高中数学必修一 函数的基本性质
第1页 共2页 函数的基本性质
教学要求:掌握函数的基本性质(单调性、最大值或最小值、奇偶性),能应用函数的基本性质解决一些问题。
教学重点:掌握函数的基本性质。
教学难点:应用性质解决问题。
教学过程:
一、复习准备:
1.讨论:如何从图象特征上得到奇函数、偶函数、增函数、减函数、最大值、最小值?
2.提问:如何从解析式得到奇函数、偶函数、增函数、减函数、最大值、最小值的定义?
二、教学典型习例:
1.函数性质综合题型:
①出示例1:作出函数y =x 2-2|x|-3的图像,指出单调区间和单调性。 分析作法:利用偶函数性质,先作y 轴右边的,再对称作。→学生作 →口答
→ 思考:y =|x 2-2x -3|的图像的图像如何作?→
②讨论推广:如何由()f x 的图象,得到(||)f x 、|()|f x 的图象?
③出示例2:已知f(x)是奇函数,在(0,+∞)上是增函数,证明:f(x)在(-∞,0)上也是增函数
分析证法 → 教师板演 → 变式训练
④讨论推广:奇函数或偶函数的单调区间及单调性有何关系?
(偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反;奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致)
2. 教学函数性质的应用:
①出示例 :求函数f(x)=x +x
1 (x>0)的值域。
分析:单调性怎样?值域呢?→小结:应用单调性求值域。 → 探究:计算机作图与结论推广
②出示例:某产品单价是120元,可销售80万件。市场调查后发现规律为降价x 元后可多销售2x 万件,写出销售金额y(万元)与x 的函数关系式,并求当降价多少个元时,销售金额最大?最大是多少?
分析:此题的数量关系是怎样的?函数呢?如何求函数的最大值?
第2页 共2页 小结:利用函数的单调性(主要是二次函数)解决有关最大值和最大值问题。
2.基本练习题:
①判别下列函数的奇偶性:y =1+x +1-x 、 y =??
???≤+>+-)0()0(22x x x x x x (变式训练:f(x)偶函数,当x>0时,f(x)=….,则x<0时,f(x)=? ) ②求函数y =x
③判断函数y=12++x x 单调区间并证明。 (定义法、图象法; 推广: b
ax d
cx ++的单调性)
④讨论y=21x -在[-1,1]上的单调性。 (思路:先计算差,再讨论符号情况。)
三、巩固练习:
1.求函数y=c x b ax ++2为奇函数的时,a 、b 、c 所满足的条件。 (c=0)
2.已知函数f(x)=ax 2+bx+3a+b 为偶函数,其定义域为[a-1,2a],求函数值域。
3. f(x)是定义在(-1,1)上的减函数,如何f(2-a)-f(a -3)<0。求a 的范围。
4. 求二次函数f(x)=x 2-2ax +2在[2,4]上的最大值与最小值。
5. 课堂作业: P43 A 组6题, B 组2、3题。
人教版_数学_必修1函数的基本性质_教案
一、 函数的单调性 1.单调函数的定义 (1)增函数:一般地,设函数()f x 的定义域为I :如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x <,那么就说()f x 在这个区间上是增函数。 (2)减函数:如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x >,那么就说()f x 在这个区间上是减函数。 (3)单调性:如果函数()y f x =在某个区间是增函数或减函数。那么就说函数()y f x =在这一区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做()y f x =的单调区间。 2、单调性的判定方法 (1)定义法: 判断下列函数的单调区间:2 1x y = (2)图像法:从左往右,图像上升即为增函数,从左往右,图像下降即为减函数。 (3)复合函数的单调性的判断: 设)(x f y =,)(x g u =,],[b a x ∈,],[n m u ∈都是单调函数,则[()]y f g x =在] ,[b a 上也是单调函数。 ①若)(x f y =是[,]m n 上的增函数,则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同。 ②若)(x f y =是[,]m n 上的减函数,则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同。 即复合函数的单调性:当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数;当内外层函数的 单调性相反时则复合函数为增减函数。也就是说:同增异减(类似于“负负得正”) 练习:(1)函数24x y -=的单调递减区间是 ,单调递增区间 为 . (2)5 412 +-= x x y 的单调递增区间为 . 3、函数单调性应注意的问题: ①单调性是对定义域内某个区间而言的,离开了定义域和相应区间就谈不上单调性. ②对于某个具体函数的单调区间,可以是整个定义域(如一次函数),可以是定义域内某个区间(如二次函数),也可以根本不单调(如常函数). ③函数在定义域内的两个区间A ,B 上都是增(或减)函数,一般不能认为函数在上 是增(或减)函数 4.例题分析
