2019-2020学年广东省深圳外国语学校八年级(上)期末数学试卷(解析版)
2019-2020学年广东省深圳外国语学校八年级（上）期末数学试
卷
一、选择题（每题3分，共36分）
1．（3分）若（1，2）表示教室里第1列第2排的位置，则教室里第3列第2排的位置表示为（）
A．（2，3）B．（3，2）C．（2，1）D．（3，3）
2．（3分）把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（）A．B．
C．D．
3．（3分）有若干只鸡和兔在同一笼子里，从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚，问：笼子中各有多少只鸡和兔？若设有x只鸡、y只兔，则可列方程组为（）
A．B．
C．D．
4．（3分）随着网络的发展，在节日期间长辈们往往用抢微信红包的形式发放红包，下表是某班同学们在春节期间所抢的红包金额进行统计的结果表：
金额（元）203050100200
a人数（人）5161065
根据表中提供的信息，红包金额的众数和中位数分别是（）
A．16元，50元B．30元，30元C．30元，40元D．30元，50元5．（3分）以下命题的逆命题为真命题的是（）
A．对顶角相等
B．如果a＝0，b＝0，那么ab＝0
C．若a＞b，则a2＞b2
D．同旁内角互补，两直线平行
6．（3分）已知关于x、y的方程组的解为，则m、n的值是（）
A．B．C．D．
7．（3分）如图，函数y＝ax+4和y＝2x的图象相交于点A（m，3），则不等式ax+4＞2x 的解集为（）
A．x B．x＜3C．x D．x＞3
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点B，若∠C＝15°，EC＝8，则△AEC的面积为（）
A．32B．16C．64D．128
9．（3分）如图，按下面的程序进行运算．规定：程序运行到“判断结果是否大于35”为一次运算．若运算进行了2次停止，则x的取值范围是（）
A．11＜x≤19B．11＜x＜19C．11＜x＜19D．11≤x≤19 10．（3分）关于x的不等式组有四个整数解，则a的取值范围是（）A．B．C．D．
11．（3分）如图，已知D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若AC＝9，BC＝5，则CD的长为（）
A ．
B ．4
C ．
D ．5
12．（3分）如图所示，在△ABC 中，内角∠BAC 与外角∠CBE 的平分线相交于点P ，BE ＝BC ，PB 与CE 交于点H ，PG ∥AD 交BC 于F ，交AB 于G ，连接CP ．下列结论：①∠ACB ＝2∠APB ；②S △PAC ：S △PAB ＝AC ：AB ；③BP 垂直平分CE ；④∠PCF ＝∠CPF ．其中，正确的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
二、填空题（每题3分，共12分）
13．（3分）若函数y ＝（k ﹣1）x +2是一次函数，且y 的值随x 值的增大而减小，则k 的取值范围是 ．
14．（3分）如图，在△ABC 中，BA ＝BC ，∠ABC ＝120°，BD ⊥BC 交AC 于点D ，BD ＝1，则AC 的长＝ ．
15．（3分）甲、乙两人分别从A ，B 两地相向而行，他们距B 地的距离s （km ）与时间t （h ）的关系如图所示，那么乙的速度是 km /h ．
16．（3分）如图，△ABC 中，BC ＝10，AC ﹣AB ＝4，AD 是∠BAC 的角平分线，CD ⊥AD ，则S △BDC 的最大值为 ．
三、解答题（共52分）
17．（8分）（1）解方程组；
（2）解不等式组，并写出不等式组的最大整数解．
18．（6分）央视举办的《中国诗词大会》受到广泛的关注．湖南广益实验中学学生会就《中国诗词大会》节目的喜爱程度，在校内进行了问卷调查，并对问卷调查的结果分为“非常喜欢”、“比较喜欢”、“感觉一般”、“不太喜欢”四个等级，分别记作A、B、C、D；根据调查结果绘制出如图所示的扇形统计图和条形统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：
（1）本次被调查对象共有人；被调查者“不太喜欢”有人；
（2）将扇形统计图和条形统计图补充完整；
（3）湖南广益实验中学南校区约有5000学生，请据此估计“比较喜欢”的学生有多少人？
19．（6分）如图，直线MN分别与直线AC、DG交于点B、F，且∠1＝∠2．∠ABF的角平分线BE交直线DG于点E，∠BFG的角平分线FC交直线AC于点C．
（1）求证：BE∥CF；
（2）若∠C＝35°，求∠BED的度数．
20．（7分）如图，直线y＝kx+3与x轴、y轴分别相交于E，F．点E的坐标为（﹣6，0），点P是直线EF上的一点．
