函数与数列的极限的强化练习题答案(含详细分析)
第一讲：函数与数列的极限的强化练习题答案
一、单项选择题
1．下面函数与y x =为同一函数的是（ ） 2
.A y x =
2.B y x =
ln .x C y e = .ln x D y e =
解：
ln ln x y e x e x ===，且定义域
(),-∞+∞， ∴选D
2．已知?是f 的反函数，则()2f x 的反函数是（ ）
()1
.2A y x ?= ().2B y x ?=
()1
.22
C y x ?= ().22
D y x ?=
解:令()2,y f x =反解出x ：()1
,2x y =?互
换x ，y 位置得反函数()1
2
y x =?，选A
3．设()f x 在(),-∞+∞有定义，则下列函数为奇函数的是（ ）
()().A y f x f x =+-()().B y x f x f x =--???? ()32.C y x f x =
()().D y f x f x =-?
解：
()32y x f x =的定义域(),-∞+∞且
()()()()()
3
232y x x f x x f x y x -=-=-=-∴选C
4．下列函数在(),-∞+∞内无界的是（ ）
2
1
.1A y x
=
+ .arctan B y x = .sin cos C y x x =+ .sin D y x x =
解: 排除法：A
2
1
122
x x x x ≤=+有界，B arctan 2
x π
<
有界，C sin cos 2x x +≤
故选D 5．数列{}n x 有界是lim n n x →∞
存在的（ ）
A 必要条件
B 充分条件
C 充分必要条件
D 无关条件 解：
{}n x 收敛时，数列n x 有界（即
n x M ≤）
，反之不成立，（如(){
}1
1n --有界，
但不收敛，
选A 6．当n →∞时，2
1sin n 与1
k n
为等价无穷小，则k = （ ）
A
1
2
B 1
C 2
D -2 解：2
211sin lim
lim 11
1n n k k
n n n n →∞→∞==，2k = 选C 二、填空题（每小题4分，共24分） 7．设()1
1f x x
=+，则()f f x ????的定义域为
解： ∵()f f x ????()111
111f x x
==
++
+
1
12x x
x
≠-+=
+ ∴()f f x ????定义域为
(,2)(2,1)(1,)-∞-?--?-+∞
8．设2
(2)1,f x x +=+ 则(1)f x -=
解：（1）令()2
2,45x t f t t t +==-+
()245f x x x =-+
（2）()2
2
1(1)4(1)5610f x x x x x -=---+=-+
9．函数44log log 2y x =+的反函数是
解：（1）4log (2)y x =，反解出x ：21
4y x -=
（2）互换,x y 位置，得反函数21
4x y -=
10．(
)
lim 12n n
n n →∞
+--=
解：原式
33lim
2
12
n n n n →∞
=++
-有理化
11．若10
5lim 1,kn
n e
n --→∞
??
+= ?
??
则k = 解：左式=
5lim ()
510
n kn k n
e
e e →∞---== 故
2k =
12．2352
lim
sin 53n n n n
→∞++= 解：当n →∞时，2sin
n ～2
n
∴原式=2532lim 53n n n n →∞+?+= 6
5
三、计算题（每小题8分，共64分）
13．求函数21
arcsin
71
x y x -=
-的定义域 解：
{
21113471110x x x x x --≤≤-≤≤><-->?????
?或
∴函数的定义域为[](
3,1)1,4--? 14．设sin
1cos 2x f x ?
?
=+ ???
求()f x 解：2
2sin 2cos 21sin 222x x x f ?
?
??==- ? ???
?
?
()()
2
21f
??∴=-??
故()(
)2
21f x x
=-
15．设()f x ln x =，()g x 的反函数
()()1211
x g x x -+=-，求()()f g x
解: （1） 求22():1
x g x y x +=- ∴反
解出
x ：22xy y x -=+22
x y y =+-
互换,x y 位置得()22
g x x x =
+- (2)()()ln ln 22
f g x g x x x ==????
+-
16．判别()f x (2ln 1x x =+的奇偶性。 解法（1）：()f x 的定义域(),-∞+∞，关于原点对称
()(2ln 1x x x f -=-+
+
2
ln
11x
x =++
(1
2
2ln 1ln()1x x
x x -=++=-+
+
()f x =-
()2ln(1)f x x x ∴=+为奇函数
解法（2）：
()()f x f x +-
(22ln(1)ln 1x x x x =+++-+ )
22ln (11ln10x x x x ??=+++==???
?
()()f x f x ∴-=- 故()f x 为奇函数
17．已知()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且()()1
1
f x
g x x +=
-，求()f x 及()g x 解： 已知()()f x g x +()1
1
x =
?1- 1
()()1
f x
g x x -+-=--即有 1
()()1
f x
g x x --=
+()2? ()()2∴1+得()11
211
f x x x =
--+ 故 21
()1
f x x =-
()()21-得()11
211
g x x x =
+-+ 故2()1
x
g x x =-
18．设3
2lim 8n n n a n a →∞
+??
=
?-??，求a 的值。 解：
3
3
23lim lim 1n n
n n n a a n a n a →∞→∞
+???
?=+ ? ?--????
lim
,n na
a n a
e
e →∞-==8a e ∴=
故ln83ln 2a ==
19．求()111
lim 12231n
n n n →∞??++?+ ? ???+?
? 解：（1）拆项，
11(1)(1)k k
k k k k
+-=++
11
1,2,,1
k n k k =
-=?+ ()11112231n n ++?+??+ 1111112231n n ??????=-+-+?- ? ? ?+??????
111
n =-
+ （2）原式=lim 11
111lim n n
n n n e e n →∞--+→∞??-
== ?+?
?
20．设()()0,1,x f x a a a =>≠
求()()()21lim ln 12n f f f n n
→∞?????? 解： 原式=()122ln 1
lim
n n a a a n
→∞?? []2
ln 2ln ln 1
lim
n a a n a n →∞=++?+
2
ln 12lim n a n
n →∞?+=?++
2(1)ln 2
lim
n n n
a n →∞+=??
()ln 0,11
2
a a a =>≠ 四、综合题（每小题10分，共20分） 21．设()f x 2
1x
+()3f x =
(){}
f f f x ????并讨论()3f x 的奇偶性与有
界性。
解：（1）求()3f x
()()()
22
22
1112f x f x x f x x =
=
+++
()()()
322
2
2113f x f x f f x f x x
==
=
????++（2）讨论()3f x 的奇偶性
()()332
13f x f x x
-=
=-+
()3f x ∴为奇函数
（3）讨论()3f x 的有界性
()32
33
13x x f x x
x
=
<
=
+
()3f x ∴有界
22．从一块半径为R 的圆铁片上挖去一个扇形，把留下的中心角为?的扇形做成一个漏斗（如图），试将漏斗的容积V 表示成中心角?的函数。
解：（1）列出函数关系式，设漏斗高为h ，底半径为r ，依题意：漏斗容积V=2
13
r h π
2h R r R π==? 222
2
22
44R R r h R ππ
22??∴==-故222
434R V πππ22
-??=? 323
424R πππ
22
?=-?（2）函数的定义域
()
2
22240,2ππ-?>?<
()0π∴
故)322
4024R V πππ
22
?=-?
2
f x f x f x +-=
()()2
f x f x --+
(2)令()()()
()2
f x f x
g x x +-=-∞<<+∞
()()()
()2
f x f x
g x g x -+-=
=
()g x ∴为偶函数
(3)令()()()
()2
f x f x x x --?=
-∞<<+∞
()()()
()2
f x f x x x --?-=
=-?
()x ∴?为奇函数
（4）综上所述：()f x ()g x =偶函数+()x ?奇函数
24 设()f x 满足函数方程2()f x +1f x ??
???
=
1
x
，证明()f x 为奇函数。 证：（1）()()11
21f x f x x
??+=?? ???
令
()1
1,2t f f t t x
t ??
=+= ???
函数与自变量
的记号无关
()()122f f x x x ??
∴+=?? ???
（2）消去1f x ?? ?
??
，求出
()f x ()()()()2
221:4f x f x x x
-?-=-
()()22
223,3x x f x f x x x
---==
（3）
()f x 的定义域()(),00,-∞?+∞
又
()()2
23x f x f x x
--==--
()f x ∴为奇函数
＊选做题
1已知222(1)(21)
126
n n n n ++++?+=
，
求22233312lim 12n n n n n n →∞??
++?+ ?+++?
