线性代数第四章答案
第四章 向量组的线性相关性
1
设v 1(1 1 0)T v 2(0 1 1)T v 3(3 4 0)T 求v 1v 2及
3v 12v 2v 3
解 v 1v 2(1 1 0)T (0 1 1)T
(10 11 01)T
(1 0 1)T
3v 12v 2v 33(1 1 0)T 2(0 1 1)T (3 4 0)T
(31203 31214 30210)T (0 1 2)T
2 设3(a 1a )2(a 2a )5(a 3a )
求a
其中a 1(2 5 1 3)T
a 2(10 1 5 10)T a 3(4 1 1 1)T
解 由3(a 1a )2(a 2a )5(a 3a )整理得
)523(61321a a a a -+=
])1 ,1 ,1 ,4(5)10 ,5 ,1 ,10(2)3 ,1 ,5 ,2(3[6
1T
T T --+=
(1 2 3 4)T
3 已知向量组 A
a 1(0 1 2 3)T a 2(3 0 1 2)T a 3(2 3 0 1)T
B b 1(2 1 1 2)T b 2(0 2 1 1)T b 3(4 4 1 3)T
证明B 组能由A 组线性表示 但A 组不能由B 组线性表示
证明 由
?????
?
?-=3121
23111012421301
402230) ,(B A ????
? ??-------971820751610
402230421301
~r
????? ?
?------5314
00251552000751610421301 ~r ????
? ??-----000000531400
751610421301
~r 知R (A )R (A B )3 所以B 组能由A 组线性表示
由
????
? ?
?-????? ??---????? ??-=00
000011020
1
110110220201312111421402~~r r B 知R (B )2 因为R (B )R (B A ) 所以A 组不能由B 组线性表示
4 已知向量组 A
a 1(0 1 1)T a 2(1 1 0)T
B b 1(1 0 1)T b 2(1 2 1)T b 3(3 2
1)T
证明A 组与B 组等价
证明 由
??
?
?
??-???? ??-???? ??--=000001122010311112201122010311011111122010311) ,(~~r r A B
知R (B )R (B A )2 显然在A 中有二阶非零子式 故R (A )
2 又R (A )R (B
A )2 所以R (A )2 从而R (A )R (
B )R (A B ) 因此A 组与B 组等价
5 已知R (a 1 a 2 a 3)
2 R (a 2 a
3 a 4)3 证明
(1) a 1能由a 2 a 3线性表示 (2) a 4不能由a 1 a 2 a 3线性表示 证明 (1)由R (a 2 a 3 a 4)
3知a 2 a 3 a 4线性无关 故a 2 a 3也线性无关 又由
R (a 1 a 2 a 3)2知a 1 a 2 a 3线性相关 故a 1能由a 2 a 3线性表示
(2)假如a 4能由a 1 a 2 a 3线性表示 则因为a 1能由a 2 a 3线性表示 故a 4能由a 2
a 3线性表示 从而a 2 a 3 a 4线性相关 矛盾 因此a 4不能由a 1 a 2 a 3线性表示
6 判定下列向量组是线性相关还是线性无关
(1) (1 3 1)T (2 1 0)T (1 4 1)T (2) (2 3 0)T (
1 4 0)T (0 0 2)T
解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为A 因为
???