（1）求k的值；
（2）若△POE的面积为6，求点P的坐标．
21．（9分）某手机经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的手机，若购进2部甲型号手机和1部乙型号手机，共需要资金2800元；若购进3部甲型号手机和2部乙型号手机，共需要资金4600元．
（1）求甲、乙型号手机每部进价为多少元？
（2）该店计划购进甲、乙两种型号的手机销售，预计用不多于1.8万元且不少于1.74万元的资金购进这两部手机共20台，请问有几种进货方案？请写出进货方案；
（3）售出一部甲种型号手机，利润率为40%，乙型号手机的售价为1280元．为了促销，公司决定每售出一台乙型号手机，返还顾客现金m元，而甲型号手机售价不变，要使（2）中所有方案获利相同，求m的值．
22．（10分）如图1，已知函数y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A 关于y轴对称．
（1）求直线BC的函数解析式；
（2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q．
①若△PQB的面积为，求点M的坐标；
②连接BM，如图2，若∠BMP＝∠BAC，求点P的坐标．
2019-2020学年广东省深圳外国语学校八年级（上）期末数学试
卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共36分）
1．（3分）若（1，2）表示教室里第1列第2排的位置，则教室里第3列第2排的位置表示为（）
A．（2，3）B．（3，2）C．（2，1）D．（3，3）
【分析】理清有序实数对与教室座位的对应关系，据此说明其它实数对表示的意义．【解答】解：类比（1，2）表示教室里第1列第2排的位置，
则教室里第3列第2排的位置表示为（3，2）．
故选：B．
【点评】本题考查了坐标确定位置，读懂题目信息，理解两个数的实际意义是解题的关键．
2．（3分）把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（）A．B．
C．D．
【分析】根据用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”在数轴上表示即可．
【解答】解：不等式组的解集为x＞3，
在数轴上表示为，
故选：C．
【点评】此题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，关键是掌握表示方法．
3．（3分）有若干只鸡和兔在同一笼子里，从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚，问：笼子中各有多少只鸡和兔？若设有x只鸡、y只兔，则可列方程组为（）
A．B．
C．D．
【分析】设有x只鸡、y只兔，根据鸡和兔子的头数及脚数，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：设有x只鸡、y只兔，
依题意，得：．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
4．（3分）随着网络的发展，在节日期间长辈们往往用抢微信红包的形式发放红包，下表是某班同学们在春节期间所抢的红包金额进行统计的结果表：
金额（元）203050100200
a人数（人）5161065
根据表中提供的信息，红包金额的众数和中位数分别是（）
A．16元，50元B．30元，30元C．30元，40元D．30元，50元【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．
【解答】解：红包金额的众数为30元，中位数为＝40（元），
故选：C．
【点评】此题考查了中位数和众数，将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数．
5．（3分）以下命题的逆命题为真命题的是（）
A．对顶角相等
B．如果a＝0，b＝0，那么ab＝0
C．若a＞b，则a2＞b2
D．同旁内角互补，两直线平行
【分析】写出各个命题的逆命题后判断正误即可．
【解答】解：A、逆命题为相等的角为对顶角，错误，为假命题，不符合题意；
B、逆命题为如果ab＝0，那么a＝0，b＝0，错误，为假命题，不符合题意；
C、逆命题为a2＞b2，则a＞b，错误，为假命题，不符合题意；
D、逆命题为两直线平行，同旁内角相等，正确，是真命题，符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是正确的写出一个命题的逆命题，难度不大．
6．（3分）已知关于x、y的方程组的解为，则m、n的值是（）A．B．C．D．
