拓扑学第四章-紧致性
第四章 紧致性
紧致性是数学分析中的重要概念。尽管这个概念出现的较早,但是,从本质上讲,它是一个拓扑概念,也是一个最基本的拓扑性质。
我们先回顾一下度量空间紧性(列紧性)概念(在实直线上,紧性是描述闭区间性质的,而在实分析中,闭区间具有良好的性质)。
§4-1 度量空间(,)X d 中紧性(简单复习)
定义1 设A 是(,)X d 的一个子集。如果A 中任一无穷点列有子列收敛于X 中的一点,则称A 是相对列紧的;
如果A 中每个收敛子列的极限点都属于A ,则称A 是列紧的;
如果(,)X d 本身是列紧的,则称为列紧空间。
注释:这里的紧性之所以成为列紧,是因为用序列收敛描述的。
●下面的结论是显然的(由于都是过去的知识,所以不加证明的给出)
(1) 有限子集总是列紧的。
(2) 列紧空间是完备的(但,完备空间未必是列紧的)。
(3) 若A 是(,)X d 的列紧子集,则A 是(,)X d 的有界闭集。
(4) 在一般度量空间中,(3)成立,反之未必;如果(,)X d 是列紧空间,则
A 列紧 ? A 是闭集。
(5) 列紧的度量空间必是可分的。
●进一步分析:列紧性能用来刻画闭集,但是,它是利用“序列”形式刻画的。人们找出了一种非序列刻画的方式。
定义2 设A 是(,)X d 的一个子集。U 是X 的一族开集,满足
U U A ∈?U U ,则称U 为A 在X
中的开覆盖;
若U 中只有有限个子集,称U 为有限开覆盖;
若X 本身的每一开覆盖都有一有限子覆盖,则称X 为紧致空间(有的书成为紧空间) ★ 理论上可以证明:对于度量空间来说,列紧性与紧致性是等价的。即列紧空间?紧致空间(这在泛函分析书中都有介绍)。 §4-2 拓扑空间的紧性
在数学分析中,人们很早就注意的,实直线上闭区间[,]a b 具有某些极好的性质,它对于证明极大值定理、一致连续性定理等起着至关重要的作用。
但是,如何在拓扑空间上表述这个特性,长期不得而知。所以,最早人们认为[,]a b 上这个特性取决于[,]a b 上任何一个无穷子集都有极限点,进而提出了列紧性概念。后来研究发现,在拓扑空间上,序列并不是个好的表达形式。因此,列紧性并未触及到问题的本质。
进一步深入研究,认为用“开集”表达形式更为自然。并且从实分析理论中知道:“实数空间R 的子集为有界闭集?它的每一开覆盖都有有限子覆盖”。
这种描述的优点:①用有限族去代替无穷族(序列)的研究;②无须度量描述。
解释:为什么可以用有限覆盖表述无穷序列收敛?
定义3 设X 为拓扑空间,如果X 的每一开覆盖都有有限子覆盖,则称X 为紧致空间。
★ 显然,每一紧致空间也都是Lindel ?f 空间(X 的每一开覆盖都有可数子覆盖),反之不然。 定义4 设A 为拓扑空间X 的非空子集,若A 作为X 的子空间是紧致的,则称A 为X 的紧致子集。
例1 实数集R 不是紧致空间。 因为{(,)}n n n N =-∈A 为R 的开覆盖,但是A 中任何有限子集族
1122{(,),(,),,(,)}k k n n n n n n ---L
的并集为1212(max{,,,},max{,,,})k k n n n n n n -L L ,它不能覆盖R ,即A 没有有限子覆盖(解释:要覆盖R 只有n →∞。但这是一个无限的过程,不能用有限的方法得到)。
例2 R 的开区间(0,1)不是紧致的。
因为开区间族A :
111(,1),(,1),,(,1)23n
L
是(0,1)的一个开覆盖,中任何有限个成员都不能覆盖(0,1)。 例3 R 的子空间1{0}{
}A n N n
=?∈(N 为正整数集)是紧致的。 因为,任给A 的一个开覆盖A ,A 中有一个成员包含0,记这个成员为U (开区间)。于是,
开区间U 除了有限个“1n
”外,它要包含A 的所有其余的点,因此,对于A 中的每一个U 未包含的点,从A 中选一个报还它的成员,这些成员当然是有限的。 例4 任何一个仅含有限多个点的空间必然是紧致的。
● 重新看一下定义4:
说A 为拓扑空间X 的紧致子集,是指A 中的开集构成的A 的覆盖都有有限子覆盖,并没有明显说明:每一X 的开集构成的A 的覆盖都有有限子覆盖。因此,下面的定理是必要的。
定理1 拓扑空间X 的子集A 是X 的紧致子集?每一由X 的开集构成的A 的覆盖都有有限子覆盖。
证明:()? 假设A 是紧致的。令{}B αα∈Γ=A 是由X 的开集组成的A 的一个覆盖,那么,{}B A αα?∈Γ就是A 中开集所组成的A 的一个开覆盖。由于A 是紧致的,从而有一个有限子族