有限自动机的原理及示例

计算机组成原理与结构期末论文

有限自动机的原理及示例

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有限自动机的原理及示例

本文将介绍几种重要有限自动机的基本原理，并通过例子说明它们的运行过程。

一． 语言的基本概念

一张字母表是一个非空有限集合∑，字母表∑中的每个元素x 称为∑中的一个字母，也称符号、终止符或者字符。

∑中有限个字符1,,n a a 有序地排列起来

12n x a a a =

就称为∑上的一个字符串，n 称为它的长度。其中有一个特殊的串ε，它的长度为零。

若1∑和2∑都是字母表，则它们的乘积12∑∑定义为

{}12121122,a a a ∑∑=∈∑∈∑：a ，

特别地， 0121

{}

n n ε-∑=∑=∑

∑=∑∑

∑=∑∑

令

*01k

k k k ∞=∞+=∑=∑∑=∑

若*,,x y z ∈∑，且

z xy =

则称,x y 是z 的子串。

字母表∑上的一种语言是*∑的一个子集L 。

二． 有限状态自动机的原理和运算实例

1.基本原理

一个有限状态自动机的物理模型通常包括两部分：

（1）一个输入存储带，带被分解为多个单元，每个单元存放一个输入符号（字

母表上的符号），整个输入串从带的左端点开始存放，而带的右端可以无限扩充。

（2）一个有限状态控制器（FSC ）,该控制器的状态只能是有限个；FSC 通过一个读头和带上单元发生耦合，可以读出当前带上单元的字符。初始时，读头对应带的最左单元，每读出一个字符，读头向右移动一个单元。

有限状态自动机的一个动作为：读头读出带上当前单元的字符；FSC 根据当前FSC 的状态和读出的字符，改变FSC 的状态；并将读头右移一个单元。

接着给出有限状态自动机的数学模型。

字母表∑上的一个有限状态自动机(FSAM)是一个五元组

()0,,,,,FSAM Q q F δ=∑ 其中，

i)Q 是一个有限状态的集合；

ii)∑是字母表，它是输入带上的字符的集合；

iii)0q Q ∈是开始状态；

iv)F Q ?是接收状态（终止状态）集合；

v):Q Q δ?∑→是状态转换函数，(,)q x q δ'=表示自动机在状态q 时，扫描字符x 后到达状态q '。

对于有限状态自动机M ，给定字母表上的串12n w w w w = ；初始时，自动机M

处于开始状态0q ；从左到右逐个字符地扫描串12n w w w w = ；在011(,)q w q δ=的作用下，自动机M 处于状态1q ，在122(,)q w q δ=的作用下，自动机M 处于状态2q ，……当将串w 扫描结束后，若自动机处于某一个接收状态，则称有限状态自动机能够接收（识别）串w 。对于自动机而言，从开始状态开始，在扫描串的过程中，状态逐个地变化，直到某个接收状态，把状态的变化过程称为自动机的一条路径，而这条路径上所标记的字符的连接，就是自动机所识别的串。

有时为了表述方便，也采用如下定义的扩展的状态转换函数

**:Q Q δ?∑→ *(,)q w q δ'=

即自动机在一个状态q 时，扫描串w 后到达唯一确定的状态q '；换句话说，如果x 是一个字母，α是一个字符串，那么

*(,)q q δε=

*(,)(,)q x q w δδ= 并且对串w x α=，

***(,)(,)((,),)q w q x q x δδαδδα==.

用()L M 表示被()0,,,,FSAM Q q F δ=∑接收的语言，它在字母表∑上，即*()L M ?∑，则

{}**0():(,)L M w q w F δ=∈∑∈.

若语言*L ?∑对某个自动机M 有()L L M =，则称语言L 为一个有限状态语言。 有限状态自动机的瞬时描述是一个二元组qy ，*y ∈∑，其中y 是输入带上还没有被扫描到的字符串，FSC 的当前状态为q ，读头将马上扫描y 串的左边第一个符号。有限状态自动机的初始格局为0q w ，接收格局为q αε，其中0q 是初始状态，

q α是某个接收状态。

有限状态自动机在下面两种情形下停机：

（1） 输入串扫描结束时；

（2） 有限状态自动机的当前格局为qar ，而自动机没有对应的δ函数的定义，

即(,)q a δ没有定义。在这种情形，可以补充定义一个特殊的状态：陷阱状态t q ，即(,)t q a q δ=。对于陷阱状态t q ，对任何字母x ，定义(,)t t q x q δ=.