? 解:
222
3
12n n n
++?++ 2222233311211
n n n n n n ++?+≤+?+≤+++
且222312lim n n n n
→∞++?++ ()()
31(21)1lim
3
6n n n n n n →∞
++==
+
222
312lim
1
n n n →∞++?++3(1)(21)1lim 6(1)3
n n n n n →∞++==+ ∴由夹逼定理知，原式1
3
=
2 若对于任意的,x y ，函数满足：
()()()f x y f x f y +=+，证明()f y 为奇
函数。
解 (1)求()0f ：令
()()()0,0,02000x y f f f ===→=
(2)令()()()()():0x y f f y f y f y f y =-=-+→-=-
()f y ∴为奇函数
第二讲：函数的极限与洛必达法则的强化练习题答案
一、单项选择题（每小题4分，共24分）
1． 下列极限正确的（ ） A ． sin lim 1x x x →∞= B ． sin lim
sin x x x
x x
→∞-+不存在
C ． 1lim sin 1x x x →∞=
D ． limarctan 2x x π→∞=
解：01
1sin lim sin lim x t t x t
x x t
→∞→= ∴选C
注：sin 1sin 10lim 0;lim 1sin 10
1x x x
x x A B x x x
→∞→∞-
-===++
2． 下列极限正确的是（ ） A ． 1
lim 0x
x e -→= B ． 10
lim 0x
x e +
→= C ． sec 0
lim(1cos )
x
x x e →+=
D ． 1
lim(1)x
x x e →∞
+=
解：
1
1
lim 0x
x e e e
-
-∞
∞→=== ∴选A 注：:,:2,:1B C D +∞
3． 若()0
lim x x f x →=∞，()0
lim x x g x →=∞，则
下列正确的是 （ ）
A ． ()()0lim x x f x g x →+=∞????
B ． ()()0lim x x f x g x →-=∞???
? C ． ()()
1
lim
0x x f x g x →=+
D ． ()()0
lim 0x x kf x k →=∞≠
解：()()0
lim lim x x x x k kf x k f x k →→≠==?∞
∞
∴选D
4．若()
2lim
2x f x x
→=， 则()
lim
3x x
f x →= （ ）
A ．3
B ．
13 C ．2 D ．12
解：()()
002323lim lim 32x t t
x x t f x f t →→= ()021211lim 23323
t f t t
→=
=?= ∴选B
5．设()1
sin (0)0(0)
1sin (0)x x x x f x x a x x ?
=?=??+>???
且()0
lim x f x →存在，则a = （ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．2 解：
sin lim 1,x x
x
→=
= 01lim sin x x a o a x +→????+=+ ???????
1a ∴= 选C
6．当0x +
→时，()11a
f x x =+是比x
高阶无穷小，则 （ ）
A ．1a >
B ．0a >
C ．a 为任意实数
D ．1a <
解：0011112lim lim 01a
a x x x
x a a x
x ++→→+>=∴> 故选A
二 、填空题（每小题4分，共24分）
7．lim 1x
x x x →∞??
= ?+??
解：原式
lim 1111lim 11x x
x
x x e e x →∞-∞
-+→∞
?
?-== ?+??
8．211
2lim 11x x x →??-=
?--?
?
解：原式
()
()()
112
lim
11x x x x →∞-∞+--+
1
11lim
12
x x →==+
9．()()()
3
100213297lim 31x x x x →∞
-+=
+ 解：原式
3
97
2132lim lim 3131x x x x x x →∞→∞∞?? ?∞??
-+????? ? ?++????
3
28327??
==
???
10．已知216lim 1x x ax x
→++-存在，
则a =
解：()1lim 10x x →-= ()
2
1lim 60x x ax →∴++= 160,7a a ++==-
11．12
01arcsin lim sin x
x x e x x -→??+= ??
? 解：11
220011
sin 1,lim 0lim sin 0
x x x x e e x x
-→→≤=∴=又
00arcsin lim
lim 1x x x x
x
x →→== 故 原式=1
12．若()220
ln 1lim
0sin n
x x x x
→+=
且0sin lim
01cos n x x
x
→=-,则正整数n = 解：()222200ln 1lim lim
sin n n x x x x x x x x →→+?= 20420,lim 02n x n x n x →<>2,4,n n ∴>< 故
3n = 三、计算题（每小题8分，共64分）
13．求sin 32lim sin 23x x x x x
→∞+-
解： 原式=sin 32
lim sin 23x x
x x
x
→∞+-
sin 31lim 0sin 31,lim 0x x x x x x →∞→∞??=≤= ??? sin 21lim
0sin 21,lim 0x x x x x x →∞→∞??
=≤= ???
∴原式022
033
+=
=-- 14．求0
1tan 1sin x x x
→+-+
解：原式
有理化
(1cos )(1tan 1sin )
x x x x x →-+++0tan (1cos )1
lim
(1cos )2
x x x x x →-=?-
0tan 111lim lim 222x x x x x x →∞→=?== 15．求21lim sin cos x
x x x →∞?
?+ ??
? 解：令1
t x
=，当x →∞时，0t →
原式()10
lim cos sin 2t t t t →=+
[]1
lim 1cos 1sin 2t t t t →=+-+
()
0cos 1sin 2lim
2t t t
t
e
e →∞
-+=
16．求0ln cos 2lim
ln cos3x x
x
→
解：原式
[][]
ln 1cos 21lim
ln 1cos31x x x →--+-变形
0cos 21
lim
cos31
x x x →--等价
()()
2
02124
2lim 1932
x x x →-
=-等价 注:原式
02sin 2cos3lim
cos 23sin 3x x x
x x
→∞?? ?∞??
-?
- 49
=??=
17．求02lim sin x x x e e x
x x
-→---
解： 原式
0020
lim 1cos x x x e e x -→+-- 00000
lim
lim
2sin cos x x
x x
x x e e e e
x
x
--→→++=
18．设()f x 1
,0
1cos 0
x e a x x x -?+>??=?-?<且()0lim x f x →存在，求a 的值。
解：10lim 0x
x e a e a a a +
--∞
→??+=+=+= ???
2
01cos 2lim lim x x x x
-
-→→-=()
2
2
lim 2
x x -
→-==-
2
2
a ∴=-
19．()1
13ln 0
lim sin 3x
x x +
+→
解： 原式
()003cos lim
sin30
ln(sin3)
3lim
13ln 0x x x x x x
x
e
e
-→+
→+=换底法
也可以用两个重要极限中的一个，凑一个1出来（凡是可以用换底的都可以用重要极限来求）
0031lim
lim
3sin 33
x x x
x
x
x
e
e
e ++→→===
20．求21lim ln 1x x x x →∞
????-+
??????
?
无穷大与0之间的转换（笔记）
解： 原式
()201ln 11lim t t t x
t t →=+??
-????
()2
ln 1lim
t t t t →-+通分
1101lim
2t t t
→??
?-??
+0 ()0
01111
lim
lim 2112
t t t t t t →→+-===++
四、证明题（共18分） 21．当x →∞时且
()()lim 0,lim x x u x v x →∞
→∞
==∞,
证明()()
()()
lim lim 1x u x v x v x x u x e →∞
→∞
+=????
证：()()
lim 1v x x u x →∞
+????
()()()()1
lim 1u x v x u x x u x ??→∞
=+????
()()
lim x u x v x e →∞
?=
证毕（利用两个重要极限）
22．当0x →时，证明以下四个差函数的等价无穷小。
（1）()3
tan sin 02
x x x x -→等价于
Tanx-sinx 可以提取一个tanx ，从而凑成
Tanx*(1-cosx)，用等价无穷小可以得出1-cosx~1/2x^2,从而整体等价于x^3/2;
(总结规律：注意tanx-sinx 有公共因子tanx ，从而充分利用等价无穷小的规律，在不定积分中也同样可以用此方法化解式子)
（2）()3
tan 03x x x x -→等价于
（3）3
sin 6x x x -等价于()0x →
（4）()3
arcsin 06
x x x x -→等价于
证：()
3
0tan sin 1lim 2
x x x
x →- ()
30
00tan 1cos lim
2
x x x x →?? ?-??
2
302lim 12
x x x x
→?
== 当0x →时，3
tan sin 2
x x x
- ()
2
2
003tan sec 12lim lim 13
x x x x x x x →→--= （0/0型，先用洛比达法则进行求导，然后利用tanx 与secx 之间的关系转换，再利用等价无穷小） 规律总结：见到tanx 的想法：
与sinx 同幂组合，注意看是否可以提取公因式tanx;
有平方项看是否可以转化为secx （转化的时候把转化式子写出来，要注意是加1还是减1.。。）；
注意利用万能公式（看书复习万能公式，归纳适用条件）
（怎样将一个word 文要分两边显示。。。怎样就可以将这样的文档转化为习惯的样子？？？问老哥）
22
2200tan lim lim 1x x x x x
x →→=== 当0x →时，2
tan 3
x x x
- ()
3sin 3lim
16x x x x →-02
1cos lim
12
x x
x →-= 202
12lim 112
x x
x →== 当0x →时，31sin 6
x x
x - ()
03
arcsin 4lim
16
x x x
x →-
2
2
002
21
11112
2
x x x x x x x →→----==-
202
12lim 1112
x x x →==? 当0x →时，3
1arcsin 6
x x x -等价于
（规律总结：
三角函数，反三角函数与X 组合，0/0型的时候应该先用洛比达法则求一次导，（求导的时候可以对分母先应用等价无穷小，再求导），然后再应用等价无穷小进行化简，，此外应该特别注意，可以先应用极限的四则运算，（四则不仅只有加减，还有乘除，应格外熟悉）,将某些难化简，但极限好求的先进行计算，（一般题目要求求的都是极限存在的，所以可以用此方法解题，若解出来发现极限不存在，这说明不能用四则运算，因而再想别的方法）） 五、综合题（每小题10分，共20分） 23．求(
2
lim 39121x x x x →∞
-+
有根号，无从下手时想到用分母有理化，化成
指数次幂除以指数次幂的形式。 解： 原式
222
9921lim
3921
x x x x x x x →∞
-+++++有理化
2
3921
x x x x =+++2
12213332139x x x x
--
-===-++++
24． 已知()22281
lim 225
x x mx x n x n →-+=-++，求常
数,m n 的值。
解：（1）∵原极限存在且 ()2
2
lim 220x x n x n →??-++=?? ()22
lim 80,4280x x mx m →∴-+=-+=
212,6m m ==
（2）()22268
lim 22x x x x n x n
→-+-++
()()
2002646
lim
2242x x x n n →?? ???