? ??-???? ??-???? ??-=000110121220770121101413121~~r r A
所以R (A )2小于向量的个数 从而所给向量组线性相关 (2)以所给向量为列向量的矩阵记为B 因为
222
000430
12||≠=-=B
所以R (B )3等于向量的个数 从而所给向量组线性相无关
7 问a 取什么值时下列向量组线性相关？ a 1(a
1 1)T a 2(1 a
1)T a 3(1
1 a )T
解 以所给向量为列向量的矩阵记为A 由
a
a a
A 1
111
11||--=
如能使行列式等于0，则此时向量组线性相关（具体看书后相应答案）
8 设a 1 a 2线性无关 a 1b a 2b 线性相关
求向量b 用a 1 a 2线性表示的表
示式
解 因为a 1b a 2b 线性相关 故存在不全为零的数1
2
使
1
(a 1b )
2
(a 2b )0
由此得
2
2
11121122121211)1(a a a a b λλλ
λλλλλλλλλ+--+-=+-+-
=
设2
11
λλλ+-
=c 则
b c a 1(1c )a 2 c R
9设a1a2线性相关b1b2也线性相关问a1b1a2b2是否一定线性相关？试举例说明之（也可看书后答案）
解不一定
例如当a1(1 2)T, a2(2 4)T, b1(11)T, b2(0 0)T时有a1b1(1 2)T b1(0 1)T, a2b2(2 4)T(0 0)T(2 4)T
而a1b1a2b2的对应分量不成比例是线性无关的
10举例说明下列各命题是错误的
(1)若向量组a1a2a m是线性相关的则a1可由a2a m线性表示
解设a1e1(1 0 0 0)a2a3a m0则a1a2
a m线性相关但a1不能由a2a m线性表示
(2)若有不全为0的数12m使
a1m a m1b1m b m0
1
成立则a1a2a m线性相关, b1b2b m亦线性相关解有不全为零的数12m使
a1m a m1b1m b m0
1
原式可化为
(a1b1)m(a m b m)0
1
取a1e1b1a2e2b2a m e m b m其中e1e2
e m为单位坐标向量则上式成立而a1a2a m和b1b2b m 均线性无关
(3)若只有当12m全为0时等式
a1m a m1b1m b m0
1
才能成立则a1a2a m线性无关, b1b2b m亦线性无关解由于只有当12m全为0时等式
由1a1m a m1b1m b m0
成立所以只有当12m全为0时等式
(a1b1)2(a2b2)m(a m b m)0
1
成立因此a1b1a2b2a m b m线性无关
取a 1a 2 a m 0 取b 1 b m 为线性无关组 则它们满足以上
条件 但a 1 a 2 a m 线性相关
(4)若a 1 a 2 a m 线性相关, b 1 b 2 b m 亦线性相关 则有不全为0的数
1
2
m 使 1a 1
m a m
1b 1
m b m
同时成立 解 a 1(1 0)T
a 2(2 0)T
b 1(0 3)T b 2(0 4)T
1a
12a 2 01
22 1b 1
2b
2
1
(3/4)
2
1
2
0 与题设矛盾
11 设b 1a 1a 2 b 2a 2a 3 b 3a 3a 4 b 4a 4a 1 证明向量组b 1 b 2 b 3
b 4线性相关
证明 由已知条件得
a 1
b 1a 2 a 2b 2a 3 a 3b 3a 4 a 4b 4a 1 于是 a 1 b 1b 2a 3 b 1b 2b 3a 4
b 1b 2b 3b 4a 1
从而 b 1b 2b 3b 40
这说明向量组b 1 b 2 b 3 b 4线性相关
12 设b 1a 1 b 2a 1a 2
b r
a 1a 2 a r 且向量组a 1
a 2 a r 线性无关 证明向量组
b 1 b 2 b r 线性无关
证明 已知的r 个等式可以写成
????
?
?
??
???????????????????????=???100110
111) , , ,() , , ,(2121r r a a a b b b
上式记为B AK 因为|K |
10 K 可逆
所以R (B )R (A )r 从而向量组b 1
b 2 b r 线性无关
13 求下列向量组的秩, 并求一个最大无关组: (1)a 1(1 2 1 4)T a 2(9 100 10 4)T a 3(2
4 2 8)T
解 由
????
?
?
?-????? ??--????? ??----=00000
001
0291032001900820291844210141002291) , ,(~~321r r a a a
知R (a 1 a 2 a 3)2 因为向量a 1与a 2的分量不成比例 故a 1 a 2线性无关 所以a 1
a 2是一个最大无关组
(2)a 1T (1 2 1 3) a 2T (4 1
5 6) a 3T (1
3 4 7)
解 由
????
?
??--????? ??------?????
?
?------=000000
590
141
10180590590141763451312
141
) , ,(~~321r r a a a
知R (a 1T a 2T a 3T )R (a 1 a 2 a 3)2 因为向量a 1T 与a 2T 的分量不成比例 故a 1T a 2T
线性无关 所以a 1T a 2T 是一个最大无关组
14 利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组
(1)????
?
?
?4820322513454947513253947543173125
解 因为
????? ??482032251345494751325394754317312513121433~r r r r r r ---????? ?