【分析】把方程组组的解代入方程组，得出关于m、n的方程组，求出方程组的解即可．【解答】解：∵关于x、y的方程组的解为，
∴代入得：，
解得：，
故选：A．
【点评】本题考查了解二元一次方程组和方程组的解，能得出关于m、n的方程组是解此题的关键．
7．（3分）如图，函数y＝ax+4和y＝2x的图象相交于点A（m，3），则不等式ax+4＞2x 的解集为（）
A．x B．x＜3C．x D．x＞3
【分析】首先利用待定系数法求出A点坐标，再以交点为分界，结合图象写出不等式2x ＞ax+4的解集即可．
【解答】解：∵函数y＝2x过点A（m，3），
∴2m＝3，
解得：m＝，
∴A（，3），
∴不等式ax+4＞2x的解集为x＜．
故选：A．
【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是求出A点坐标．
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点B，若∠C＝15°，EC＝8，则△AEC的面积为（）
A．32B．16C．64D．128
【分析】根据线段垂直平分线得出EA＝EC，进而得出∠AEB＝30°，利用含30°的直角三角形的性质解答．
【解答】解：∵ED是AC的垂直平分线，
∴EA＝EC，
∴∠C＝∠EAD＝15°，
∴∠AEB＝30°，
∵∠B＝90°，
∴2AB＝AE＝EC＝8，
∴AB＝4，
∴△AEC的面积＝，
故选：B．
【点评】此题考查线段垂直平分线，关键是根据线段垂直平分线得出EA＝EC．9．（3分）如图，按下面的程序进行运算．规定：程序运行到“判断结果是否大于35”为一次运算．若运算进行了2次停止，则x的取值范围是（）
A．11＜x≤19B．11＜x＜19C．11＜x＜19D．11≤x≤19
【分析】根据运算程序结合运算进行了2次才停止，即可得出关于x的一元一次不等式
组，解之即可得出x的取值范围．
【解答】解：由题意得，
解得：11＜x≤19，
故选：A．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据运算程序，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
10．（3分）关于x的不等式组有四个整数解，则a的取值范围是（）A．B．C．D．
【分析】先求出不等式组的解集，根据已知得出关于a的不等式组，求出不等式组的解集即可．
【解答】解：，
∵解不等式①得：x＞8，
解不等式②得：x＜2﹣4a，
∴不等式组的解集是8＜x＜2﹣4a，
∵关于x的不等式组有四个整数解，是9、10、11、12，
∴12＜2﹣4a≤13，
解得：﹣≤a＜﹣，
故选：B．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能得出关于a的不等式组是解此题的关键．
11．（3分）如图，已知D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若AC＝9，BC＝5，则CD的长为（）
A．B．4C．D．5
【分析】延长BD与AC交于点E，由题意可推出BE＝AE，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形BCE，可推出BC＝CE，AE＝BE＝2BD，根据AC＝8，BC＝5，即可推出BD的长度．
【解答】解：延长BD与AC交于点E，
∵∠A＝∠ABD，
∴BE＝AE，
∵BD⊥CD，
∴BE⊥CD，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠ECD，
∴∠EBC＝∠BEC，
∴△BEC为等腰三角形，
∴BC＝CE，
∵BE⊥CD，
∴2BD＝BE，
∵AC＝9，BC＝5，
∴CE＝5，
∴AE＝AC﹣EC＝9﹣5＝4，
∴BE＝4，
∴BD＝2．
∴CD＝＝＝，
故选：C．
【点评】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，比较简单，关键在于正确地作出辅助线，构建等腰三角形，通过等量代换，即可推出结论．
12．（3分）如图所示，在△ABC 中，内角∠BAC 与外角∠CBE 的平分线相交于点P ，BE ＝BC ，PB 与CE 交于点H ，PG ∥AD 交BC 于F ，交AB 于G ，连接CP ．下列结论：①∠ACB ＝2∠APB ；②S △PAC ：S △PAB ＝AC ：AB ；③BP 垂直平分CE ；④∠PCF ＝∠CPF ．其中，正确的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【分析】利用角平分线的性质以及已知条件对①②③④进行一一判断，从而求解． 【解答】解：∵PA 平分∠CAB ，PB 平分∠CBE ， ∴∠PAB ＝∠CAB ，∠PBE ＝∠CBE ， ∵∠CBE ＝∠CAB +∠ACB ， ∠PBE ＝∠PAB +∠APB ， ∴∠ACB ＝2∠APB ；故①正确；
