勾股定理知识点及例题讲解

第九讲勾股定理

知识概要

1、勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么222

a b c

+=．

(注：应用勾股定理的关键在于构造直角三角形)

2、勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足222

+=，那么这个三角形是直角三角形，其

a b c

中c为斜边。

3、勾股定理的作用

|

（1）已知直角三角形的两边求第三边.

（2）已知在特殊直角三角形中，直角三角形的一边，求另两边的关系.

（3）用于证明平方关系的问题.

4、如何判定一个三角形是否是直角三角形

（1）首先确定最大边（如c）.

（2）验证2c与2a+2b是否具有相等关系.

若2c=2a+2b，则△ABC是以∠C=90°的直角三角形；

:

若2c≠2a+2b，则△ABC不是直角三角形.

【注意】当2c≠2a+2b时有两种情况.

（1）当2a+2b<2c时，此三角形为钝角三角形；

（2）当2a+2b>2c时，此三角形为锐角三角形，其中c为三角形的最大边.

5、常用勾股数组：(3, 4 ,5); (5, 12 ,13); (6, 8, 10); (7, 24, 25); (8, 15, 17) ; (9, 40 ,41)；（20,21,29）……

6、一组勾股数中各数的相同的正整数倍得到的一组新数还是勾股数。

7、一组勾股数中各数的相同的正数倍得到的一组新数为边，仍构成直角三角形。

8、（

9、

直角三角形的性质：（1）直角三角形中斜边最大；（2）直角三角形中有勾股定理；（3）直角

三角形中，30度角所对应直角边等于斜边的一半；（4）直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半；（5）等积原理（ab=ch ） 10、双垂图中的射影定理

例题精讲

~

【例1】如图，证明勾股定理．

【例2】填空题:

》

在△ABC 中,∠C 为直角.

(1)若BC =2, AC=3则AB = ； 若BC =5, AB=13.则AC = ；若AB=61, AC=11.则BC = . (2)若BC ∶AB =3∶5且AB =20则AC= .

(3)若∠A=60°且AC=2cm 则AB= cm ，BC= cm. 【巩固练习】 1、

2、Rt △ABC 中，C ∠是直角，

3、（1）已知6BC =，8AC =，求AB 之长；

4、

（2）已知25AB =，14BC =，求AC 之长； （3）

板块一 勾股定理

a a

a a

b

b ] b

@

（3）已知13AC =，19AB =，求BC 之长．

2、已知等边三角形的边长为a ，求等边三角形一边上的高和这等边三角形的面积．

￥

【例 3】已知60A ∠=?，90B D ∠=∠=?，2AB =，1CD =，求BC 和AD 的长． >

【巩固练习】

已知：如图所示，在四边形ABCD 中，AB=AD=8，∠A=60°，∠D=150°，四边形ABCD 的周长为32，求BC 和CD 的长.

《

【例 4】如图，已知AB ＝13，BC ＝14，AC ＝15,BC AD ⊥于D ，求AD 的长.

'

A

B C

D

【

B

A

D

C

B

A

D

【例 5】如图，已知：?=∠90C ，CM AM =，AB MP ⊥于P ． 求证：222BC AP BP += ．

"

【例 6】如图，已知在Rt ABC △中，Rt ACB ∠=∠，4AB =，分别以AC ，BC 为直径作半圆，面积分别记为1S ，2S ，则1S +2S 的值等于 ．

$

【巩固练习】

1、如图，已知：在ABC ?中，?=∠90ACB ，分别以此直角三角形的三边为直径画半圆，试说明图中阴

影部分的面积与直角三角形的面积相等．

`

P

M

B

C

A

;

A

B

S 1

2、图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、

B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是

A．13 B．26 C．47 D．94

^

3、在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是1S、2S、3S、4S，则1S+2S+3S+4S=____

$

"