高一数学必修一 函数知识点总结
3. 函数值域的求法: ①配方法:转化为二次函数,利用二次函数的特征来求值;常转化为型),(,)(2n m x c bx ax x f ∈++=的形式; ②逆求法(反求法):通过反解,用y 来表示x ,再由x 的取值范围,通过解不等式,得出y 的取值范围;常用来解,型 如: ),(,n m x d cx b ax y ∈++= ; ④换元法:通过变量代换转化为能求值域的函数,化归思想; 常针对根号,举例: 令 ,原式转化为: ,再利用配方法。 ⑤利用函数有界法:转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域; ⑥基本不等式法:转化成型如: )0(>+ =k x k x y ,利用平均值不等式公式来求值域; ⑦单调性法:函数为单调函数,可根据函数的单调性求值域。 ⑧数形结合:根据函数的几何图形,利用数型结合的方法来求值域。 二.函数的性质 1.函数的单调性(局部性质) (1)增函数 设函数y=f(x)的定义域为I ,如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1,x 2,当x 1
高一数学必修1函数的基本性质
高中数学必修1函数的基本性质 1.奇偶性 (1)定义:如果对于函数f(x)定义域内的任意x 都有f(-x)=-f(x),则称f(x)为奇函数;如果对于函数f(x) 定义域内的任意x 都有f(-x)=f(x),则称f (x)为偶函数。 如果函数f(x)不具有上述性质,则 f (x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质,则 f(x)既是奇函数, 又是偶函数。 注意: ○ 1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质;○ 2由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x ,则-x 也 一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)。 (2)利用定义判断函数奇偶性的格式步骤: ○ 1首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称;○ 2确定f(-x)与f(x)的关系;○ 3作出相应结论:若f(-x) = f(x) 或f(-x)-f (x) = 0,则f (x)是偶函数;若f(-x) =-f(x) 或f(-x)+f(x) = 0,则f (x)是奇函数。(3)简单性质:①图象的对称性质:一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称; 一个函数是偶函数的充要条 件是它的图象关于 y 轴对称; ②设()f x ,()g x 的定义域分别是12,D D ,那么在它们的公共定义域上: 奇+奇=奇,奇 奇=偶,偶+偶=偶,偶 偶=偶 2.单调性 (1)定义:一般地,设函数 y=f(x)的定义域为I ,如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x 1,x 2,当x 1 高中函数大题专练 2、对定义在[0,1]上,并且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为G 函数。 ① 对任意的[0,1]x ∈,总有()0f x ≥; ② 当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时,总有1212()()()f x x f x f x +≥+成立。 已知函数2()g x x =与()21x h x a =?-是定义在[0,1]上的函数。 (1)试问函数()g x 是否为G 函数?并说明理由; (2)若函数()h x 是G 函数,求实数a 的值; (3)在(2)的条件下,讨论方程(21)()x g h x m -+=()m R ∈解的个数情况。 3.已知函数| |212)(x x x f - =. (1)若2)(=x f ,求x 的值; (2)若0)()2(2≥+t mf t f t 对于[2,3]t ∈恒成立,求实数m 的取值范围. 4.设函数)(x f 是定义在R 上的偶函数.若当0x ≥时,11,()0,f x x ?-?=??? 0;0.x x >= (1)求)(x f 在(,0)-∞上的解析式. (2)请你作出函数)(x f 的大致图像. (3)当0a b <<时,若()()f a f b =,求ab 的取值范围. (4)若关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解,求,b c 满足的条件. 