2018-2019学年上海市华师大第一附属中学高二下学期期末数学试题(解析版)

上海市华师大第一附属中学高二下学期期末数学试题

一、单选题

1．下列集合中，表示空集的是（ ） A ．{}0

B ．

(){}

,,0x y y x x =

-≤

C ．{}

2

560,x x x x N ++=∈ D ．{

}

24,x x x Z <<∈

【答案】C

【解析】没有元素的集合是空集，逐一分析选项，得到答案. 【详解】

A.不是空集，集合里有一个元素，数字0，故不正确；

B.集合由满足条件的,0y x x =

-≤上的点组成，不是空集，故不正确；

C.2560x x ++=，解得：2x =-或3x =-，都不是自然数，所以集合里没有元素，是空集，故正确；

D.满足不等式的解为3x =±，所以集合表示{}3,3-，故不正确. 故选：C 【点睛】

本题考查空集的判断，关键是理解空集的概念，意在考查分析问题和解决问题的能力.

2．已知有相同两焦点F 1、F 2的椭圆25

x + y 2

=1和双曲线23x - y 2=1，P 是它们的一个交

点，则ΔF 1PF 2的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形

C ．钝有三角形

D ．等腰三角形

【答案】B

【解析】根据椭圆和双曲线定义：

2212121225,23,||16PF PF PF PF PF PF +=-=?+=

又2

2

2

121224,||||F F PF PF F F =∴+=；故选B 3．已知等式 ，

定义映射，则

( )

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】C

【解析】试题分析：

本题可以采用排除法求解，由题设条件，等式左右两边的同次项的系数一定相等，故可以比较两边的系数来排除一定不对的选项，由于立方项的系数与常数项相对较简单，宜先比较立方项的系数与常数项，由此入手，相对较简．解：比较等式两边x 3的系数，得4=4+b 1，则b 1=0，故排除A ，D ；再比较等式两边的常数项，有1=1+b 1+b 2+b 3+b 4，∴b 1+b 2+b 3+b 4=0．故排除B 故应选C 【考点】二项式定理

点评：排除法做选择题是一种间接法，适合题目条件较多，或者正面证明、判断较困难的题型．

4．己知集合{

}

2

430,A x x x x R =-+<∈，

(){}

12202750,x B x a x a x x R -=+≤-++≤∈且，若A B ?，则实数a 的取值范围

_______. A ．[]4,0- B ．[]4,1--

C ．[]1,0-

D ．14,13??

-

-????

【答案】B

【解析】首先解出集合A ,若满足A B ?，则当()1,3x ∈时，120x a -+≤和

()22750x a x -++≤恒成立，求a 的取值范围.

【详解】

{}13A x x =<<，

A B ?Q ，

即当()1,3x ∈时，120x a -+≤恒成立， 即12x a -≤- ，当()1,3x ∈时恒成立， 即(

)

1min

2x

a -≤- ，()1,3x ∈

而12

x

y -=-是增函数，

当1x =时，函数取得最小值1-，

1a ∴≤-

且当()1,3x ∈时，()2

2750x a x -++≤恒成立，

()()10

30f f ?≤??

≤??

，解得：4a ≥- 综上：41a -≤≤-. 故选：B 【点睛】

本题考查根据给定区间不等式恒成立求参数取值范围的问题，意在考查转化与化归和计算求解能力，恒成立问题可以参变分离转化为求函数的最值问题，如果函数是二次函数可以转化为根的分布问题，列不等式组求解.

二、填空题

5．已知集合{}2A x x =>，{}

B x x a =>，若A B ?，则实数a 的取值范围是_______. 【答案】{}

2a a ≥

【解析】根据B A ?，确定参数a 的取值范围. 【详解】

若满足A B ?，则2a ≥. 故答案为：{}

2a a ≥ 【点睛】

本题考查根据集合的包含关系，求参数的取值范围，属于简单题型. 6．如果不等式20x ax b ++<的解集为()1,3-，那么a b +=_______. 【答案】5-

【解析】根据一元二次不等式和一元二次方程的关系可知，1-和3时方程

20x ax b ++=的两个实数根，利用韦达定理求解.

