线性代数知识点归纳同济 第五版

线性代数复习要点

第一部分 行列式

1. 排列的逆序数

2. 行列式按行（列）展开法则

3. 行列式的性质及行列式的计算

1. 行列式的计算：

① (定义法)12121211

12121222()

1212()n n n

n n

j j j n j j nj j j j n n nn

a a a a a a D a a a a a a τ=

=-∑

L

L L

L L M M M L

1

②（降阶法）行列式按行（列）展开定理：

行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.

③ (化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.

④ 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则

==()mn A O A A O

A B O B O B B O A A

A B B O B O

*==**=-1

例 计算

2-100-1

300001100-25

解

2-100

-1

30000110

-2

5

=2-1115735-13-25?=?= ⑤ 关于副对角线：

(1)

2

1121

21

1211

1()n n n

n

n n n n n n n a O

a a a a a a a O

a O

---*

==-K N

N 1

⑥ 范德蒙德行列式：()1

2

2

22

12

11

11

12n

i

j

n

j i n

n n n n

x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏L L L

M M

M

L

111

例 计算行列式

⑦ a b -型公式：1

[(1)]()n a b b b b a b b

a n

b a b b b a b b b b a

-=+--L L L

M M M O M L

⑧ (升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法.

⑨ (递推公式法) 对n 阶行列式n D 找出n D 与1n D -或1n D -,2n D -之间的一种关系——称为递推公式，其中

n D ,1n D -,2n D -等结构相同，再由递推公式求出n D 的方法称为递推公式法. (拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，

使问题简化以例计算. ⑩ (数学归纳法) 2. 对于n 阶行列式A

，恒有：1

(1)n

n

k n k

k k E A S λλ

λ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式；

3. 证明

0A =的方法：

①、A A =-； ②、反证法；

③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值.

4. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij

ij ij M A A M ++=-=-

第二部分 矩阵

1. 矩阵的运算性质

2. 矩阵求逆

3. 矩阵的秩的性质

4. 矩阵方程的求解

1. 矩阵的定义 由m n ?个数排成的m 行n 列的表111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ??

? ?

=

?

???

L L M M M L

称为m n ?矩阵. 记作：()ij m n A a ?=或m n A ?

① 同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等. ② 矩阵相等: 两个矩阵同型，且对应元素相等. ③ 矩阵运算

a. 矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）.

b. 数与矩阵相乘：数λ与矩阵A 的乘积记作A λ 或A λ，规定为()ij A a λλ=.

c. 矩阵与矩阵相乘：设()ij m s A a ?=, ()ij s n B b ?=,则()ij m n C AB c ?==， 其中

注：矩阵乘法不满足：交换律、消去律, 即公式00AB BA

AB A ==?=或B=0

不成立.

a.

分块对角阵

相

乘

：

11

11

2222,A B A B A B ????

== ? ?

?

????11112222A B AB A B ??= ???,1122n

n

n A A A ??= ??

?

b. 用对角矩阵Λ○左乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○行向量；

c. 用对角矩阵Λ○右乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○列向量.

d. 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.

④ 方阵的幂的性质：m n m n A A A +=， ()()m n mn A A =

⑤ 矩阵的转置：把矩阵A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做A 的转置矩阵，记作T A .

a. 对称矩阵和反对称矩阵: A

T A A =.

A

T A A =-.

b. 分块矩阵的转置矩阵：T

T

T T

T A B A C C D B

D ??

??= ? ?????

⑥ 伴随矩阵： ()

1121112

222*12n T

n ij n n nn A A A A A A A A A A A ?? ? ?

== ?

???

L

L M M M L

，ij A 为A 中各个元素的代数余子式. **AA A A A E ==,1

*n A A

-=, 1

1A A --=

. 分

块对角阵

的

伴

随

矩

阵

：

*

**A BA B AB ??

??=

? ????

?

*

(1)(1)mn mn A A B B

B A **??

-??= ? ? ?-????

2. 逆矩阵的求法 方阵A 可逆 0A ≠.

①伴随矩阵法 1A A A *

-= ○注： 1

a b d b c d c a ad bc --????

= ? ?--??

??1 L L 主换位副变号

② 初等变换法 1()()A E E A -????→M

M 初等行变换

例 求122212221??

??-??

??-??

的逆矩阵. 解

③ 分块矩阵的逆矩阵：1

11A A B B ---????

=

? ????

? 1

11A B B

A

---??

?

?= ? ?????

④ 1

2

3111

1

2

13a a a a a a -????

? ?

=

?

? ? ? ??

??

?

, 3

2

1

1

1

112

13a a a a a a -??

??

?