?53
105310
32104317
3125
3423~r
r r r --????
? ?
?00
003100
32104317
3125
所以第1、2、3列构成一个最大无关组.
(2)????
?
??---14
011313021512012211
解 因为
????? ??---14
1
13130215120122111
3142~r r r r --????? ?
?------22
20015120
151201221
12
343~r r r r +?????
? ?
?---00
00022200
1512012211
所以第1、2、3列构成一个最大无关组
（关于14的说明：14题和书上的14题有些不同，答案看书后的那个）
15 设向量组
(a 3 1)T (2 b 3)T (1 2 1)T (2 3 1)T
的秩为2 求a b
解 设a 1(a 3 1)T a 2(2 b 3)T a 3(1 2 1)T a 4(2 3 1)T 因为
??
?
? ??----???? ??---???? ??=52001110311161101110311
131********) , , ,(~~2143b a a b a b a r r a a a a
而R (a 1 a 2 a 3 a 4)2 所以a
2 b 5
16 设a 1 a 2
a n 是一组n 维向量 已知n 维单位坐标向量e 1 e 2
e n 能由它们线性表示 证明a 1 a 2
a n 线性无关
证法一 记A (a 1 a 2
a n ) E (e 1 e 2
e n )
由已知条件
知
存在矩阵K 使
E AK
两边取行列式 得
|E ||A ||K |
可见|A |0 所以R (A )n 从而a 1 a 2
a n 线性无关 证法二 因为e 1 e 2
e n 能由a 1 a 2
a n 线性表示 所以 R (e 1 e 2
e n )R (a 1 a 2
a n )
而R(e1e2e n)n R(a1a2a n)n所以R(a1a2
a n)n从而a1a2a n线性无关
17设a1a2a n是一组n维向量, 证明它们线性无关的充分必要条件是任一n维向量都可由它们线性表示
证明必要性设a为任一n维向量因为a1a2a n线性无关而a1a2a n a是n1个n维向量是线性相关的所以a能由a1a2
a n线性表示且表示式是唯一的
充分性已知任一n维向量都可由a1a2a n线性表示, 故单位坐标向量组e1e2e n能由a1a2a n线性表示, 于是有
n R(e1e2e n)R(a1a2a n)n
即R(a1a2a n)n所以a1a2a n线性无关
18设向量组a1a2a m线性相关且a10证明存在某个向量a k (2k m)使a k能由a1a2a k1线性表示
证明因为a1a2a m线性相关所以存在不全为零的数12使
m
a12a2m a m0
1
而且23m不全为零这是因为如若不然则1a10由a10知10矛盾因此存在k(2k m)使
0k1k2m0
k
于是
a12a2k a k0
1
a k(1/k)(1a12a2k1a k1)
即a k能由a1a2a k1线性表示
19设向量组B b1b r能由向量组A a1a s线性表示为(b1b r)(a1a s)K其中K为s r矩阵, 且A组线性无关. 证明B 组线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩R(K)r
证明令B(b1b r)A(a1a s)则有B AK
必要性设向量组B线性无关.
由向量组B 线性无关及矩阵秩的性质 有 r R (B )R (AK )min{R (A ) R (K )}R (K )
及 R (K )min{r s }r 因此R (K )
r
充分性 因为R (K )r 所以存在可逆矩阵C 使??
? ??=O E KC r 为K 的标准形
于是
(b 1
b r )C ( a 1
a s )KC (a 1
a r )
因为C 可逆 所以R (b 1
b r )R (a 1
a r )
r 从而b 1
b r 线性无关
20 设
?????+???+++=?????????????????????+???++=+???++=-1
321312321 n n n n
ααααβαααβαααβ
证明向量组
1
2
n 与向量组
1
2
n 等价
证明 将已知关系写成
?????
? ?
??