--=-+-+
2125
n -=
=- 102n ∴-=- 12n = 答6,12m n ==
选做题
求
()1
1
01lim x x x x e
→??+???????
?
解：原式()11
011lim 1x
x
x x e e
∞
→?
?+-??+
??????
()()11
011lim
lim x x x x x x e
x e
e
e
e
→→?
?
?
?+????+-??
?== 令()()11
ln 11x
x x
y x e
+=+=
()
()12
1
ln 111x
x x x y x x
-++'=+ ()
()()
()
12
1ln 111x
x x x x x x -++=++
原式()()()
()20
2
1ln 10ln 1lim
lim
123x x x x x x x x x x e
e →→-++-+++==
2
01lim
232x x
x x e
e →--
+==
第三讲：函数的连续性与导数、微分的概念的强化练习题答案
一、单项选择题（每小题4分，共24 分） 1．若()f x 为是连续函数， 且()()01,10f f ==， 则1lim sin x f x x →∞
??
= ???
( ) A ． -1 B ．0 C ．1 D ． 不存在 解： 原式
1sin 1lim sin lim 1x x f x f x f x x →∞→∞?
?????=????????
?
?连续()10f ==，选B
2． 要使()()ln 1m x
f x kx =+在点0x =处连续，应给()0f 补充定义的数值是( )
A ． km
B ． k
m
C ． ln km
D ． km
e
解：()0
0lim ln lim(1)m
x x x f x kx →→??
=+????
lim ln ln x m
kx km x
e
e km →?
===
()0f km ∴= 选A
3．若lim ()x a
f x A →=，则下列正确的是
（ ）
A ． ()lim x a
f x A →=
B ． ()x a
f x A →=
C ． ()lim x a
f x A →=-
D ． lim ()x a
f x A →=
解：()
()lim x a
x a
u f x f x A →→=
连续
选B
4．设()()
(),00,0f x x F x x f x ?≠?
=??=?
且()f x 在0x =处可导，()00,f '≠
()00f =,则0x =是()F x 的 ( )
A ． 可去间断点
B ． 跳跃间断点
C ． 无穷间断点
D ． 连续点 解：
()()()()0
0lim lim
0,0
x x f x f F x f x →→-'==-
()()00f f '≠()()()0
00lim 0x F f F →∴=≠，
故0x =是()F x 的第一类可去间断点。选A
5．()1sin
,00,0
x f x x x x ??=≠??=?在0x =处 ( )
A ． 极限不存在
B ．极限存在但不连续
C ．连续但不可导
D ．可导但不连续 解：()0
1
lim lim sin
0x x f x x x
→→=?=，且()00f = ()f x ∴在0x =连续，又()0f '
01
sin 0
lim 0
x x x x →-==-不存在，()f x ∴在0
x =不可导 选C
（判断函数是否可导，应该用定义法去判断。。。）
6．设()21,1
,1
x x f x ax b x ?+≤=?+>?在1x =可导，则
,a b 为 （ ）
A ． 2,2a b =-=
B ． 0,2a b ==
C ． 2,0a b ==
D ． 1,1a b == 解：（1）
()f x 在1x =连续，
()()21
1
lim 12,lim x x x ax b a b -+
→→∴+=+=+ 故()21a b +=?
（2）()()211
1lim
2,11
x x f f x --+→-''==- ()()11112lim lim 11
x x a x ax b a x x ++→→-+-==--
2a ∴=，代入()1得0b =，选C
（两个未知数找准两个方程，第一人利用连续的性质，第二个利用可导，求出特殊点的导数） 二、 填空题（每小题4分，共24分） 7．设()f x 为连续奇函数，则()0f = 解：（1）()f x 为奇函数，()()f x f x ∴-=-
（2）()()00lim lim x x f x f x →→-=-???
? 又
()f x 在0x =连续
()()00f f ∴=- 故()00f =
规律总结：连续的奇函数在0点的函数值为0；
可导的偶函数，0点的导函数为0；
8．若()f x 为可导的偶函数，则()0f '= 解：（1）()f x 为偶函数，()()f x f x ∴-= (2)
()f x 可导，()()f x f x ''∴--= 故
()()00f f ''-=
()200f '= 即()00f '=
9．设6y x k =+是曲线2
3613y x x =-+的 一条切线，则k =
解： （1）6,66,666,2y y x x x ''==-∴-== （2）62346213,12121213,k k ?+=?-?+∴+=-+故1k =
10． 若()y f x =满足：()()0f x f =x +
()x +α，且()
0lim
0x x x
→α=
则()0f '= 解：()()()0
00lim
x f x f f x →-'=-
()0
lim
101x x x x
α→-==+=
（在不确定函数是否可以求的导的情况下一定要用定义求在某点的导数）
11． 设()f x 在2x =连续，且(2)f =4， 则22
1
4lim ()24x f x x x →??-=
?--??
解： 原式=2224
(2)lim 4x x f x →+--
211
4lim 4124
x x →==?=+
12．()
5
sin 1()x x f x x x
?-=
-的间断点个数为 解： 令()()()
520,1110x x x x x x -=-++=
0,1,1x x x ==-=为间断点，
故()f x 有三个间断点
（间断点就是函数没有意义的点） 三 、计算题（每小题8分，共64分）
13． 已知2sin 21
,0(),0ax x e x f x x
a x ?+-≠?
=??=?
在(),-∞+∞上连续，求a 的值 解：
()f x 在0x =连续
()200sin 21
lim lim ax x x x e f x x →→+-∴=200sin 21
lim
lim 22ax
x x x e a x x
→→-=+=+
且()0,22f a a a =∴+= 故2a =-
14． 讨论1
,0()0,01ln ,11
x e x f x x x x x ??
=≤≤???>-?在0,1
x x ==连续性
解：（1）在0x =处，1
lim 0,x
x e -→=0
lim 00x +
→= 且()00f =
()f x ∴在0x =处连续
（2）在1x =处，
1lim 00,x -
→=
()1
0ln 1ln 1lim lim 11x x t x x t
x t
+
+→→+-===- ()f x ∴在1x =不连续
(判断连续性即找准分段点，求极限) 15． 设()f x 有连续的导函数，且
()()00,0f f b '==若()()sin ,0,0f x a x
x F x x
A x +?≠?
=??=?
在0x =连续，求常数A 。 解：
()()()0
0sin lim lim
x x f x f a x
F x x
→→-+=
()()0
00sin lim
lim
x x f x f a x x x
→→-=+-()0f a '=+
且()0F A =，a b A ∴+= 答A a b =+
16． 设()f x 1
,0,0x e x x kx b x ?-
=??+≥?
在0x =可导，
求,k b 的值。
（看到可导的条件要求变量，一定是两个方程，一个关于连续性，一个是关系某点的导数值（都是左导等于右导）
找一个题目自己动手计算，看是否有问题！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！）
解：（1）()f x 在0x =连续，01
lim 1x x e x
-→-∴=
0lim()x kx b b +
→+= 故有1b =
（2）
()f x 在0x =可导
()01
10lim 0
x x e x f x --→--'=-
20000111lim lim 22x x x x e x e x x
-→→??
?
??---== ()011
0lim
,x kx f k x +→+-'==
12k ∴=，答1
,12k b ==
17．设ln(1)
,0()1,0
ax x f x x
x +?≠?
