2011年广东省高考数学试卷(理科)含详解

x

y 12-1-2-3

1

2

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9

-10

-11

-12

O A B C

试卷类型：A

2011年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)

数学(理科)

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分。满分40分．在每小题给出的四个选项中。只有一项是符合题目要求的．

1．设复数z 满足(1+i)z=2，其中i 为虚数单位，则Z=

A ．1+i

B ．1-i

C ．2+2i

D ．2-2i .,1)

1()1()12(12z :B i i i i i 故选解析-=-+-=+=

2．已知集合A={ (x ，y)|x ，y 为实数，且12

2

=+y x }，B={(x ，y) |x ，y 为实数，且y=x}， 则A ∩ B 的元素个数为

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

C.

,O(0,0),,x y ;1A :22故选故直线与圆有两个交点由于直线经过圆内的点组成的集体上的所有点表示直线集合上的所有点组成的集合表示由圆集合解析==+B y x

3．若向量=+?⊥)2(,c ,b //,,b a c a a c b a 则且满足 A ．4 B ．3 C ．2 D ．0

.,00022)2(:D b c a c b c a c b a c 故选解析=+=?+?=?+?=+?

4．设函数()f x 和g(x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 A ．()f x +|g(x)|是偶函数 B ．()f x -|g(x)|是奇函数 C ．|()f x | +g(x)是偶函数 D ．|()f x |- g(x)是奇函数

解析:因为 g(x )是R 上的奇函数,所以|g(x)|是R 上的偶函数,从而()f x +|g(x)|是偶函数,故选A.

5.已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组02

22x y x y ?≤≤?

≤??

≤?给定.若

M(x ，y)为D 上动点，点A 的坐标为(2，1)．则z OM OA =?u u u u r u u u r

的最大值为

A.42

B.32

C.4

D.3 解:如图,区域D 为四边形OABC 及其内部区域,

.

,4

2

)2

(

z

,

z,

)2,2

(

2

y

,

2

y

z

,

2

)1,2

(

)

,

(

2

max

C

B

z

x

z

x

y

x

y

x

z

故选

从而

取到最大值

时

经过点

显然当直线

的纵截距

为直线则

即

=

+

=

+

-

=

+

-

=

+

=

?

=

6甲、乙两队进行排球决赛．现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军.

若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为

A.

1

2

B.

3

5

C.

2

3

D.

3

4

.

,

4

3

2

1

2

1

2

1

)

(

)

A

(

)

(

,

A

B

,

B

;

i

,

1,2)

i(

A

:

2

1

1

2

1

1

i

D

A

A

P

P

B

P

A

A故选

则

事件表示甲队获得冠军

局获胜

甲在第

表示继续比赛时

设

解析

=

?

+

=

+

=

∴

+

=

=

7如图l—3．某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为

A.63

B.93

C.123

D.183

解析:由该几何体的三视图可各该几何体是一个平行六面体,底面是以3为边长的正方形,该六面体的高

.

,3

9

3

3

,3

1

22

2B

故选

该几何体的体积为=

?

∴

=

-

闭

中每一个关于乘法是封

法是封闭

中有且只有一个关于乘

是封闭

中至多有一个关于乘法

是封闭

中至少有一个关于乘法

则下列结论恒成立的是

有

有

且

集

的两个不相交的非空子

是

若

关于数的乘法是封闭的

则称

有

如果

的非空子集

是整数集

设

V

D.T,

V

T,

C.

V

B.T,

V

T,

A.

:

.

,

,

,

,

,

,

,

.

,

,

.

,

,

,

,

.8

V

xyz

V

z

y

x

T

abc

T

c

b

a

Z

V

T

Z

V

T

S

S

ab

S

b

a

Z

S

∈

∈

?

∈

∈

?

=

∈

∈

?

Y

A.

.

C

B,

,

V

T,

,

}

{

V

},

{

T

;

D

,

V

,

T,

}

{

V

},

{

T

,

;

T

,

,

1

,

1,

,

,

,

T,

1

,

V

T,

1

Z,

V

T

:

从而本题就选

不对

故

的

显然关于乘法都是封闭

时

偶数

奇数

当

不对

故

关于乘法不封闭

关于乘法封闭

时

负整数

非负整数

当

另一方面

对乘法封闭

从而

即

则

由于

则

不妨设

两个集合中的一个中

一定在

故整数

由于

解析

=

=

=

=

∈

∈

?

?