?????????????????????????????=???01111011
1101
1110
) , , ,() , , ,(2121n n αααβββ
将上式记为B AK 因为
0)1()1(0
1
1
1
1011
1
1011110
||1≠--=???????????????????????????=-n K n
所以K 可逆 故有A BK
1
由B AK 和A BK 1
可知向量组
1
2
n 与向量组
1
2
n 可相互线性表示 因此向量组1
2
n 与向量组1
2
n 等价
21 已知3阶矩阵A 与3维列向量x 满足A 3x 3A x A 2x 且向量组x A x
A 2x
线性无关
(1)记P (x A x A 2x ) 求3阶矩阵B
使AP PB
解 因为
AP A (x A x A 2x ) (A x A 2x A 3x )
(A x A 2x
3A x A 2x )
??
?
?
??-=110301000) , ,(2x x x A A
所以???
? ??-=110301000B
(2)求|A |
解 由A 3x
3A x A 2x
得A (3x A x A 2x )0 因为x A x A 2x 线性无关 故
3x A x A 2x 0 即方程A x 0有非零解
所以R (A )
3 |A |
（从22题开始，凡涉及到基础解系问题的，答案都不是唯一的，可以参考本文答案，也可以看书后的答案，不过以书后的答案为主。每一题不再一一说明）
22 求下列齐次线性方程组的基础解系
(1)?????=-++=-++=++-0
26830
54202108432143214321x x x x x x x x x x x x
解 对系数矩阵进行初等行变换 有
???
? ??--???? ??---=00004/14/31004
01 2683154221081~r A
于是得
???+=-=4
323
1)4/1()4/3(4x x x x x
取(x 3 x 4)T (4 0)T 得(x 1 x 2)T (16 3)T 取(x 3 x 4)T (0 4)T 得(x 1 x 2)T (0 1)T 因此方程组的基础解系为
1
(16 3 4 0)T
2
(0 1 0 4)T
(2)?????=-++=-++=+--0
36780
24530232432143214321x x x x x x x x x x x x
解 对系数矩阵进行初等行变换, 有 ???
? ??--???? ??----=000019/719/141019/119/201 367824531232~r A
于是得
???+-=+-=4
32431)19/7()19/14()19/1()19/2(x x x x x x
取(x 3 x 4)T (19 0)T 得(x 1 x 2)T (2 14)T 取(x 3 x 4)T (0 19)T 得(x 1 x 2)T (1 7)T 因此方程组的基础解系为 1
(2 14 19 0)T
2
(1 7 0 19)T
(3)nx 1 (n 1)x 2 2x n
1
x n 0.
解 原方程组即为
x n
nx 1(n 1)x 2 2x n
1
取x 11 x 2x 3 x n 1
0 得x n
n
取x 21 x 1x 3x 4 x n 1
0 得x n (n 1)
n 1
取x n 1
1 x 1x 2
x n
2
0 得x n
2
因此方程组的基础解系为
1(1 0 0 0 n )T 2
(0 1 0
0 n 1)T
n 1
(0 0 0
1
2)T
23 设??
?
??--=82593122A , 求一个42矩阵B , 使AB 0, 且
R (B ) 2.
解 显然B 的两个列向量应是方程组AB 0的两个线性无关的解 因为
??
? ??---??? ??--=8/118/5108/18/101 82593122~r
A
所以与方程组AB 0同解方程组为
???+=-=4
32431)8/11()8/5()8/1()8/1(x x x x x x
取(x 3 x 4)T (8 0)T 得(x 1 x 2)T (1 5)T 取(x 3 x 4)T (0 8)T 得(x 1 x 2)T (1 11)T 方程组AB 0的基础解系为
1
(1 5 8 0)T
2
(1 11 0 8)T
因此所求矩阵为????
?
?
?-=8008115
11
B
24 求一个齐次线性方程组, 使它的基础解系为
1
(0 1 2 3)T
2
(3 2 1 0)T
解 显然原方程组的通解为
????? ??+????
? ??=????? ??0123321021432
1k k x x x x , 即?????=+=+==14213
2
12213223k x k
k x k k x k x (k 1 k 2R )
消去k 1 k 2得
???=+-=+-0230324
31421x x x x x x
此即所求的齐次线性方程组.
