2014年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷) 理科数学 word版

2014年上海市高考数学试卷（理科）解析

一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的

空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1． 函数2

12cos (2)y x =-的最小正周期是 .

2. 若复数z=1+2i ，其中i 是虚数单位，则1

()z z

+z ?=___________.

3. 若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆15

922=+y x 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为___________.

4. 设???+∞∈-∞∈=],

,[,),,(,)(2

a x x a x x x f 若4)2(=f ，则a 的取值范围为_____________.

5. 若实数x,y 满足xy=1,则2

x +2

2y 的最小值为______________.

6. 若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.

7. 已知曲线C 的极坐标方程为1)sin 4cos 3(=-θθp ，则C 与极轴的交点到极点的距离是 .

8. 设无穷等比数列{n a }的公比为q ，若)(lim 431Λ++=∞

→a a a n ，则q= .

9. 若2

13

2)(x x x f -=，则满足0)(

10. 为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率 是 （结构用最简分数表示）.

11. 已知互异的复数a,b 满足ab ≠0，集合{a,b}={2

a ,2

b },则a b += .

12. 设常数a 使方程sin 3cos x x a +=在闭区间[0,2π]上恰有三个解123,,x x x ，则

123x x x ++= .

13. 某游戏的得分为1,2,3,4,5，随机变量ξ表示小白玩游戏的得分.若()ξE =4.2，则小白得5分的概率至少为 .

14. 已知曲线C ：2

4x y =--，直线l ：x=6.若对于点A （m ，0）,存在C 上的点P 和l 上

的点Q 使得0AP AQ +=u u u r u u u r r

，则m 的取值范围为 .

二、选择题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

15. 设R b a ∈,,则“4>+b a ”是“2,2>>b a 且”的（ ） （A ）充分条件 （B ）必要条件

（C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件

16. 如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，,...)2,1(=i P i 是上底面上其余的八个点，则...)2,1(=?→

→

i AP AB i 的不同值的个数为（ ）

（A ）1 (B)2 (C)4 (D)8

17. 已知)

,

(

1

1

1

b

a

P与)

,

(

2

2

2

b

a

P是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y

的方程组11

22

1

1

a x

b y

a x

b y

+=

?

?

+=

?

的解的情况是（）

（A）无论k，

2

1

,P

P如何，总是无解（B)无论k，

2

1

,P

P如何，总有唯一解

（C）存在k，

2

1

,P

P，使之恰有两解（D）存在k，

2

1

,P

P，使之有无穷多解

18.

??

?

?

?

>

+

+

≤

-

=

,0

,

1

,0

,)

(

)

(

2

x

a

x

x

x

a

x

x

f若)0(f是)

(x

f的最小值，则a的取值范围为（）.

(A)[-1,2] (B)[-1，0] (C)[1，2] (D) [0,2]

三．解答题（本大题共5题，满分74分）

19、（本题满分12分）

底面边长为2的正三棱锥P ABC

-,其表面展开图是三角形

3

2

1

p

p

p，如图，求△

3

2

1

p

p

p的各边长及此三棱锥的体积V.

20.（本题满分14分）本题有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分1分。

设常数0

≥

a，函数

a

a

x

f

x

x

-

+

=

2

2

)

(

（1）若a=4，求函数)

(x

f

y=的反函数)

(1x

f

y-

=；

（2）根据a的不同取值，讨论函数)

(x

f

y=的奇偶性，并说明理由.

21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

如图，某公司要在A B

、两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC

长35米，CB 长80米，设A B 、在同一水平面上，从A 和B 看D 的仰角分别为βα和.

（1）设计中CD 是铅垂方向，若要求βα2≥，问CD 的长至多为多少（结果精确到0.01米）？

（2）施工完成后.CD 与铅垂方向有偏差，现在实测得，，ο

ο

45.1812.38==βα求

CD 的长（结果精确到0.01米）？

22（本题满分16分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.

在平面直角坐标系xoy 中，对于直线l ：0ax by c ++=和点),,(),,(22211y x P y x P i 记

1122)().ax by c ax by c η=++++（若η<0，则称点21,P P 被直线l 分隔。若曲线C 与直线

l 没有公共点，且曲线C 上存在点21P P ，被直线l 分隔，则称直线l 为曲线C 的一条分隔线.

⑴ 求证：点），（），（012,1-B A 被直线01=-+y x 分隔； ⑵若直线kx y =是曲线142

2

=-y x 的分隔线，求实数k 的取值范围；

⑶动点M 到点）（2,0Q 的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为E ，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E 的分割线.

23.（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分. 已知数列{}n a 满足111

3,*,13

n n n a a a n N a +≤≤∈=. （1）若2342,,9a a x a ===，求x 的取值范围；

（2）若

{}n a 是公比为q 等比数列，12n n S a a a =+++L ，

k

11

3,*,3

n n n S S S n N +≤≤∈求q 的取值范围；

（3）若12,,,k a a a L 成等差数列，且121000k a a a +++=L ，求正整数k 的最大值，

以及k 取最大值时相应数列12,,,k a a a L 的公差.

上海数学（文）参考答案 一、 1.

2

π

2. 6

3. 2x =-

4. (,2]-∞

5. 22

6. 1arccos 3

7. 13

8.

51

-9. (0,1) 10.

