第五章 大数定律与中心极限定理
第五章 大数定律与中心极限定理
§5.1 大数定律 §5.2 中心极限定理
一、填空题
1．设2(),()E X D X μσ==，则由切比雪夫不等式有{||3}P X μσ-≥≤ 1/9 ；
2．设随机变量12,,,n X X X 相互独立同分布，且()i E X μ=，()8i D X =，(1,2,,)i n = ， 则由切比雪夫不等式有{}
||P X με-≥≤
28n ε .并有估计{}
||4P X μ-<≥ 1
12n
- ；
3．设随机变量n X X X ,,,21 相互独立且都服从参数为 λ 的泊松分布，则
lim n i n X n P x λ→∞??
-???
≤=??
????
∑
()x Φ ；
4．设随机变量X 和Y 的数学期望分别为2-和3，方差分别为1和4，而相关系数为0.5-，则根据切比雪夫不等式，{||6}P X Y +≥≤
；
解：因为 ()()()22E X Y E X E Y +=+=-+=
，
cov(.)0.51X Y ρ==-=-， ()()()2cov(.)142(1)3D X Y D X D Y X Y +=++=++?-=，
故由切比雪夫不等式，2
31{||6}{|()0|6}612
P X Y P X Y +≥=+-≥≤
=. 5．设随机变量12,,,n X X X 相互独立，都服从参数为2的指数分布，则n →∞时，2
1
1n n i i Y X n ==∑依概
率收敛于 。 解：因为 11
(),(),(1,2,,)24
i i E X D X i n =
== ， 所以 22111
()()()442
i i i E X D X E X =+=+=，
故由辛钦大数定律，对0ε?>，有{}2111lim ()lim 12n n n i n n i P Y E Y P X n εε→∞→∞=??
-<=-<=????
∑，
即 2
1
1n n i i Y X n ==∑依概率收敛于21()2i E X =.
二、选择题
1．设随机变量129,,,X X X 相互独立同分布，且()1i E X =，()1i D X =，(1,2,,9)i = ， 令9
91
i
i S X
==∑，
则对任意0ε>，从切比雪夫不等式直接可得（B ） （A ）{}92
1
|1|1P S εε-<≥-； （B ）{}92
9
|9|1P S εε-<≥-；
（C ）{}92
1
|9|1P S εε-<≥-
； （D ）921|
1|19S P εε??
-<≥-????
.
解：因为99911()()9i i i i E S E X E X ==??=== ???∑∑，99
911
()()9i i i i D S D X D X ==??=== ???∑∑，
所以由切比雪夫不等式直接可得
{}{}99992
2
()
9
|()||9|11D S P S E S P S εεε
ε
-<=-<≥-
=-
.
故答案选B.
2．设随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，则随σ的增大，概率{||}P X μσ-<是（C ）
（A ）单调增大； （B ）单调减少； （C ）保持不变； （D ）增减不定.
解：由切比雪夫不等式：2
2{||}10P X σμσσ
-<≥-=，与σ无关，故答案取C.
3. 根据德莫弗–拉普拉斯定理可知（B ）
（A ）二项分布是正态分布的极限分布； （B ）正态分布是二项分布的极限分布； （C ）二项分布是指数分布的极限分布； （D ）二项分布与正态分布没有关系.
4．设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ，Y 服从正态分布222(,)N μσ，且
12{||1}{||1}P X P Y μμ-<>-<，则（A ）
（A ）12σσ<； （B ）12σσ>； （C ）12μμ<； （D ）12μμ>.
解：11221212||||11{||1}{||1}X Y P X P Y P P μμμμσσσσ????--????
-<>-
?
121212
1
111
σσσσσσ?????>?>?<
? ? ? ??
???
ΦΦ.
5．设{}(1)n X n ≥为相互独立的随机变量序列，且都服从参数为λ的指数分布，则（A ）
（A
）lim ()n i n X n P x x λ→∞??
-???≤=??
????∑Φ； （B
）lim ()n i n X n P x x →∞??-???
≤=??????∑Φ； （C
）lim ()n i n X P x x λ→∞??-???≤=??????∑Φ； （D
）lim ()n i n X P x x λ→∞??
-???
≤=??
????
∑Φ.