【详解】

Q 不等式20x ax b ++<的解集为()1,3-

∴20x ax b ++=的两个实数根是11x =-，23x = ，

根据韦达定理可知()1313a

b -+=-??

-?=?

，解得：2,3a b =-=- ，

5a b ∴+=-.

故答案为：5- 【点睛】

本题考查一元二次方程和一元二次不等式的关系，意在考查计算能力，属于基础题型. 7．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （，0），且长轴长是短轴长的2倍，则

该椭圆的标准方程是________。 【答案】

【解析】依题意可得，椭圆焦点在x 轴上且23c =。因为长轴长是短轴长的2倍，所以222a b =?，则2a b =，所以22323c a b b =-==2b =，故4a =，

所以椭圆的标准方程为22

1164

x y +=

8．在6

212x x ??+ ??

?二项展开式中，常数项是_______. 【答案】60

【解析】首先写出二项展开式的通项公式，并求指定项的r 值，代入求常数项. 【详解】

展开式的通项公式是(

)

626123166122r

r

r

r r

r r T C x

C x x ---+??=??=?? ???

， 当1230r -=时，4r =

24

416260T C +=?=.

故答案为：60 【点睛】

本题考查二项展开式的指定项，意在考查公式的熟练掌握，属于基础题型.

9．从4名男同学和6名女同学中选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的不同选法种数是_______（用数字作答） 【答案】96

【解析】根据条件分成1名男生2名女生，或2名男生1名女生求解. 【详解】

当3人中包含1名男生2名女生时，有12

4660C C ?=种方法，

当3人中包含2名男生1名女生时，有21

4636C C ?=种方法，

综上：共有60+36=96种方法. 故答案为：96 【点睛】

本题考查分类计数原理以及组合问题，属于简单题型，本题也可以用减法表示. 10．在棱长均为1的正三棱柱111ABC A B C -中，11AB C S =△________. 【答案】

74

【解析】首先画出正三棱柱，求出边长1AB 和1AC ，最后求面积. 【详解】

因为是正三棱柱，并且棱长都为1，

2211112AB AC ∴==+=

11AB C ∴?是腰长为2，底边长为1的等腰三角形，

所以底边的高()

2

2

17222??=

-= ???

， 111771224AB C S ?∴=

??=

. 故答案为：

7

【点睛】

本题考查几何体中几何量的求法，意在考查空间想象能力，属于基础题型. 11．已知0a >，0b >，若不等式

212m a b a b

+≥+恒成立，则m 的最大值为______．

【答案】9.

【解析】将题目所给不等式分离常数m ，利用基本不等式求得m 的最大值. 【详解】 由

212m a b a b +≥+得()212m a b a b ??≤++ ???

恒成立，而

()212225a b a b a b b a ??++=++ ?

??5549≥+=+=，故9m ≤，所以m 的最大值为9. 【点睛】

本小题主要考查不等式恒成立问题求解策略，考查利用基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.

12．己知1a ≤，集合{}

2x a x a ≤≤-中有且仅有三个整数，则实数a 的取值范围为________. 【答案】(]1,0-

【解析】首先分析出集合里面必有元素1，再讨论集合为{}1,2,3，{}0,1,2，{}1,0,1- 三种情况讨论，求a 的取值范围. 【详解】

1a ≤Q ，21a ∴-≥ ，所以集合里的元素一定有1，

Q 集合有3个元素，

当集合是{}1,2,3时，有01

324a a <≤??

≤-

，集合是空集；

当集合是{}0,1,2时，有10

223a a -<≤??

≤-

，解得：10a -<≤ ； 当集合是{}1,0,1-时，有21

122a a -<≤-??