?

=

? ? ? ? ?????

⑤ 配方法或者待定系数法 （逆矩阵的定义1AB BA E A B -==?=）

例 设方阵A 满足矩阵方程220E --=A A , 证明A 及2E +A 都可逆, 并求1-A 及()12E -+A . 解 由220E --=A A 得()12

E E -=A A , 故A 可逆, 且()112

E -=-A A .

由220E --=A A 也可得(2)(3)4E E E +-=-A A 或1(2)(3)4

E E E ??

+--=????

A A , 故2E +A 可逆, 且

()12E -+A 1(3)4

E =--A .

3.

可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖

线后面的第一个元素非零. 当非零行的第一个非零元为

1，且这些非零元所在列的其他元素都是0时， 4. 初等变换与初等矩阵 对换变换、倍乘变换、倍加（或消法）变换

?矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：

① 对A 施行一次初等○行变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵○左乘A ； ② 对A 施行一次初等○列变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵○右乘A . 注意： 初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵.

5.

关于A 矩阵秩的描述：

①、()=r A r ，A 中有r 阶子式不为0，1+r 阶子式 (存在的话) 全部为0； ②、()

?矩阵的秩的性质：

① ()A O r A ≠?≥1; ()0A O r A =?=;0≤()m n r A ?≤min(,)m n

② ()()()T T r A r A r A A ==

③ ()()r kA r A k =≠ 其中0 ④ ()(),,()0m n n s r A r B n A B r AB B Ax ??+≤?=??=?

若若0的列向量全部是的解

⑤ ()r AB ≤{}min (),()r A r B

⑥ 若P 、Q 可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===； 即：可逆矩阵不影响矩

阵的秩.

⑦ 若()()()m n Ax r AB r B r A n AB O B O

A A

B A

C B C ο??=??

=??=???=?=??????=?=??

? 只有零解

在矩阵乘法中有左消去律；

若()()()n s r AB r B r B n B ?=?=??

?

在矩阵乘法中有右消去律.

⑧ ()r

r

E O E O r A r A A O

O O

O ????

=?

? ?????

若与唯一的等价，称为矩阵的等价标准型. ⑨ ()r A B ±≤()()r A r B +, {}max (),()r A r B ≤(,)r A B ≤()()r A r B +

⑩ ()()A O O A r r A r B O B B O ????==+ ? ?????, ()()A C r r A r B O B ??

≠+ ???

?求矩阵的秩：定义法和行阶梯形阵方法

6 矩阵方程的解法(0A ≠)：设法化成AX B XA B ==(I) 或 (II)

第三部分 线性方程组

1. 向量组的线性表示

2. 向量组的线性相关性

3. 向量组的秩

4. 向量空间

5.线性方程组的解的判定

6. 线性方程组的解的结构（通解）

（1）齐次线性方程组的解的结构（基础解系与通解的关系） （2）非齐次线性方程组的解的结构（通解）

1.线性表示：对于给定向量组12,,,,n βαααL ，若存在一组数12,,,n k k k L 使得

1122n n k k k βααα=+++L ，

则称β是12,,,n αααL 的线性组合，或称称β可由12,,,n αααL 的线性表示.

线性表示的判别定理:

β可由12,,,n αααL 的线性表示

由n 个未知数m 个方程的方程组构成n 元线性方程：

①、11112211211222221122n n n n m m nm n n

a x a x a x

b a x a x a x b a x a x a x b +++=

??+++= ????+++=?L L L L L L L L L L L L L L 有解 ②、11121112122

22212

??????

??? ? ??? ?

=?= ??? ?

??? ?

??????

L L M M O M M M L

n n m m mn m m a a a x b a a a x b Ax a a a x b β

③、()121

2n n x x a

a a x β

??

? ?= ?

?

??

L

M （全部按列分块，其中12n b b b β?? ? ?= ? ???M ）； ④、1122n n a x a x a x β+++=L （线性表出）

⑤、有解的充要条件：()(,)r A r A n β=≤（n 为未知数的个数或维数）

2. 设,,m n n s A B ??A 的列向量为12,,,n ααα???,B 的列向量为12,,,s βββ???，

则m s

AB C ?=?()()111212122

2121212,,,,,,s s n s n n ns b b b b b b c c c b b b ααα?? ? ?

???= ?

???

L L

L M M M L

?i i A c β= ，(,,)i s =L 1,2 ?i β为i Ax c =的解

?12,,,s c c c L 可由12,,,n ααα???线性表示.

即：C 的列向量能由A 的列向量线性表示，B 为系数矩阵. 同理：C 的行向量能由B 的行向量线性表示，A 为系数矩阵.