=??-=?在0x =可导，求a 与()0f '
解：（1）
()f x 在0x =连续，
()()00
ln 1lim lim
x x ax f x x
→→+∴=0lim x ax
a x →==
且()01f =-，故有1a =- （2）
()f x 在0x =可导
()0ln(1)
10lim x x x f x
→-+'= ()20001
10ln 11lim lim 2x x x x x x x
→→?? ?+-+??-= ()0111lim
212
x x x x →+-==--
答：()1
1,02
a f '=-=-
18． 讨论()f x ()x a x =-?在x a =是否可导，其中()x ?在x a =连续。 解：（1）()()()0
lim x a
x a x f a x a
?-
-→--'=-
()()lim x a
x a x x a
?-
→--=-
()
()lim x a
x a ???-→=--连续
（2）()()()0
lim x a
x a x f a x a
?+
+→--'=-
()()
()
()
lim lim x a
x a
x a x x a x a
????+
-→→-==-连续
答： 当()0a ?=时，()f x 在x a =连续， 当()0a ?≠时，()f x 在x a =不连续
19． 求1
()ln f x x
=的间断点，并指出间断
点类型
解：（1） 间断点：0,1,1x x x ==-= （2） 在0x =处：
01
lim
0ln x x
→=
0x ∴=是()f x 的第一类间断点。
（3） 在1x =±处：11
lim
ln x x
→±=∞ 1x ∴=±为()f x 的第二类无穷间断点。
20． 设()11
,0()ln 1,10x e x f x x x -??>=??+-<≤?指出
()f x 的间断点，并判断间断点的类型。
解：（1）1x =为间断点，0x =可能是间断
点。
（2）在1x =处：
1
1
1
1
1
1
lim 0,lim x x x x e e
e -
+
-∞
--→→===∞
1x ∴=是()f x 的第二类无穷间断点
（3）在0x =处：
()11
1
00
lim ,lim ln 10x x x e
e x +
-
--→→=+= 0x ∴=是()f x 的第一类跳跃间断点
四、 综合题（每小题10分，共20分）
21． 求111()111x x f x x x
-
+=--的间断点，并判别
间断点的类型。
解： （1）间断点：01,1x x x ==-=， （2）在0x =处：
()()111(1)11
x x x f x x x x --=
?=++
()0
1
lim lim
11
x x x f x x →→-==-+ 0x ∴=是()f x 的第一类可去间断点
（3）在1x =处：()1
1
1
lim lim
01
x x x f x x →→-==+ 1x ∴=是()f x 的第一类可去间断点
（4）在1x =-处：
11
lim
1x x x →--=∞+
1x ∴=-是()f x 的第二类无穷间断点
22．已知232
2,0(),01,1x x x f x ax bx cx d x x x x ?+≤?=+++<
，
在(),-∞+∞可导，求,,,a b c d 之值 解：（1）
()f x 在0x =连续，
()32
lim x ax bx cx d d +
→∴+++= ()()20
lim 0,00x x x f -
→+==
故()01d =? （2）
()f x 在0x =可导
()200lim 1,x x x
f x --→+'==
()3200lim x ax bx cx
f c x
+→++'==
故有()12c =? （3）
()f x 在1x =连续，
()()3
2
1lim 1x ax bx x f -
→++=
即()110a b f ++==
()103a b ∴++=?
（4）
()f x 在0x =可导：
()211lim 11x x x
f x ++→-'∴==-
()3211lim 1
x ax bx x
f x --→++'=-
()2
100lim 321x ax bx -
→??
???
++
321a b =++
故有()3204a b +=? 由（3）（4）解得2,3a b ==- 答：2,3,1,0a b c d ==-== 五、证明题（每小题9分，共18分） 23． 证明4
240x x --=在区间()2,2-内至
少有两个实根。 证：（1）
()f x 在[]2,0-连续，
且()()040,2160f f =-<-=>
∴由零点定理知，
()f x =0在()2,0-上至少有一个实根。
（2）
()f x 在[]0,2连续,且
()()040,216480f f =-<=-=>
∴由零点定理知，
()f x =0在()0,2上至少有一个实根
（3）综上所述，()f x =0在()2,2-上至少有两个实根
24． 设()1sin ,0
0,0
u
x x f x x
x ?≠?=??=?，证明（1）当0u >时()f x 在0x =连续，当1u >时，
()f x 在0x =可导
解：（1）
01lim sin
0u x u x x
→>时
010sin 1,lim 0u x u x x →?>?≤ ???
∴当0u >时，()f x 在0x =连续
(2)1001
sin
11lim
lim sin 01u u x x x u x x x x
-→→>=-时 1011sin
1,lim 0u x u x x -→?>?≤ ??
?
当1u >时，()f x 在0x =可导 总之，当0u >时，()f x 在0x =连续 当1u >时，()f x 在0x =可导 选做题
设对于任意的x ，函数满足()1f x +=
()af x 且()0,f b '=证明()1f a b '=?
证：（1）令0x =，()10f + ()0af =，即
()()10f af =
(2) ()()()
111lim
x f x f f x
→+-'=
()()
()0
0lim
0x af x af af a b x
→-'===?
证毕
第四讲：导数与微分的计算方法的强化练习题答案
一、单项选择题（每小题4分，共24分） 1．设()2
4
21,f x
x
x =++则()1f '=( )
A ．1
B ．3
C ． -1
D ． -3 解：（1）
()()2
2221f x x x =++
()21f x x x ∴=++
(2) ()()21,1211f x x f ''=+-=-+=- 选C
2．设()()()22
2
212f x x x x
=--
()
22x n ?-,则()0f '= （ ） A ．2
(!)n B ． ()2
1(!)n
n -
C ． !n
D ． ()1!n
n - 解： 令()()()()22
2
22212g x x x
x n =--?-
()()f x x g x =? ()()()f x g x xg x ''=+
()()()()22
00012f g '=+=-- ()()()2
2
1!n
n n ??-=-
选B
注：本题用导数定义计算更方便！ 3．设()()ln 1f x x =+，则()
()5f x = ( )
A ．
()
5
4!
1x + B ．
()
5
4!
1x -+
C ．
()
5
5!
1x + D ．
()
5
5!
1x -+
解：()()1
1,f x x -'=+
()()2
11,f x x -''=-+
()()()()3
121f x x -'''=--+ ()()()()()()4
41231,f x x -=---+
()()()()()()
5
(5)12341f x x -=----+5
4!(1)x -=+ 选A
4．设()y f x =由方程()2cos 1
x y
e
xy e +-=-所确定，则曲线()y f x =在点（0，1）的切线斜率(0)f '= ( )
A ．2
B ． -2
C ．12
D ． -12
解：()()()22sin 0x y e y xy y xy +''++?+=
()()2000,e y ''++=()()002y f ''==-
选B
5． 设()f x 为可导偶函数，且()()cos g x f x =，
则'2g π??
= ???
（ ）
A ． 0
B ．1
C ．-1
D ． 2 解：（1）()()()cos cos g x f x x '''=?
()()cos sin f x x '=?-
（2）
()(),f x f x -=
()()()1f x f x ''∴-?-= ()()00f f ''-=得()00f '=
（3）()002g f π??
'=-=
???
选A 6．设()f x 在1x =有连续导数，且()12f '=,则(0
lim x d
f x dx
+
→= ( ) A ． 1 B ． -1 C ． 2 D ．-2 解：
(d
f x dx
((2f x x x
'=?-(2)原式(0
lim 2x x f x x
+
→'=
()1
112
f -'=
=- 选B
二、填空题（每小题4分，共24分）
7．若sin cos t
t
x e t y e t
-?=??=??， 则22d y
dx = 解：（1）2cos sin (1)sin cos t t t
t t
dy e t e t e dx e t e t -----==-+ (2) 2322sin cos t d y dy e dy dx dt dt dx dx t t
-''-===+ 8．设()2
1ln f x x =+，
则()f e '=
解：(1)()22
112ln ln 21ln 1ln x x
x x f x x x
?'==++ （2）()2
22
f e e e '==
9． 直线l 与x 轴平行，且与曲线x
y x e =-相切，则切点坐标是 解：
1,010x x
e y e y e ''=-=∴-=曲
故有切点坐标()0,1-
10．()y f x =由方程3
3
sin 60
x y x y +-+=确定，则0x dy =∣= 解：当0x =时，3
60y y +=得0y =
2233cos 60x y y x y ''+?-+=
()106y '=
，()0106
x dy y dx dx ='∣== 11．设11x
x
e y e
-=+， 则dy = 解：()()11
ln 1ln 122
x x y e e =
--+ 21122111
x x
x x x
x
e e e y e e e -'=-=-+- 12．设()1
0110n
n n f x a x a x a x a --=++?++，
则 ()
()0n f
=
解：()1201(1)n n f x na x n a x --'=+-
1n a -+?,?
(
)
()()01n n n f x n n a x -=-?1
()
()00!,0!n n a f n a ==
三、计算题（每小题8分，共64分） 13 ．设111
x y x +=++，求dy 。
解： (1))
11)ln
11y x x =+-+
(2)1121y x x
'=
+-+
11211x x
x x
=
++++
（3）1dy dx x x
=
+
14．设2arcsin
42
x
y x x =-求y '及y ''。 解：(1) 21
2arcsin 212x y x '=+??
- ???
2
24x -2arcsin
24x x
=+-
2
arcsin
2
4x
x =- (2)arcsin 2x y '?
?''= ??
?