≤-

，集合是空集；

综上：a 的取值范围是(]1,0- 故答案为：(]1,0- 【点睛】

本题考查根据集合的元素个数求参数的取值范围，意在考查分类，转化，和计算求解能力，属于中档题型.

13．已知直线l ：4360x y -+=，抛物线C ：24y x =图像上的一动点到直线l 与到y 轴距离之和的最小值为________. 【答案】1

【解析】首先根据抛物线的性质，可将抛物线上的点到直线4360x y -+=和y 轴的距离和转化为抛物线上的点到直线的距离和到焦点的距离和减1，再根据数形结合求距离和的最小值. 【详解】

设抛物线上的点到直线4360x y -+=的距离为1d ，到准线的距离为2d ，到y 轴的距离为3d ，321d d =-

抛物线上的点到准线的距离和到焦点的距离相等，2d PF =，

1312111d d d d d PF +=+-=+- ,

如图所示：1d PF +的最小值就是焦点F 到直线4360x y -+=的距离， 焦点F 到直线4360x y -+=的距离2

2

4106243

d ?-+==+，

所以有：11d PF +-的最小值是1， 故答案为：1 【点睛】

本题考查抛物线的定义和抛物线的几何性质，意在考查转化与化归，关键是抛物线定义域的转化，属于中档题型.

14．电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：

好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值，则随机选取1部电影，这部电影没有获得好评的概率为_______. 【答案】

407

500

【解析】首先根据好评率求获得好评的电影部数，再求总的电影部数，最后求比值. 【详解】

获得好评的电影部数：

1400.4500.23000.15?+?+?+2000.25800?+?0.25100.1372+?=

共有2000部电影，所以没有获得好评的电影概率为：372407

12000500

-=

. 故答案为：407

500

【点睛】

本题考查用统计的知识解决实际问题，意在考查分析数据，应用数据的能力，属于基础题型.

15．把一个大金属球表面涂漆，共需2.4公斤油漆，若把这个大金属球融化成64个大小都相同的小金属球，不计损耗，把这些小金属球表面都涂漆，需要这种油漆_______公斤. 【答案】9.6

【解析】根据大金属球和64个小金属球体积相同，求半径的比值，再求大金属球和64个小金属球的表面积比值，最后求油漆数量. 【详解】

Q

3344

6433

R r ππ=? ∴4R r =，

Q 214S R π=，2264.4S r π=Q

∴2221644S r S R

=?=， ∴ 2.449.6m kg =?=.

故答案为：9.6 【点睛】

本题考查球的体积和表面积的实际应用问题，重点考查表面积和体积公式，关键是利用前后体积相等求半径的比值，属于基础题型.

16．从双曲线（，）的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若是线段的中点，为坐标原点，则的值是____．

【答案】

【解析】试题分析：如图所示，设双曲线的右焦点为，连接，，，则，在中，，，所以，又是线段的中点，为中点，

所以，所以

即，故应填入.

【考点】1.双曲线的定义；2.直线与圆相切；3.数形结合的应用.

三、解答题

-中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，17．如图，在四棱锥P ABCD

===，E是PB的中点.

PA AD AB

22

（1）求三棱锥P ABC -的体积；

（2）求异面直线EC 和AD 所成的角（结果用反三角函数值表示） 【答案】（1）

23；（2）5

arctan

. 【解析】（1）利用三棱锥的体积计算公式即可得出；

（2）由于//BC AD ，可得ECB ∠或其补角为异面直线EC 和AD 所成的角θ，由PA ⊥平面ABCD ，可得BC PB ⊥，再利用直角三角形的边角关系即可得出 【详解】

（1）PA ⊥Q 平面ABCD ，底面ABCD 是矩形，高2PA =，2BC AD ==，1AB =，

12112ABC S ∴=??=V ，故112

12333

P ABC ABC V S PA -=??=??=

（2）//BC AD Q ，ECB ∴∠或其补角为异面直线EC 和AD 所成的角θ，

又PA ⊥Q 平面ABCD ，PA BC ∴⊥，又BC AB ⊥，BC ∴⊥平面P AB ，BC PB ∴⊥，于是在Rt CEB V 中，2BC =，152BE PB =

=， 5

tan BE BC θ==

∴异面直线EC 和AD 所成的角是5arctan

【点睛】

本题考查三棱锥体积公式的计算，异面直线所成的夹角，属于基础题 18．解关于x 的不等式()2

22ax x ax a R -≥-∈.