∈

∈

?

∈

=

T

ab

T

b

a

T

b

a

T

b

a

Y

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题．每小题5分．满分30分.

(一)必做题(9—13题)

9.不等式130

x x

+--≥的解集是______.

22

:130(1)(3),[1,).

x x x x

+--≥?+≥-∴+∞

解析原不等式的解集为

10.7

2

()

x x

x

-的展开式中，4x的系数是______ (用数字作答).

47377172422

177722

:()()(2)(2),7232,(2)84.

r r r r r r r x x x x x x

T C x x C x r r x C ---+--=-=--==∴-=解析所求的系数即展开式中项的系数,展开式的通项为由得的系数是 11.等差数列{}n a 前9项的和等于前4项的和.若141,0k a a a =+=，则k = .

.10,02,0,0,:10.

k :0)6

1

(31)1(611,6

1

d 3d),2(24d)9(1),(29,24)(29)(,:710479876549415419149=∴==+=∴=++++∴===-?++---=∴+=++=∴+=+=k a a a a a a a a a S S k a a a a a a a S S 从而解法二得由即即

解法一 12.函数3

2

()31f x x x =-+在x = 处取得极小值.

.

2)(),2,0(),,2(),0,(:)(),2(363x (x)':2处取得极小值在递减区间为的单调递增区间为解析=∴+∞-∞∴-=-=x x f x f x x x f

13.某数学老师身高176cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm 、170cm 、和182cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 cm. :,:数据可列表如下可知父亲与儿子的对应根据题中所提供的信息解析

185(cm).

31823,y ,1173176,13

)3(6

3)()

)((,176,1732

23

1

2

3

1

=++=∴=-=-==+-?=

---=

∴==∑∑==身高为从而可预测也他孙子的所以回归直线方程为x x b y a x x y y x x

b y x i i i i i

（二）选做题（14—15题，考生只能从中选做一题）

14.（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别

为(0)sin x y θθπθ

?=?

?

=??≤＜和

25()4x t t R y t

?

=?

∈??=?，它们的交点坐标为

. 2224222(0):1(01,5sin 554,10,,0),

41655541,(1,4455

x x y y x y x t y t t t t t y t x t θθπθ?=?+=≤≤≠?=??==+-==∴==≥==?=∴Q 解析:将≤＜化为普通方程得将代入得:解得交点坐标为

15.（几何证明选讲选做题）如图4，过圆O 外一点P 分别作圆 的切线和割线交圆于,A B ,且7PB =，C 是圆上一点使得

5BC =，则AB = .

2:,,,

,,7535,35.

PA BAP BCA BAC APB AB PB

BAP BCA CB AB

AB PB CB AB ∴∠=∠∠=∠∴??=∴=?=?=∴=解析是圆的切线又与相似从而

三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答必须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）

1()2sin(),36

f x x x R π

=-∈已知函数

5(1)()4

f π

求的值;

106(2),0,,(3),(32),cos()22135f f ππαβαβπαβ??

∈+=+=+????

设求的值.

.

65

16

54135531312sin sin cos cos )cos(.

5

4

sin ],2[0,,53cos ,56cos 2)2sin(2)23(;

13

12

cos ],2[0,,135sin ,1310sin 2)23()2(.24

sin 2)6125sin(2)45(

)1(:=?-?=-=+∴=∴∈=∴==+=+=∴∈=∴==+==-=βαβαβαβπβββπβπβαπαααπαπ

πππΘΘf f f 解

17.（本小题满分13分）

为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素x ，y 的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据：

（1）已知甲厂生产的产品共98件，求乙厂生产的产品数量；

（2）当产品中的微量元素x ，y 满足x ≥175且y ≥75时，该产品为优等品，用上述样本数据估计乙厂生产的

优等品的数量； （3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随即抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列及其均值

（即数学期望）.

编号 1 2 3 4 5

x 169 178 166 175 180

y 75 80 77 70 81

H

:

,101

)2P(,106)1P(,103)0P(, 0,1,2:)3(;

14355

2

:,

2,5,5)2(;35514

98

:

)1(:2

52

22513122523其分布列为故可以取值优等品的数量为故可估计出乙厂生产的的产品是优等品编号为件产品中从乙厂抽取的乙厂的产品数量为解ξξξξξ==========?=?C C C C C C C ξ

0 1 2

P

103 10

6 10

1

.5

102101100)E(=?+?+?=∴ξξ的数学期望为

18. （本小题满分13分）

如图5，在椎体P ABCD -中，ABCD 是边长 为1的棱形，且0

60DAB ∠=,2PA PD ==

2,PB =

,E F 分别是,BC PC 的中点，

（1）证明：AD DEF ⊥平面; （2）求二面角P AD B --的余弦值.