25 设四元齐次线性方程组 I ???=-=+004
221x x x x
II
???=+-=+-004
32321x x x x x x
求
(1)方程I 与II 的基础解系 (2) I 与II 的公共解
解 (1)由方程I 得???=-=4
24
1
x x x x
取(x 3 x 4)T (1 0)T 得(x 1 x 2)T (0 0)T 取(x 3 x 4)T (0 1)T 得(x 1 x 2)T (1 1)T 因此方程I 的基础解系为
1
(0 0 1 0)T
2
(1 1 0 1)T
由方程II 得???-=-=4
324
1
x x x x x
取(x 3 x 4)T (1 0)T 得(x 1 x 2)T (0 1)T 取(x 3 x 4)T (0 1)T 得(x 1 x 2)T (1 1)T 因此方程II 的基础解系为
1
(0 1 1 0)T
2
(1 1 0 1)T
(2) I 与II 的公共解就是方程
III
?????=+-=+-=-=+00004
323214221x x x x x x x x x x 的解 因为方程组III 的系数矩阵
????
? ??--?????
?
?---=000
2100
10101001 11
10011110100011~r A
所以与方程组III 同解的方程组为
?????==-=4
34
24
12x x x x x x
取x 41 得(x 1 x 2 x 3)T (1 1 2)T 方程组III 的基础解系为
(1 1 2 1)T
因此I 与II 的公共解为x c (
1 1
2 1)T c R
26 设n 阶矩阵A 满足A 2A E 为n 阶单位矩阵, 证明
R (A )R (A E )n
证明 因为A (A E )A 2A A A 0 所以R (A )R (A E )n
又R (A E )
R (E A ) 可知
R (A )R (A E )R (A )R (E A )R (A E A )R (E )n
由此R (A )R (A E )n
27 设A 为n 阶矩阵(n
2)
A *为A 的伴随阵 证明
???
??-≤-===2
)( 01
)( 1)( *)(n A R n A R n A R n A R 当当当
证明 当R (A )n 时 |A |0 故有
|AA *|||A |E ||A |
0 |A *|0
所以R (A *)n 当R (A )
n 1时 |A |0 故有
AA *|A |E 0
即A *的列向量都是方程组A x 0的解 因为R (A )n
1 所以方程组A x 0的基础解
系中只含一个解向量 即基础解系的秩为1 因此R (A *)
1
当R (A )n 2时 A 中每个元素的代数余子式都为0 故A *O 从而R (A *)0
28 求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系: (1)?????=+++=+++=+3
22351
225
4321432121x x x x x x x x x x
解 对增广矩阵进行初等行变换, 有
???
? ??--???? ??=2100013011080101 322351211250011~r B
与所给方程组同解的方程为
?????=+=--=2
13 8
43231x x x x x
当x 30时 得所给方程组的一个解(
8 13 0 2)T
与对应的齐次方程组同解的方程为
?????==-=0
43231x x x x x
当x 31时 得对应的齐次方程组的基础解系(1 1 1 0)T
(2)?????-=+++-=-++=-+-6
2421
63511
325432143214321x x x x x x x x x x x x
解 对增广矩阵进行初等行变换, 有
???
? ??---???? ??-----=0000022/17/11012/17/901 6124211635113251~r B
与所给方程组同解的方程为
???--=++-=2)2/1((1/7)1
)2/1()7/9(4
32431x x x x x x
当x 3x 40时 得所给方程组的一个解
(1
2 0 0)T
与对应的齐次方程组同解的方程为
???-=+-=4
32431)2/1((1/7))2/1()7/9(x x x x x x
分别取(x 3 x 4)T (1 0)T (0 1)T 得对应的齐次方程组的基础解系
1
(9 1 7 0)T
2
(1 1 0 2)T
29 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3, 已知1
2
3
是它的三个
解向量. 且
1
(2 3 4 5)T
23
(1 2 3 4)T
求该方程组的通解.
解 由于方程组中未知数的个数是4 系数矩阵的秩为3, 所以对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量, 且由于1
2
3
均为方程组的解, 由非齐次线性方程组解的结构性质得
2
1
(
23
)(
12)
(
13
) (3 4 5 6)T
为其基础解系向量, 故此方程组的通解:
x k (3 4 5 6)T (2 3 4 5)T , (k R )
30 设有向量组A a 1( 2 10)T a 2(2 1 5)T a 3(1 1 4)T 及b
(1
1)T 问
为何值时
(1)向量b 不能由向量组A 线性表示
(2)向量b 能由向量组A 线性表示 且表示式唯一
(3)向量b 能由向量组A 线性表示 且表示式不唯一 并求一般表示式
解 ???? ??---=11054211121) , , ,(123βαb a a a ??