【答案】当0a =时，不等式的解集为{}|1x x ≤-；

当0a >时，不等式的解集为2

{|x x a ≥或1}x ≤-； 当20a -<<时，不等式的解集为2

{|1}x x a

≤≤-；

当2a =-时，不等式的解集为{}1-； 当2a <-时，不等式的解集为2{|1}x x a

-≤≤.

【解析】将原不等式因式分解化为()()210ax x -+≥，对参数a 分5种情况讨论：

0a =，0a >，20a -<<，2a =-，2a <-，分别解不等式．

【详解】

解：原不等式可化为()2

220ax a x +--≥，即()()210ax x -+≥，

①当0a =时，原不等式化为10x +≤，解得1x ≤-， ②当0a >时，原不等式化为()210x x a ??

-+≥ ???

， 解得2

x a

≥

或1x ≤-， ③当0a <时，原不等式化为()210x x a ??

-+≤ ??

?

. 当

2

1a >-，即2a <-时，解得21x a -≤≤； 当2

1a =-，即2a =-时，解得1x =-满足题意； 当21a <-，即20a -<<时，解得2

1x a

≤≤-. 综上所述，当0a =时，不等式的解集为{}|1x x ≤-；

当0a >时，不等式的解集为2

{|x x a ≥或1}x ≤-； 当20a -<<时，不等式的解集为2

{|1}x x a

≤≤-；

当2a =-时，不等式的解集为{}1-； 当2a <-时，不等式的解集为2{|1}x x a

-≤≤. 【点睛】

本题考查含参不等式的求解，求解时注意分类讨论思想的运用，对a 分类时要做到不重不漏的原则，同时最后记得把求得的结果进行综合表述.

19．（1）化简：12

2m m m n n n C C C --++；

（2）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+，在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是多少? 【答案】（1）详见解析；（2）

1

15

【解析】（1）根据组合数的运算公式求解；

（2）首先列举所有不超过30的素数，然后按照古典概型写出概率. 【详解】

（1）121122m m m m m m m n n n n n n n C C C C C C C -----++=+++

1112m m m n n n C C C -+++=+=

（2）不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29共10个，任取2个不同的数有21045

C =种方法，其中和为30的有()()()11,19,7,23,13,17共三组， 则21031

15

P C =

= 【点睛】

本题考查组合数的证明和古典概型的概率公式意在考查推理与证明和计算能力，属于基础题型

20．一个多面体的三视图如图：主视图和左视图均为一个正方形上加一个等腰直角三角形，正方形的边长为a ，俯视图中正方形的边长也为a .

主视图和左视图 俯视图 （1）画出实物的大致直观图形； （2）求此物体的表面积；

（3）若2a =，一个蚂蚁从该物体的最上面的顶点开始爬，要爬到此物体下底面四个项点中的任意一个顶点，最短距离是多少?（精确到0.1个单位） 【答案】（1）见解析；（2）(2

52a +；（2） 3.6d ≈

【解析】（1）根据三视图可知几何体的下部分是正方体，上部分是正四棱锥，画出几何体；

（2）根据（1）所画的几何体，几何体的表面积包含5个正方形和4个三角形的面积； （3）根据数形结合，先画出展开图的平面图形，最短距离就是AE ，根据余弦定理求边长. 【详解】 （1）

（2）正视图中等腰三角形的直角边是几何体正四棱锥的斜高，

∴22

222a a h a ?????=+= ? ?