.

,,

//,,,,//,//,//,//,,,,

,,,,23,60,1,21,

,,,,:)1(:2220DEF AD PHB AD PHB DEF E EF DE DEF EF DE PHB DE DE BH PHB EF PB EF BC BC F E PHB AD HB AD HB AH AB BH AH BH DAB AB AH AD PH PD PA BH PH H AD 平面平面平面平面平面又平面又显然平面的中点分别是又平面即从而可得出连接中点为设证明解⊥∴⊥∴=?∴∴∴⊥∴⊥⊥∴=+==∠==

⊥∴=ΘI Θ

.7

21

,

721

21

32212323272443472cos ,2,2

3,27)21()2(,

,,,,,)1()2(2

2222----=-=-=?

?-+=?-+=∠∴===-=--∠∴??⊥⊥的余弦值为即二面角的平面角就是二面角面面且知由B AD P BH PH PB BH PH PHB PB BH PH B AD P PHB BAD BH PAD PH AD BH AD PH

注: 本题也可以5,,,=PC AP AB AD 先算出为一组向量,继而可证明第(1)问,并可进一步得到

AD,DE,DF 两两垂直,从而建立空间直角坐标系,再解决第(2)问.总的说来,本题用传统方法,还更简单.

19. （本小题满分14分）

设圆C 与两圆

222

254,54x y x y +=-+=（+）（）中的一个内切，另一个外切. （1）求C 的圆心轨迹L 的方程. （2）已知点3545

5M F ，，（，0），且P 为L 上动点，求MP FP -的最大值及 此时点P 的坐标.

.

14x :1,b ,5,2,,',524,4|)2()2(|||||'||r,),0,5(),0,5(')1(:22

=-∴===∴<=--+=--y L C c a F F C r r CF CF C F F 的方程为的圆心轨迹从而且为焦点的双曲线的圆心轨迹是以又则的半径为并设圆设解

).5

6,52(2,||||||,,

5

5

2,55656,

5

314

531856,5314,0)65)(145(3 :,052y 2x :MF ,MF P ,2|||||||,)2(21-

--=

∴>====--=-+=≤-的坐标为此时点的最大值为综上所述代入得其纵坐标为点的横坐标应取

方程中并整理得将直线方程代入双曲线的方程为直线处取得的延长线上的那个交点位于线段与双曲线的为直线等号当且仅当如图P FP MP P x x x x MF MF FP MP

x

y 1

2

3

4-1-2-3

-41

234

5

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9

O M

F

P

P

20.（本小题满分12分）

设0,b >数列{}n a 满足1

11=,(2)22

n n n nba a b a n a n --=

≥+-, (1)求数列{}n a 的通项公式；

(2)证明：对于一切正整数n,1

112n n n b a ++≤+.

1111111211

,

22111112,

,{},,, 2.2222

1211

2(),

2211122{

},,22(2)12n n n n n n n n n n n n n n nba n n a a n a b a b

n n n n n b a a a a a a n n b a b b a b

n a b a b b b b

n a b ------==?++--==+=∴==-≠+=+--++=---∴+-解:(1)由可得当时则数列是以为首项为公差的等差数列从而 当时,则数列是以为首项为公比的等比数列12212(2)

()(),,(2)222,

(2).

(2)(0,2)2n n n n n n n

n n n nb b a b b b b b b b a nb b b b b

--=?=?∴=---=??=?->≠?-? 综上11

11111111232211123122,2,22(2)(2),,

22222,

22222222n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n

n n n n n n b b a a b nb b b n b b a b b b

n b b b b b b b b b +++++++++-----+-----==∴=--≠≤≤≤--≤+++++≤++++L L (2)当b=2时,+1+1,从而原不等式成立;

1

当b 2时,要证+1,只需证+1即证+1

即证+即证

n 21223112121123221,

2222

2221)()()()

2222,,.

n n n n n n n n n n n n b b b b b b b b b b

b b b b n

-+---+-++++++++++++++≥+=∴≠L L L 而上式左边=(当b 2时原不等式也成立从而原不等式成立

;