过P 作PM ⊥AB 于M ，PN ⊥AC 于N ，PS ⊥BC 于S ， ∴PM ＝PN ＝PS ， ∴PC 平分∠BCD ，
∵S △PAC ：S △PAB ＝（AC ?PN ）：（AB ?PM ）＝AC ：AB ；故②正确； ∵BE ＝BC ，BP 平分∠CBE
∴BP 垂直平分CE （三线合一），故③正确； ∵PG ∥AD ， ∴∠FPC ＝∠DCP ∵PC 平分∠DCB ， ∴∠DCP ＝∠PCF ，
∴∠PCF ＝∠CPF ，故④正确． 故选：D ．
【点评】此题综合性较强，主要考查了角平分线的性质和定义，平行线的性质，线段的垂直平分线的判定，等腰三角形的性质等．
二、填空题（每题3分，共12分）
13．（3分）若函数y＝（k﹣1）x+2是一次函数，且y的值随x值的增大而减小，则k的取值范围是k＜1．
【分析】根据一次函数y＝（k﹣1）x+2的增减性列出不等式k﹣1＜0，通过解该不等式即可求得k的取值范围．
【解答】解：∵一次函数y＝（k﹣1）x+2图象是函数值y随自变量x的值增大而减小，∴k﹣1＜0，
解得，k＜1；
故答案是：k＜1．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系．在直线y＝kx+b（k≠0）中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．
14．（3分）如图，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝120°，BD⊥BC交AC于点D，BD＝1，则AC的长＝3．
【分析】证明BD＝AD，CD＝2BD即可解决问题．
【解答】解：∵BA＝BC，∠ABC＝120°，
∴∠A＝∠C＝30°，
∵DB⊥BC，
∴∠DBC＝90°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝30°，
∴∠A＝∠ABD，
∴AD＝BD＝1，
∵CD＝2BD＝2，
∴AC＝AD+DC＝1+2＝3，
故答案为3．
【点评】本题考查直角三角形30度角的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
15．（3分）甲、乙两人分别从A，B两地相向而行，他们距B地的距离s（km）与时间t （h）的关系如图所示，那么乙的速度是 3.6km/h．
【分析】根据题意，甲的速度为6km/h，乙出发后2.5小时两人相遇，可以用方程思想解决问题．
【解答】解：由题意，甲速度为6km/h．当甲开始运动时相距36km，两小时后，乙开始运动，经过2.5小时两人相遇．
设乙的速度为xkm/h
2.5×（6+x）＝36﹣12
解得x＝3.6
故答案为：3.6
【点评】本题为一次函数实际应用问题，考查一次函数图象在实际背景下所代表的意义．解答这类问题时，也可以通过构造方程解决问题．
16．（3分）如图，△ABC中，BC＝10，AC﹣AB＝4，AD是∠BAC的角平分线，CD⊥AD，的最大值为10．
则S
△BDC
【分析】延长AB ，CD 交点于E ，可证△ADE ≌△ADC （ASA ），得出AC ＝AE ，DE ＝CD ，则S △BDC ＝S △BCE ，当BE ⊥BC 时，S △BEC 最大面积为20，即S △BDC 最大面积为10．
【解答】解：如图：延长AB ，CD 交点于E ， ∵AD 平分∠BAC ， ∴∠CAD ＝∠EAD ， ∵CD ⊥AD ，
∴∠ADC ＝∠ADE ＝90°， 在△ADE 和△ADC 中，
，
∴△ADE ≌△ADC （ASA ）， ∴AC ＝AE ，DE ＝CD ； ∵AC ﹣AB ＝4，
∴AE ﹣AB ＝4，即BE ＝4； ∵DE ＝DC ， ∴S △BDC ＝S △BEC ，
∴当BE ⊥BC 时，S △BDC 面积最大， 即S △BDC 最大面积＝××10×4＝10． 故答案为10．
【点评】本题考查了角平分线定义、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知
识；利用三角形中线的性质得到S
△BDC ＝S
△BEC
是解题的关键．
三、解答题（共52分）
17．（8分）（1）解方程组；
（2）解不等式组，并写出不等式组的最大整数解．
【分析】（1）整理后，运用代入消元法解即可；
（2）先分别解每个不等式，然后求公共部分，确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）整理得，
由得x＝9+5y③，