5.已知函数()(0)|| b f x a x x =-≠。 (1)若函数()f x 是(0,)+∞上的增函数,求实数b 的取值范围; (2)当2b =时,若不等式()f x x <在区间(1,)+∞上恒成立,求实数a 的取值范围; (3)对于函数()g x 若存在区间[,]()m n m n <,使[,]x m n ∈时,函数()g x 的值域也是 [,]m n ,则称()g x 是[,]m n 上的闭函数。若函数()f x 是某区间上的闭函数,试探求,a b 应满足的条件。 6、设bx ax x f += 2)(,求满足下列条件的实数a 的值:至少有一个正实数b ,使函数)(x f 的定义域和值域相同。 7.对于函数)(x f ,若存在R x ∈0 ,使00)(x x f =成立,则称点00(,)x x 为函数的不动点。 必修 1 《函数的基本性质》专题复习 (一)函数的单调性与最值 ★知识梳理 1.函数的单调性定义: 设函数的定义域为,区间 如果对于区间内的任意两个值,,当时,都有,那么就说在区间上是单调增函数,称为的单调增区间 如果对于区间内的任意两个值,,当时,都有,那么就说在区间上是单调减函数,称为的单调减区间 2.函数的最大(小)值 设函数的定义域为 如果存在定值,使得对于任意,有恒成立,那么称为的最大值; 如果存在定值,使得对于任意,有恒成立,那么称为的最小值。 ★热点考点题型探析 考点1 函数的单调性 【例】试用函数单调性的定义判断函数2()1 f x x =-在区间(1,+∞)上的单调性. )(x f y =A A I ?I 1x 2x 21x x <)()(21x f x f <)(x f y =I I )(x f y =I 1x 2x 21x x <)()(21x f x f >)(x f y =I I )(x f y =)(x f y =A A x ∈0A x ∈)()(0x f x f ≤) (0x f )(x f y =A x ∈0A x ∈)()(0x f x f ≥) (0x f )(x f y = 【巩固练习】证明:函数2()1 x f x x = -在区间(0,1)上的单调递减. 考点2 函数的单调区间 1.指出下列函数的单调区间: (1)|1|y x =-; (2)22||3y x x =-++. 2. 已知二次函数2()22f x x ax =++在区间(-∞,4)上是减函数,求a 的取值范围. 【巩固练习】 1.函数26y x x =-的减区间是( ). A . (,2]-∞ B. [2,)+∞ C. [3,)+∞ D. (,3]-∞ 2.在区间(0,2)上是增函数的是( ). A. y =-x +1 B. y C. y = x 2-4x +5 D. y =2x 3. 已知函数f (x )在-1∞(,)上单调递减,在[1+∞,) 单调递增,那么f (1),f (-1),f 之间的大小关系为 . 4.已知函数)(x f 是定义在]1,1[-上的增函数,且)31()1(x f x f -<-,求x 的取值范围. 5. 已知二次函数2()22f x ax x =++在区间(-∞,2)上具有单调性,求a 的取值范围. 高中数学必修1《函数的应用》知识点(总7页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 -CAL-本页仅作为文档封面,使用请直接删除 第4章 函数的应用 第1讲 函数与方程 一、连续函数 连续函数: 非连续函数: 二、方程的根与函数的零点 ()()()0001f x x f x x f x ?、零点:对于函数,若使=0,则称为函数的零点. ()()()=0y f x f x y f x x ??2、函数=的零点方程的实根函数=图像与交点的横坐标. 3、零点存在性定理: ()[]()()()(),::,. 0.y f x a b p q y f x a b f a f b ??????①=在上连续不断;函数=在内有零点② p q 说明:是充分不必要条件. ()()4,y f x a b 、如何证明函数=在区间内存在唯一一个零点? ()()()[]()()()(),:,:,. 0.y f x a b p y f x a b q y f x a b f a f b ??????①=在区间内单调;②=在上连续不断;函数=在内有唯一一个零点③ ()f x 三、用二分法求=0的近似解 步骤: ()()()()()()( )1 2121233131323231,,0; 2,;2 30,20,2.i i x x f x f x x x x f x f x f x x x f x f x x x x x d +?<+= ?