即：

1112111212222212n n n n mn n m a a a c a a a c a a a c βββ??????

??? ? ??? ?= ??? ?

??? ???????L L M M M M M L

?111122121

211222

222

11222n n m m mn m

a a a c a a a c a a a c βββββββββ+++=??+++=????+++=?L L L L L L 3. 线性相关性 判别方法：

法1

法2

法3 推论

? 线性相关性判别法（归纳）

? 线性相关性的性质

① 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. ② 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.

③ 部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关. （向量个数变动）

④ 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关. （向量维数变动） ⑤ 两个向量线性相关?对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关. ⑥ 向量组12,,,n ααα???中任一向量i α(1≤i ≤)n 都是此向量组的线性组合.

⑦ 若12,,,n ααα???线性无关，而12,,,,n αααβ???线性相关,则β可由12,,,n ααα???线性表示,且表示法唯一.

4. 最大无关组相关知识

向量组的秩 向量组12,,,n αααL 的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩.记作12(,,,)n r αααL

矩阵等价 A 经过有限次初等变换化为

B .

向量组等价 12,,,n ααα???和12,,,n βββ???可以相互线性表示. 记作：

()()1212,,,,,,n n αααβββ???=???%

① 矩阵的行向量组的秩=列向量组的秩=矩阵的秩. 行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.

② 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行（列）向量间的线性关系

③ 向量组12,,,s βββ???可由向量组12,,,n ααα???线性表示,且s n >，则12,,,s βββ???线性相关. 向量组12,,,s βββ???线性无关,且可由12,,,n ααα???线性表示,则s ≤n .

④ 向量组12,,,s βββ???可由向量组12,,,n ααα???线性表示,且12(,,,)s r βββ???12(,,,)n r ααα=???,则两向量组等价；

⑤ 任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价. ⑥ 向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定. ⑦ 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等. ⑧ 设A 是m n ?矩阵,若()r A m =，A 的行向量线性无关； 5. 线性方程组理论

线性方程组的矩阵式 Ax β= 向量式

1122n n x x x αααβ+++=L

1112111212222212,,n n m m mn n m a a a x b a a a x b A x a a a x b β??????

? ? ? ? ? ?=

== ?

? ?

? ? ???????L L M M M M M L 其中 12,,2,,j j j mj j n αααα?? ? ?== ? ? ???

L M 1 （1）解得判别定理 （

2

）

线

性

方

程

组

解

的

性

质

：

1212121211221212(1),,(2),,(3),,,,,,,,(4),,(5),,(6k k k k Ax Ax k k Ax k Ax Ax Ax Ax Ax ηηοηηηοηηηηολλλληληληγβηογηβηηβηηο=+?

?=??

=??++?

==+==-=L L 是的解也是它的解 是的解对任意也是它的解齐次方程组 是的解对任意个常数 也是它的解 是的解是其导出组的解是的解

是的两个解是其导出组的解

211212112212112212),(7),,,,1

00k k k k

k k k Ax Ax Ax Ax Ax ηβηηηοηηηβληληληβλλλλη

ληληλλλ?????

????

???

?=?-=?

=??+++=?+++=??+++=?+++=?L L L L L 是的解则也是它的解是其导出组的解 是的解则

也是的解 是的解 (3) 判断12,,,s ηηηL 是Ax ο=的基础解系的条件： ① 12,,,s ηηηL 线性无关； ② 12,,,s ηηηL 都是Ax ο=的解；

③ ()

=-=每个解向量中自由未知量的个数.

s n r A

(4) 求非齐次线性方程组Ax = b的通解的步骤

例 求下述方程组的解

解 19100222111117123(,)3121320113220212623001000A A b ??-- ??? ?

? ?==--??→ ? ? ? ??? ? ?

??

%, 由于()()25r A r A

==<%，知线性方程组有无穷多解. 原方程组等价于方程组1354234519222

123322

x x x x x x x x ?

=----????=---+??,

令3451000,1,0.001x x x ????

???? ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ? ? ?????????

求得等价方程组对应的奇次方程组的基础解系 12312021213,,.100010001ξξξ-?????? ? ? ?--- ? ? ?

? ? ?=== ? ? ? ? ? ? ? ? ???????

求特解: 令3450x x x ===，得12923,.22x x =-= 故特解为92232.000η*

-??

?- ? ?= ?

? ???

所以方程组的通解为 1231202921213232100000000010x k k k --????????

? ? ? ?--- ? ? ? ?

? ? ? ?=+++ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????????

，（123,,k k k 为任意常数）.

（5）其他性质

一个齐次线性方程组的基础解系不唯一.