函数与数列的极限的强化练习题答案(含详细分析)
第一讲：函数与数列的极限的强化练习题答案 一、单项选择题 1．下面函数与y x =为同一函数的是（） 2 .A y= .B y= ln .x C y e =.ln x D y e = 解：ln ln x y e x e x === Q，且定义域 () , -∞+∞，∴选D 2．已知?是f的反函数，则() 2 f x的反函 数是（） () 1 . 2 A y x ? =() .2 B y x ? = () 1 .2 2 C y x ? =() .22 D y x ? = 解:令() 2, y f x =反解出x：() 1 , 2 x y =?互 换x，y位置得反函数() 1 2 y x =?，选A 3．设() f x在() , -∞+∞有定义，则下列函数 为奇函数的是（） ()() .A y f x f x =+- ()() .B y x f x f x =-- ?? ?? () 32 .C y x f x = ()() .D y f x f x =-? 解：() 32 y x f x = Q的定义域() , -∞+∞且 ()()()()() 3232 y x x f x x f x y x -=-=-=- ∴选C 4．下列函数在() , -∞+∞内无界的是（） 2 1 . 1 A y x = + .arctan B y x = .sin cos C y x x =+.sin D y x x = 解: 排除法：A 2 1 122 x x x x ≤= + 有界， B arctan 2 x π <有界， C sin cos x x +≤ 故选D 5．数列{}n x有界是lim n n x →∞ 存在的（） A 必要条件 B 充分条件 C 充分必要条件 D 无关条件 解：Q{}n x收敛时，数列n x有界（即 n x M ≤），反之不成立，（如() {}11n--有界， 但不收敛， 选A 6．当n→∞时，2 1 sin n 与 1 k n 为等价无穷小， 则k= （） A 1 2 B 1 C 2 D -2 解：Q 2 2 11 sin lim lim1 11 n n k k n n n n →∞→∞ ==，2 k=选C 二、填空题（每小题4分，共24分） 7．设() 1 1 f x x = + ，则() f f x ?? ??的定义域 为
数列的极限-高中数学知识点讲解
数列的极限 1．数列的极限 【知识点的知识】 1、数列极限的定义： 一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{a n}的项a n 无限趋近于某个常数a（即|a n﹣a|无限地接近于 0）， 那么就说数列{a n}以a 为极限，记作???a n＝a．（注：a 不一定是{a n}中的项） ?→∞ 2、几个重要极限： 3、数列极限的运算法则： 4、无穷等比数列的各项和： （1）公比的绝对值小于 1 的无穷等比数列前n 项的和，当n 无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和，记做S =???S n． ?→∞ （2） 1/ 3
【典型例题分析】 典例 1：已知数列{a n}的各项均为正数，满足：对于所有n∈N*，有4??=(??+1)2，其中S n 表示数列{a n}的前n 项? 和．则??? ? ? =（） ?→∞ 1 A．0 B．1 C． 2D．2 解：∵4S1＝4a1＝（a1+1）2， ∴a1＝1．当n≥2 时，4a n＝4S n﹣4S n﹣1＝（a n+1）2﹣（a n﹣1+1）2， ∴2（a n+a n﹣1）＝a n2﹣a n﹣12，又{a n}各项均为正数， ∴a n﹣a n﹣1＝2．数列{a n}是等差数列， ∴a n＝2n﹣1． ??1∴???2?―1= ???2―1 ? ? =??? ?→∞?→∞?→∞ ?= 1 2 ． 故选：C． 典例 2：已知点P n（a n，b n）在直线l：y＝2x+1 上，P1 为直线l 与y 轴的交点，等差数列{a n}的公差为 1（n∈N*）．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式； （2）设 c n = 1 ?|?1??|(?≥2)，求???(?2+?3+?+ ? ? )的值； ?→∞ （3）若d n＝2d n﹣1+a n﹣1（n≥2），且d1＝1，求证：数列{d n+n}为等比数列，并求{d n}的通项公式．解：（1）∵点P n（a n，b n）在直线l：y＝2x+1 上，P1 为直线l 与y 轴的交点， ∴b n＝2a n+1，a1＝0， ∵等差数列{a n}的公差为 1（n∈N*）， ∴a n＝0+（n﹣1）＝n﹣1． b n＝2（n﹣1）+1＝2n﹣1． （2）解：由（1）可得a n﹣a1＝n﹣1，b n﹣b1＝2n﹣1﹣1＝2n﹣2，
数学分析习作-数列极限与函数极限的异同
云南大学 数学分析习作课（1）读书报告 题目：数列极限与函数极限的异同 （定义，存在条件，性质，运算四方面的对比）学院：物理科学技术学院 专业：数理基础科学 姓名、学号： 任课教师： 时间： 2009-12-26 摘要 极限是数学中极其重要的概念之一，极限的思想是人们认知数学世界解决数学问题的 重要武器，是高等数学这个庞大的数学体系得以建立的基础和基石； 极限在数学中处于基础的地位，它是解决微积分等一系列重要数学问题的前提和基 础； 极限是一种思维，在学习高数时最好理解透彻了，在线代中没什么用.但是概率中用 的比较多，另外物理中许多都用到了极限的思维，它也能帮助更好的理解一些物理知 识；
在高等数学中，极限是一个重要的概念，极限可分为数列极限与函数极限，下面是关于两种极限的简要联系与说明。 关键词：数列极限与函数极限的定义，存在条件，性质，运算 一数列极限与函数极限的定义 1、数列与函数： a、数列的定义：数列是指按自然数编了号的一串数：x1，x2，x3，…，x n，…. 通常记作{x n}，也可将其看作定义在自然数集N上的函数x n=N (， ), n n f∈故也称之为整标函数。 b、函数的定义：如果对某个范围X内的每一个实数x，可以按照确定的规律f， 得到Y内唯一一个实数y和这个x对应，我们就称f是X上的函数，它在x的数值（称为函数值）是y，记为) f y=。 (x (x f，即) 称x是自变量，y是因变量，又称X是函数的定义域，当x遍取X内的所有实数时，在f的作用下有意义，并且相应的函数值) f的全体所组成的范围叫作 (x
函数f 的值域，要注意的是：值域不一定就是Y ，它当然不会比Y 大，但它可能比Y 小。 2、 （一） 数列极限的定义： 对数列}{x n ，若存在常数A ，对N n N >?∈?>?,N ,0ε，有 ε<-A x n ，则称 数列收敛且收敛于A ，并称数列}{x n 的极限为A ，记为x n n lim ∞ →=A. 例1.试用定义验证：01 lim =∞→n n . 证明：分析过程，欲使,1 01ε<=-n n 只需ε 1 >n 即可，故 εεε<->?+?? ? ???=?>?01:,11,0n N n N . 例2.试用定义验证：).11(lim <<-=∞ →q n 证明：分析过程.欲使[]ε <=-n n q q 0， 只需q n lg lg ε > （注意0lg ??? ????????????????=?n q N n q N 对于比较复杂的表达式n n A x α=-，一般地，我们通过运算,适当放大，将n α变形简化到n β，既使得对于0>?ε由不等式εβ
函数与极限习题与答案计算题(供参考)
高等数学 二、计算题（共 200 小题，） 1、设x x x f +=12)(，求)(x f 的定义域及值域。 2、设x x x f -+= 11)(，确定)(x f 的定义域及值域。 3、设)ln(2)(22x x x x x f -+-= ，求)(x f 的定义域。 4、的定义域，求设)(sin 51 2arcsin )(x f x x x f π+-=。 5、的定义域，求设??? ??++-=x f x f x x x f 1)(22ln )(。 6、的定义域求函数22112arccos )(x x x x x f --++=。 7、设)(x f 的定义域为[) )()()(m x f m x f x F b a ++-=，．，)0(
高中数学复习――数列的极限
●知识梳理 1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{a n }的项a n 无限地趋近于某个常数a （即|a n －a |无限地接近于0），那么就说数列{a n }以a 为极限. 注：a 不一定是｛a n ｝中的项. 2.几个常用的极限：①∞→n lim C =C （C 为常数）;②∞→n lim n 1 =0;③∞ →n lim q n =0（|q |＜1）. 3.数列极限的四则运算法则：设数列｛a n ｝、｛b n ｝， 当∞ →n lim a n =a , ∞ →n lim b n =b 时，∞ →n lim （a n ±b n ）=a ±b ; ∞ →n lim （a n ·b n ）=a ·b ; ∞ →n lim n n b a =b a （b ≠0）. 特别提示 （1）a n 、b n 的极限都存在时才能用四则运算法则； （2）可推广到有限多个. 1.下列极限正确的个数是 ①∞→n lim αn 1 =0（α＞0） ②∞→n lim q n =0 ③∞ →n lim n n n n 3232+-=－1 ④∞ →n lim C =C （C 为常数） A.2 B.3 C.4 D.都不正确 解析:①③④正确. 答案:B 2. ∞→n lim ［n （1－31）（1－41）（1－51）…（1－21 +n ）］等于 A.0 B.1 C.2 D.3 解析: ∞→n lim ［n （1－31）（1－41）（1－51）…（1－2 1 +n ）］ =∞→n lim ［n ×32×43×54×…×2 1 ++n n ］ =∞→n lim 22+n n =2. 答案:C 3.下列四个命题中正确的是 A.若∞ →n lim a n 2＝A 2，则∞ →n lim a n ＝A B.若a n ＞0，∞ →n lim a n ＝A ，则A ＞0 C.若∞ →n lim a n ＝A ，则∞ →n lim a n 2＝A 2