<-<1、寻找使、令求、,用重复,,用重复; 4、直到 ()()()()()()()()1122334455665600103,3,0.5 =3,2; 3,4; 0,1; 1.5,0.5; 0.75,0.25; 1.125,0.125; 0.3250.5, 1.125,0.75, = 1.125x x f x x f x x f x x f x x f x x f x x x x x +=--=-=====-=-=-==-=--=<∈--∴-例:用二分法求方程在区间上的实根精确到则方程的根取 ()()0f x g x x 四、方程=的跟 高中数学必修系列函数基础知识 初等函数的性质定义判定方法函数的奇偶性 函如果对一函数f(x)定义域内任意一个x,都有 f(-x)=-f(x),那么函数f(x)叫做奇函数; 函如果对一函数f(x)定义域内任意一个x,都有 f(-x)=f(x),那么函数f(x)叫做偶函数 (1)利用定义直接判断; (2)利用等价变形判断: f(x)是奇函数f(-x)+f(x)=0?f(x)是 数f(-x)-f(x)=0 函数的单调性 对于给定的区间上的函数f(x): (1)如果对于属于这个去件的任意两个自变的值 x1、x2,当x1 二次函数 y=ax2+bx+c(a、 b、c为常数,其中a ≠0) R a>0时,?[- ,+∞) a<0时,?(- ∞,] b=0时为偶函数 b≠0时为非奇非 偶函数 a>0时,?在(-∞,-]上是减函数 在(-,+∞]上是增函数 a<0时, 在(-∞,-]上是增函数 在(-,+∞]上是减函数角 一条射线绕着它的端点旋转所产生的图形叫做角。旋转开始时的射线叫角的始边,旋转终止时的射线叫 角的终边,射线的端点叫做角的顶点。 角的单 位制 关系弧长公式扇形面积公式 角度制10=弧度≈0.01745 弧度 l=S 扇形= 弧度制1弧度=≈57018'l=∣α∣·r S 扇形=∣α∣·r 2=lr 角的终 边 位置角的集合 在x轴正半轴上{α∣α=2kπ,k Z} 在x轴负半轴上{α∣α=2kπ+π,kZ} 在x轴上{α∣α=kπ,k Z} 在y轴上{α∣α=kπ+,k Z} 在第一象限内{α∣2kπ<α<2kπ+,kZ} 在第二象限内{α∣2kπ+<α<2kπ+π,k Z} 在第三象限内 {α∣2kπ+π<α<2kπ+,kZ} 在第四象限内 {α∣2kπ+<α<2kπ+2π,kZ} 特殊角 的三角 函数值 函数/角0 π2π sina 0 1 0 -1 0 cosa 10 -10 1 必修一第一章 集合与函数概念 二、函数 知识点8:函数的概念以及区间 1》函数概念 设A 、B 是非空的数集,如果按某个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应,那么就称f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数,记作y =()f x 注意:①x A ∈.其中,x 叫自变量,x 的取值范围A 叫作定义域 ②与x 的值对应的y 值叫函数值,函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域. 2》区间和无穷大 ①设a 、b 是两个实数,且a=+∞,{|}[,)x x a a ≥=+∞,{|}(,)x x b b <=-∞,{|}(,]x x b b ≤=-∞,(,)R =-∞+∞. 3》决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则. 当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时,函数才是同一函数. 典例分析 题型1:函数定义的考察 例1:集合A=}{40≤≤x x ,B=}{20≤≤y y ,下列不表示从A 到B 的函数是( ) A 、x y x f 21)(= → B 、x y x f 31 )(=→ C 、 x y x f 32 )(=→ D 、x y x f =→)( 例2:下列对应关系是否是从A 到B 的函数: ① }{;:,0,x x f x x B R A →>== ②,:,,B A f N B Z A →==求平方; ③B A f Z B Z A →==:,,,求算术平方根; ④B A f Z B N A →==:,,,求平方; ⑤A=[-2,2],B=[-3,3],B A f →:,求立方。 是函数的是_________________。 题型2:区间的表示 例1:用区间表示下列集合 (1) }{1≥x x =_____________。 (2)}{42≤ 函数的概念和函数的表示法 考点一:由函数的概念判断是否构成函数 函数概念:设 A 、B 是非空的数集,如果按照某种确定的关系 f ,使对于集合 A 中的任意一个数 x ,在集合 B 中都有唯一确定的数 f (x )和它对应,那么就称 f :A →B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数。 例 1. 下列从集合 A 到集合 B 的对应关系中,能确定 y 是 x 的函数的是( ) x ① A={x x ∈Z},B={y y ∈ Z} ,对应法则 f :x →y= ; 3 ② A={x x>0,x ∈R}, B={y y ∈ R} ,对应法则 f :x → y 2 =3x; A=R,B=R, 对应法则 f :x →y= x 2; A .