1

15

11.-1 12. 73π 13. 0.2 14. [2,3]

二、

15.B 16.A 17.B 18.D

19.解：∵由题得，三棱锥P ABC -是正三棱锥

∴侧棱与底边所成角相同且底面ABC ?是边长为2的正三角形 ∴由题得，3

ABC BCA CAB π

∠=∠=∠=

，

112233

PBA P AB P BC P CB P AC PCA ∠=∠=∠=∠=∠=∠ 又∵,,A B C 三点恰好在123,,P P P 构成的123PP P ?的三条边上 ∴112233

3

PBA P AB P BC P CB P AC PCA π

∠=∠=∠=∠=∠=∠=

∴11223

32P A PB P B P C PC P A ====== ∴1213234PP PP P P ===，三棱锥P ABC -是边长为2的正四面体

∴如右图所示作图，设顶点P 在底面ABC 内的投影为O ，连接BO ，并延长交AC 于D ∴D 为AC 中点，O 为ABC ?的重心，PO ⊥底面ABC ∴22333BO BD =

=，263PO =，11326222232233

V =????= 20.解：（1）由题得，248

()1(,1)(1,)2424

x x

x f x +==+∈-∞-+∞--U ∴1

21()2log 1x f

x x -+??

=+ ?-??

，(,1)(1,)x ∈-∞-+∞U

（2）∵2()2x x a

f x a

+=-且0a ≥

∴①当0a =时，()1,f x x R =∈，

∴对任意的x R ∈都有()()f x f x =-，∴()y f x =为偶函数

②当1a =时，21(),021x x f x x +=≠-，2112()2112x x

x x

f x --++-==--， ∴对任意的0x ≠且x R ∈都有()()f x f x =--，∴()y f x =为奇函数 ③当0a ≠且1a ≠时，定义域为{

2log ,}x x a x R ≠∈， ∴定义域不关于原定对称，∴()y f x =为非奇非偶函数

21.解：（1）由题得，∵2αβ≥，且022

π

βα<≤<

，tan tan 2αβ∴≥

即2403516400

CD CD CD

≥-

，解得，CD ≤∴28.28CD ≈米 （2）由题得，18038.1218.45123.43ADC ∠=--=o

o

o

o

， ∵

3580sin123.43sin18.45AD +=o o

，∴43.61AD ≈米

∵2

2

2

35235cos38.12CD AD AD =+-???o

，∴26.93CD ≈米

22.证明：（1）由题得，2(2)0η=?-<，∴(1,2),(1,0)A B -被直线10x y +-=分隔。 解：（2）由题得，直线y kx =与曲线2

2

41x y -=无交点

即222241

(14)10x y k x y kx

?-=?--=?

=?无解 ∴2

140k -=或22

1404(14)0

k k ?-≠??=-

(,][,)22k ∈-∞-+∞U 证明：（理科）（3）由题得，设(,)M x y ，

∴

1x =， 化简得，点M 的轨迹方程为2

2

2

1

:(2),0E x y x x +-=

≠。 ①当过原点的直线斜率存在时，设方程为y kx =。

联立方程，22

22

221(2)1(1)44x y k x kx x x y kx ?+-=??+-+=??=?

。

令2

2

()(1)44F x k x kx =+-+，21

()G x x

=

，显然()y F x =是开口朝上的二次函数 ∴由二次函数与幂函数的图像可得，()()F x G x =必定有解，不符合题意，舍去 ②当过原点的直线斜率不存在时，其方程为0x =。 显然0x =与曲线2

2

2

1

:(2),0E x y x x

+-=≠没有交点，在曲线E 上找两点(1,2),(1,2)-。 ∴110η=-?<，符合题意

综上所述，仅存在一条直线0x =是E 的分割线。 证明：（文科）（3）由题得，设(,)M x y ，

∴

1x =， 化简得，点M 的轨迹方程为2

2

21

:(2),0E x y x x

+-=≠。 显然0x =与曲线2

2

2

1

:(2),0E x y x x

+-=

≠没有交点，在曲线E 上找两点(1,2),(1,2)-。 ∴110η=-?<，符合题意。∴0x =是E 的分割线。

23.解：（1）由题得，2

63

[3,6]933

x x x x ?≤≤???∈??≤≤??

（理科）（2）由题得，∵

11

33

n n n a a a +≤≤，且数列{}n a 是等比数列，11a =， ∴11

133n n n q q q --≤≤，∴1

11()03(3)0n n q q q q --?-≥???-≤?

，∴1[,3]3q ∈。 又∵

1133n n n S S S +≤≤，∴当1q =时，133

n

n n ≤+≤对n N *∈恒成立，满足题意。 当1q ≠时，1111133111n n n

q q q q q q

+---?≤≤?---

∴①当1[,1)3q ∈时，(3)2(31)2n n q q q q ?-≥-?-≤?，由单调性可得，11(3)2(31)2

q q q q ?-≥-?-≤?，解得，1

[,1)3q ∈

②当(1,3]q ∈时，(3)2(31)2n n q q q q ?-≤-?-≥?，由单调性可得，11(3)2

(31)2

q q q q ?-≤-?-≥?，解得，(1,2]q ∈

（理科）（3）由题得，∵

11

33

n n n a a a +≤≤，且数列12,,k a a a L 成等差数列，11a =， ∴1[1(1)]13[1(1)]3n d nd n d +-≤+≤+-，∴(21)2(23)2d n d n +≥-??-≥-?，∴2

[,2]21d k ∈-- 又∵121000k a a a ++=L ，∴221()(1)10002222

k d d d d

S k a k k k =+-=+-= ∴220002k d k k -=-，∴2

200022[,2]21

k k k k -∈---，解得，[32,1999]k ∈，k N *

∈ ∴k 的最大值为1999，此时公差为1

1999

d =-