函数与极限练习题
题型 一．求下列函数的极限 二．求下列函数的定义域、值域 三．判断函数的连续性，以及求它的间断点的类型 内容 一．函数 1.函数的概念 2.函数的性质——有界性、单调性、周期性、奇偶性 3.复合函数 4.基本初等函数与初等函数 5.分段函数 二．极限 （一）数列的极限 1.数列极限的定义 2.收敛数列的基本性质 3.数列收敛的准则 （二）函数的极限 1.函数在无穷大处的极限 2.函数在有限点处的极限 3.函数极限的性质 4.极限的运算法则 （三）无穷小量与无穷大量 1.无穷小量 2.无穷大量 3.无穷小量的性质 4.无穷小量的比较 5.等价无穷小的替换原理 三．函数的连续性 x处连续的定义 1.函数在点0 2.函数的间断点 3.间断点的分类 4.连续函数的运算 5.闭区间上连续函数的性质 例题详解 题型I函数的概念与性质 题型II求函数的极限（重点讨论未定式的极限） 题型III求数列的极限 题型IV已知极限，求待定参数、函数、函数值 题型V无穷小的比较 题型VI判断函数的连续性与间断点类型 题型VII与闭区间上连续函数有关的命题证明
自测题一 一． 填空题 二． 选择题 三． 解答题 3月18日函数与极限练习题 一．填空题 1.若函数121)x (f x -??? ??=，则______)x (f lim x =+∞ → 2.若函数1 x 1 x )x (f 2--=，则______)x (f lim _1x =→ 3. 设23,,tan ,u y u v v x === 则复合函数为 ()y f x = = _________ 4. 设 cos 0()0 x x f x x x ≤??=? >?? ，则 (0)f = __________ 5.已知函数 2 ()1 ax b x f x x x +
函数与极限测试题及答案(一)
函数与极限测试题（一） 一、 填空题 1、若1ln 1 1ln x f x x +??= ?-??，则()f x =_____。 2、函数()f x 的定义域为[],a b ，则()21f x -的定义域为_____。 3、若0x →时，无穷小2 21ln 1x x -+与2sin a 等价，则常数a =_____。 4、设()()2 1lim 1 n n x f x nx →∞ -=+，则()f x 的间断点为x =_____。 二、 单选题 1、当0x →时，变量 2 11 sin x x 是（ ） A 、无穷小 B 、无穷大 C 、有界的，但不是无穷小 D 、无界的，也不是无穷大 2、设函数()bx x f x a e =+在(),-∞+∞上连续，且()lim 0x f x →-∞=，则常数,a b 满足（ ） A 、0,0a b << B 、0,0a b >> C 、0,0a b ≥< D 、0,0a b ≤> 3、设()232x x f x =+-，则当0x →时（ ） A 、()f x 与x 是等价无穷小 B 、()f x 与x 是同阶但非等价无穷小 C 、()f x 是x 的高阶无穷小 D 、()f x 是x 的低阶无穷小 4、设对任意的x ，总有()()()x f x g x ?≤≤，且()()lim 0x g x x ?→∞ -=????， 则()lim x f x →∞ 为（ ） A 、存在且等于零 B 、存在但不一定等于零 C 、一定不存在 D 、不一定存在
例：()()()11 ,,22 1 x x f x x g x x x x ?==+ =+ ++ 三、 求下列极限 1 、 lim x 2、()2 21212lim 1x x x x x -→?? ?+?? 四、 确定,a b 的值，使() 32 2ln 10 011ln 0 1ax x f x b x x x x x x x ?+<==??-+?>++?? 在(),-∞+∞内连续。 五、 指出函数()1 11x x x e e f x e e --= -的间断点及其类型。 六、 设1234,,,a a a a 为正常数，证明方程 31240123 a a a a x x x x +++=---有且仅有三个实根。 七、 设函数()(),f x g x 在[],a b 上连续，且满足()()()(),f a g a f b g b ≤≥，证明： 在[],a b 内至少存在一点ξ，使得()()f g ξξ=。 函数与极限测试题答案（一） 一、1、 11x x e -+； 2、 11, 2 2a b ++?? ???? ； 3、 4-； 4、0 ； 二、1—4、DCBD 三、1 、解：原式lim 3x ==；
函数与极限习题与答案
第一章 函数与极限 （A ） 一、填空题 1、设x x x f lg lg 2)(+-= ，其定义域为 。 2、设)1ln()(+=x x f ，其定义域为 。 3、设)3arcsin()(-=x x f ，其定义域为 。 4、设)(x f 的定义域是[0，1]，则)(sin x f 的定义域为 。 5、设)(x f y =的定义域是[0，2] ，则)(2x f y =的定义域为 。 6、43 2lim 23=-+-→x k x x x ，则k= 。 7、函数x x y sin = 有间断点 ，其中 为其可去间断点。 8、若当0≠x 时 ，x x x f 2sin )(= ，且0)(=x x f 在处连续 ，则=)0(f 。 9、=++++++∞→)21(lim 222 n n n n n n n n 。 10、函数)(x f 在0x 处连续是)(x f 在0x 连续的 条件。 11、=++++∞→352352) 23)(1(lim x x x x x x 。 12、3) 2 1(lim -∞ →=+e n kn n ，则k= 。 13、函数2 31 22+--=x x x y 的间断点是 。 14、当+∞→x 时， x 1 是比3-+x 15、当0→x 时，无穷小x --11与x 相比较是 无穷小。 16、函数x e y 1=在x=0处是第 类间断点。 17、设1 1 3 --= x x y ，则x=1为y 的 间断点。 18、已知33=?? ? ??πf ，则当a 为 时，函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处连续。
19、设?? ???>+<=0)1(02sin )(1x ax x x x x f x 若)(lim 0 x f x →存在 ，则a= 。 20、曲线2sin 2 -+=x x x y 水平渐近线方程是 。 21、1 14)(2 2-+ -= x x x f 的连续区间为 。 22、设?? ?>≤+=0 ,cos 0 ,)(x x x a x x f 在0=x 连续 ，则常数 a= 。 二、计算题 1、求下列函数定义域 （1）2 11 x y -= ； （2）x y sin = ； （3）x e y 1= ； 2、函数)(x f 和)(x g 是否相同？为什么？ （1）x x g x x f ln 2)(,ln )(2 == ； （2）2)(,)(x x g x x f = = ； （3）x x x g x f 22tan sec )(, 1)(-== ； 3、判定函数的奇偶性 （1）)1(2 2 x x y -= ； （2）3 2 3x x y -= ；
高考数学一轮复习数列的极限知识点
17年高考数学一轮复习数列的极限知识点 极限是微积分中的基础概念，下面是整理的数列的极限知识点，希望考生可以认真学习。 1、连续、间断点以及间断点的分类：判断间断点类型的基础是求函数在间断点处的左右极限; 2、可导和可微，分段函数在分段点处的导数或可导性，一律通过导数定义直接计算或检验存在的定义是极限存在; 3、渐近线，(垂直、水平或斜渐近线); 4、多元函数积分学，二重极限的讨论计算难度较大，常考查证明极限不存在. 下面我们重点讲一下数列极限的典型方法. 重要题型及点拨 1.求数列极限 求数列极限可以归纳为以下三种形式. ★抽象数列求极限 这类题一般以选择题的形式出现, 因此可以通过举反例来排除. 此外,也可以按照定义、基本性质及运算法则直接验证. ★求具体数列的极限,可以参考以下几种方法： a.利用单调有界必收敛准则求数列极限. 首先,用数学归纳法或不等式的放缩法判断数列的单调性和有界性,进而确定极限存在性;其次,通过递推关系中取极
限，解方程, 从而得到数列的极限值. b.利用函数极限求数列极限 如果数列极限能看成某函数极限的特例,形如,则利用函数极限和数列极限的关系转化为求函数极限,此时再用洛必达法则求解. ★求项和或项积数列的极限,主要有以下几种方法： a.利用特殊级数求和法 如果所求的项和式极限中通项可以通过错位相消或可以转化为极限已知的一些形式,那么通过整理可以直接得出极限结果. l b.利用幂级数求和法 若可以找到这个级数所对应的幂级数,则可以利用幂级数函数的方法把它所对应的和函数求出,再根据这个极限的形式代入相应的变量求出函数值. c.利用定积分定义求极限 若数列每一项都可以提出一个因子,剩余的项可用一个通项表示, 则可以考虑用定积分定义求解数列极限. d.利用夹逼定理求极限 若数列每一项都可以提出一个因子,剩余的项不能用一个通项表示,但是其余项是按递增或递减排列的,则可以考虑用夹逼定理求解. e.求项数列的积的极限,一般先取对数化为项和的形式,然
数学分析 数列极限
第二章 数列极限 §1 数列极限概念 教学目的与要求： 使同学们理解数列极限存在的定义，数列发散的定义，某一实数不是数列极限的定义；掌握用数列极限定义证明数列收敛发散的方法。 教学重点，难点： 数列极限存在和数列发散定义的理解；切实掌握数列收敛发散的定义，利用数列收敛或发散的定义证明数列的收敛或发散性。 教学内容： 一、课题引入 1°预备知识：数列的定义、记法、通项、项数等有关概念。 2°实例：战国时代哲学家庄周著《庄子·天下篇》引用一句话“一尺之棰， 日取其半，万古不竭。”将其“数学化”即得，每天截后剩余部分长度为（单位尺） 21，221，32 1，……，n 21 ，…… 或简记作数列：? ?????n 21 分析：1°、? ?? ???n 21随n 增大而减小，且无限接近于常数0； 2 二、数列极限定义 1°将上述实例一般化可得： 对数列{}n a ，若存在某常数a ，当n 无限增大时，n 能无限接近常数a 该数为收敛数列，a 为它的极限。 例如：? ?? ???n 1， a=0； ??? ? ??-+n n )1(3， a=3; {}2 n ， a 不存在，数列不收敛；