①②③④ B .①②③ C .②③ D .② 考点二:同一函数的判定 函数的三要素:定义域、对应关系、值域。 如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,我们就称这两个函数相等。 例 2. 下列哪个函数与 y=x 相同( ) 变式 1. 列图像中,是函数图像的是( ② 变式 2. 已知函数 y=f ( x ),则对于直线 x=a (a 为常数) A. y=f ( x )图像与直线 x=a 必有一个交点 C.y=f ( x )图像与直线 x=a 最少有一个交点 变式 4. 对于函数 y =f (x ) ,以下说法正确的有? ( ①y 是 x 的函数 ②对于不同的 x ,y 的值也不同 ③f (a ) 表示当 x = a 时函数 f (x ) 的值,是一个常量 A .1 个 B .2 个 C .3 个 D 变式 5.设集合 M ={x|0 ≤x ≤ 2} ,N = {y|0 ≤y ≤2},那么下面的 4 个图形中,能表示集合 M 到集合 N 的函 ,以下说法正确的是( B.y=f ( x )图像与直线 x=a 没有交点 D.y=f ( x )图像与直线 x=a 最多有一个交点 ④ f (x ) 一定可以用一个具体的式子表示出来 . 4 个 y 2x 1,x ∈ Z 与 y 2x 1, x ∈Z 第4章 函数的应用 第1讲 函数与方程 一、连续函数 连续函数: 非连续函数: 二、方程的根与函数的零点 ()()()0001f x x f x x f x ?、零点:对于函数,若使=0,则称为函数的零点. ()()()=0y f x f x y f x x ??2、函数=的零点方程的实根函数=图像与交点的横坐标. 3、零点存在性定理: ()[]()()()(),::,.0.y f x a b p q y f x a b f a f b ??????①=在上连续不断;函数=在内有零点② p q 说明:是充分不必要条件. ()()4,y f x a b 、如何证明函数=在区间内存在唯一一个零点? ()()()[]()()()(),:,:,. 0.y f x a b p y f x a b q y f x a b f a f b ??????①=在区间内单调;②=在上连续不断;函数=在内有唯一一个零点③ ()f x 三、用二分法求=0的近似解 步骤: ()()()()()()()12121233131323231,,0; 2,;2 30,20,2.i i x x f x f x x x x f x f x f x x x f x f x x x x x d +?<+= ?<-<1、寻找使、令求、,用重复,,用重复; 4、直到 ()()()()()()()()1122334455665600103,3,0.5 =3,2; 3,4; 0,1; 1.5,0.5; 0.75,0.25; 1.125,0.125; 0.3250.5, 1.125,0.75, = 1.125x x f x x f x x f x x f x x f x x f x x x x x +=--=-=====-=-=-==-=--=<∈--∴-例:用二分法求方程在区间上的实根精确到则方程的根取 ()()0f x g x x 四、方程=的跟 1.2.1 函数的概念 时间:45分钟 分值:100分 一、选择题(每小题6分,共计36分) 1.下列四个方程中表示y 是x 的函数的是( ) ①x -2y =6 ②x 2+y =1 ③x +y 2=1 ④x =y A .①② B .①④ C .③④ D .①②④ 解析:对于①,得y =1 2x -3,y 是x 的一次函数; 对于②,得y =1-x 2,y 是x 的二次函数; 对于③,得y 2=1-x ,当x =-3时,y 1=2,y 2=-2,y 不是x 的函数; 对于④,得y =x 2(x ≥0),y 是x 的二次函数. 答案:D 2.下列四组式子中,f (x )与g (x )表示同一函数的是( ) A .f (x )=4x 4,g (x )=(4x )4 B .f (x )=x ,g (x )=3 x 3 C .f (x )=x ,g (x )=(x )2 D .f (x )=x 2-4 x +2 ,g (x )=x -2 解析:A 、C 、D 定义域不同,B 定义域、对应关系、值域都相同. 答案:B 3.函数y =4-x 2 x -1的定义域为( ) A .[-2,2] B .[-2,2) C .[-2,1)∪(1,2] D .(-2,1)∪(1,2) 解析:解不等式组??? 4-x 2≥0, x -1≠0, 解得[-2,1)∪(1,2]. 答案:C 4.若g (x )=1-2x, f (g (x ))=1-x 2x 2,则f (1 2)的值为( ) A .1 B .15高中数学必修一函数难题
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