2.两个例子

例 2.1 我们将构造一个有限状态自动机M ，它能识别{0,1}上的语言{}*000:,{0,1}L x y x y =∈.

分析：

语言L 的特点是语言中的每个串都包含连续的3个0，故FSC 的状态及其意义如下：

（1）0q ：有限状态自动机的开始状态，也是重新寻找子串000时的状态；

（2）1q ：有限状态自动机读到第一个0，有可能是子串000的第一个0；

（3）2q ：有限状态自动机在1q 后又读到一个0；

（4）3q ：有限状态自动机在2q 后又读到一个0，这是唯一的接收状态。

因此，状态转移函数为

010*******

20

33

33

(,0)(,1)(,0)(,1)(,0)(,1)(,0)(,1)q q q q q q q q q q q q q q q q δδδδδδδδ======== 接收状态为3{}F q =.

例2.2 构造有限状态自动机M ，识别{0,1}上的语言，该语言的每个字符串看成二进制数时，代表的数字能整除3.

分析：

使用3个状态分别代表已经读入的数除以3的得到不同余数的等价类：

（1）0q ：已经读入的数除以3，余数为0的输入串的等价类；

（2）1q ：已经读入的数除以3，余数为1的输入串的等价类；

（3）2q ：已经读入的数除以3，余数为2的输入串的等价类；

因为不能接收空串，所以还需要一个开始状态S q 。

设w 是当前读入的输入串，则

（1）S q ：在开始状态读入0时，有0w =，进入状态0q ；读入1时，有1w =，进入状态1q 。

（2）0q ：能引导自动机到达此状态的w 是3的倍数，因此3w n =。 a)在此状态读入0，引导自动机到达下一状态的输入串为0w ，则

02(3)03(2)w n n =?+=?，

这表明0w 也属于0q 对应的等价类。所以自动机在0q 状

态读入0应该继续保持0q 状态。

b)在此状态读入1，引导自动机，到达下一状态的输入串为1w ，则12(3)13(2)1w n n =?+=?+，这表明1w 属于1q 对应的等价类。所以自动机在0q 状态读入1应该进入1q 状态。

(3)1q : 能引导自动机到达此状态的w 满足31w n =+。

a)在此状态读入0，引导自动机到达下一状态的输入串为0w ，则

02(31)03(2)2w n n =?++=?+，这表明0w 属于2q 对应的等价类。所以自动机在

1q 状态读入0进入2q 状态。

b)在此状态读入1，引导自动机到达下一状态的输入串为1w ，则

12(31)13(21)w n n =?++=?+，

这表明1w 属于0q 对应的等价类。所以自动机在1q 状态读入1进入0q 状态。

（4）2q ：能引导自动机到达此状态的w 满足32w n =+。

a)在此状态读入0，引导自动机到达下一状态的输入串为0w ，则

02(32)03(21)1w n n =?++=?++，

这表明0w 属于1q 对应的等价类。所以自动机在2q 状态读入0进入1q 状态。

b)在此状态读入1，引导自动机到达下一状态的输入串为1w ，则

12(32)13(21)+2w n n =?++=?+，这表明1w 属于2q 对应的等价类。所以自动机在1q 状态读入1继续保持2q 状态。

因此状态转换函数为

01000112

10

21

22

(,0)(,1)(,0)(,1)(,0)(,1)(,0)(,1)S S q q q q q q q q q q q q q q q q δδδδδδδδ======== 接收状态为0{}F q =。