√ 若η*是Ax β=的一个解，1,,,s ξξξL 是Ax ο=的一个解?1,,,,s ξξξη*L 线性无关

√ Ax ο=与Bx ο=同解（,A B 列向量个数相同）?()()A r r A r B B ??

== ???

, 且有结果：

① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等； ② 它们对应的部分组有一样的线性相关性； ③ 它们有相同的内在线性关系.

√ 矩阵m n A ?与l n B ?的行向量组等价?齐次方程组Ax ο=与Bx ο=同解?PA B =（左乘可逆矩阵P ）；

矩阵m n A ?与l n B ?的列向量组等价?AQ B =（右乘可逆矩阵Q ）.

第四部分 方阵的特征值及特征向量

1. 施密特正交化过程

2. 特征值、特征向量的性质及计算

3. 矩阵的相似对角化，尤其是对称阵的相似对角化

1.①n 个n 维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1.

②1

(,)n

i i i a b αβ===∑

③(,)0αβ=. 记为：αβ⊥

④21

n

i i a α====∑

⑤1α==. 即长度为1的向量. 2. 内积的性质： ① 正定性：(,)0,(,)0αααααο≥=?=且 ② 对称性：(,)(,)αββα=

③ 线性性：1212(,)(,)(,)ααβαβαβ+=+

3. ① 设A 是一个n 阶方阵, 若存在数λ和n 维非零列向量x , 使得 Ax x λ=，

则称λ是方阵A 的一个特征值，x 为方阵A 的对应于特征值λ的一个特征向量.

②0E A λ-=（或0A E λ-=）.

③()E A λ?λ-=（或()A E λ?λ-=）.

④ ()?λ是矩阵A 的特征多项式?()A O ?=

⑤ 12n A λλλ=L 1n

i A λ=∑tr ，A tr 称为矩阵A

⑥ 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n 各元素.

⑦ 若0A =,则λ=0为A 的特征值,且Ax ο=的基础解系即为属于λ=0的线性无关的特征向量.

⑧ ()1r A =?A 一定可分解为A =()1212,,,n n a a b b b a ?? ? ? ? ???

L M 、21122()n n A a b a b a b A =+++L ,从而A 的特征值

为：11122n n A a b a b a b λ==+++L tr , 23n λλλ====L 0.

○注()12,,,T

n a a a L 为A 各行的公比，()12,,,n

b b b L 为A 各列的公比. ⑨ 若A 的全部特征值12,,,n λλλL ，()f A 是多项式,则:

① 若A 满足()f A O =?A 的任何一个特征值必满足()i f λ=0

②()f A 的全部特征值为12(),(),,()n f f f λλλL ；12()()()()n f A f f f λλλ=L .

⑩ A 与T A 有相同的特征值，但特征向量不一定相同. 4. 特征值与特征向量的求法

(1) 写出矩阵A 的特征方程0A E λ-=，求出特征值i λ. (2) 根据()0i A E x λ-=得到 A 对应于特征值i λ的特征向量. 设()0i A E x λ-=的基础解系为 12,,,i

n r ξξξ-L 其中()i i r r A E λ=-.

则A 对应于特征值i λ的全部特征向量为1122,i

i

n r n r k k k ξξξ--+++L

其中12,,,i

n r k k k -L 为任意不全为零的数.

例 求211020413A -??

?

= ? ?-??

的特征值和全部特征向量. 解 第一步：写出矩阵A 的特征方程，求出特征值.

解得特征值为1231, 2.λλλ=-==

第二步：对每个特征值λ代数齐次线性方程组()0A E x λ-=，求其非零解,即对应于特征值λ的全部特征向量.

当1λ=- 时，齐次线性方程组为()0A E x +=,系数矩阵

得基础解系:1101P ?? ?= ? ???

，故对应于特征值1λ=-的全部特征向量为11(0)k P k ≠. 当2λ= 时，齐次线性方程组为(2)0A E x -=,系数矩阵

得基础解系:2011P ?? ?= ? ?-??，3104P ??

?= ? ???

. 故对应于特征值2λ=的全部特征向量为 2233k P k P +， 其中23,k k 不全为零. 5. ①

1P AP B -= （P 为可逆矩阵）

②1P AP B -= （P 为正交矩阵）

③A 与对角阵Λ

相似.（称Λ是A 6. 相似矩阵的性质：

①E A E B λλ-=-,从而,A B 有相同的特征值,但特征向量不一定相同.