其中
2
2
()x x
x dx -=
?
Φ是标准正态分布的分布函数. 解：由于{}(1)n X n ≥服从参数为λ的指数分布，所以2
1
1
(),()n n E X D X λ
λ=
=
，
2
1
1
(),()n
n
i i i i n
n
E X D X λ
λ
===
=
∑∑，由中心极限定理，
lim lim ()n n i i n n n X X n P x P x x λ→∞→∞????
--??????≤=≤=????
??????
∑∑Φ，故答案取A. 三、计算题
1. 设在每次实验中事件A 以概率5.0发生.是否可以用大于0.97的概率确信：在1000次实验中，事件A 出现的次数在400与600范围内？
解： 设X 表示1000次试验中A 出现的次数，
则 250)( ,500)( ),5.0 ,1000(~==X D X E B X ，由切比雪夫不等式有
2
250
{400600}{|500|100}10.975100
P X P X <<=-<≥-
= 所以可以用大于0.97的概率确信：在1000次实验中，事件A 出现的次数在400与600范围内. 2. 将一颗骰子连续掷四次，其点数之和记为X ，估计概率{1018}P X <<。 解：设i X 为掷一次骰子出现的点数，则其分布律为：1
234561/61/61/61/61/61/6i X P ??
???
，
所以 121()(123456)66
i E X =
+++++=，
2191
()(149162536)66
i E X =+++++=，
2
2
2
912135
()()()6612
i i i D X E X E X ??=-=-= ???；
依题意 4
1
7
35
35
,
()414,()
42
123
i i X X E X D X ==
?
=?
==?=∑
，所以 {1018}{1014141814}P X P X <<=-<-<-
{|14|4}P X =-<2
35/3
10.2714≥-
≈. 3. 设(1,2,,50)i X i = 是相互独立的随机变量, 且服从参数03.0=λ的泊松分布,记50
1
i
i Z X
==∑，利用中
心极限定理，求{3}P Z >。
解：{}{
}313110.1112P Z P Z P >=-≤=-≤≈-=Φ.
4．设某部件由10个部分组成，每部分的长度i X 为随机变量，1210,,,X X X 相互独立同分布，()2i E X =
0.5=毫米，若规定总长度为（20±1）毫米是合格产品，求产品合格的概率。 解：设总长度为10
1
i i T X ==
∑，
则 10
1
()()21020i i E T E X ==
=?=∑，10
21
()()(0.5)10 2.5i i D T D X ===?=∑，
由林德贝格—列维中心极限定理，知 (20,2.5)
T N 近似
，所以合格的概率为：
20{201201}{
21}9})()
.5
P T P T P T -<<+=<-<=-ΦΦ
212(0.63)120.735710.4714=-=-=?-=ΦΦ. 5．有100道单项选择题，每个题中有4个备选答案，且其中只有一个答案是正确的，规定选择正确得1分，选择错误得0分，假设无知者对于每一个题都是从4个备选答案中随机地选答，并且没有不选的情况，计算他能够超过35分的概率。
解：设i X 为选择第i 题所得到的分数，由题设，i X 服从分布0
1,(1,2,,100)3/41/4i X i P ??
=
???
，
另设总得分为X ，则12100X X X X =+++ ，且175~(100, ), ()25, ()44
X B E X D X ==， 由德莫弗–拉普拉斯定理
{}{}3513511
P X P X P >=-≤=-≤===-近似Φ，
查正态分布表可得
{}()351 2.1310.98960.0104P X >===-=-=近似
Φ.
6.（1）一个复杂系统由100个相互独立的元件组成，系统运行期间每个元件损坏的概率为0.1，又知系统运行至少需要85个元件正常工作，求系统可靠度（即正常工作的概率）；（2）上述系统假如由n 个相互独立的元件组成，至少80%的元件正常工作，才能使系统正常运行，问n 至少多大才能保证系统可靠度为0.95？
解：（1）设X 为系统中正常运行完好的元件数，
则~(100, 0.9), ()90, ()9X B E X D X ==，由德莫弗—拉普拉斯定理，
5{85}1{85}11()0.952
3P X P X P ≥=-<=-<≈--=Φ.