把③代入②得，3（9+5y）﹣y＝﹣15，
解得y＝﹣3，
把y＝﹣3代入③，得x＝﹣6．
∴．
（2）
解不等式①得x＜3．
解不等式②得x≥﹣2．
∴不等式组的解集为﹣2≤x＜3，
∴最大整数解为2．
【点评】本题考查二元一次方程组，不等式组等知识，解题的关键是熟练掌握解方程组的方法，掌握解不等式组的步骤，属于中考常考题型．
18．（6分）央视举办的《中国诗词大会》受到广泛的关注．湖南广益实验中学学生会就《中国诗词大会》节目的喜爱程度，在校内进行了问卷调查，并对问卷调查的结果分为“非常喜欢”、“比较喜欢”、“感觉一般”、“不太喜欢”四个等级，分别记作A、B、C、D；根据调查结果绘制出如图所示的扇形统计图和条形统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：
（1）本次被调查对象共有50人；被调查者“不太喜欢”有5人；
（2）将扇形统计图和条形统计图补充完整；
（3）湖南广益实验中学南校区约有5000学生，请据此估计“比较喜欢”的学生有多少人？
【分析】（1）从统计图中可以得到“A喜欢”的有15人，占调查人数的30%，可求出调查人数，乘以D组的百分比即可得到“不太喜欢”的人数，
（2）分别计算C组人数、百分比，B组的百分比，即可补全统计图．
（3）样本估计总体，样本中“比较喜欢”的占比40%，估计总体中“不太喜欢”的占比也是40%．
【解答】解：（1）15÷30%＝50人，50×10%＝5人，
故答案为：50，5．
（2）20÷50＝40%，50﹣20﹣15﹣5＝10人，10÷50＝20%，
补全统计图如图所示：
（3）5000×40%＝2000人，
答：该校5000名学生中“比较喜欢”的学生有2000人．
【点评】考查扇形统计图、条形统计图的意义和制作方法，从两个统计图中获取数量和数量之间的关系是解决问题的关键，样本估计总体是统计中常用的方法．
19．（6分）如图，直线MN分别与直线AC、DG交于点B、F，且∠1＝∠2．∠ABF的角
平分线BE交直线DG于点E，∠BFG的角平分线FC交直线AC于点C．
（1）求证：BE∥CF；
（2）若∠C＝35°，求∠BED的度数．
【分析】（1）求出∠1＝∠BFG，根据平行线的判定得出AC∥DG，求出∠EBF＝∠BFC，根据平行线的判定得出即可；
（2）根据平行线的性质得出∠C＝∠CFG＝∠BEF＝35°，再求出答案即可．
【解答】（1）证明：∵∠1＝∠2，∠2＝∠BFG，
∴∠1＝∠BFG，
∴AC∥DG，
∴∠ABF＝∠BFG，
∵∠ABF的角平分线BE交直线DG于点E，∠BFG的角平分线FC交直线AC于点C，∴∠EBF＝∠ABF，BFG，
∴∠EBF＝∠CFB，
∴BE∥CF；
（2）解：∵AC∥DG，BE∥CF，∠C＝35°，
∴∠C＝∠CFG＝35°，
∴∠CFG＝∠BEG＝35°，
∴∠BED＝180°﹣∠BEG＝145°．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．20．（7分）如图，直线y＝kx+3与x轴、y轴分别相交于E，F．点E的坐标为（﹣6，0），点P是直线EF上的一点．
（1）求k的值；
（2）若△POE的面积为6，求点P的坐标．
【分析】（1）将点E的坐标代入即可求出k的值，
（2）确定直线的关系式，若△POE的面积为6，以OE＝6为底，因此高为2，即点P的纵坐标为2或﹣2，然后代入直线的关系式求出点P的坐标．
【解答】解：（1）把E的坐标为（﹣6，0）代入直线y＝kx+3得，
﹣6k+3＝0，解得：k＝，
答：k的值为．
（2）设P（x，y），
＝OE?|y|＝×6×|y|＝6，
∵S
△POE
∴|y|＝2，即y＝2，或y＝﹣2，
当y＝2时，即2＝x+3，解得：x＝﹣2，∴P（﹣2，2）
当y＝﹣2时，即﹣2＝x+3，解得：x＝﹣10，∴P（﹣10，﹣2）
答：点P的坐标为（﹣2，2）或（﹣10，﹣2）
【点评】考查一次函数的图象和性质，将点的坐标代入求函数的关系式是常用的方法，分两种情况分别求出点P的坐标是分类讨论思想的体现．
21．（9分）某手机经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的手机，若购进2部甲型号手机和1部乙型号手机，共需要资金2800元；若购进3部甲型号手机和2部乙型号手机，共需要资金4600元．
（1）求甲、乙型号手机每部进价为多少元？
（2）该店计划购进甲、乙两种型号的手机销售，预计用不多于1.8万元且不少于1.74万元的资金购进这两部手机共20台，请问有几种进货方案？请写出进货方案；
（3）售出一部甲种型号手机，利润率为40%，乙型号手机的售价为1280元．为了促销，公司决定每售出一台乙型号手机，返还顾客现金m元，而甲型号手机售价不变，要使（2）中所有方案获利相同，求m的值．