???? Q 21222S a a a ?=?=，

∴54S S S ?=?+?=表面积正方形()

2225252a a a +=+

（3）一个三角形和下面的正方形的的展开图，如图所示，

当2a =时，

()

2

2

123AB AC ==+

=2BC =，

设ABC θ∠=，ABE α∠=,

而2

2

2

2cos cos

ABC θ+-

=∠=

=

，

∴sin θ=

∴cos cos sin 2π

αθθ??=+=-=

???

根据数形结合可知最短距离就是d AE =

2

22222cos 22

AE AB BE AB BE ABE ∴=+-???∠=

+-2cos α,

2773AE ?∴=--=+ ??

,

3.6d AE ∴=≈

【点睛】

本题考查根据三视图求几何体的直观图，以及计算表面积，意在考查空间想象能力和计算求解能力，本题第二问需注意三视图中等腰三角形的腰是正四棱锥的斜高，等腰三角形斜边上的高是锥体的高，求解表面积时需注意这点.

21．以椭圆C ：()22

2210x y a b a b

+=>>的中心O 该椭圆的“准圆”，设椭圆C 的左顶点为A ，左焦点为F ，上顶点为B ，且满足2AB =，

OAB OFB S S =

△△. （1）求椭圆C 及其“准圆"的方程；

（2）若过点(

P 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，当0OM ON ?=u u u u r u u u r

时，

试求直线l 交“准圆”所得的弦长；

（3）射线()0y x =≥与椭圆C 的“准圆”交于点P ，若过点P 的直线1l ，2l 与椭圆

C 都只有一个公共点，且与椭圆C 的“准圆”分别交于R ，T 两点，试问弦RT 是否为”

准圆”的直径?若是，请给出证明：若不是，请说明理由.

【答案】（1）22

4x y +=；（2（3）RT 是准圆的直径，具体见解析

【解析】（1）根据所给条件可知，224a b +=，根据面积公式可知11

22

ab bc = ，最后解方程组求解椭圆方程；

（2）设直线为2y kx =+，与椭圆方程联立，()

22

311290k x kx +++=，表示根与

系数的关系，并且代入0OM ON ?=u u u u r u u u r

的数量积的坐标表示，求k ，最后代入直线和圆相

交的弦长公式l =；

（3）首先求点P 的坐标，当直线与椭圆有一个交点时，0?=，

得到210k +-=，可知121k k =- ，可知两条切线互相垂直，根据圆的性质可得答案. 【详解】

（1

）222224

12

2a b ab bc a b c ?+=?

?=?

?=+??

， ∴23a =，1b =

，c =∴2213

x y +=，

准圆2

2

4x y +=.

（2）()0,2P ，设l ：2y kx -=

2

2

213

y kx x y -=???+=??， ∴()

22311290k x kx +++=，

1221231

k x x k +=-

+ ，12

29

31x x k =+ 1212OM ON x x y y ?=+=u u u u r u u u r ()2

12121224x x k x x k x x ++++

()()212121240k x x k x x =++++=

()

22

2

29124403131

k k k k +=-+=++ ， 22

313031

k k -+==+ ， 即23130k -+=

∴3

k =±

∴2y =+，圆心()0,0

与该直线距离

2d =

=

=

， ∴

弦长l ===（3

）2

2

1

4x y x y y =??=?????+==????

(P

()22

133

y k x x y ?=-??+=??， 整理为：(

)(

)()

2

2

2

2136360k

x k

x k +--+-+=

因为直线与圆只有1个交点，

∴()

(

)()

2

2226413360k k k ?=--+-+=

整理为：

210k +-=

∴121k k =-

∴椭圆切线PR 与PT 垂直，即PR PT ⊥， Q P 在准圆上，R ，T 也在准圆上，

∴90RPT ∠=?，∴RT 是准圆的直径

【点睛】

本题考查了直线与椭圆的位置关系的综合问题，涉及椭圆中三角形面积的最值的求法，第二问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，弦长公式都是解题的基本工具.