○注α是A 关于0λ的特征向量,1

P α-是B 关于0

λ的特征向量. ②A B =tr tr

③A B = 从而,A B 同时可逆或不可逆 ④ ()()r A r B =

⑤若A 与B 相似, 则A 的多项式()f A 与B 的多项式()f A 相似. 7. 矩阵对角化的判定方法

① n 阶矩阵A 可对角化 (即相似于对角阵) 的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量.

这时,P 为A 的特征向量拼成的矩阵，1P AP -为对角阵,主对角线上的元素为A 的特征

值.

设i α为对应于i λ的线性无关的特征向量,则有：

12

1n P AP λλλ-??

? ?=

? ??

?

O . ② A 可相似对角化?()i i n r E A k λ--=，其中i k 为i λ的重数?A 恰有n 个线性无关的特

征向量.

○注：当i λ=0为A 的重的特征值时，A 可相似对角化?i λ的重数()n r A =-=Ax ο=基

础解系的个数.

③ 若n 阶矩阵A 有n 个互异的特征值?A 可相似对角化. 8. 实对称矩阵的性质：

① 特征值全是实数,特征向量是实向量； ② 不同特征值对应的特征向量必定正交；

○

注：对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关； ③ 一定有n 个线性无关的特征向量. 若A 有重的特征值,该特征值i λ的重数=()i n r E A λ--；

④ 必可用正交矩阵相似对角化，即：任一实二次型可经正交变换化为标准形； ⑤ 与对角矩阵合同，即：任一实二次型可经可逆线性变换化为标准形； ⑥ 两个实对称矩阵相似?有相同的特征值. 9. 正交矩阵 T AA E =

正交矩阵的性质：① 1T A A -=；

② T T AA A A E ==；

③ 正交阵的行列式等于1或-1； ④ A 是正交阵,则T A ，1A -也是正交阵；

⑤ 两个正交阵之积仍是正交阵；

⑥ A 的行（列）向量都是单位正交向量组.

10.

例 实对称阵

120222023A -??

?

=-- ? ?-??

，求正交阵Q ，使得AQ Q 1-为对角阵. 解 120

2

22(1)(2)(5)00

2

3A E λλλλλλλ

---=---=-+--=-- 所以A 的特征值为11λ=-，22λ=，35λ=，

当11λ=-时，解()0A E x +=，得基础解系为1(2,2,1)T x = 当22λ=时，解(2)0A E x -=，得基础解系为2(2,1,2)T x =-- 当35λ=时，解(5)0A E x -=，得基础解系为3(1,2,2)T x =- 令111221(,,)333T x y x =

=222212(,,)333T x y x ==--333122

(,,)333

T x y x ==-

令1232213332

12(,,)3331223

3

3Q y y y ?? ? ?

?==-- ? ? ?- ???

，则????? ??==-1000500021AQ Q AQ Q T

11.

123,,ααα线性无关, 单位化：111βηβ=

222β

ηβ= 333

βηβ= 技巧：取正交的基础解系，跳过施密特正交化。让第二个解向量先与第一个解向

量正交，再把第二个解向量代入方程，确定其自由变量.

第四部分 二次型

1. 二次型及其矩阵形式

2. 二次型向标准形转化的三种方式

3. 正定矩阵的判定

1. ①

1112

11212222121211

12(,,,)(,,,)

n n n n T

n ij i j n i j n n nn n a a a x a a a x f x

x x a x x x x x x Ax a a a x ==???? ?

? ? ?=== ?

? ? ? ???

?

?∑∑L L L L L L L L L L

其中A 为对称矩阵，12(,,,)T n x x x x =L

②T C AC B =. （,,A B C 为实对称矩阵为可逆矩阵）

③二次型的规范形中正项项数p 项数r p -

2p r - (r 为二次型的秩)

④ 两个矩阵合同?它们有相同的正负惯性指数?他们的秩与正惯性指数分别相等. ⑤ 两个矩阵合同的充分条件是：A 与B 等价 ⑥ 两个矩阵合同的必要条件是：()()r A r B =

2. 12(,,,)T

n f x x x x Ax =L 经过正交变换

合同变换

可逆线性变换

x Cy = 化为21

n

i i f d y =∑标准形.

① 正交变换法

② 配方法

（1）若二次型含有i x 的平方项，则

先把含有i x 的乘积项集中，然后配方，再对

其余的变量同样进行，

直到都配成平方项为止，经过非退化线性

变换，就得到标准形;

（2） 若二次型中不含有平方项，但是0ij a ≠ (i j ≠), 则先作可逆线性变换

()1,2,,,i i j

j i j

k

k x y y x y y k n k i j x y

=-??

=+=≠??=?L 且,

化二次型为含有平方项的二次型，然后再按(1)中方法配方. ③ 初等变换法