（2）已知 (0.8)0.95P X n ≥=，求满足条件的n ，
其中 ~(,0.9), ()0.9, (X B n E X n D X n ==，同（1）解法，
{}{}0.810.810.95
P X n P X n P ≥=-<=-<==Φ，
查正态分布表可得：
1.65, 24.53
n =?=，取25n =即可. 7. 某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占20 %，以X 表示在随意抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数。 （1）写出X 的概率分布；
（2）用德莫弗–拉普拉斯定理，求被盗索赔户不少于14户不多于30户的概率的近似值. 解：（1）X 服从二项分布，参数：100,0.2n p ==，即~(100,0.2)X B ，其概率分布为
100100()0.20.8
, 0,1,,100k k k
P X k C k -=== ；
（2）()20, ()(1)16E X np D X np p ===-=， 根据德莫弗–拉普拉斯定理 {}1420203020201430 1.5 2.54444X X P X P P ----????
≤≤=≤≤=-≤
≤?
???????
(2.5)( 1.5)(2.5)[1(1.5)]≈--=--ΦΦΦΦ (2.5)(1.5)10.9940.93310.927=+-=+-=ΦΦ.
8．某运输公司有500辆汽车参加保险，在1年里汽车出事故的概率为0.006，参加保险的汽车每年交保险费800元，若出事故保险公司最多赔偿50 000元，试利用中心极限定理计算，保险公司1年赚钱不小于200 000元的概率。
解：设X 为500辆参加保险的汽车中出事故的车辆数，则X 服从二项分布(500,0.006)B ，由题设，保险公司1年的收益为 50080050000Y X =?-?，故保险公司1年赚钱不小于200 000元的概率为
{200000}{50080050000200000}P Y P X P X ≥=?-?≥=≤，
从而由德莫弗－拉普拉斯定理 ()1{4}0.57
90.
719
994 2.982
P X ≤≈===ΦΦΦ. 9．某工厂生产的灯泡的平均寿命为2000小时，改进工艺后，平均寿命提高到2250小时，标准差仍为250小时.为鉴定此项新工艺，特规定：任意抽取若干只灯泡，若平均寿命超过2200小时，就可承认此项新工艺.工厂为使此项新工艺通过鉴定的概率不小于0.997，问至少应抽检多少只灯泡？
解：设X 为改进后的灯泡的寿命，由题设，2
()2250, ()250E X D X ==，又设n 为使检验通过所需抽取的灯泡数，依题意可建立如下不等式 1222000.997n X X X P n +++??
>≥?
???
，
或 {}1222000.003n P X X X n +++≤< ， 由林德贝格—列维中心极限定理知，
0.003
?=< ??
ΦΦ， 查表可得如下不等式
2.755 2.751
3.751895
n -
≤-?≥?=?≥，
即需随机抽取189只灯泡进行寿命检验，测得的平均寿命才能以95%的概率保证超过2200小时.
10．设随机变量序列12,,,,n X X X 要互独立同分布，且()0n E X =，求1lim n i n i P X n →∞
=??
∑。
解：设1
1n
i i X X n ==∑，由题设，1
1()()0n
i
i E X E X n ==
=∑，从而
{}{}
111lim lim 1lim 1lim ()1n n i i n n n n i i P X n P X P X P X E X n →∞→∞→∞
→∞
==????
<=<=<=-
1l i m l i m ()1
n i n n i P X n P X E X →∞→∞
=??
<≥-
∑， 由切比雪夫大数定律，知对10ε=>，有
{}
1lim lim ()11n i n n i P X n P X E X →∞
→∞
=??
<≥-<=????∑. 11．设随机变量序列12,,,,n X X X 满足条件2
11lim 0n
i n i D X n →∞=??= ???
∑，证明
1111lim ()1n n i i n i i P X E X n n ε→∞==????
-<=??????
∑∑。 证明：因为2
11111111(),n n n n i i i i i i i i E X E X D X D X n n n n ====??????
== ? ? ???????
∑∑∑∑， 所以由切比雪夫不等式可得
12
111111n i n n i i i i i D X n P X E X n n εε===??
?????????-<≤-?? ???????
∑∑∑ 从而有 12111lim 11lim ()11n i n n n i i i n i i D X n P X E X n n εε→∞=→∞==??
???????-<≤-
=??????
∑∑∑.