{}n )1(-， a 不存在，数列不收敛； 2°将“n 无限增大时”，数学“符号化”为：“存在N ，当n ＞N 时” 将“a n 无限接近a ”例如对??? ? ??-+n n )1(()3以3为极限，对ε =10 1 3)1(3--+ =-n a a n n =10 11 n 只需取N=10，即可 3°“抽象化”得“数列极限”的定义 定义：设{}n a 是一个数列，a 是一个确定的常数，若对任给的正数ε，总存在 某一自然数N ，使得当n ＞N 时，都有 a a n -＜ε 则称数列{}n a 收敛于a ，a 为它的极限。记作 a a n n =∞ →lim ｛(或a n →a,(n →∞)) 说明 （1）若数列{}n a 没有极限，则称该数列为发散数列。 （2）数列极限定义的“符号化”记法：a a n n =∞ →lim ? ε ?＞0，?N ，当n （3）上述定义中ε的双重性：ε＞0是任意．．的，由“任意性”可知，不等式a a n -＜ε，可用a n -替 “＜”号也可用“≤”号来代替（为什么？）（4）上述定义中N 的双重性：N 是仅依赖．．于ε的自然数，有时记作N=N （ε）（这并非说明N 是ε的函数，是即：N 是对应确定．．．．的！但N 又不是唯一．．．． 的，只要存在一个N ，就会存在无穷多
高中数学复习数列的极限
●知识梳理 1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{a n }的项a n 无限地趋近于某个常数a （即|a n －a |无限地接近于0），那么就说数列{a n }以a 为极限. 注：a 不一定是｛a n ｝中的项. 2.几个常用的极限：①∞ →n lim C =C （C 为常数）;②∞ →n lim n 1 =0;③∞→n lim q n =0（|q |＜1）. 3.数列极限的四则运算法则：设数列｛a n ｝、｛b n ｝， 当∞ →n lim a n =a , ∞ →n lim b n =b 时，∞ →n lim （a n ±b n ）=a ±b ; ∞ →n lim （a n ·b n ）=a ·b ; ∞ →n lim n n b a =b a （b ≠0）. 特别提示 （1）a n 、b n 的极限都存在时才能用四则运算法则； （2）可推广到有限多个. 1.下列极限正确的个数是 ①∞→n lim αn 1 =0（α＞0） ②∞→n lim q n =0 ③∞ →n lim n n n n 3232+-=－1 ④∞ →n lim C =C （C 为常数） A.2 B.3 C.4 D.都不正确 解析:①③④正确. 答案:B 2. ∞→n lim ［n （1－ 31）（1－41）（1－51）…（1－21+n ）］等于 A.0 B.1 C.2 D.3 解析: ∞→n lim ［n （1－31）（1－41）（1－51）…（1－2 1 +n ）］ =∞→n lim ［n ×32×43×54×…×2 1 ++n n ］ =∞→n lim 22+n n =2. 答案:C 3.下列四个命题中正确的是 A.若∞ →n lim a n 2＝A 2，则∞ →n lim a n ＝A B.若a n ＞0，∞ →n lim a n ＝A ，则A ＞0 C.若∞ →n lim a n ＝A ，则∞ →n lim a n 2＝A 2
函数与极限练习题
第一章 函数与极限 §1 函数 一、是非判断题 1、)(x f 在X 上有界，)(x g 在X 上无界，则)()(x g x f +在X 上无界。 [ ] 2、)(x f 在X 上有界的充分必要条件是存在数A 与B ，使得对任一X x ∈都有 B x f A ≤≤)( [ ] 3、)(),(x g x f 都在区间I 上单调增加，则)(·)(x g x f 也在I 上单调增加。 [ ] 4、定义在（∞+∞-，）上的常函数是周期函数。 [ ] 5、任一周期函数必有最小正周期。 [ ] 6、)(x f 为（∞+∞-，）上的任意函数，则)(3x f 必是奇函数。 [ ] 7、设)(x f 是定义在[]a a ,-上的函数，则)()(x f x f -+必是偶函数。 [ ] 8、f(x)=1+x+ 2 x 是初等函数。 [ ] 二．单项选择题 1、下面四个函数中，与y=|x|不同的是 （A ）||ln x e y = （B ）2x y = （C ）44x y = （D ）x x y sgn = 2、下列函数中 既是奇函数，又是单调增加的。 （A ）sin 3x （B ）x 3+1 （C ）x 3+x （D ）x 3-x 3、设[])(,2)(,)(22x x f x x f x ??则函数==是 （A ）x 2log （B ）x 2 （C ）22log x （D ）2 x 4、若)(x f 为奇函数，则 也为奇函数。 (A));0(,)(≠+c c x f (B) )0(,)(≠+-c c x f (C) );()(x f x f + (D) )].([x f f - 三．下列函数是由那些简单初等函数复合而成。 1、 y=) 1arctan(+x e 2、 y=x x x ++ 3、 y=x ln ln ln
高等数学函数的极限与连续习题及答案
1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同． 错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴ ()12 ++=x x x f 与()113--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与() x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在． 错误 如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ． 错误 如：数列()n n a 1-=，1) 1(lim =-∞ →n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ． 正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2 x 是同阶无穷小． 正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x ． 错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 ． 错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点． 错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x ∴点0=x 是函数x x y =的第一类间断点． 11、函数()x f x 1 =必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值．
函数、极限与连续复习题参考答案Word版
函数、极限与连续 复习题 一.填空题: 1. 函数1 1ln +-=x x y 的奇偶性是奇函数. 2. 设1 2)11(-=-x x x f ，则=)(x f 1 1x -. 3. 函数x e y -=1的复合过程是,1u y e u x ==-. 4. 函数y =sin ,12y u u v x ===+. 5. 设)(x f 的定义域是[0,1] , 则函数y=)(ln x f 的定义域[1,]e 6. =∞→x x x sin lim 0 . 7. =-∞→n n n )1 1(lim 1e - 8. 5 432lim 42-+-∞→n n n n =0 9. 设43 2lim 23=-+-→x k x x x ，则k =___-3_. 10. 设b ax x x x f ++-+= 1 3 4)(2，0)(lim =∞→x f x ，则=a __-4_，=b __-4. 11. 设0→x 时，b ax 与x x sin tan -为等价无穷小，则=a __1 2 __，=b __3__. 12. 函数3 21 2 --=x x y 的间断点有x=-1,x=3 连续区间是(,1),(1,3),(3,)-∞--+∞. 二、选择题 1、ln(1) y x =+ A ） A 、（—1，+∞） B 、]1,1(- C 、（—1，1） D 、（1，+∞） 2、当0→x 时，下列变量为无穷小量的是（ D ） A 、x 1sin B 、x 1 cos C 、x e 1 D 、) 1ln(2x +
3、A x f x x =→)(lim 0 （A 为常数），则)(x f 在0x 处（ D ） A 、一定有定义 B 、一定无定义 C 、有定义且A x f =)(0 D 、不一定有定义 4、设???≥+<=0,20,)(2x a x x e x f x 当时；当在点0=x 连续，则a 的值等于（D ） A 、0 B 、1 C 、—1 D 、2 1 5、函数)(x f = 3 2 -x ，则x=3是函数)(x f 的（D ） A 、连续点 B 、可去间断点 C 、跳跃间断点 D 、无穷间断点 6、)(x f 在0x 处左、右极限存在是)(x f 在0x 处连续的（ B ） A 、充分条件 B 、必要条件 C 、充要条件 D 、以上都不是 三.求下列极限: 1. )1(lim 2x x x x -++∞ → 解：)1(lim 2 x x x x -++∞ → =lim x lim x = lim x =1 2 2. 3 tan sin lim x x x x →- 解：30tan sin lim x x x x →-=32 00 sin (1cos )sin 11cos lim lim()cos cos x x x x x x x x x x x →→--= =20 1cos lim x x x →-=2 202lim x x x →=12 3. x x x x ?? ? ??+-∞→11lim 解：x x x x ??? ??+-∞→11lim =11lim 11x x x x →∞??- ? ? ? +? ?=1e e -=2e - 4. x x x x x 3sin 2sin lim 0-+→