1S

2

S3S4

23

1

【例7】在△ABC 中，如果a ∶b ∶c =1∶3∶2, 那么∠A= °,∠B= °∠C= °

如果a ∶b ∶c =1∶1∶2, 那么∠A= °,∠B= °∠C= °

`

【例 8】判断由线段a ，b ，c 组成的三角形是不是直角三角形： （1）15a =，8b =，17c =； （2）13a =，14b =，15c =； （3）7a =，24b =，25c =．

【例 9】已知：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，满足a 2+b 2+c 2+338=10a+24b+26c ，

《

试判断△ABC 的形状

《

【例 10】如图，在四边形ABCD 中，∠C=90°，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：AD ⊥BD ．

，

板块二 勾股定理逆定理

A

【例 11】已知：如图，在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为CB 的四等分点即3CE ＝EB 求证：AF ⊥FE ．

(

》

【例 12】如图，已知四边形ABCD 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积.

|

【巩固练习】

1.若一个三角形的周长为123cm,一边长为33cm,其他两边之差为3cm,则这个三角形是( ) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰

直角三角形

2.如图，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为（ ） A ．90° B ．60° C ．45° D ．30°

>

3.有一块土地形状如图所示,∠B=∠D=90°,AB=20米,BC=15米,CD=7米,请计算这块地的面积.

~

4.如图，在四边形ABCD 中，AB=BC=2，CD=3，AD=1，且∠ABC=90°，试求∠A 的度数。

、

&

课后作业

1、在Rt △ABC 中，90C ∠=?，

（1）5a =，12b =，则c =_______；（2）9a =，40b =，则c =_______；

（3）8a =，15b =，则c =_______；（4）7a =，24b =，则c =_______．

…

2、三个正方形的面积如图，正方形A 的面积为（ ） A ．6 B ．36 C ．64 D ．8

3、在Rt △ABC 中，有两边的长分别为3和4，则第三边的长（ ）

A

B

D

C

100

64

A 、5

B 、7

C 、5或7

D 、5或11

4、（1）等腰三角形的腰长是20厘米，底长是32厘米，求它的面积．

5、

6、 —

（2）已知一等边三角形的高是，求面积．

（3）直角三角形的面积为120，斜边长为26，求它的周长.

'

5.寻求某些勾股数的规律：

(1)对于任何一组已知的勾股数都扩大相同的正整数倍后，就得到了一组新的勾股数．例如：

222543=+，我们把它扩大2倍、3倍，就分别得到2221086=+和22215129=+，……若把它扩大11

倍，就得到 ，若把它扩大n 倍，就得到 ．

(2)对于任意一个大于1的奇数，存在着下列勾股数： 若勾股数为3，4，5，因为222453-=，则有5432

+=； 若勾股数为5，12，13，则有131252

+=；

若勾股数为7，24，25，则有 ；……

"

(3)对于大于4的偶数：

若勾股数为6，8，10，因为2

228106-=，则有……请找出这些勾股数之间的关系，并用适当的字母表示出它的规律来，并求当偶数为24的勾股数．

6、如图，点C 是以为AB 直径的半圆上的一点，90,6,8ACB AC BC ∠=?==，则图中阴影部分的面积是

)

<

]

第13讲 勾股定理（二）

勾股问题的应用

-

模型1. 折叠翻转问题：注意对称中的线段的相等与转移，结合全等三角形性质

模型2. 最短距离问题：把立体图形的展开，构造平面图形，利用勾股定理计算证明

模型3. 其他实际问题：学会把实际问题抽象成几何图形，利用勾股定理求解

例题精讲

【例1】如图，将三边长分别为3、4、5的△ABC ，沿最长边AB 翻转180?成△ABC '，则'

CC 长为（ ）

【例2】如图，有一张直角三角形纸片，两直角边,6cm AC =cm BC 8=，将△ABC 折叠，使点B 与点A

重合，折痕为DE ，求CD 的长。

B

*

板块一 折叠翻转问题

C

B

A

#

【例3】如图，已知长方形ABCD中AB=8 cm,BC=10 cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.

