，作出由下列曲面所围成的立体：（1）221y x z --=，x y x =+22及xOy 面；（2）xy z =，01=-+y x 及0=z 。二、实验目的和意义利用Mathematics 软件绘制三维图形来观察空间曲线和空间图形的特点，以加强几何的直观性。时更加了解空间曲面是如何围成一个空间的封闭区域。三、计算公式（1） 2 21y x z --=：v u x sin cos ?=，v v y sin sin ?=， v z cos = （0

s1ParametricPlot3D Cos u Sin v,Sin v Sin u,Cos v , u,0,2Pi ,v,0,0.5Pi, AxesLabel"X","Y","Z", DisplayFunction Identity; s2ParametricPlot3D 0.5Sin u0.5,0.5Cos u,v , u,0,2Pi ,v,1,2,AxesLabel"X","Y","Z", DisplayFunction Identity; s3ParametricPlot3D u,v,0,u,2,2, v,2,2,AxesLabel"X","Y","Z", DisplayFunction Identity; Show s1,s2,s3,DisplayFunction $DisplayFunction (2) s1ParametricPlot3D u,v,u v ,u,8,8,v,8,8, AxesLabel"X","Y","Z",DisplayFunction Identity ; s2ParametricPlot3D u,1u,v ,u,8,8,v,8,8, AxesLabel"X","Y","Z",DisplayFunction Identity ; s3ParametricPlot3D u,v,0,u,5,10,v,5,10, AxesLabel "X","Y","Z",DisplayFunction Identity ; Show s1,s2,s3,DisplayFunction$DisplayFunction 五、程序运行结果 (1)