(完整版)函数极限与连续习题含答案,推荐文档
基本初等函数是实变量或复变量的指数函数、对数函数、幂函数、三角函数和反三角函数经过有限次四则运算及有限次复合后所构成的函数类。 函数的极限与连续训练题 1、已知四个命题：（1）若在点连续，则在点必有极限 )(x f 0x )(x f 0x x →（2）若在点有极限，则在点必连续 )(x f 0x x →)(x f 0x （3）若在点无极限，则在点一定不连续 )(x f 0x x →)(x f 0x x =（4）若在点不连续，则在点一定无极限。 )(x f 0x x =)(x f 0x x →其中正确的命题个数是（ B ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、42、若，则下列说法正确的是（ C ） a x f x x =→)(lim 0A 、在处有意义 B 、)(x f 0x x =a x f =)(0 C 、在处可以无意义 D 、可以只从一侧无限趋近于)(x f 0x x =x 0 x 3、下列命题错误的是（ D ） A 、函数在点处连续的充要条件是在点左、右连续 0x 0x B 、函数在点处连续，则)(x f 0x )lim ()(lim 00x f x f x x x x →→=C 、初等函数在其定义区间上是连续的 D 、对于函数有)(x f )()(lim 00 x f x f x x =→4、已知，则的值是（ C ）x x f 1)(= x x f x x f x ?-?+→?)()(lim 0A 、 B 、 C 、 D 、21x x 21x -x -5、下列式子中，正确的是（ B ）A 、 B 、 C 、 D 、1lim 0=→x x x 1)1(21lim 21=--→x x x 111lim 1=---→x x x 0lim 0=→x x x 6、，则的值分别为（ A ）51lim 21=-++→x b ax x x b a 、A 、 B 、 C 、 D 、67和-67-和67--和6 7和7、已知则的值是（ C ）,2)3(,2)3(-='=f f 3)(32lim 3--→x x f x x A 、 B 、0 C 、8 D 、不存在4-8、（ D ） =--→33lim a x a x a x
1第一章 函数与极限答案
第一章 函数与极限 第一节 映射与函数 1.填空题: （1）函数)(x f y =与其反函数)(x y ?=的图形关于 x y = 对称. （2 ）函数 2 1 ()1f x x = +-的定义域为__________________________； （3）若)(x f 的定义域是[0，1]，则)1(2+x f 的定义域是 {0} . （4）设b ax x f +=)(，则=-+= h x f h x f x ) ()()(? a . （5）若,11)(x x f -=则=)]([x f f x x 1- ，=)]}([{x f f f x . （6）函数2 x x e e y --=的反函数为 。 （7 ）函数y =: x ≥0，值域: 0≤y <1 ，反函数: x =-ln(1-y 2), 0≤y <1 2. 选择题: （1）下列正确的是：(B ，C ) A.2 lg )(x x f =与x x g lg 2)(=是同一函数. B.设)(x f 为定义在],[a a -上的任意函数，则)()(x f x f -+必为偶函数，)()(x f x f --必为奇函数. C.?? ? ??<-=>==0,10,00,1sgn x x x x y 是x 的奇函数. D.由任意的)(u f y =及)(x g u =必定可以复合成y 为x 的函数. . （2）)sin()(2 x x x f -=是( A ). A.有界函数； B. 周期函数； C. 奇函数； D. 偶函数. （3）设54)(2 ++=bx x x f ，若38)()1(+=-+x x f x f ，则b 为( B ). A.1； B.–1； C.2； D.–2. （4）函数 2 1 arccos 1++-=x x y 的定义域是（ ）
高考数学专题三 数列与极限
专题三数列与极限 【考点聚焦】 考点1：数列的有关概念，简单的递推公式给出的数列； 考点2：等差、等比数列的概念，等差、等比数列的通项公式，前n项和公式，并运用它们解决一些问题； 考点3：数列极限的意义，极限的四则运算，公比的绝对值小于1的无穷等比数列的前n 项和的极限； 考点4：数学归纳法 【自我检测】 1、＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做数列。 3、无穷等比数列公比｜q|＜1，则各项和S＝＿＿＿＿＿＿。 4、求数列前n项和的方法：（1）直接法；（2）倒序相加法；（3）错位相减法；（4） 分组转化法；（5）裂项相消法. 【重点?难点?热点】 问题1：等差、等比数列的综合问题 “巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要，但用“基本量法”并树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果 例1：设等比数列{a n}的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的4倍，且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍，问数列{lg a n}的前多少项和最大？(取lg2=03,lg3=04) 思路分析突破本题的关键在于明确等比数列各项的对数构成等差数列，而等差数列中前n项和有最大值，一定是该数列中前面是正数，后面是负数，当然各正数之和最大；另外，等差数列S n是n的二次函数，也可由函数解析式求最值
解法一 设公比为q ,项数为2m ,m ∈N *,依题意有 ??? ? ?+=?--?=--?)(9)()(1)1(1)1(312131122121q a q a q a q a q q q a q q a m m ，化简得?????==?????+==+10831 , ),1(9114121 a q q q a q q 解得 设数列{lg a n }前n 项和为S n ,则 S n =lg a 1+lg （a 1q 2）+…+lg （a 1q n －1）=lg （a 1n ·q 1+2+…+(n － 1)） =n lg a 1+ 21n (n －1)·lg q =n (2lg2+lg3)－21 n (n －1)lg3 =(－23lg )·n 2+(2lg2+2 7lg3)·n 可见，当n =3lg 3lg 272lg 2+时，S n 最大 而4 .024.073.043lg 3 lg 272lg 2??+?= +=5, 故{lg a n }的前5项和最大 解法二 接前，3 1,1081= =q a ,于是lg a n =lg ［108(31)n －1］=lg108+(n －1)lg 31, ∴数列{lg a n }是以lg108为首项，以lg 3 1 为公差的等差数列， 令lg a n ≥0,得2lg2－(n －4)lg3≥0， ∴n ≤4 .04 .043.023lg 3lg 42lg 2?+?=+=5 5 由于n ∈N *,可见数列{lg a n }的前5项和最大 点评 本题主要考查等比数列的基本性质与对数运算法则，等差数列与等比数列之间的联系以及运算、分析能力 演变1 等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它前3m 项的和为_______ 点拨与提示：本题可以回到数列的基本量，列出关于d 1和a 的方程组，然后求解；或运用等差数列的性质求解. 问题2：函数与数列的综合题 数列是一特殊的函数，其定义域为正整数集，且是自变量从小到大变化时函数值的序列。注意深刻理解函数性质对数列的影响，分析题目特征，探寻解题切入点. 例2：已知函数f (x )= 4 12 -x (x <－2) (1) 求f (x )的反函数f -－ 1(x )； (2) 设a 1=1, 1 1+n a =－f －-1 (a n )(n ∈N *),求a n ; (3)设S n =a 12+a 22+…+a n 2,b n =S n +1－S n 是否存在最小正整数m ,使得对任意n ∈N *,有
函数与极限测试题及答案一
函数与极限测试题（一） 一、 填空题 二、 1、若1ln 1 1ln x f x x +??= ?-??，则()f x =_____。 三、 2、函数()f x 的定义域为[],a b ，则()21f x -的定义域为_____。 四、 3、若0x →时，无穷小221ln 1x x -+与2sin 2a 等价，则常数a =_____。 五、 4、设()()2 1lim 1 n n x f x nx →∞ -=+，则 ()f x 的间断点为x =_____。 六、 单选题 七、 1、当0x →时，变量 211 sin x x 是（ ） 八、 A 、无穷小 B 、无穷大 九、 C 、有界的，但不是无穷小 D 、无界的，也不是无穷大 十、 2、设函数()bx x f x a e = +在(),-∞+∞上连续，且()lim 0x f x →-∞=，则常数,a b 满足（ ） 十一、 A 、0,0a b << B 、0,0a b >> 十二、 C 、0,0a b ≥< D 、0,0a b ≤> 十三、 3、设()232x x f x =+-，则当0x →时（ ） 十四、 A 、()f x 与x 是等价无穷小 B 、()f x 与x 是同阶但非等价无穷小 十五、 C 、()f x 是x 的高阶无穷小 D 、()f x 是x 的低阶无穷小 十六、 4、设对任意的x ，总有()()()x f x g x ?≤≤，且()()lim 0x g x x ?→∞ -=????，则 ()lim x f x →∞ 为（ ） 十七、 A 、存在且等于零 B 、存在但不一定等于零 十八、 C 、一定不存在 D 、不一定存在 十九、 例：()()()11 ,,22 1 x x f x x g x x x x ?==+=+ ++ 二十、 求下列极限 二十一、 1、 2 241lim sin x x x x x +-+、()2 21212lim 1x x x x x -→?? ?+??