三． 带输出的有限状态自动机

1. Moore 机的原理

Moore 机的数学模型是一个六元组

0(,,,,,)MooreM Q q δλ=∑? 其中

1）0,,,Q q δ∑的含义同有限状态自动机。

2）?是输出字母表。

3）:Q λ→?是输出函数。

对于,q Q a ∈∈?，

()q a λ= 表示Moore 机在状态q 时输出a 。

Moore 机在读入输入串的过程中，状态不断发生改变，并且在每个状态上都有输出。

对于输入串序列*1231n n a a a a a -∈∑ ，Moore 机的输出序列为

012()()()()n q q q q λλλλ

这里 011

122

211

1(,)(,)(,)(,)n n n n n n

q a q q a q q a q q a q δδδδ----====

因此，如果输入串的长度为n ，那么Moore 机的输出串的长度为1n +。

2. Moore 机的运算示例

例3.1 构造一个Moore 机，{0,1}∑=，若将输入串当作一个二进制数，则在读入串的过程中，希望输出已经读过的子串模3的余数。

分析：

因为模3的余数只有0、1和2，所以输出字母表{0,1,2}?=，并设3个状态

（1）0q ：已经读入的数除以3，余数为0的输入串的等价类；

（2）1q ：已经读入的数除以3，余数为1的输入串的等价类；

（3）2q ：已经读入的数除以3，余数为2的输入串的等价类；

像例2.2那样，状态转换函数为

00

01

1210

21

22

(,0)(,1)(,0)(,1)(,0)(,1)q q q q q q q q q q q q δδδδδδ====== 根据状态转换函数的结果，输出函数为

012()0

()1()2

q q q λλλ===

例如当输入空串ε时，输出余数为0；当输入1010时，状态变换的序列为

0q 011222

21

(,1)(,0)(,1)(,0)q q q q q q q q δδδδ==== 对应的输出序列为01221。

3. Mealy 机的原理

Mealy 机的数学模型是一个六元组

0(,,,,,)MealyM Q q δλ=∑? 其中

1）0,,,Q q δ∑的含义同有限状态自动机。

2）?是输出字母表。

3）:Q λ?∑→?是输出函数。

对于,,q Q x a ∈∈∑∈?，

(,)q x a λ=

表示Moore 机在状态q ，读入字母x 时，输出a 。

Mealy 机在读入串的过程中，状态不断发生改变，并且在每个状态上，读入某个字母时，Mealy 机都有输出。

对于输入串序列*1231n n a a a a a -∈∑ ，Mealy 机的输出序列为

0112231(,)(,)(,)(,)n n q a q a q a q a λλλλ-

这里 011

122

211

1(,)(,)(,)(,)n n n n n n

q a q q a q q a q q a q δδδδ----====

因此，如果输入串的长度为n ，那么Moore 机的输出串的长度也为n 。

4. Mealy 机的运算示例

例3.2 构造一个只有两个输出符号{,}y n ?=的Mealy 机，对于{0,1}∑=上的语言{}{}**00:11:L w w w w =∈∑∈∑ ，当读过的输入串属于L 时，Mealy 机输出y ，表示接收；当读过的输入串不属于L 时，Mealy 机输出n ，表示拒绝。 分析：

定义3个状态

（1）S q ：开始状态。

（2）0q ：自动机读入的字符是0。

（3）1q ：自动机读入的字符是1。

那么

（1）S q ：若即将读入0，则自动机进入状态0q ，同时输出n ；若即将读入1，则自动机进入状态1q ，同时输出n 。

（2）0q ：若即将读入0，则自动机保持状态0q ，同时输出y ；若即将读入1，则自动机进入状态1q ，同时输出n 。

（3）1q ：若即将读入0，则自动机进入状态0q ，同时输出n ；若即将读入1，则自动机保持状态1q ，同时输出y 。

因此，状态转换函数为

010001

10

11

(,0)(,1)(,0)(,1)(,0)(,1)S S q q q q q q q q q q q q δδδδδδ====== 输出函数为

0011(,0)(,1)(,0)(,1)(,0)(,1)S S q n q n q y q n

q n

q y

λλλλλλ====== 例如当输入串是01100时，状态变换序列为

S q

001

1110

00

(,0)(,1)(,1)(,0)(,0)S q q q q q q q q q q δδδδδ=====

输出串序列为

0110(,0)(,1)(,1)(,0)(,0)S q n q n

q y q n

q y

λλλλλ=====

从此例可以看出，Mealy 机通常比一般的有限状态自动机需要更少的状态数（对例3.2而言是5个），具有更强的功效。