2

|

|),(),,Q(AB :B.y )0)(41,

()1(|}.||,max{|),(,0,0,4,.4

1:L ,)

14.(21002

002122122

p q p q p L p p p A x x q p q px x x x q p q p x y xOy =≠==+-≥-=

??有上的作一点对线段证明轴于点的切线交作过点记的两根是方程满足实数给定抛物线上在平面直角坐标系分本小题满分 （2）设(,)M a b 是定点，其中,a b 满足240a b a -＞0，≠.过(,)M a b 作L 的两条切线12,l l ，切点分别

为22112211

(,

),'(,)44

E p p E P P ，12,l l 与y 分别交于,'

F F .线段EF

上异于两端点的点集记为X .证明：112

||(,)(,)2

P M a b X P P a b φ∈?>?=； 2min max 15(,)1,(1),,44,).

D x y y x y x p q p q ?????

=≤-≥+-???

?(3)设当点（）取遍D 时，求

（）的最小值(记为)和最大值(记为 ;

2

|

|22|}||,max{|q)(p,,p 0,0,2

||,)(4,4121q ,AB q)Q(p,,

2

40,04).

0(4121y AB ,0);

0(4121y AB ,0,

4121y ),(2141:,2

1

,21y',)41,

()1(:000210002,12022

0022

2

02

00002

0002

0000200200p p p p p x x p p p p p x p p q p p p p q

p p q px x q p x p p x p p p x p x p p p x p p x p p y L A p x L p p A ==-+==≤≤>-±=∴-=--=

-±

=+-≥-≤≤-=<≤≤-=>-=-=-∴=?则时当从而则上在线段若的两根为则方程又若的方程为则线段若的方程为则线段若即的切线方程为的抛物线过点故切线斜率为上在抛物线显然解

.

2

|

||}||,max{|q)(p,q),p,(.

2

|

|2|)(|2|||||}||,max{|q)(p,,0p ,00210002100p x x Q AB p p p p p p p x x p p ===--=--=

=≤≤

（2）由（1）知抛物线L 在2001(,

)4p p 处的切线方程为20011

24

y p x p =-，即200240p p x y -+= ∵切线恒过点(,)M a b ，则200240p ap b -+=，∴2

1,24p a a b =±-

① 当0a >时，

(,)M a b X ∈?10a p <

② 当0a <时，

(,)M a b X ∈?10p a <

综合①②可得(,)M a b X ∈?12p p >

∵由（1）可知，若2

111(,

)4

E p p ， 点(,)M a b 在线段E

F 上，有1

(,)2

p a b ?= ∴(,)M a b X ∈?1

(,)2

p a b ?= ③

由（1）可知，方程2

0x ax b -+=的两根11,22p x =或12p a -，21,22p x =或22

p a - 若1(,)2p a b ?=，即1

12max{,}2

p x x = 则

1122p a p -≥、 2122p p ≥、 2122

p a p -≥ ∴12p p > ∴1

(,)2

p a b ?=

?12||||p p >?(,)M a b X ∈ ④ 综合③④可得(,)M a b X ∈?1

(,)2

p a b ?=

综上所述1

12(,)(,)2

p M a b X p p a b ?∈?>?=

；

（3）由2

115(1)44

y x y x =-??

?=+-??，求得两个交点(0,1),(2,1)- 则02p ≤≤，

过点(,)G p q 作抛物线L 的切线，设切点为N 2

001(,

)4

x x ，切线与y 轴的交点为H 由（2）知2

00240x px q -+=，解得204x p p q =-

① 若204x p p q =+

-(,)G p q 在线段NH 上

由1y x ≤-，得1q p ≤-，

∴022x p p p p =+≥=+-=，

∴0

m min in )12

(x ?==． 由215

(1)44

y x ≥

+-，得221511(1)14442q p p p ≥+-=+-

∴2

442p q p -≤-，

∴0x p p =+

≤+

t =，则2

122

p t =-+，02t ≤≤ ∴22011552(1)2222

x t t t ≤-++=--+≤ ∴0max max 5)24

(

x ?==

② 若0x p =(,)G p q 在线段NH 的延长线上

方程2

0x px q -+=的两根为0

12

p p x x --=，0

22

p p x x +-=

即01,22x x =

或02

x p - ∵0x p ≤

∴00012(,)max{,}max{

,}222

x x x

p q x x p p ?==-=-

p ==

5

1(,)4p q ?≤≤ 综上所述min 1?=，max 5

4

?=