【巩固练习】

1.如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D与点B重合，已知AB＝3，AD＝9，求BE的长．

、

2.如图，在矩形ABCD中，AB=6，将矩形ABCD折叠，使点B与点D重合，C落在C'处，若AE:BE=1:2，则折痕EF的长为多少

*

3.如图，已知：点E是正方形ABCD的BC边上的点，现将△DCE沿折痕DE向上翻折，使DC落在对角线DB上，则CD∶CE＝_________．

E

B

A

【拓展】如图,折叠矩形纸片ABCD,先折出对角线BD,再折叠使AD 边与BD 重合,得到折痕DG,若AB=8. BC=6,求AG 的长

$

【例4】如图，在长、宽都是3，高是8的长方体外部，若蚂蚁要从顶点A 爬到顶点B ，那么它爬行的最短距离为 ．

A

B

【巩固练习】

如图，正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，?一只蚂蚁从M 点沿正方体的表面爬行到1D 点，蚂蚁爬行的最短距离是（ ）

A ．13

B ．3

C ．17

D ．2+5

&

板块二 最短距离问题

D

C

A

G B

【拓展】1.如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm ．如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ，那么所用细线最短需要 cm ；如果从点A 开始经过4个侧面缠绕n 圈到达点B ，那么所用细线最短需要 cm ．

<

2.如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为20dm ，3dm ，2dm ，A 和B 是这个台阶两相对的端点，A 点有一只昆虫想到B 点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B 点的最短路程是多少dm

)

【例5】如图，A 、B 两个小集镇在河流CD 的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A 、B 两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD 上选择水厂的位置M ，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少

B A 6cm <

1cm

A B

C

D

~

A

· B

（

3

2

20

【巩固练习】如图，一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马，而他正位于他的小屋B 的西8km 北7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少

【例6】如图,一根旗杆的升旗的绳垂直落地后还剩余1米,若将绳子拉直, 则绳端离旗杆底端的距离(BC)有

5米.求旗杆的高度.

*

【例7】如图，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm ）计算两圆孔中心A 和B 的距离为 .

…

【例8】 如图，是一只圆柱形的封闭易拉罐，它的底面半径为4cm ，高为15cm ，问易拉罐内可放的搅拌棒(直线型)最长可以是多长

~

—

60 120

B

A

A

B 小河

东

北

牧童 ~

【巩固练习】如图，有一个高米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是米，问这根铁棒应有多长

【例9】长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了m．

【巩固练习】如图，一架米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为米，如果梯子的顶端沿墙下滑米，那么梯足将向外移多少米

A1

B

A

【例10】如图所示，秋千OA在平衡位置时，下端 A 距地面米，当秋千荡到OA

1

的位置时，下端A

1

距

平衡位置的水平距离A

1

B 为米，距地面米，求秋千OA的长．

【例11】如图，某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向100km的B处有一台风中心，沿BC方向以20km/h的速度向D移动，已知城市A到BC的距离AD=60km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险

课后作业

1.有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，

至少飞了米．

2.有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽4尺，求竹竿高与门高.

3.木工周师傅加工一个长方形桌面，测量得到桌面的长为40cm，宽为50cm，对角线为60cm，

这个桌面(填“合格”或“不合格”)。

4.如下图,今年的冰雪灾害中,一棵大树在离地面3米处折断,树的顶端落在离树杆底部4米处,那么这棵树折

断之前的高度是____________米.

5.如图,为测得到池塘两岸点A和点B间的距离,一个观测者在C点设桩,使90

ABC

∠=,并测得AC长20

A

B

C

D

米、BC长16米,则A、B两点间距离是米?

6.如图，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽4米，高3米，长20米，棚的斜面用塑料布遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积．

7.如图，某会展中心在会展期间准备将高BC=5m，长AB=13m，宽2m的楼梯上铺地毯，已知地毯每平方米20元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