?
? ??-+++---βαβαα
34001110121 ~r
(1)当4 0时 R (A )R (A b ) 此时向量b 不能由向量组A 线性表示
(2)当4时 R (A )R (A b )3 此时向量组a 1 a 2 a 3线性无关 而向量组
a 1 a 2 a 3
b 线性相关 故向量b 能由向量组A 线性表示 且表示式唯一
(3)当4 0时 R (A )R (A
b )2 此时向量b 能由向量组A 线性表示
且表示式不唯一
当
4
0时
???? ??----=1105402111421) , , ,(123b a a a ??
?
?
??--000013101201 ~r
方程组(a 3 a 2 a 1)x b 的解为
?
??? ?
?--+=???? ??-+???? ??-=???? ??c c c c x x x 1312011132321 c R
因此 b (2c
1)a 3(3c
1)a 2c a 1
即 b c a 1(3c 1)a 2(2c 1)a 3 c R
31 设a (a 1 a 2 a 3)T b
(b 1 b 2 b 3)T c (c 1 c 2 c 3)T
证明三直线
l 1 a 1x b 1y c 10
l 2 a 2x b 2y c 20 (a i 2b i 20 i 1 2 3) l 3 a 3x b 3y c 30 相交于一点的充分必要条件为 向量组a
b 线性无关 且向量组a
b
c 线性相关
证明 三直线相交于一点的充分必要条件为方程组
?????=++=++=++0
00
333222111c y b x a c y b x a c y b x a 即?????-=+-=+-=+3
332221
11c y b x a c y b x a c y b x a
有唯一解 上述方程组可写为x a y b c 因此三直线相交于一点的充分必要条件为c
能由a b 唯一线性表示 而c 能由a
b 唯一线性表示的充分必要条件为向量组a
b
线性无关 且向量组a
b
c 线性相关
32 设矩阵A (a 1 a 2 a 3 a 4) 其中a 2 a 3 a 4线性无关
a 12a 2 a 3 向量
b a 1a 2a 3a 4 求方程A x b 的通解
解 由b
a 1a 2a 3a 4知(1 1 1 1)T 是方程A x
b 的一个解
由a 12a 2 a 3得a 12a 2a 30 知(1 2 1 0)T 是A x 0的一个解
由a 2 a 3 a 4线性无关知R (A )3 故方程A x b 所对应的齐次方程A x 0的基础解系中含一个解向量 因此(1
2 1 0)T 是方程A x 0的基础解系
方程A x b 的通解为
x c (1 2 1 0)T (1 1 1 1)T c R
33 设*是非齐次线性方程组A x b 的一个解, 1
2
n r
是对
应的齐次线性方程组的一个基础解系, 证明
(1)*12n r线性无关;
(2)**1*2*n r线性无关.
证明(1)反证法, 假设*12n r线性相关因为12线性无关而*12n r线性相关所以*可n r
由12n r线性表示且表示式是唯一的这说明*也是齐次线性方程组的解矛盾
(2)显然向量组**1*2*n r与向量组*
可以相互表示故这两个向量组等价而由(1)知向量组12n r
*12n r线性无关所以向量组**1*2 *n r也线性无关
34设12s是非齐次线性方程组A x b的s个解, k1k2
k s为实数, 满足k1k2k s 1. 证明
x k11k22k s s
也是它的解.
证明因为12s都是方程组A x b的解所以
A i b (i1 2s)
从而A(k11k22k s s)k1A1k2A2k s A s
(k1k2k s)b b
因此x k11k22k s s也是方程的解.
35设非齐次线性方程组A x b的系数矩阵的秩为r, 12n r1
是它的n r1个线性无关的解. 试证它的任一解可表示为
x k11k22k n r1n r1 (其中k1k2k n r11).
证明因为12n r1均为A x b的解所以121
均为A x b的解.
231n r n r11
用反证法证: 12n r线性无关.
设它们线性相关, 则存在不全为零的数12n r使得
1122 n r n r
即1(21)2(31) n r(n r11)0
亦即(12n r)11223